相似三角形常见几何模型综合训练（7大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年四川中考数学复习专练（解析版）

重难点02相似三角形常见几何模型综合训练

明考情,知方向

中考数学中《相似三角形七大几何模型综合训练》部分主要考向分为七类：

一、“A”字型

二、“8”字型

三、反“A”字型

四、“k”字型

五、射影定理

六、“共边”模型

七、“十字架”模型

相似三角形是四川中考数学中常考的几何题型，很多考生往往不知道从哪里入手，本小节内容主要是

讲解相似三角形中常见的七大几何模型，引导学生进行分析，克服对几何题的恐惧。

重难点题型解读

考向一："A"字型

相似三角形几何模型之"A"字模型

6

已知DEIIBC,则AADE-AABC,比例线段:黑=笫=。,自啮

①直接求解：当题目中出现平行和现成的"A"字型时，我们可以利用求"A"字型的方法直接求解。

②间接求解：若题目中没有出现平行，则需要我们自己做辅助线求解。如图所示

1.（2022•四川巴中•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为AAOB的边上一点，AC:OC=1:2,

过C作CD〃03交AB于点。，C、。两点纵坐标分别为1、3,则3点的纵坐标为（）

【答案】C

【详解】解：

.AC__CD_

,•=，

AOOB

；AC:OC=1:2,

.AC_I

>•=—，

AO3

；C、。两点纵坐标分别为1、3,

CD=3—1=2,

•••2__一1，

OB3

解得：OB=6,

，3点的纵坐标为6,故C正确.

故答案为：6.

2.（2024•四川绵阳•三模）如图AABC中,tanZC=-,DE±AC,若CE=5,DE=1,且ABEC的面积

2

是4ADE面积的10倍，则BE的长度是（）

C.V5D.不

【答案】C

【详解】解：如图，作人AC于点R

^BF=x,贝UFC=2x,EF=CE—FC=5—2x,

DE±AC,BFJ.AC,

ZAED=ZAFB=90°,

又ZDAE=ZBAF,

AED^AFB,

DE_AE

,BF-AF'

1AE

xAE+5-2x

5-2x

AE=

x-l

.ABEC的面积是AADE面积的10倍,

:.-xECxBF=10x-xAExDE,

22

BP—x5x=10x—x-—―xl,

22x-1

整理得%2+3%-10=0,

解得玉=一5（舍），X2=2,

经检验，x=2是原方程的解，

/.BF=2,EF=5—2x2=1,

由勾股定理得BE=^EF2+BF2=Vf+22=A/5，

故选C.

3.（2024•四川宜宾•一模）如图，在矩形ABC。中，AC为对角线，点8关于AC的对称点为点E,连接AE,

CE,CE交AD于点八过点尸作共6人AC,垂足为G,过点G作GHL5C,垂足为点H,若AB=4,BC=8,

【答案】B

【详解】•••点B关于AC的对称点为点E,

ZACB=ZACE,

:四边形ABCD是矩形，

AAD//BC,ZABC^90°,

••^-ACB=Z.CAD,AC=\lAB~+BC2-45/5,

/.ZACE=ZCAD,

：.AF=CF,

△AB是等腰三角形，

FGAAC,

AAG=CG=-AC=2y/5ZCGF=ZCBA=9Q°,

29

,:ZACB=ZACEf

JjCGFsCBA,

.GFCG

,'AB-CB'

.GF_2y/5

••---=----,

48

・•・GF=5

GHLBC,

：.ZCHG=ZCBA=90°f

：.GH//AB,

;AG=CG,

・・・G”是AABC的中位线，

JGH=2,

,FG二小

故选：B.

4.（2024•四川成都•二模）如图,。，片分别是AABC的边AB,AC上的点，若NAZ>E=NC,AD=2,AC=4,

BC=6,则OE的长度为（）

A

BC

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】C

【详解】解：・・・NADE=NGNA=NA,

:.Z\ADE^/\ACB,

.ADDE日口2_。石

ACCB46

解得。石=3,

故选：C.

5.（2023•四川甘孜•中考真题）如图,在矩形ABCD中，AB=4,3C=6,点尸,。分别在AB和AC上，尸。〃8C,

M为P。上一点，且满足PM=2MQ.连接AM、DM,若=则AP的长为.

【答案】3

【详解】解：设AP的长为尤，

PQ//BC,

,APQsABC,

•AP=PQ

XVAB=4,BC=6,

3

尸。丁，

又•:PM=2MQ,

PM=x,MQ=—x,

PM=PA,

又；ZAPM=90°,

"PM是等腰直角三角形，

:•AMfx，ZPAM=45°,

ZDAM=45°,

又：MA=MD,

：.ZADM^ZDAM^45°,

：.Avn。是等腰直角三角形，

:.AD=0AM，即6=衣&尤，

「・尤=3,

・•・AP=3,

故答案为：3.

6.（2023•四川眉山•中考真题）如图，Z^ABC中，是中线，分别以点A,点B为圆心，大于;A8长为

半径作弧，两孤交于点M,N.直线MN交AB于点E.连接CE交AO于点R过点。作。G〃CE,交A8

于点G.若。G=2,则CP的长为.

【答案】|

【详解】解：由作图方法可知MN是线段AB的垂直平分线，

.•.点E是的中点，

CE是4ABC的中线，

又：AD是^ABC的中线，且AD与CE交于点E

.•.点厂是4ABC的重心，

/.CF=-CE,

3

,?DG//CE,

,BDGsBCE,

.CEBC、

DGBD

：.CE=2DG=4,

：.CF=-CE=-

33f

故答案为：g.

nA2

7.（2024•四川成都•二模）如图，以点。为位似中心，作四边形的位似图形已知二二二二,

AA5

若四边形ABC。的周长为8,则四边形AB'C'D'的周长为.

一

C

B'C

【答案】28

【详解】解：：黑=:，

AA5

.OA_2

"O47-7，

,/四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，

.•.四边形ABCDs四边形AB'CD',AB//AB，

：.^OAB-AOAB',

.ABOA2

"A'B'~OA'~1J

四边形ABC。的周长：四边形ABC'。'的周长=2:7,

•/四边形ABCD的周长是8,

.••四边形A'B'C'D的周长为28,

故答案为：28.

8.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,反比例函数y=*0）的图象经过

AN

点A、8及AC的中点轴，A3与y轴交于点N.则f的值为（）

【答案】B

【详解】解：作过A作BC的垂线垂足为。，BC与〉轴交于E点，如图,

在等腰三角形ABC中，ADJ.BC,。是BC中点,

设4哈I,小，力，

由BC中点为。，AB=AC,故等腰三角形ABC中,

**.BD=DC=a—b

,.—Z?,—,

♦AC的中点为M,

kk、

—+—

3a-b'3a-bk(a+b)'

：.Mab即

22、2，2ab,

7

3a-bk

由〃在反比例函数上得M

2'3a-b

2,

k(a+b)k

lab3a-b，

2

解得：b=-3af

由题可知，AD//NE,

.ANDEaa1

ABBDa—ba+3a4

故选：B.

9.（2024•四川绵阳•一模）如图，在AABC中，4。是高，E是AB上一点，CE交AD于点、F,且

AD:BD:CD:FD=12:5:3:4,贝Usin/BEC的值是.

【答案】~

65

【详解】解：如图，过点C作CHLA3于点”，过点/作歹G人AB于点G,

设2D=5x,则AD=12x,CD=3x,DF=4x,

AB=^AD2+BD2=13x-CF==5x，AF=AD-DF=8x,

VZAGF=ZADB=90°,NGAF=NDAB,

：.八AGFs^ADB,

.FGAFFG_8x

"AB?"~5x~13x9

.”40

..rG=—x,

13

VZB=ZB,NBHC=NBDA.

Z\BCH^^BAD,

.CHBCCH5x+13x

•.---=----,即Rn----=--------

ADBA12x13x

：.CH=—,

13

FG//CH,

：.Z\EFGS&ECH,

40x

MR即1^=四

ECCHEF+5x96x

IT

25x

~T'

10.（2024•四川成都•一模）如图，已知△ABC为等腰三角形,且AB=AC,延长AB至D,使得AB：BD=mn,

连接CD,E是BC边上的中点，连接AE,并延长AE交CD与点R连接阳，则3尸：FD=.

【详解】解：过点8作3//〃AF交CD于H,

:.二BDHs^ADF

.PHBDn

HFABm

VAB=AC,E1是5C边上的中点，

AELBC,

・・・川是线段5。的垂直平分线，

:.BF=CF,

VEF//BH,CE=EB,^BE=-CE

2

:・CEFsCBH,

.CFCECE1

2CE~2,

：.CF=-HF即C/=HF,

2f

CF：FD=m：(ni-\-n),

:・BF：FD=nk^m+ri).

故答案为：加:"+〃）.

RF

11.（2024•四川成都•二模）如图，在正方形"8,点E/在射线5c上，㈤「45。，则区最大值是

【答案】勺

【详解】解：过点石作£6，钻交AF于G,过点G作于H,如下图所示:

B

^&：BE=x,正方形ABC。的边长为a,——=k,其中％左>0,

EF

.EG.LAE,ZE4F=45°,

/.AE=EG,

・四边形ABC。为正方形，AB=a,

又？590?,

EG.LAE,GH1EF,

/B=ZAEG=ZEHG=90°,GH//AB,

/./BAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZHEG=90°,

:.NBAE=NHEG,

在AABE"和石"G中

ZBAE=ZHEG

<ZB=ZEHG=90°

AE=EG

.△ABE公AEHG(AAS),

AB=EH=a,BE=GH=x,

BH=BE+EH=x+a,

FB=FH+BH=FH+x+a,

GH//AB,

:.AFGHsAFAB,

:.GH:AB=FH:FB,

x:a=FH:(FH+x+a),

2

a-x

272

.口口a+aXX〃

..EF=FrHrj+,E77H17=----------+,a=--X---+-----,

a-xa-x

BEax—x27

•'«-----―-----7=k，

EFx2+a2

整理得：(l+^)x2—ax+ka1=0,

依题意得关于X的方程(1+%)炉-依+32=0有两个实数根

・••根的判别式△=(-4-40+9x^20

a>0,

■上式两边同时除以得:1-4左-4二20,

整理得：伏

k>0,

,1V2

/.kH—W，

22

.•・0〈左V史匚，

2

的最大值为受二，

2

・••黑的最大值为正二1.

EF2

故答案为：叵1.

考向二："8"字型

①对于平行（ABIIDE）类型的"8"字型模型：AABC—CDE比例关系：合=等=器；

CCUCUL

②对于非平行（ZB=ZE）类型的"8"字型模型：AABOACDE比例关系：?=2=缁

£/CC>tUCi

1.（2024•四川成都•中考真题）如图，在「ABC。中，按以下步骤作图：①以点8为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交BA,3c于点M,N；②分别以M,N为圆心，以大于;的长为半径作弧，两弧在—A3C

内交于点。；③作射线3。，交AD于点E,交CD延长线于点尸.若8=3,DE=2,下列结论错误的是

F

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

-BE5

C.DE=DFD.=—

EF3

【答案】D

【详解】解：由作图可知，所为-ABC的角平分,

：.ZABE=ZCBE,故A正确；

・・・四边形ABC。为平行四边形，

:.AD=BC,AB=CD,ADBC,

•・•AD//BC

：.ZAEB=ZCBE,

:.ZAEB=ZABE,

：.AE=AB=CD=3f

：.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确；

•；AB=CD,

ZABE=ZF,

•:ZAEB=ZDEF,

A/4EB^ADEF,

.BEABAE

・・而一而一而‘

.BE3_3

EF~DF~2"

BF3

笠=：,DF=2,故D错误；

EF2

,:DE=2,

ADE=DF,故C正确，

故选：D.

2.（2024•四川自贡•中考真题）如图，在矩形ABC。中，AF平分—R4C,将矩形沿直线石尸折叠，使点A,

5分别落在边A。、3C上的点A,?处，EF,A尸分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=S,则正的

长为（）

拒

5D.5

~2~

・•・AD//BC,

由折叠的性质得AE=AE,BF=B'F,四边形和四边形A0在都是矩形,

：.ABEFOB'

.AG_BF

••而一赤一‘

AG=OG,

•「AF平分/R4C,AB//GF,

：.ZGAF=ZBAF=ZGFA,

JAG=GF=GO,

i^AG=GF=GO=xf

VGH=2,HC=8,

*.HO=x-2,GC=8+2=10,

.*AE//FC,

\AEGsCFG,

.AEEGAGAEEGx

~~——,即Rn一=—二—①,

CFGFGCCFx10

：AA://FC,

AAXHSACFH,

:,脸=弥即奈=*②，

*.*AA!=2AE,

由①②得当=g,

OJ

解得x=W,则AG=GF=GO=W

33

20A/2

在RtZiCFG中，CF=yJCG2-FG2=

3

10

AEY

,20为一10，

3

.­.AE=^H,即

99

故答案为：A.

3.（2023•四川雅安•中考真题）如图，在（ABCD中，尸是AD上一点，CF交BD于点E,C厂的延长线交54

的延长线于点G,EF=1,EC=3,则G厂的长为（）

【答案】C

【详解】•••四边形AB。为平行四边形,

AB//CD,AB=CD,

.GFAGEGBG

*'FC-CD'EC-CD'

设Gb为x,

VEF=\,EC=3,

：.EG^l+x,BG=AG+CD,

T*l+x_AG+CJ|AG

4CD'3CDCD'

.l+xYX

..------=1+—,

34

即8-x=0,

得x=8,

GF=8.

故选：C.

4.（2023•四川内江•中考真题）如图，在VABC中，点。、E为边A3的三等分点，点工G在边BC上,

AC〃DG〃所，点X为AF与DG的交点.若AC=12,则。”的长为（）

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【详解】解：D、E为边的三等分点，EF〃DG〃AC,

:.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

:.AB=3BE,DH是△AEF的中位线，

:.DH=-EF,

2

EFAC,

ZBEF=ABAC,ZBFE=ZBCA,

:.ABEFs/xBAC,

EFBEEFBE

——=——,即nn一=,

ACAB123BE

解得：£F=4,

:.DH=-EF=-x4=2,

22

故选：C.

5.（2023•四川巴中•中考真题）如图，在RtZXABC中，AB=6cm,BC=8cm,D、£分别为AC、BC中点,

连接AE、3D相交于点F,点G在CD上，且DG：GC=1：2,则四边形DEEG的面积为（）

A

BEC

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

【答案】B

【详解】如图所示，连接OE,

故选：B.

6.（2022•四川攀枝花•中考真题）如图，在矩形A58中，AB=6,AD=4,点E、尸分别为BC、CD的中

点，BF、DE相交于点G,过点E作E"〃CD,交即于点X,则线段G8的长度是（）

5

D.

3

【答案】A

【详解】解析：四边形A5CD是矩形，AB=6,AD=4,

.\DC=AB=6,BC=AD=4,ZC=90°,

「点£、方分别为5C、CD的中点，

：.DF=CF=-DC=3,CE=BE=-BC=2,

22

EH//CD,

：.FH=BH,

BE=CE,

13

:.EH=-CF=-.

22

由勾股定理得：BF=VBC2+CF2=A/42+32=5^

：.BH=FH=-BF=-

22f

EH//CD,

:AHGADFG,

,EH_GH

,,而一商'

3

.3=GH

■"?~5「J

----Crrz

2

解得：GH=f,

6

故选：A.

7.（2024•四川泸州一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,b分别在边AO,AF,3E1相交于点

G,若AE=3ED,tan/OE4=2,则AG的长为（）

AED

11V5

A10V5R12括r11小

11111012

【答案】B

【详解】如图，延长交于点H,

・・•四边形ABC。是正方形，

ADBC,AD=BC=CD=4,ZADC=ZBCD=90°,

AE=3ED,

：.AE=3,ED=1^

VtanZDE4=2,

，辿=2,

DF

：.DF=2,

：.CF=CD—DF=4—2=2,

：.CF=DF,

9：ZBCD=90°,

：.ZHCF=90°,

：.ZADF=ZHCF=90°,

在AAD尸和HCF中,

ZADF=ZHCF

<DF=CF,

ZAFD=ZHFC

.•..(ASA),

:.CH=AD=4,AF=HFf

在&ADb中，由勾股定理得

AFNAIF+DF?='42+2?=2后，

/.HF=2百，

/.AH=AF+HF=445,

ADBC,

/.AEG-HBG,

.AEAG

,•丽一访‘

.3_AG

,,8-4A/5-AG，

..ACr=--------,

11

故选：B.

8.（2024•四川眉山•中考真题）如图，菱形ABC。的边长为6,ZBAD=12009过点。作交5。的

延长线于点E,连结AE分别交5Q,8于点尸，G,则FG的长为

【详解】解：,菱形ABCD的边长为6,ZBAD=120°,

：.AD=BC=CD=6,AD//BC,ZBCD=120°,

:.ZDCE=60°,

DE上BC,

../DEC=900,

在RtVOCE中，NCDE=90°—ZDCE=3。。，

:.CE=-CD=3,

2

/.DE=ylCD2-CE2=3A/3，

:.BE=BC+CE=9.

ADBE,

ZADE=180。—/DEC=90°,

22

在RtADE中,AE=y]DE+AD=小国+G=3币,

ADBE,

/.AFD^EFB,

.AFAD_6_2

'FE~BE~9~3"

.477_2_6a

..AF——AAEr——x3,7------,

555

AD//CE,

AAGD^AEGC,

AGAD6

----==—=2,

EGCE3

/.AG=2AE=^X3币=2币,

33

.”入厂。/76s4近

..FG=AG—AATF7=2y7-------=------.

55

故答案为：亚.

5

9.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,E、尸分别是边CZXAD上

的动点，且CE=L>F.当AE+CF的值最小时，则CE=

【答案】|2

【详解】解：延长BC,截取CG=CD,连接GE,AG,如图所示:

・・•四边形ABC。为平行四边形，

AAB=DC=2,AD=BC=4,AD//BC,

：.ZD=ZECG,

•:CD=CG,DF=CE,

:・-CDF'GCE,

:・CF=GE,

：.AE+CF=AE+EG,

・••当AE+EG最小时，AE+C尸最小，

•・,两点之间线段最短，

・••当A、E、G三点共线时，AE+EG最小，即AE+CF最小，且最小值为AG的长,

9：ADCG,

AAEDs/xGEC,

,ADDE2-CE

*~GC~~CE呜=CE

2

解得CE=§.

2

故答案为：—.

10.（2023•四川泸州•中考真题）如图，E,尸是正方形ABCD的边A5的三等分点，尸是对角线AC上的动

Ap

点，当尸石+小取得最小值时，克的值是

【详解】解：作点尸关于AC的对称点/，连接所'交AC于点P,过点尸作AO的垂线段，交AC于点K,

由题意得：此时「落在A。上，且根据对称的性质，当P点与严重合时尸E+尸尸取得最小值,

2

设正方形ABCD的边长为a,贝!|AF'=Ab，

「四边形45co是正方形,

:.ZF'AK=45°,ZP'AE=45°,ACfa

F'K_LAF',

:.NF'AK=NFKA=45。,

..„_272

..AK------a,

3

ZF'PK=ZEPA,

.-.^F'KP'^EAP',

F'KKP'c

/.------=------=2,

AEAPr

,APr=-AK=-y/2a

39f

:.CP=AC-AP=L@,

9

.”'_2

*cF-7?

AP7

•••当PE+尸尸取得最小值时，的值是为，，

9

故答案为：—.

考向三：反"A"字型

相似三角形几何模型之反"A"字模型（特点：共角）

①如图1所示：已知NAED=NACB,则AADEiABC，线段比例关系：器=*=奈

/1£JDG/1C

②如图2所示:已知NABD=NACB,贝必ABDSAACB,线段比例关系：*=霹=煞

DC/IC

③如图3所示：AADEJAABC,线段比例关系：竿=取=条

ALDJCI£5

1.（2024•四川内江•一模）如图，在矩形ABC。中，BC=6,DC=1,点。为对角线8。的中点，OE±BD,

交BC于点E,点尸是对角线30上的动点，尸E+尸C的最小值为（）

【答案】B

【详解】解:延长EO交AO于点尸，如图,

BD=YJBC2+CD2=2

丁点。为对角线50的中点,

BO=DO=\

'：OE±BD,

：./DOF=/BOE=90°,

又ADBC

：.ZODF=NOBE

：.ABOE2/\DOF,

：.DF=BE,OF=OE,即点尸在AD上，

连接尸C,交BD于点P,连接PE,

当点EP,C三点共线时，PE+PC的值最小，为CP的长,

,/NOBE=ZCBD,ZBOE=ZBCD=90°

:.BOEsBCD,

,BEBO

"BD~BC

BOBD1x2273

BC一瓦一丁

DF=^~

3

在RtZ^CD厂中,

PE+PC的最小值为:&T,

故选：B

2.（2024•四川巴中•二模）如图，在AABC中，点。，E分别在边A3,AC上，S.ZAED=ZB,则下列各

式中一定正确的是（）

B.AE.AC=AD.AB

C.ACAD^AEABD.AECE^AD-BD

【答案】B

【详解】解：ZAED=ZB,ZBAC^ZEAD,

：.ABACsLEAD,

故选：B.

3.（2024•四川自贡•一模）如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=60°,。是AC上一点，DEJ.AB于E,且

CD=2,DE=1,则3C的长为（）

A

CB

A.2B.173C.273D.4G

【答案】B

【详解】解：•・•在AABC中，ZC=90°,ZB=60°,

AZA=30°,

VCD=2,DE=1,

：.AD=2DE=2,

・・・AC=AD+OC=4，AE=dAl"DE2=5

VZA=ZA,ZDEA=ZC=90°,

:.八ABC^/\ADE,

.BCAC

•・法一瓦’

・B・C丁4⑻解得:BC4=J^3.

故选：B.

4.（2024•四川成都•一模）如图，矩形ABCZ）中，已知48=3,8。=6,石为4。边上一动点，将/睡沿BE边

翻折到,EBE.点A与点斤重合.连接ORCF.则。P+的最小值为.

【详解】解：在5C上取点G,使5G=1.5,连接FG,DG,

:翻折，

/.BF=AB=3,

又BC=6,

.BG1.51BF_31

**BF-T-2?BC-6-2?

.BGBF

•・而一拓’

又AFBG=NCBF,

/.一FBS,.CBF,

.GF_BF\

**CF-BC-2)

/.FG=-CF,

2

DF+=FC=DF+GFNDG,

2

当。、F、G三点共线时，DF+(/C最小，

2

在RtACDG中，CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90°,

/.DG=VCD2+CG2=,

2

即的。尸+[PC的最小值为亚.

22

故答案为：巫.

2

5.（2023•四川资阳•中考真题）如图，已知。的圆心。在AABC的边AC上，与AC相交于A、E两点,

且与边2C相切于点连结DE.

（1）若£4=BD,求证：A5是）。的切线；

（2）若CD=4,CE=2,求。的半径.

【答案】（1）见解析

（2）。的半径长为3

【详解】（1）证明：连接OD,则如=。4,

Z.OAD=Z.ODA,

：)0的圆心。在AC上，且与边BC相切于点。，

/.BCYOD,

/ODB=90。,

BA=BD,

/.ZBAD=ZBDA,

：.Z.OAB=AOAD+ZBAD=Z.ODA+ZBDA=ZODB=90°,

是，。的半径，且ABLOA,

.二AB是。的切线.

(2)解：VOD=OE,

：./ODE=NOED,

是。的直径，

/.ZADE=90°,

：.ZCAD+ZOED=90°,

,/ZCDE+/ODE=ZODC=90°,

:./CDE=/CAD,

*:zc=zc,

:.ACDE^Z\CAD,

.CDCE

••一,

CACD

•■CECA=CD2,

VCD=4,CE=2,OE=OA,

2（2+2OE）=42,

解得OE=3,

的半径长为3.

6.（2024•四川眉山•中考真题）如图，BE是1。的直径，点A在。上，点C在8E的延长线上，ZEAC=ZABC,

平分N54E交。于点O,连结OK.

⑴求证：C4是。的切线；

(2)当AC=8,CE=4时，求OE的长.

【答案】(1)见解析(2)6a

【详解】(1)证明：连接。4,

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABC=NBAO,

ZEAC=ZABC,

:.ZCAE=ZBAO,

:.ZCAE+ZOAE=90°,

:.ZOAC=90°,

Q4是：。的半径，

「.C4是।。的切线；

(2)解：.ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

/.AABC^AEAC,

ACCE

**BC-AC?

.8_4

••—―，

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

连接50,

AD平分Z&3，

\?BAD2EAD,

「•BD=DE，

BD=DE，

BE是C。的直径，

:.NBDE=90。,

:.DE=BD=—BE=6y/2.

2

7.（2024•四川雅安•中考真题）如图，是。的直径，点。是。上的一点，点尸是84延长线上的一点,

连接AC,ZPCA=ZB,

B

OD

⑴求证：PC是:。的切线；

(2)若sin/B=；,求证：AC=AP；

(3)若CD_LAB于。，B4=4,BD=6,求AD的长.

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶AD=2

【详解】(1)如图所示，连接OC,

•「A3是（：。的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZBCO+ZOCA=90°,

'：OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

・.•ZPCA=ZB,

；.ZPCA=/BCO,

o

：.ZPCA=ZOCA=90f

：.OCLPC,

・・・PC是。的切线；

（2）证明：VsinZB=-,

2

AZB=30°,

ZPCA=ZB=30°f

由（1）知NACB=90。，

・・・NC4B=60。，

JZP=ZCAB-ZPCA=30°,

・•・/PCA=NP,

：.AC=AP；

（3）设陋=x,

在RtZiACB中，CD±ABf

：.AB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90°

・・・ZB=ZACD

•・•ZBDC=ZADC=90°

：.ABDCs^CDA

,BDCD

**CD-AD

CD2=ADxBD=6x.

VZP=ZP,NPCA=ZB,

:..PAC^PCB,

.PA_pc

**PC-PB*

・•.PC2=PAPB=4（6+4+%）=4（10+x）,

在Rt^PCD中，由勾股定理得尸。2+co2=pc2,

即（4+%）2+6x=4（10+x）,整理得尤2+10%-24=0,

解得石=2,x2=—12（舍去）,

故AD=2.

8.（2024•四川资阳•中考真题）如图，已知A3是一。的直径，AC是。的弦，点。在W外，延长OC,

A5相交于点£,过点。作。尸，于点尸，交AC于点G,DG=DC.

⑴求证：DE是。的切线；

（2）若。的半径为6,点尸为线段Q4的中点，CE=8,求的长.

【答案】（1）见解析⑵3?9

【详解】（I）证明：连接OC,如图,

,DG=DC,

.\ZOAC=ZOCA,ZDGC=ZDCG,

ZAGF=ZDGC,

:.ZAGF=ZDCGf

又・DF1,AB,

:.ZAFG=90°,

/.ZOAC+ZAGF=180°-ZAFG=180。—90°=90°,

NOCD=NOC4+ZDCG=NOAC+ZAGF=90°,

二.DE是。的切线；

(2)解：如(1)图，NOCE=90。,

又'ZDFE=90°,ZOEC=ZDEF,

DFE^.OCE,

,PC_CE

,DF-FE，

」O的半径为6,CE=8,

,.OC=OB=OA=6f

:.OE2=OC2+CE2,即O石=162+82=10,

又一点厂为线段Q4的中点，

：.OF=-OA=-x6=3

22f

:.EF=OF+OE=3+10=13f

.6_8

,DF-13?

考向四："k〃字型

相似三角形几何模型之％"字模型（也称为"一线三等角"）在四川中考中常考直角型

①锐角型K字：已知N1=N2=N3贝MABCSACED,

证明：,「NACD=N2+NA,NACD=NI+NECD,zi=z2

/.zA=zECD

又•.N2=N3:.△ABCiCED。

②钝角型K字和直角型K字证明（同上）

结论：BCxCD=ABxED（即底“底=腰x腰）

1.（2023•四川南充•中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平

面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小

菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗

杆高度为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【详解】解：如图所示，

BCD

由图可知，AB±BD,CD上DE,CF.LBD

\?ABC?CDE90?.

丁根据镜面的反射性质，

JZACF=ZECF,

・•・90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

ABCjEDC,

AB_BC

DE~CD'

小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,

AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

.16-2

DE=8m.

故选：B.

2.（2024•四川达州•一模）如图，将矩形ABCD沿着G£、EC、G下翻折，使得点A、B、。都落在点。处，

且点G、。、。在同一条直线上，点E、O、F在另一条直线上.以下结论:①AAEGsADGb；®AB=y[2AD;

③SCOF=：SSG；@EF=3DF.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】解：由折叠的性质可得：NDGF=NOGF,ZAGE=ZOGE,

:.ZOGF+ZOGE=1NDGO+；ZAGO=|(ZDGO+ZAGO)=90°,

"?ZA=ZD=90°,

：.ZAEG+ZAGE=ZAGE+ZDGF=90°,

ZAEG=ZDGF,

△AEGs/iDGF,故①正确；

同理可得：.AEGsBCE,

.AGBE

・・瓦一拓’

设DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

AAD=BC=2a1AB=2b,

,a_b

•,g—五，

b=41a，

•••缥="=忘，即=故②正确；

AD2a

•：ND=NFOC=90。,/OCF=/DCG,

；.OCFs&DCG,

•£c^-m2_m2-W-i

SCDG[DC）IDCJ（AB）2，

,•sC0F=2sCDG,故③正确；

「OCFS&DCG,

.•.空=型=夜，

OFOC

DG=0OF=-JiDF,

OE=BE=b=^a=®DG=^x®DF=2DF，

：.EF=OE+EF=DF+2DF=3DF,故④正确；

综上所述，正确的有①②③④，共4个，

故选：D.

3.（2024•四川乐山•一模）如图所示，在边长为6的正方形A5C。中，£为CD上的点，/为BC的中点，过

点、尸作HF工EF交AB于点、H,点M,N分别是H尸和3斤的中点，若DE=2,则MN的长为（）

AD

D0NFC

998

BC

A.8-4-D.9-

【答案】A

【详解】解：在正方形正方形ABCD中，BC=CD=6,DE=2,

：.EC=CD—DE=4,

又♦../为的中点，

Z.BF=FC=-BC=3,

2

:.HF1EF,

：.NHFB+NEFC=90。,

XVZB=90°,

NBHF+NHFB=9Q。,

：./BHF=/CFE,

又：在正方形正方形ABCD中，ZB=ZC=90°,

/.ABHF^ACFE,

3

・普翁即:IBH

BH=-

4

又・・,点M,N分别是彼和5尸的中点,

199

MN=-BH=—x—=一

2248

故选A.

4.(2024•四川巴中•一模)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点。重合，顶

1oAn

点A、3恰好分别落在函数y=-上(％<0),>==(%>0)的图象上，则点的值为()

xxBO

【答案】A

【详解】解：过点A、3分别作ADJ_x轴，轴，垂足为。、E,

：.ZADO=ZBEO=9Q0

：.ZAOD+ZOAD=90°

19

点A在反比例函数y=-一（％<0）上，点3在y=-（x>0)±,

XX

・s_1V_9

,,dAAOD一不，,ABOE-T'

又「ZAOB=90°,

：.ZAOD-^