苏科版九年级数学下册 第7章《三角函数实际应用》题型专练【含答案】

专题03三角函数实际应用（四大类型）

观型捏的

【题型1解直角三角形的应用】

【题型2解直角三角形的应用一坡度坡角】

【题型3解直角三角形的应用一仰角俯角问题】

【题型4解直角三角形应用一方向角问题】

【题型1解直角三角形的应用】

1.如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿/C

修了一条近路，已知N3=80米，新修小路与48的夹角/C4B为40。，则走这条近路/C的

长可以表示为（）米.

QQ80

A.80sin40°B.80cos40°C.----------D.---------

sin40°cos40°

2.2022年12月4日晚，神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，标志着我国空间站运营常

态化，也意味着我国是当今世界上唯一拥有独立建设空间站能力的国家，也预示着中国载人

航天再上新的台阶，如图是神舟十四号载人飞船返回舱在降落过程中某时刻的画面，若伞绳

OA=OB=50^,ZABO=a,则点。到A8的距离OC为。

50、“

C.50tana米D.--米

sma

3.如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶3处，缆车索道与水平线所

成的若山的高度5C=800米，则缆车索道45的长为（）

米米"米800米

A.800sinaB.800cosaC.3D.

smacosa

4.如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，ZArOBr=56Q,

44'=85'=20厘米,则内槽宽48的长为（）

一2020

A.2即28。厘米B.百厘米C2。网28。厘米D.百厘米

5.一个住宅区的配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则配电房房顶离地面的高

度为（）

1O1o

A.(1.8tana+2.5)mB.(—:—+2.5)mC.(1.8sina+2.5)mD.(—+2.5)m

tanasina

6.如图，。为“3C边AS上一点，且8D=2,AD=\,AA=45°,ZCDB=60°,CE1AB

于点£,则线段BE的长为（）

A.46B.82C.3D.V3+1

22

7.如图，大树48垂直于地面，为测树高，小明在。处测得乙4。3=30。，他沿3C方向走

了16米，到达C处，测得NACB=15°,则大树的高度为（）

C.10米D.20米

8.如图，某超市电梯的截面图中，48的长为15米，48与4c的夹角为a,则高3。是（）

B.15cos。米

C.旦米15、，,

D.-------米

smacosa

9.在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3,测得斜坡的倾斜角为27。，则斜坡上相邻

两棵树的水平距离是（)

3

A.3sin27°B.3cos27°C.-------rD.3tan27°

sin27

10.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根/到刮断点尸的长度是4m,折断部分尸8与地

面成40。的夹角，那么原来树的长度是（）.

44

A.4H----------r米B.4H---------r米C.4+4sin40。米D.4+4c。心0°米

cos40sm40

【题型2解直角三角形的应用一坡度坡角】

11.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30。的斜坡，从/滑行至2,已知NB=100m,则

这名滑雪运动员的高度下降了米.

12.如图是拦水坝的横断面，斜坡48的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2,则斜坡的

长为米.

13.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,AC=3石米，坡顶有一旗杆BC,

旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为.

14.如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高4gm，斜坡48的坡比

4=1:2,斜坡的坡比z；=1:3,

(1)求坝底宽/。的长

(2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？

15.为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学

同时从南坡山脚B处出发，如图所示.已知小山北坡长为240米，坡度z=l：G，南坡的坡

脚是45。.(出发点8和C在同一水平高度，将山路43、4C看成线段)

(1)求小山南坡48的长;

⑵如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶4求小强攀登的速

度.(结果保留根号)

16.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性.工人师傅欲减少传

送带与地面的夹角，使其由31。改为22。，已知原传送带长为5米.（参考数据：

⑴求新传送带NC的长度;

（2）如果需要在货物着地点C的正前方留出1米的通道，试判断距离B点3米的货物0P

是否需要挪走.并说明理由.

17.周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一.如图，某个周末小张

同学从大蜀山西坡沿坡角为37。的山坡爬了280米，到达点£处，紧接着沿坡角为45。的山

坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度.（结果精确到个位，参考数据：

V2»1.414,V3»1.732,sin37°«0.6,cos37°®0.8,tan37°®0.75.）

18.速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形3CDG是某速滑场馆建造的滑台，已

知CD〃EG,滑台的高DG为6米，且坡面的坡度为1:1,为了提高安全性，决定降低

343

坡度，改造后的新坡面的坡度NC/G=37。.（参考数据：sin37°«-,cos37°«-,tan37°«-）

554

G

(1)求新坡面/c的长;

(2)原坡面底部3G的正前方10米处(£8=10米)是护墙E尸，为保证安全，体育管理部门

规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由.

(2023•兴安盟模拟)

19.图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员

的小腿与斜坡43垂直，大腿E尸与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线

且头部到斜坡的距离GD为1.04m,上身与大腿夹角/GEE=53。，膝盖与滑雪板后端的距离

EN长为0.8m,NEMD=30°.

(1)求此滑雪运动员的小腿助的长度;

434

(2)求此运动员的身高.(参考数据：sin53°»y,cos53°«-,tan53°«j

(2023春•金华月考)

20.如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲

山上A点到河边C的距离/C=130米，点A到CD的垂直高度为120米；乙山8。的坡比为

4:3,乙山上3点到河边。的距离助=450米，从B处看A处的俯角为25。(参考值：

sin25°a0.423，cos25°®0.906，tan25°»0.466)

(1)求乙山3处到河边CD的垂直距离;

（2）求河CD的宽度.（结果保留整数）

【题型3解直角三角形的应用一仰角俯角问题】

（2023•杏花岭区校级模拟）

21.如图，从热气球。上测得两建筑物/、8底部的俯角分别为29.5。和45。，如果这时气球

的高度CA为100米，则建筑物48之间的距离为（结果精确到1米）.[参考数据：

sin29.5°~0.49,cos29.5°~0.87,tan29.5°~0.57]

（2023•岱岳区二模）

22.如图，山顶上有一个信号塔NC,已知山高8=75米，在山脚下点3处测得塔底C的

仰角/C8O=36.9。，塔顶/的仰角人乙48。=42.0。，则山信号塔ZC=（点C,

。在同一条竖直线上）.（参考数据：tan36.9°«0.75,sin36.9°»0.60,tan42.0°«0.90.）

（2023•荆州）

23.如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部3的仰角为30。，底部C的俯角为60。，无人

机与旗杆的水平距离为6m,则该校的旗杆高约为m.（V3«1.73,结果精

确到0.1）

（2023•黄石港区校级模拟）

24.如图，一幢居民楼MN临近斜坡/尸，斜坡/P的坡度为i=l:若，小生在距斜坡坡脚/

处测得楼顶M的仰角为60。，当从/处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶”的仰角刚

好为45。，点N、/、8在同一直线上，则该居民楼的高度为（结果保留根号）.

（2023•团风县模拟）

25.如图，一枚巡航导弹发射一段时间后，平行于地面飞行.当导弹到达A点时，从位于地

面C的雷达站测得ZC是400vlm，仰角是45。，Is后导弹到达3点，此时测得仰角是30。，

则这枚导弹从A到B的平均速度是m/s.

C

（2023•宝安区校级一模）

26.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图，张三同学在东门城墙上C处测得

塑像底部3处的俯角为11°48',测得塑像顶部/处的仰角为45。，点。在观测点C正下方

城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高约为一米（参考数据：tan78012%4.8）.

A

___45：X

-Cr

BD

（2023•河西区校级三模）

27.如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度已知测角仪的高度为1.6米，在水平

线九0＞上点M处测得建筑物最高点”的仰角为22。，沿MD方向前进24米，达到点N处,

测得点/的仰角为45。，求建筑物的高度（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°«0.37,

cos22°®0.93,tan22°®0.40,&a；1.41)

A

-o'

（2023•芙蓉区校级三模）

28.长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身.某校数学

社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在/处仰望塔顶，测得仰角为30。，

再往塔的方向前进104nl至2处，测得仰角为60。.（参考数据：百~1,7）

D

B

(1)求证：AB=DB；

（2）若学生的身高忽略不计，求该塔CD的高度？（结果精确到1m）

（2023•本溪二模）

29.某中学数学实践小组准备测量山顶信号塔N8的高度，如图，坡角/BCE的度数为45。，

山坡的海拔高度BE为200米，斜坡CP的坡度为1:2（即tana='）,沿斜从点C向上走100

2

米到P点处，在点P处测得塔尖/的仰角为37。，点/、B、E、C、尸在同一平面内，求塔

高4B（结果保留整数，参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80,tan37°=0.75,6=2.236）.

【题型4解直角三角形应用一方向角问题】

（2023•宁南县校级模拟）

30.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30。方向

航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67。方向上的3处，此时与灯塔P的距离约为（）

343

（参考数据：sin37°«—,cos37°«—,tan37°«—）

554

北

A.27海里B.50海里C.75海里D.156海里

（2023春•大冶市期中）

31.如图是某区域的平面示意图，码头/在观测站3的正东方向，码头/的北偏西60。方向

上有一小岛C,小岛C在观测站8的北偏西15。方向上，码头/到小岛C的距离/C为（G+1）

海里.观测站8到NC的距离3P是（）

V3+1

C.2D.

2

（2023•柳南区二模）

32.如图，某海防哨所。发现在它的西北方向距离哨所400e米的A处有一艘船向正东方

向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时OB为米.

（2023•龙凤区校级模拟）

33.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔尸的距离为30海里的/处，轮

船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的B处，则此时轮船所

在位置B处与灯塔P之间的距离为.

（2022秋•丛台区校级期末）

34.在一次海上救援中，两艘专业救助船A、8同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此

时救助船3在A的正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船B的西

南方向上，且事故渔船尸与救助船A相距60海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船尸与救助船B之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船A、B分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故

渔船尸处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

（2023•邵阳模拟）

35.如图，某湖心岛上有一亭子A,在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树8,在这个湖心

岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45。方向上，测得树3在北偏东36。方向上，又测得3、C

之间的距离等于200米，求树到亭子的距离（结果精确到1米）.（参考数据：0‘1.414,

sin36°®0.588,cos36°«0.809,tan36°®0.727,cot36°®1.376）

（2023•东明县三模）

36.某海域有一小岛尸，在以P为圆心，半径r为1。（3+6）海里的圆形海域内有暗礁.一

海监船自西向东航行，它在/处测得小岛尸位于北偏东60。的方向上，当海监船行驶20店海

里后到达3处，此时观测小岛P位于B处北偏东45。方向上.

北小岛

北

海监曹//乙——东

(1)求4、尸之间的距离4P；

(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.

(2023•鹤峰县一模)

37.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60的即三m/s),交通管

理部门在离该公路100加处设置了一速度检测点4在如图所示的坐标系中，/位于y轴上,

测速路段3C在x轴上，点8在/的北偏西60。方向上，点C在点/的北偏东45。方向上.

(1)在图中直接标出表示60。和45。的角；

⑵写出点8、点C坐标；

(3)一辆汽车从点8匀速行驶到点C所用时间为15s.请你通过计算，判断该汽车在这段限

速路上是否超速？(本小问中行取1.7)

Mv/m

B_________Cr

■^7、O/7~x/m

、、、z

4(0,-100)

(2022•乌兰浩特市模拟)

38.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在/处测得

灯塔P在北偏东60。方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30。方向

上.

⑴求的度数；

(2)己知在灯塔尸的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全?

参考答案:

1.D

【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】解：由题意，在必“3C中，45=80米，ACAB=40°,AABC=90°,

：.cos40。=——,

AC

：./C=80米,

cos40°

故选：D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的定义是解答的关键.

2.A

【分析】此题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，掌握正弦函数公式是解决

此题的关键.直接利用正弦函数进行解答即可.

【详解】解：：GM=OB=50米，ZABO=a,OCLAB,

oc

sma=----,

OB

OC=OB-sincr=50sina（米），

即点O到AB的距离。。为50sina米.

故选：A.

3.C

【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论.

【详解】解：在Rt“BC中，

vZACB=90°fABAC=a,

sinasina

故选：c.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用直角三角形的边角关系列出关系式是解

题的关键.

4.A

【分析】根据等腰三角形的性质得到=20=10（厘米），ZAOB=ZA'OB'=56°,过

点。作于。，解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：•.•44'=B9=20厘米，点。是两根钢条的中点，

.­.0^=05=1x20=10（厘米），

ZA'OB'=56°,

ZAOB=NA'OB'=56°,

过点。作于。，

AB=2AD,ZAOD=-ZAOB=28°,

2

AD=OA-sin28°=10sin280,

内槽宽48的长为20sin28。厘米,

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的

关键.

5.A

【分析】过点C作CD，48于点。，根据轴对称可知，/C=BC,根据等腰三角形的性质

得出AD=8D=gN8=1.8(m),利用三角函数求出CD=1.8tana,最后表示出配电房房顶

离地面的高度即可.

【详解】解：过点C作CDLZ3于点D,如图所示:

根据图形可知,45=3+2x0.3=3.6,

根据轴对称可知，AC=BC,

AD=BD=^AB=l.8(m),

・・•/CAD=a,

CDCD

tana

~ADTF

CD=1.8tana,

，配电房房顶离地面的高度为(L8tana+2.5)m,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出

CD=1.8tana.

6.C

【分析】设=则DE=2-x,AE=AD+DE=\+?.-x=3-x,根据等腰三角形的判定

I-3—x

得出CE=/E=3-x,根据三角函数得出6=:三，求出x的值即可.

2-x

【详解】解：没BE=x,则。E=2—x,AE=AD+DE=1+2-x=3-x,

丁CE1AB,

：.ZAEC=90°,

・・・N4=45°,

・・・乙4。£=90。—45。=45。，

/.NACE=ZA,

：.CE=AE=3—x,

CE

*.*tan/CDE=,

DE

3—x

・・・tan60°=——,

2-x

即回m，

2—x

解得：尤=三8,故c正确.

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角函数的应用，解题的

关键是根据三角函数列出方程，准确解方程.

7.B

【分析】根据403=30。，4c8=15°即可得到/白。=//。。=15。，再根据直角三角形

中30。角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；

【详解】解：■:ZADB=30。,4cB=15。，

/CAD=ZACD=15°,

DC=16米,

ZD=16米,

'：ZADB=30°,/B垂直于地面，

/8=1AD=8米，

2

故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内外角关系及直角三角形中30。角所对直角边等

于斜边一半，解题的关键是得到等腰三角形.

8.A

【分析】直接根据//的正弦即可得到结论.

【详解】解：在Rt«48c中，sina=,

AB

AB的长为15米，

BC=15sin«米，

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键.

9.B

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是

解题的关键；

根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；

【详解】解：如图，过点A作4818c于B,

：.NABC=90°,cosNBAC=—,

AC

・.,4C=3,/A4C=27。，

AB=ACcosABAC=3cos27°；

故选：B.

10.B

【分析】原来树的长度是CPB+PA）的长.已知了我的值，可在放△处台中，根据NPA4

的度数，通过解直角三角形求出网的长.

【详解】解：中,NPB4=40°,X4=4；

4

PB=7^4^-sin40°=------r;

sin40

4

・・・P4+尸5=4+1——7.

sin40

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形的边角关系进行求

解是解题的关键.

11.50

【分析】过点/作于点。，根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，过点4作4OLAD于点

A

根据题意得：N8=30。，

'：AD±BD,43=100m,

AD=g/8=50米，

即这名滑雪运动员的高度下降了50米.

故答案为：50.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30。角所对的直角边

等于斜边的一半是解题的关键.

12.675

【分析】先根据坡度的定义得出8E的长，进而利用勾股定理得出的长.

1

【详解】在RtZUBC中，,；，=——=一，/C=12米，

AC2

：.BC=6米，

根据勾股定理得：ABZACLBCZ=6亚米,

故答案为：6A/5

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，难度适中.根据坡度

的定义求出BC的长是解题的关键.

13.5米

【分析】试题分析：设CD=x,则AD=2x,根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC

的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长.

【详解】设CD=x,贝!|AD=2x,

由勾股定理可得，AC=J/+（2X）2=后,

：AC=3右米，

:.V5X=3y/5，

x=3（米），

.*.CD=3米，

；.AD=2x3=6米，

在RtZ\ABD中，BD=7102-62=8（米），

ABC=8-3=5（米）.

故答案为5米.

14.（1）^0=3+2073

（2）600073+60000（立方米）

【分析】（1）根据题意可得：BE1AD,CFLAD,BE=CF=46m，BC=EF=3m,

然后根据已知易得/E=86m,。尸=12晶从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答;

（2）先求出梯形/BCD的面积，然后再求出修筑这个堤坝需要的土方，即可解答.

【详解】（1）解：由题意可得：BE±AD,CFLAD,BE=CF=4也,mBC=EF=3m,

•斜坡48的坡比4=1：2,斜坡CD的坡比=1：3.

,BE_1CF_1

-2'DF-3"

AE=2BE=^[3m,DF=3CF=V2@m,

:.AD=AE+EF+DF=873+3+1273[20>/3+3)m,

；•坝底宽AD的长为(2073+3)m；

(2)vSC=3m,AD=(2(x/J+3)m,BE=4#)m,

：.梯形ABCD的面积=+BC).BE=1x(20V3+3+3)x=(120+12V3)m2,

...修筑这个堤坝需要土方=500x(120+126)=(60000+6000/3)小，

...修筑这个堤坝需要土方(60000+60006)m3立方米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

15.(1)1200米

(2)12&米

【分析】(1)过/作4D/BC,垂足为。，在朋A/CD中，先求出/C的度数，然后利用

含30。角的直角三角形的性质可得/。=120米，在中，利用锐角三角函数的定义求

出的长，即可解答；

(2)利用(1)的结论，根据路程，速度，时间之间的关系，列方程计算即可.

【详解】(1)解：如下图，过/作/D/8C,垂足为D,

在比中,

i=tanC=1:6，

/.ZC=30°,

.「AD

•「sinC=-----,

AC

AD=ACxsinC=240x-=120（米），

2

在比皿中，

,nAD

smB=---,

AB

An

AB=---------=120夜（米）

sin45°

「•小山南坡45的长为120Vl米；

（2）设小强登山的速度为x米/分，根据题意，得：2"=电1,

24x

解得：x=12后，

小强登山的速度为12亚米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，分式方程，根据题目的已知条件

并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

16.⑴黑米;

（2）距离B点3米的货物"N0尸需要挪走，理由见解析.

【分析】(1)过/作于〃点，先求出,进而在RtA/S,求出/C即可;

(2)先求出8H,然后求出CH,然后判断。尸与1的关系即可.

【详解】(1)解：过/作NHLCS于〃点，如图所示，

在Rtz\48//,AH=^SxsinSl0«5x一=一米,

255

在RtA/CH,NC=/〃+sin22aUx»=吧米;

5315

(2)解：需要挪走，理由如下：

,13313,

在RtA4BH，BH=AH+tan31°®——=—米，

553

13213513

在Rt^ACH，CH=AH+tan22°®—；—=—x—=—米，

55522

13135

贝UCP=P3+8〃-C〃=3+--------=y1米，

326

所以距离B点3米的货物"N0尸需要挪走.

【点睛】本题考查了坡度坡角问题，尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形

问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时，先求

出公共边的长是解答此类题的基本思路.

17.281米

【分析】过点A作4D13C于。，过点E作E尸1/。于尸，EG_L3C于G,根据正弦的定

义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案.

【详解】解：过点A作/D/8C于。，过点E作所工4。于尸，£6,8。于6,则四边形

EG。月为矩形,

/.EG=FD,

AF

在RM/E5中，sinZAEF=——，

AE

则4F=4E-sin/AE^=160x80/1113.12（米），

2

EG

在Rt^EBG中，sinJ?=----,

BE

则EG=5E-sin5-280x0.6=168（米），

:.AD=AF+EG^U3.12+168^281.12«281（米），

答：大蜀山的高度约为281米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，将坡度坡角与三角函数的定

义结合并熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键.

18.（1）新坡面/C的长10米

（2）此次改造符合规定，理由见详解

【分析】（1）过C点作S,3G于〃点，证明四边形CDG"是矩形，即有CH=OG=6,

CH

根据/C=—=10,即可作答;

sinZCAGsin37°

（2）根据坡面8c的坡度为1:1,可得CH=BH=6,利用勾股定理/»=/石二杯=8，

即有/5=///-58=8-6=2,即可得/£=EB—A8=10-2=8,问题随之得解.

【详解】（1）过C点作CHLBG于〃点，如图,

根据题意有：DGLBG,DG=6,

'：CD//EG,CH1BG,

.••四边形czx汨是矩形，

...CH=DG=6,

CH

•.•新坡面的坡度/C/G=37。，sinZG4G=—

/iC/

：.AC=———=^^=10（米），

sinZCAGsin37°

答：新坡面4C的长10米；

（2）此次改造符合规定，理由如下：

・・•坡面8C的坡度为1:1,

CH=BH=6,

,：AC=10fCH=6,

•*-AH=4AC1-CH1=8，

：.AB=AH-BH=S-6=2,

9：EB=10,

：.AE=EB-AB=10-2=S（米），

・「AE=8>7,

•••此次改造符合规定.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解坡度的含义是解答本题的关键.

19.(l)0.4m

(2)1.68m

DEDE1

【分析】（1）在中，EM=0.8,AEMD=30°,sin30°=——=—=一，即可得

EM0.82

出DE；

GE0644

（2）由（1）得，ED=0.4m,则GE=0.64m,在RbGE尸中，tan53°=—=^~-,

EFEF3

GE0644

sin53°=—=^~解得G尸=0.8m,EF=0.48m,根据运动员的身高为GF+EF+DE

FGFG5

可得出答案.

【详解】（1）解：在RtZsEDM中，NEDM=90°,EM=0.8,AEMD=30°,

s3=需DE]_

0.82

：.ED=0A.

故滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m；

（2）由（1）得，ED=0.4m,工GE=GO—EQ=1.04—0.4=0.64m.

EF//AB,：./GEF=NEDB=90°.

在RMGEb中，/G£尸=90。，ZGFE=53°,GE=0.64m.

AsmZGFE=—f即：sin53°=^«-,

GFGF5

tan/GFE=处,即：tan53°=^«-,

EFEF3

解得G月=0.8m,EF=0.48m,

.•.运动员的身高为GF+M+ED70.8+0.48+0.4=1.68(m)

【点睛】本题考查解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答

本题的关键.

20.(1)360米

(2)195米

【分析】(1)过8作8尸，CD于点尸，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论；

(2)过/作/£_LCD于点E,过/作尸于点H则四边形/瓦7H为矩形，得

/7F=/E=120米，AH=EF,由锐角三角函数定义求出4H■的长，再由勾股定理求出CE的

长，即可解决问题.

【详解】(1)解：如图，过3作3尸，CD于点尸，

;乙山5。的坡比为4:3,

.BF4

••——9

DF3

设5尸二小米，贝方=3,米,

•*-BD=y/BF2+DF2=5t(米)，

又助=450米,

5t=450,

・•・%=90,

3尸=360米,

答：乙山8处到河边的垂直距离为360米；

(2)解：过/作/E_LCD于点£,过/作尸于点氏则四边形4EFH为矩形,

“尸=4E=120米，AH=EF,

BE=B尸-HF=360-120=240（米）,

,/从2处看/处的俯角为25。，

ABAH=25°,

BH

在RtAABH中，tanNBAH=——

AH

♦"=^35（米）,

AEF=AH«515（米）,

在Rt^/CE中，由勾股定理得：CE=y/AC2-AE2=V1302-1202=50（米），

由(1)可知，。尸=270米,

CD=EF-CE-DF=515-50-270=195（:米）,

答：河的宽度约为195米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾

股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

21.275米

【分析】根据平行线性质得出/C45=NEG4=29.5。，NB=/FCB=45°,根据CDLAB,CD=100

米，利用三角函数tam4=g=粤》0.57,等腰直角三角形性质得出BD=CD=100米，然

ADAD

后利用线段和差求即即可.

【详解】解：；EF〃曲

：.ZCAB=ZECA=29.5°,ZB=ZFCB=45°,

\'CD±AB,CD=100米，

.CD100…-…田

..taib4=-------------»0.57,5Z)=CZ)=100米，

ADAD

・,八100^25

0.5757

AB=AD+BD-175+100=275米.

故答案为275米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直角三角

形性质，线段和差，掌握解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直

角三角形性质，线段和差是解题关键.

22.15米

DC一

【分析】在RbBCZ)中，利用tan/CAD=-----,求出5。的长，再在Rt△皮14中，利用

BD

AJJ

tanAABD=——,求出4D的长，利用即可得解.

BD

【详解】解：由图可知：AD1BD,

DC75

在Rtz^CZ）中，tan/CBD=—,即：——»0.75,

BDBD

：.ADb100米；

在中，tanZ.ABD=,即：20.90,

BD100

J4。a90米,

AC=AD-CD=\5^z,

故答案为：15米.

【点睛】本题考查解直角三角形.熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键.

469

23.13.8##13-##—

513

【分析】解直角三角形，求得5。和CD的长，即可解答.

【详解】解：根据题意可得，

在RGADB中，—=tan30°=—,

AD3

:.BD=—AD,

3

在Rtz\4DC中，......-tan60°—,

AD

CDAD，

BC=BD+CD=—AD+y/3AD=巫N。213.8m,

33

故答案为：13.8.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长

特征，熟练解直角三角形是解题的关键.

24.（16用24）米##仅4+166）米

【分析】过点尸作尸于点E,PFLMN于点、F.由斜坡4P的坡度为i=1:。，可得

出NP4£=30。，结合题意即可得出尸E=8米，AE=AP-cosZPAE=8TH：.由所作辅助线

结合题意可知四边形E/WN为矩形，得出NF=EP,NE=PF.又易证是等腰直角

三角形，即可设尸尸=敏=加米，则MV=（加+8）米，乂4=（〃-8石）米.最后在Rt-4跖V中，

根据正切的定义可列出关于，〃的等式，解出机的值，即可求出MV的长.

【详解】解：如图，过点尸作尸于点PF1MN于点、F,

•・•山坡4尸的坡度为，=1：百=@,4P=16米，

3

NPAE=30°.

•：PE1BN,

1C

・•・尸£=54尸=8米，AE=AP.cosZPAE=16x三=8百米.

*：PFLMN,ZMPF=45°,

・•・4PMF是等腰直角三角形，

・•・PF=MF.

由所作辅助线结合题意可知四边形瓦小N为矩形，

：.NF=EP,NE=PF,

设尸尸二〃/7=加米，则MN=O+8)米，NA=(m-8C)米.

・・•在RQ/MV中，ZNAM=60°,

MNrr/Tm+8

AtanZA^M=tan60°=——，即J3=--------尸,

ANm-8V3

解得：m=16(\/3+1),

.-.ACV=16(V3+1)+8=(1675+米.

即该居民楼的高度为（16百+24）米,

故答案为：（16百+24）米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用.正确连接辅助线构造直角三角形是解题的

关键.

25.（40073-400）

【分析】过点C作。，N8于点D,根据题意可得/。。4=45。，ZDCB=60。,在RtA4CD

中，根据锐角三角函数求出的长，在RMBCD中，根据锐角三角函数求出。B的长,

从而得到NB=5。-，代入计算即可

【详解】过点C作CD，AB于点D,

由题意得：

48=90。—45。=45。，ZSCZ)=90°-30°=60°,

/y

・••在中，AD=ACsinZACD=40072xsin45°=40072x—=400(m)

2

CD=AC•cosZACD=400亚xcos45°=40072x—=400(m