添加辅助线构造三角形相似的七种方法（附答案）-2024-2025学年九年级数学下册

专题添加辅助线构造三角形相似的方法

（专项练习）

第一部分【题型目录】

【方法1】作平行线构造三角形相似....................................1

【方法2】作垂直构造三角形相似......................................2

【方法3】连接两点构造三角形相似....................................3

【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似.............................4

【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似..............................5

【方法6】截长补短构造三角形相似.....................................6

【方法7】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似......................7

QB'

1

第二部分【题型梳理与方法点拨】

【方法1】作平行线构造三角形相似

1.（24-25九年级上•四川眉山・期中）如图，VN8C中，D为BC上一点、,£为/C上一点，AD,BE交于

G,且/G:GD=4:1,BD:DC=2:3,贝!J/E:EC的值是（）

2.（24-25九年级上•浙江金华•期中）如图，C、。是圆上的两点，N/C2=90。，点。刚好为数的中点,

AD.BC交于■点、E.若CE=3,BE=5,则的长为（）.

3.（24-25九年级上•浙江台州•阶段练习）数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为"诺

模图如图是关于x,y,z三者关系的诺模图，它是由点。出发的三条射线a,b,c组成，每条射线上都

有相同的刻度，且射线端点刻度为0,其中。和c,6和c都相交成60。角.在射线。和b上分别取点/和

B,对应的刻度值是x和八用直尺连结交射线c于点C,点C的刻度值就是z的值.（1）若％=>=12,

则z的值是；（2）若尤=2了，贝三=.

y

4.（24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，四边形A8CD中，点E是。C延长线上一点,

NE与相交于点歹.若AD：BC=m,DC-.DE=n,则的值为（用含机、〃的代数式表示）.

2

【方法2】作垂直构造三角形相似

5.（24-25九年级上•海南海口・期末）如图，矩形/BCD中，点尸是ZB边上一动点（与点/、2不重合），

连接尸。，过点。作即交8c的延长线于点£,若AB=2BC,则尸D:Z）E的值为（）

V2

D.V2

~T

6.（2024九年级上•浙江宁波・竞赛）如图，在梯形/BCD中，AB//DC,DD=90°,E在线段3C上，且

满足23E=3C£,过石作EGLBC交D4的延长线于G.若DC=7,/B=10,BC=5,则GE=()

49

D.T

7.（24-25九年级上•天津河西•期末）如图，直线/〃加〃“，且/与加之间的距离等于冽与〃之间的距离,

若AB=5#),则4C的长为.

8.（24-25九年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图,矩形纸片ABCD中，4。=10,=8,点区产分别在AD,BC

上，把纸片沿好折叠，点/,8的对应点分别为H,夕，连接并延长交CD于点G，则空的值为.

3

【方法3】连接两点构造三角形相似

9.（24-25九年级上•全国・期末）如图，菱形4BCDs菱形4EFG,菱形/EFG的顶点G在菱形48C。的8C

边上运动，G尸与45相交于点H,ZE=60°,若CG=6,AH=14,则菱形45CD的边长为（）

A.18垂）B.16>/3C.18D.16

10.（2024九年级上•全国•专题练习）如图，有公共顶点的正方形/BCD和正方形）7GE如图摆放，其中

点G恰在C£＞边的四等分点（CGVDG）,连结20.则。H：BH为（）

A.2：3B.V2：2C.272：#7D.15：17

11.（24-25九年级上•河北秦皇岛•期中）如图，菱形/BCO中，EFLAC于点H,分别交AD及C2的延

长线交于点£、F,且A£:FB=1:2,则的值为

12.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，两个同心圆，已知/8=2,5c=10,/X=3,求AT=.

4

【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似

13.（23-24九年级上•浙江•期末）如图，已知菱形/BCD的面积是24,£,歹分别是菱形/8Q5的边8C,CD

的中点，连结/E,BF,/£与B尸交于点G,贝！U8EG的面积为（）

14.（24-25九年级上•安徽安庆•阶段练习）如图，矩形45C。的边长/8=2,AD=3,£为48的中点，F

在边8c上，且BF=2FC,4尸分别与DE、相交于点M,N,则"N的长为（）

N

.2V20472_372D.见1

55420

15.（24-25九年级上•山西•期中）如图，在正方形中，点£是。。的中点，点尸是/。的中点，BE

与CF相交于点G,设AB=a.得到以下结论：①BELCb；②4G=;③/G=&G；④〃GE=45。.则

上述结论正确的是（）

DEC

0

AB

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

16.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，已知O。的直径==10cm,MN为O。的切线，£为切点,

则A:,B两点到MN的距离之和等于________cm.

N------M

CF.D

5

【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似

17（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在RtZiASC中，ZC=90°,AC=BC,。是48边上一点，且

BD=2AD,£是NC边上的动点，过点。作DE的垂线交线段8c于点尸，试探究线段BF,AB之

间的数量关系.

18.（23-24九年级下•河北邯郸・期中）如图，在Rt448C中，/8=NC=2,NA4c=90。，将直角三角板E尸尸

的直角顶点P放在线段8C的中点上，以点尸为旋转中心，转动三角板，P尸交线段NB于点W,PE交线

段NC于点N,连接跖V.设线段的长为x,APMN的面积为在转动过程中，y与尤的函数图象是

（）

19.（2024•广东深圳•模拟预测）如图，正方形N2CZ）的边长为6,对角线相交于点。，点W,N分别

在边BC,CD上，且/MON=90。，连接MV交OC于尸，若BM=2,贝!]OPOC=.

6

【方法6】截长补短构造三角形相似；

20.（2021•安徽合肥•三模）在菱形48C。中，//3C=120。，点E、尸分别是边48、4D上两点，满足ZE=Q尸,

B尸与相交于点G.

（1）如图1,连接BD.求证：△£）/£T丝△BDF;

（2）如图2,连接CG.

①求证：BG+DG=CG；

②若尸G=/，GC=n,求线段。G的长（用含加、〃的代数式表示）.

21.（22-23九年级下•福建莆田•阶段练习）如图，在矩形/BCD中，将△/£＞（7绕点。逆时针旋转90。得到

V阳E,使得2、RE三点恰好在同一直线上，/C与8E相交于点G,连接。G,以下结论正确的是：.

@ACVBE,②ABCGsAGAD；（?）DF2=FCDC；®CG+41DG=EG.

22.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，在矩形48。中，已知/3=3,8c=6,E为边上一动点，将

沿BE翻折到△神£的位置，点/与点尸重合，连接。尸，CF,则DF+gcF的最小值为（）

7

【方法7】作多条辅助线构造三角形相似

23.（24-25九年级上•湖北武汉•期中）如图，点E是正方形4BCD边4D上一动点，连接CE,将线段CE绕

点E顺时针旋转90。得线段监，连接CF,CF交边4B于点M,取4&中点G,连接G尸，当C尸+GF取

24.（24-25九年级上•山东济南•期中）如图，正方形48C。中，E为边上一点，G为所的中点，连DG,

则下列结论中正确的个数是（）

①DE=DF

②/G平分NEAD

③BE=叵CG

@AE+AD=42AG

25.（24-25九年级上•浙江杭州•阶段练习）如图，E是线段上一点，VNDE和A3C£是位于直线N2同

侧的两个等边三角形，点P,尸分别是CD,的中点.若45=12,则下列结论错误的是（）

A.P/+P2的最小值为6疗

8

B.尸E+P尸的最小值为6g

C.ACDE周长的最小值为18

D.的面积随着£点的变化而变化

26.（24-25九年级上•四川•期中）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角V/5C和AZFG摆放在

一起，A为公共顶点，NB/C=N/G尸=90。，它们的斜边长为2,若V/2C固定不动，”尸G绕点A旋转，AF>

ZG与边8c的交点分别为。、E（点。不与点3重合，点E不与点C重合），设BE=m,CD=n.

⑴请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明;

⑵求加和〃的函数关系式，直接写出自变量〃的取值范围；

⑶证明在旋转过程中以BO,CE,三条线段长度为三边的三角形是直角三角形.

27.（24-25九年级上•辽宁铁岭•阶段练习）如图1,将RtA/OB绕着直角顶点。按顺时针方向旋转得到

RtACOD,点A落在点C处，点&落在点。处，连接3C,AD.

⑴求证：S、BOC=S»AOD；

⑵如图2,取4D的中点E,连接OE,求证：BC=2OE；

（3）如图3,过点。作垂足为尸，交8C于点。，若/2=8,/2/。=48。。=60。，求△8。。的面

积

9

答案解析

【方法1】作平行线构造三角形相似

1.（24-25九年级上•四川眉山・期中）如图，VN8C中，D为BC上一点、,£为/C上一点，AD,BE交于

G,且/G:GD=4:1,BD:DC=2:3,贝!J/E:EC的值是（）

A.3:2B.4:3C.6:5D.8:5

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，作/尸/BC交8E的延长线于点尸，证明A/FGSAHDG,

APApAJ7

求出黑的值，证明△/用s△BCE,得到点=会即可.

BDCEBC

解：作/月〃交BE的延长线于点少，

则：AAFGS^BDG,AAFEs^BCE,

,AFAG_4AEAF

••茄一丽一丁~CE~~BC

：.AF=4BD,

•:BD:DC=2:3,

:.BD:BC=2:5,

：.BC=-BD,

2

AE_4_8

.,.近一正一5一1;

2

故选D.

2.（24-25九年级上•浙江金华•期中）如图，C、。是圆上的两点，N/C8=90。，点。刚好为数的中点,

AD.BC交于点、E.若CE=3,BE=5,则的长为（）.

10

cD

-7B

A.12B.10C.8D.6

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理,

角平分线的定义，关键是判定尸推出C尸=助.过C作C厂||43交/。的延长线于

F,得到N尸=N54E,由圆周角定理推出NC4£=/B/£,得到/尸二/C4E,因此=/C,判定

△CEFS/\BEA,推出=得到/U/BuCE:防=3:5,AC=3x,AB=5x,由勾股定理

得到(5x)2-(3x)2=82,求出工=2(舍去负值)，即可得到45=5%=10.

【详解】过。作CBI4B交/。的延长线于R

・・・ZF=ZBAE,

•：D为部的中点，

ACAE=NBAE,

ZF=ZCAE,

；・CF=AC,

CF//AB,

：.ACEFs^BEA,

：.CF:AB=CE:EB,

：・AC:AB=CE:EB=3:5,

令AC=3x,AB=5x,

NACB=90。,

AB2-AC2=BC2>

：.(5x)2-(3x)2=82,

/.x=2(舍去负值)，

AB=5x=10.

故选：B.

11

3.（24-25九年级上•浙江台州•阶段练习）数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为"诺

模图如图是关于x,丹z三者关系的诺模图，它是由点。出发的三条射线a,b,c组成，每条射线上都

有相同的刻度，且射线端点刻度为0,其中。和c,6和c都相交成60。角.在射线。和6上分别取点/和

B,对应的刻度值是x和八用直尺连结交射线c于点C,点C的刻度值就是z的值.（1）若》=>=12,

则z的值是；（2）^x=2y,则三二.

y

【答案】6—

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，过点C作CD〃可交O/于点D,先证AOC0为等边

—CD—OD—OC—z,进而得z,再证A/CQSA/B。相似得力£）：04=CD：OB,由此得

（尤-z）：x=2：y,然后整理得xz+yz=xy,

（1）将%=了=12代入xz+yz=xy之中即可求出z的值；

z

（2）将x=2歹代入％z+yz=孙之中即可求出一的值.

y

解：过点。作交于点。，如图所示：

依题意得：ZBOC=ZAOC=60°fOA=x,OB=yfOC=z,

・・・CD//OB,

：.ZOCD=ZBOC=6(T,

ZOCD=ZAOC=60°,

12

.AOC。为等边三角形,

/.CD=OD=OC=z,

AD=OA—OD=x—z,

CD//OB,

AACDSAABO,

AD：OA=CD：OB,

(x-z)：x=z：y,

整理得：xz+yz=xyf

(1)当x=>=12时，12z+12z=12xl2,

解得：z=6；

故答案为：6.

(2)当x=2y时，2yz+yz=2y2,

即3yz=2y2,

・.•尸0,

3z=2y,

•_z__2

2

故答案为：j.

4.(24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习)如图，四边形ABC。中，3C〃4D,点E是。C延长线上一点,

NE与AD相交于点厂.若AD：BC=m,DC:DE=n,则/尸：/£的值为(用含/、〃的代数式表示).

E

【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是

解题关键.过点E作EG〃3C,交8。延长线于点G,首先证明VOBCsVOGE,由相似三角形的性质可

13

^―=—=«,进而可得BC=〃GE,结合4D：3C=〃?，易得80=也,进而可得GE=42,再证明

GEDEmmn

FFiA77（1A

△ADFsAEGF,由相似三角形的性质可得——=——=—,易知所=—,进而可得NE=1+—\AF,

AFDAmnmn\mn）

然后计算力厂：ZE即可.

解：如图，过点石作EG〃3C,交的反向延长线于点G,

VEG//BC,DC:DE=n,

：.ZDBC=/G,ZDCB=/DEG,

：.VDBC^NDGE,

.BCDC

9GE~DE

：.BC=nGE,

AD：BC=mf

VEG//BC,BC//AD,

：.EG//AD,

：.ZG=ZADF,ZFEG=ZFAD,

△ADFsgGF,

EF_GE_mn_1，

AFDADAmn

AF

：.AE=AF+EF=AF+——AF,

：.AF.AE=AF:

14

mn

故答案为：

【方法2】作垂直构造三角形相似

5.（24-25九年级上•海南海口・期末）如图，矩形/3CD中，点尸是边上一动点（与点/、8不重合），

连接尸过点。作瓦＞，尸。交8C的延长线于点£,若AB=2BC,则的值为（）

1-2-\/2、/-

AA-2B-]c--D.也

【答案】A

【分析】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，过点E作斯」ND,易得四边形/BE尸是

矩形，得到斯=48,证明AP/DSAQFE,证明尸D：OE=4D:跖，即可得出结果.

解：过点E作样」ND,

:矩形N8C。，

AD=BC,ZA=ZB=90°,

...四边形/瓦萨是矩形，

:.EF=AB,/尸=90°=//,

EDLPD,

ZPDE=9Q°=ZA=ZF,

：.ZAPD=ZEDF=90°-ZADP,

**.APADS^DFE,

：・PD:DE=AD:EF=BC:AB=1:2,

故选A.

6.(2024九年级上•浙江宁波•竞赛)如图，在梯形/BCD中，AB//DC,DD=90°,E在线段3C上，且

满足2BE=3CE,过E作EGLBC交的延长线于G.若DC=7,/B=10,BC=5,则GE=()

15

G

【答案】B

【分析】根据已知条件得到8E=3,CE=2,过C作根据矩形的性质得到/〃=CD=7,

AD=CH,根据勾股定理得到CH=」BC?一BH?=4,过E作跖14D于R再证明ACEA/SACBH,得

FMCF6641FFFG41

到——,求出或〃=—,EF=7+-=-f再证明△GEES/HC,得到——=——,求出EG二上即

BHBC555CHBC4

可得到结论.

解：Y2BE=3CE,BC=5,

:・BE=3,CE=2,

过。作

ABHDC,£)0=90°,

・•・ZD=ADAB=ZCHA=90°,

・••四边形力"CD是矩形，

:・AH=CD=7,AD=CH,

・・•45=10,

:・BH=3,

•*-CH=4BC1-BH1=4，

过£作班140于R交CH于点M,

：.EF//AB,FM=CD=7f

：.EM//BH,

16

・•・ACEMS^CBH,

,EM_CE

••而一而’

・EM_2

・・亍一1，

5

37+3”，

55

,/EGIBC,

：./BEG=ZBAG=90°,

•・・/B=/G,

：・AGFES^BHC,

.EFEG

••而一京'

41

・・.£_四，

4-5

,41

..EG=——,

4

故选：B.

【点拨】本题考查了梯形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线

是解题的关键.

7.（24-25九年级上•天津河西,期末）如图，直线/〃切〃〃，且/与用之间的距离等于加与〃之间的距离,

若AB=5有,则4C的长为.

【答案】10加

【分析】本题考查平行线间的距离，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题

的关键.

根据平行线间的距离，可得DE=C£=1CD,进而判定根据相似三角形的性质即可求

解.

17

解：作CD，/交直线/于点。，交直线加于点E,如图所示,

-：l//m//n,且/与机之间的距离等于机与“之间的距离,

:.DE=CE=-CD,

2

AD//BE,

:./\ACD^ABCE,

ACCDc

---=---=2,

BCCE

:.AC=2BC=2x5亚=\Q亚.

故答案为：10店.

8.（24-25九年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，矩形纸片48CD中，AD=10,NB=8,点£,尸分别在4D,BC

上，把纸片沿跖折叠，点43的对应点分别为H,8',连接并延长交CD于点G，则名的值为.

AGr

【答案】夕0.8

【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形性质、相似三角形判定与性质等知识点，熟练掌握三角形相似的

判定与性质是解题的关键.如图：过点尸作阳■，必于点〃，设/G与跖交于点。，利用两角对应相等

EF

求证,即可求出一的值.

AG

解：如图：过点尸作£以，仞于点X,设/G与环交于点O,

18

由折叠的性质点N与点©对应易知：NAOE=90°,

ZEAO+ZAEO=90°,ZEAO+ZAGD=90°,

AAEO=ZAGD,BPZFEH=ZAGD,

又NADG=ZFHE=90°,

/.AADGSAFHE,

VAD10,AB=FH=8,

.EFFH_8_4

-io-5'

4

故答案为：—■

【方法3】连接两点构造三角形相似

9.（24-25九年级上•全国・期末）如图，菱形4BCDs菱形4EFG,菱形/EFG的顶点G在菱形4BC。的8C

边上运动，G尸与A8相交于点H,ZE=60°,若CG=6,AH=14,则菱形ABCD的边长为（）

A.186B.16A/3C.18D.16

【答案】C

【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接/C,证明

VN3C是等边三角形，设4B=BC=4C=a,贝UBH=a-14,BG=a-6,再证明ABG»SAC/G,由相似

三角形的性质求解即可.

解：连接NC.

19

E

:菱形ABCDs菱形AEFG,

：./B=NE=ZAGF=60°,AB=BC,

：.NABC是等边三角形，

^AB=BC=AC=a,则3H=Q-14,BG=a-6,

：.NACB=60°,

•；NAGB=/AGH+/BGH=NACG+NCAG,

u：ZAGH=ZACG=6（T,

・•・/BGH=/CAG,

,.・AB=/ACG,

・・・4BGHS4CAG,

.BG_BH

•・就一节’

.ci—6ci—14

••二,

a6

**•a1-20。+36=0,

・・・a=18或2（舍弃），

J/5=18,

故选：C.

10.（2024九年级上•全国・专题练习）如图，有公共顶点的正方形和正方形引7GE如图摆放，其中

点G恰在边的四等分点（CGVQG）,连结助.则。H：BH为（）

20

A.2：3B.V2：2C.2V2：V17D.15：17

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形和正方形的知识，掌握了以上知识是解答本题的关键；

本题先连接8G,求得LBGHsABDG,再根据空=空，即可求得3〃和DH,即可得到答案;

BHBG

解：连接8G,如图

设GC=x,

：G恰在CD边的四等分点，

:.DG=3x,DC=4x,

:四边形ABC。是正方形，

/.ZBDG=45°,/C=90°,BC=DC=4x,

.•.在RtABCD中根据勾股定理得，BD=4瓜,

在MABGC中根据勾股定理得，BG=4^x,

..•四边形屏’GE是正方形，

.•.DSGH=45",

：.DBGH=DBDG,

:地DBG=»GBH,

：.ABGHS/XBDG,

,BG_BD

,•丽苑’

.V17x_46X

•••=3H=4亚尤-2叵=电红

21

15®x

.也=z§z上

"BH1717

8

故选：D.

11.（24-25九年级上•河北秦皇岛•期中）如图，菱形/BCD中，EFL/C于点分别交AD及C2的延

长线交于点E、F,且也:骸=1:2,则的值为.

【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，连接B。，证明ANEGSAB/G,求出券的值,

BCJ

A4F

平行线分线段成比例，得到臂的值，进而得到会的值，证明列出比例式进行求解即可.

DEBC

解：连接设EF,AB交于点、G,

・・,四边形485是菱形，

AD//BC.AD=BC,BD1AC,

・•・AAEGS^BFG,

,AG_AE_1

••茄一万-5'

・・・EFLAC,

：.EF//BD,

.AEAG

•"DE~BG~2’

,AE

"AD~3f

BC=AD=3AE,

丁AE:FB=1:2,

：.BF=2AE,

22

・•・CF=BF+BC=5AE,

丁AD〃BC,

AHESRHF,

：.AH-,HC=AE-.CF=^-

故答案为：—

12.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，两个同心圆，已知/B=2,8c=10,/X=3,求X7=.

【分析】本题考查圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，连接RT,CY,证明△NFCs/X/BX,

AVAC

得出受=土，将数据代入求出结果即可•解题的关键是掌握：相似三角形的判定与性质•

ABAX

解：如图，连接CY,

•・•四边形6CIT内接于小圆，

JZAYC=/ABX,

又•・•N4=N4,

・•・AAYC^AABX,

.AYAC

••商一U’

*.*AB=2,BC—10,AX=3,

AC=AB+BC=\2,AY=AX+XY=3+XY,

.3+XF12

••二,

23

解得：XY=5.

23

【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似

13.（23-24九年级上•浙江•期末）如图，已知菱形/BCD的面积是24,£,歹分别是菱形/8Q5的边8C,CD

的中点，连结/E,BF,/£与B尸交于点G,贝！U8EG的面积为（）

【答案】A

【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键

是正确的作出辅助线，技巧性较强.

延长8尸交延长线于点M,则也△CBb,证明VBEGsVAMG,即可得出

BE-.AM=GE:AG=1:4,根据菱形/BCD的面积，求出的面积，然后可得出ABEG的面积.

解：如图，延长8尸交/。延长线于点

:点尸是边CD的中点，

Z.DF=CF,

•.•四边形/BCO是菱形，

二AD//BC,

：.ZFBC=ZM,ZC=ZFDM,

^DMF^CBF(AAS),

：.DM=BC=AD,

'：AD//BC,

：.NBEG^NMAG,

又：点E是8c中点，

BE-.AM=GE\AG,

24

SBGE''S"ABE=EG:AE=1:5,

:菱形NBC。的面积为24,

“BE的面积为6,

的面积为t，

故选：A.

14.（24-25九年级上•安徽安庆•阶段练习）如图，矩形A8C。的边长/3=2,40=3,£为AB的中点，F

在边8c上，且BF=2FC,4尸分别与Z）E、相交于点M,N,则的长为（）

.272Q472r3V2n9V2

55420

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，全都三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质

可得"DE知BGE（AAS）,进而得到BG=4D=3,即得尸G=3G+B尸=5,再由△4QNs△五5N和

△/"^△人^求出力乂即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

解：如图，延迟。以相交于点G,

・・•四边形45C。是矩形，

ZABC=90°fAD//BC,BC=AD=3,

：.AD\\CG,

ZADE=ZBGE,ZDAE=AGBE,

•・・E为45的中点，

・•・AE=BE,

：.△40£23G£（AAS）,

・・・BG=AD=3,

•；BF=2FC,

：.BF=-BC=2,

3

25

FG=BG+BF=3+2=5,AF=>JAB2+BF2=VF+27=272，

・・・AD\\CG,

：.小ADNs^FBN,AADMSAFGM,

,ANADAM_AD

•.FN-FB'FM~FG"

•AN__3____A_M______3

,,2yli-AN~2'242-AM~5'

解得/N=E^,AM=—,

54

加,…6723A/2972

••MN—AN—AM=-------------,

5420

故选：D.

15.（24-25九年级上•山西•期中）如图，在正方形/BCD中，点£是CD的中点，点厂是4D的中点，BE

与CF相交于点G,设AB=a.得到以下结论：①BE1CF；②AG=a；③AGMCG;④〃G£=45。.则

上述结论正确的是（）

B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形，解题的关键是

理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线.分析先证明尸名△BCE,可得到NCEB=NCFD,继而证

得/EGC=90。，故①正确；延长CF交A4延长线于点M,再证明△CF。和可得CD=M4=/8=a,

由8GLCF,根据NG为放AMGB斜边3M上的中线，是斜边的一半，即可得：AG=-BM=-x2a=a,

22

故②正确；由勾股定理和面积可得：AG=4SCG，故③正确；在放ACEG中，由CG=4^a,CF=ga及

52

26

勾股定理得到GE=2a,过点。作ZWLC厂交CF于点从而构造相似，即可求出/"GD=45。，从

10

而得到NDGE=45。，故④正确；即可得出结论.

解：,••四边形/BCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,ZABC=ZBCD=ZCDA=/DAB=90°,

•••点E是中点，点尸是/。中点，

CE=DE=-DC,DF=AF=-AD

22f

:.CE=DF,

在vcnp和中，

CE=DF

•-<ZD=ZBCD,

CD=BC

：ACDF%BCE（SAS）,

:"CEB=/CFD,

・.・ZDCF+ZCFD=180。—NCDA=180°-90°=90S

ZDCF+/CEB=90。,

BE1CF,

故①正确；

如图所示，延长CF交A4延长线于点M,

ZD=ZFAM

•「＜DF=AF

ZCFD=ZAFM

:.^CFD^MFA（ASA）,

:.CD=MA=AB=a,

BM=2a,

27

•••BG1CF,

厂.4G为及△MG5斜边上的中线，是斜边的一半,

即AG=—BM=—x2a=a,

22

故②正确；

•/CG1BE,

:.S^BCE=^CGXBE=^CEXBC=/32，

BE=^CE2+BC2=+/=ga，

£2

“CExBC2aV5

BE455

----Q

2

AG=a=V5CG,

故③正确；

过点。作。H，CF交CF于点H,

由题意可知MGEsACHD,B.CE=-CD,

2

/.GE=-DH,CG=-CH

22

CG

2

--a

且

CG5

-1旦

-

2CG5

i

w

28

5L-：GE=-DH,

2

,八〃V5

..DH——Q，

5

・・•DH=HG,

/.ZHGD=45°,

又・.・CF±BE,

:./EGH=90。,

ZDGE=ZEGH-ZHGD=4£,

故④正确；

16.（2025九年级下•全国•专题练习）如图，已知O。的直径48=10cm,MN为。。的切线，E为切点,

则A,B两点到MN的距离之和等于cm.

【分析】连接OE,延长/E交助的延长线于点尸，根据平行线分线段成比例得出2£=跖，进而证明

△4EC名AFED(AAS)得出NC=FD,则A,8两点到MV的距离之和为8尸，进而证明得

出BF=2OE=IQ,即可求解.

解：如图所示，连接OE,延长NE交8。的延长线于点尸，

为。。的切线,

J.OELMN,

29

•/ACLMN,BDLMN,

：.AC//OE//BD

,AO_AE

'：AO=OB,

AE=EF,

AAEC=ZFED,/ACE=ZFDE=90°

"EC%FED(AAS)

：.AC=FD

：.AC+BD=DF+BD=BF

OE//FB

：.AAOEsA&BF

----=-----=2,即BF=7.0E=10,

OEAO

.,.A,8两点到MN的距离之和等于10

故答案为：10.

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，切线的

性质；熟练掌握以上知识是解题的关键.

【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似

17（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在Rt2\48C中，ZC=90°,AC=BC,D是4B边上一点,且

BD=1AD,£是/C边上的动点，过点。作。E的垂线交线段3c于点凡试探究线段/E,BF,4B之

间的数量关系.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的

性质，正确地画出图形作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键.

过点。分别作DNL/C于点MDHLBC于点H,得A/DN和AADH是等腰直角三角形，进而可证

AADNS^BDH,AEDHSAFDH即可解答.

30

解：如解图，过点。分别作。NL/C于点N,DHLBC于点H,

vZC=90°,AC=BC,

N4=/B=45。，

•・,DN_LAC,DHIBC,

・・・和△友汨是等腰直角三角形，

AN=DN,DH=BH,AD=41AN，BD=6BH，"=/B=45。=/ADN=/BDH,

/.AADNS^BDH,

.ANAD_DN

一丽一茄一方—5'

设AN=DN=x,贝lj8H=0H=2x,

AD=y/2x，BD=2A/2X，

AB=3缶，

♦:DN_LAC,DH1BC,ZACB=90°f

••・四边形。"CN是矩形，

，ZNDH=900=ZEDF,

，ZEDN=ZFDH,

又丁ZEND=ZFHD,

「•AEDHS^DH,

.EN_DN

''丽一而一'，

・•.FH=2NE,

ii

AE+—BF=x+NE+—(2x—FH、=2x=JAB.

22V73

18.(23-24九年级下•河北邯郸•期中)如图，在RtaZBC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,将直角三角板您方

的直