第1章 直角三角形的边角关系（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第1章直角三角形的边角关系（知识归纳+题型突破）1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；

2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；

3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；一、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

要点：

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，

但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点：

1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

边边关系：勾股定理，即；

边角关系：锐角三角函数，即

要点：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

三、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角与俯角：

要点：

1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．目录：题型一锐角三角函数题型二特殊锐角三角函数值的计算题型三解直角三角形题型四网格问题题型五解直角三角形的应用题型六解直角三角形在特殊三角形、相似三角形中的应用题型七解直角三角形难点突破题型一锐角三角函数【例1】在中，，则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．巩固训练：1．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值A．也扩大3倍 B．缩小为原来的C．都不变 D．有的扩大，有的缩小2．已知在中，，，，那么的长等于（

）A． B． C． D．题型二特殊锐角三角函数值的计算【例2】计算：(1)(2)巩固训练：1．计算：2．计算：．题型三解直角三角形【例3】在中，，是锐角，且，那么等于（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，在中，，，，则的长为（

）

A． B． C．4 D．52．如图，沿AE折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．已知，则的值为（）A．8 B．9 C．10 D．123．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（

）A． B．12 C． D．64．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（）A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）题型四网格问题【例4】．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．巩固训练：1．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（）A． B． C． D．2．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）

A． B． C． D．题型五解直角三角形的应用【例5】．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（）（单位：米）

A． B． C． D．10巩固训练：1．如图，从点观测点的仰角是（

）A． B． C． D．2．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）

A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里3．如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）A． B． C． D．4．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步(每一步为五尺)，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．无法计算5．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求的长；(2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）6．我国在人工智能技术研究领域处于世界领先地位，“中国制造”已向“中国智造”转型，图1是我国自行设计的一款智能手臂机器人，图2是该型号手臂机器人处于工作状态时的示意图，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，，，，过点C作直线垂直工作台于点D，点A，B，C，D，O在同一平面内．(1)求的度数．(2)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长．（结果保留根号）题型六解直角三角形在特殊三角形、相似三角形中的应用【例6】．如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，．

(1)求的值；(2)求线段的长．巩固训练：1．如图，在ABC中，是上的点，，，分别是，的中点，，，求，的长．2．如图，在梯形中，，，且，．

(1)求证：；(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且，当，时，求的值．3．如图所示，和均为等腰直角三角形，，＝，，、、三点共线，线段、交于点．(1)求线段、之间的数量关系；(2)求的度数．题型七解直角三角形难点突破【例7】．已知是直角三角形，．

(1)如图1，若，取的中点，连接，则的值是；(2)在（1）的条件下，在的延长线上截取，连接，将绕点顺时针旋转，设旋转角为，当点，，在同一直线上时，如图2，求的长；(3)如图，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接．①当时，求的长；②当，设长的最大值为，最小值为，直接写出的值．巩固训练：1．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．2．黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严