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文档简介
重难点02相似三角形常见几何模型综合训练
明考情,知方向
中考数学中《相似三角形七大几何模型综合训练》部分主要考向分为七类:
一、“A”字型
二、“8”字型
三、反“A”字型
四、“k”字型
五、射影定理
六、“共边”模型
七、“十字架”模型
相似三角形是四川中考数学中常考的几何题型,很多考生往往不知道从哪里入手,本小节内容主要是
讲解相似三角形中常见的七大几何模型,引导学生进行分析,克服对几何题的恐惧。
重难点题型解读
考向一:"A"字型
相似三角形几何模型之"A"字模型
6
已知DEIIBC,则AADE-AABC,比例线段:黑=笫=。,自啮
①直接求解:当题目中出现平行和现成的"A"字型时,我们可以利用求"A"字型的方法直接求解。
②间接求解:若题目中没有出现平行,则需要我们自己做辅助线求解。如图所示
1.(2022•四川巴中•中考真题)如图,在平面直角坐标系中,C为AAOB的边上一点,AC:OC=1:2,
过C作CD〃03交AB于点。,C、。两点纵坐标分别为1、3,则3点的纵坐标为()
【答案】C
【详解】解:
.AC__CD_
,•=,
AOOB
;AC:OC=1:2,
.AC_I
>•=—,
AO3
;C、。两点纵坐标分别为1、3,
CD=3—1=2,
•••2__一1,
OB3
解得:OB=6,
,3点的纵坐标为6,故C正确.
故答案为:6.
2.(2024•四川绵阳•三模)如图AABC中,tanZC=-,DE±AC,若CE=5,DE=1,且ABEC的面积
2
是4ADE面积的10倍,则BE的长度是()
C.V5D.不
【答案】C
【详解】解:如图,作人AC于点R
^BF=x,贝UFC=2x,EF=CE—FC=5—2x,
DE±AC,BFJ.AC,
ZAED=ZAFB=90°,
又ZDAE=ZBAF,
AED^AFB,
DE_AE
,BF-AF'
1AE
xAE+5-2x
5-2x
AE=
x-l
.ABEC的面积是AADE面积的10倍,
:.-xECxBF=10x-xAExDE,
22
BP—x5x=10x—x-—―xl,
22x-1
整理得%2+3%-10=0,
解得玉=一5(舍),X2=2,
经检验,x=2是原方程的解,
/.BF=2,EF=5—2x2=1,
由勾股定理得BE=^EF2+BF2=Vf+22=A/5,
故选C.
3.(2024•四川宜宾•一模)如图,在矩形ABC。中,AC为对角线,点8关于AC的对称点为点E,连接AE,
CE,CE交AD于点八过点尸作共6人AC,垂足为G,过点G作GHL5C,垂足为点H,若AB=4,BC=8,
【答案】B
【详解】•••点B关于AC的对称点为点E,
ZACB=ZACE,
:四边形ABCD是矩形,
AAD//BC,ZABC^90°,
••^-ACB=Z.CAD,AC=\lAB~+BC2-45/5,
/.ZACE=ZCAD,
:.AF=CF,
△AB是等腰三角形,
FGAAC,
AAG=CG=-AC=2y/5ZCGF=ZCBA=9Q°,
29
,:ZACB=ZACEf
JjCGFsCBA,
.GFCG
,'AB-CB'
.GF_2y/5
••---=----,
48
・•・GF=5
GHLBC,
:.ZCHG=ZCBA=90°f
:.GH//AB,
;AG=CG,
・・・G”是AABC的中位线,
JGH=2,
,FG二小
故选:B.
4.(2024•四川成都•二模)如图,。,片分别是AABC的边AB,AC上的点,若NAZ>E=NC,AD=2,AC=4,
BC=6,则OE的长度为()
A
BC
4
A.-B.2C.3D.4
3
【答案】C
【详解】解:・・・NADE=NGNA=NA,
:.Z\ADE^/\ACB,
.ADDE日口2_。石
ACCB46
解得。石=3,
故选:C.
5.(2023•四川甘孜•中考真题)如图,在矩形ABCD中,AB=4,3C=6,点尸,。分别在AB和AC上,尸。〃8C,
M为P。上一点,且满足PM=2MQ.连接AM、DM,若=则AP的长为.
【答案】3
【详解】解:设AP的长为尤,
PQ//BC,
,APQsABC,
•AP=PQ
XVAB=4,BC=6,
3
尸。丁,
又•:PM=2MQ,
PM=x,MQ=—x,
PM=PA,
又;ZAPM=90°,
"PM是等腰直角三角形,
:•AMfx,ZPAM=45°,
ZDAM=45°,
又:MA=MD,
:.ZADM^ZDAM^45°,
:.Avn。是等腰直角三角形,
:.AD=0AM,即6=衣&尤,
「・尤=3,
・•・AP=3,
故答案为:3.
6.(2023•四川眉山•中考真题)如图,Z^ABC中,是中线,分别以点A,点B为圆心,大于;A8长为
半径作弧,两孤交于点M,N.直线MN交AB于点E.连接CE交AO于点R过点。作。G〃CE,交A8
于点G.若。G=2,则CP的长为.
【答案】|
【详解】解:由作图方法可知MN是线段AB的垂直平分线,
.•.点E是的中点,
CE是4ABC的中线,
又:AD是^ABC的中线,且AD与CE交于点E
.•.点厂是4ABC的重心,
/.CF=-CE,
3
,?DG//CE,
,BDGsBCE,
.CEBC、
DGBD
:.CE=2DG=4,
:.CF=-CE=-
33f
故答案为:g.
nA2
7.(2024•四川成都•二模)如图,以点。为位似中心,作四边形的位似图形已知二二二二,
AA5
若四边形ABC。的周长为8,则四边形AB'C'D'的周长为.
一
C
B'C
【答案】28
【详解】解::黑=:,
AA5
.OA_2
"O47-7,
,/四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,
.•.四边形ABCDs四边形AB'CD',AB//AB,
:.^OAB-AOAB',
.ABOA2
"A'B'~OA'~1J
四边形ABC。的周长:四边形ABC'。'的周长=2:7,
•/四边形ABCD的周长是8,
.••四边形A'B'C'D的周长为28,
故答案为:28.
8.(2024•四川宜宾•中考真题)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=*0)的图象经过
AN
点A、8及AC的中点轴,A3与y轴交于点N.则f的值为()
【答案】B
【详解】解:作过A作BC的垂线垂足为。,BC与〉轴交于E点,如图,
在等腰三角形ABC中,ADJ.BC,。是BC中点,
设4哈I,小,力,
由BC中点为。,AB=AC,故等腰三角形ABC中,
**.BD=DC=a—b
,.—Z?,—,
♦AC的中点为M,
kk、
—+—
3a-b'3a-bk(a+b)'
:.Mab即
22、2,2ab,
7
3a-bk
由〃在反比例函数上得M
2'3a-b
2,
k(a+b)k
lab3a-b,
2
解得:b=-3af
由题可知,AD//NE,
.ANDEaa1
ABBDa—ba+3a4
故选:B.
9.(2024•四川绵阳•一模)如图,在AABC中,4。是高,E是AB上一点,CE交AD于点、F,且
AD:BD:CD:FD=12:5:3:4,贝Usin/BEC的值是.
【答案】~
65
【详解】解:如图,过点C作CHLA3于点”,过点/作歹G人AB于点G,
设2D=5x,则AD=12x,CD=3x,DF=4x,
AB=^AD2+BD2=13x-CF==5x,AF=AD-DF=8x,
VZAGF=ZADB=90°,NGAF=NDAB,
:.八AGFs^ADB,
.FGAFFG_8x
"AB?"~5x~13x9
.”40
..rG=—x,
13
VZB=ZB,NBHC=NBDA.
Z\BCH^^BAD,
.CHBCCH5x+13x
•.---=----,即Rn----=--------
ADBA12x13x
:.CH=—,
13
FG//CH,
:.Z\EFGS&ECH,
40x
MR即1^=四
ECCHEF+5x96x
IT
25x
~T'
10.(2024•四川成都•一模)如图,已知△ABC为等腰三角形,且AB=AC,延长AB至D,使得AB:BD=mn,
连接CD,E是BC边上的中点,连接AE,并延长AE交CD与点R连接阳,则3尸:FD=.
【详解】解:过点8作3//〃AF交CD于H,
:.二BDHs^ADF
.PHBDn
HFABm
VAB=AC,E1是5C边上的中点,
AELBC,
・・・川是线段5。的垂直平分线,
:.BF=CF,
VEF//BH,CE=EB,^BE=-CE
2
:・CEFsCBH,
.CFCECE1
2CE~2,
:.CF=-HF即C/=HF,
2f
CF:FD=m:(ni-\-n),
:・BF:FD=nk^m+ri).
故答案为:加:"+〃).
RF
11.(2024•四川成都•二模)如图,在正方形"8,点E/在射线5c上,㈤「45。,则区最大值是
【答案】勺
【详解】解:过点石作£6,钻交AF于G,过点G作于H,如下图所示:
B
^&:BE=x,正方形ABC。的边长为a,——=k,其中%左>0,
EF
.EG.LAE,ZE4F=45°,
/.AE=EG,
・四边形ABC。为正方形,AB=a,
又?590?,
EG.LAE,GH1EF,
/B=ZAEG=ZEHG=90°,GH//AB,
/./BAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZHEG=90°,
:.NBAE=NHEG,
在AABE"和石"G中
ZBAE=ZHEG
<ZB=ZEHG=90°
AE=EG
.△ABE公AEHG(AAS),
AB=EH=a,BE=GH=x,
BH=BE+EH=x+a,
FB=FH+BH=FH+x+a,
GH//AB,
:.AFGHsAFAB,
:.GH:AB=FH:FB,
x:a=FH:(FH+x+a),
2
a-x
272
.口口a+aXX〃
..EF=FrHrj+,E77H17=----------+,a=--X---+-----,
a-xa-x
BEax—x27
•'«-----―-----7=k,
EFx2+a2
整理得:(l+^)x2—ax+ka1=0,
依题意得关于X的方程(1+%)炉-依+32=0有两个实数根
・••根的判别式△=(-4-40+9x^20
a>0,
■上式两边同时除以得:1-4左-4二20,
整理得:伏
k>0,
,1V2
/.kH—W,
22
.•・0〈左V史匚,
2
的最大值为受二,
2
・••黑的最大值为正二1.
EF2
故答案为:叵1.
考向二:"8"字型
①对于平行(ABIIDE)类型的"8"字型模型:AABC—CDE比例关系:合=等=器;
CCUCUL
②对于非平行(ZB=ZE)类型的"8"字型模型:AABOACDE比例关系:?=2=缁
£/CC>tUCi
1.(2024•四川成都•中考真题)如图,在「ABC。中,按以下步骤作图:①以点8为圆心,以适当长为半径
作弧,分别交BA,3c于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于;的长为半径作弧,两弧在—A3C
内交于点。;③作射线3。,交AD于点E,交CD延长线于点尸.若8=3,DE=2,下列结论错误的是
F
A.ZABE=ZCBEB.BC=5
-BE5
C.DE=DFD.=—
EF3
【答案】D
【详解】解:由作图可知,所为-ABC的角平分,
:.ZABE=ZCBE,故A正确;
・・・四边形ABC。为平行四边形,
:.AD=BC,AB=CD,ADBC,
•・•AD//BC
:.ZAEB=ZCBE,
:.ZAEB=ZABE,
:.AE=AB=CD=3f
:.BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确;
•;AB=CD,
ZABE=ZF,
•:ZAEB=ZDEF,
A/4EB^ADEF,
.BEABAE
・・而一而一而‘
.BE3_3
EF~DF~2"
BF3
笠=:,DF=2,故D错误;
EF2
,:DE=2,
ADE=DF,故C正确,
故选:D.
2.(2024•四川自贡•中考真题)如图,在矩形ABC。中,AF平分—R4C,将矩形沿直线石尸折叠,使点A,
5分别落在边A。、3C上的点A,?处,EF,A尸分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=S,则正的
长为()
拒
5D.5
~2~
・•・AD//BC,
由折叠的性质得AE=AE,BF=B'F,四边形和四边形A0在都是矩形,
:.ABEFOB'
.AG_BF
••而一赤一‘
AG=OG,
•「AF平分/R4C,AB//GF,
:.ZGAF=ZBAF=ZGFA,
JAG=GF=GO,
i^AG=GF=GO=xf
VGH=2,HC=8,
*.HO=x-2,GC=8+2=10,
.*AE//FC,
\AEGsCFG,
.AEEGAGAEEGx
~~——,即Rn一=—二—①,
CFGFGCCFx10
:AA://FC,
AAXHSACFH,
:,脸=弥即奈=*②,
*.*AA!=2AE,
由①②得当=g,
OJ
解得x=W,则AG=GF=GO=W
33
20A/2
在RtZiCFG中,CF=yJCG2-FG2=
3
10
AEY
,20为一10,
3
..AE=^H,即
99
故答案为:A.
3.(2023•四川雅安•中考真题)如图,在(ABCD中,尸是AD上一点,CF交BD于点E,C厂的延长线交54
的延长线于点G,EF=1,EC=3,则G厂的长为()
【答案】C
【详解】•••四边形AB。为平行四边形,
AB//CD,AB=CD,
.GFAGEGBG
*'FC-CD'EC-CD'
设Gb为x,
VEF=\,EC=3,
:.EG^l+x,BG=AG+CD,
T*l+x_AG+CJ|AG
4CD'3CDCD'
.l+xYX
..------=1+—,
34
即8-x=0,
得x=8,
GF=8.
故选:C.
4.(2023•四川内江•中考真题)如图,在VABC中,点。、E为边A3的三等分点,点工G在边BC上,
AC〃DG〃所,点X为AF与DG的交点.若AC=12,则。”的长为()
A.1B.-C.2D.3
2
【答案】C
【详解】解:D、E为边的三等分点,EF〃DG〃AC,
:.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,
:.AB=3BE,DH是△AEF的中位线,
:.DH=-EF,
2
EFAC,
ZBEF=ABAC,ZBFE=ZBCA,
:.ABEFs/xBAC,
EFBEEFBE
——=——,即nn一=,
ACAB123BE
解得:£F=4,
:.DH=-EF=-x4=2,
22
故选:C.
5.(2023•四川巴中•中考真题)如图,在RtZXABC中,AB=6cm,BC=8cm,D、£分别为AC、BC中点,
连接AE、3D相交于点F,点G在CD上,且DG:GC=1:2,则四边形DEEG的面积为()
A
BEC
A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2
【答案】B
【详解】如图所示,连接OE,
故选:B.
6.(2022•四川攀枝花•中考真题)如图,在矩形A58中,AB=6,AD=4,点E、尸分别为BC、CD的中
点,BF、DE相交于点G,过点E作E"〃CD,交即于点X,则线段G8的长度是()
5
D.
3
【答案】A
【详解】解析:四边形A5CD是矩形,AB=6,AD=4,
.\DC=AB=6,BC=AD=4,ZC=90°,
「点£、方分别为5C、CD的中点,
:.DF=CF=-DC=3,CE=BE=-BC=2,
22
EH//CD,
:.FH=BH,
BE=CE,
13
:.EH=-CF=-.
22
由勾股定理得:BF=VBC2+CF2=A/42+32=5^
:.BH=FH=-BF=-
22f
EH//CD,
:AHGADFG,
,EH_GH
,,而一商'
3
.3=GH
■"?~5「J
----Crrz
2
解得:GH=f,
6
故选:A.
7.(2024•四川泸州一模)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,b分别在边AO,AF,3E1相交于点
G,若AE=3ED,tan/OE4=2,则AG的长为()
AED
11V5
A10V5R12括r11小
11111012
【答案】B
【详解】如图,延长交于点H,
・・•四边形ABC。是正方形,
ADBC,AD=BC=CD=4,ZADC=ZBCD=90°,
AE=3ED,
:.AE=3,ED=1^
VtanZDE4=2,
,辿=2,
DF
:.DF=2,
:.CF=CD—DF=4—2=2,
:.CF=DF,
9:ZBCD=90°,
:.ZHCF=90°,
:.ZADF=ZHCF=90°,
在AAD尸和HCF中,
ZADF=ZHCF
<DF=CF,
ZAFD=ZHFC
.•..(ASA),
:.CH=AD=4,AF=HFf
在&ADb中,由勾股定理得
AFNAIF+DF?='42+2?=2后,
/.HF=2百,
/.AH=AF+HF=445,
ADBC,
/.AEG-HBG,
.AEAG
,•丽一访‘
.3_AG
,,8-4A/5-AG,
..ACr=--------,
11
故选:B.
8.(2024•四川眉山•中考真题)如图,菱形ABC。的边长为6,ZBAD=12009过点。作交5。的
延长线于点E,连结AE分别交5Q,8于点尸,G,则FG的长为
【详解】解:,菱形ABCD的边长为6,ZBAD=120°,
:.AD=BC=CD=6,AD//BC,ZBCD=120°,
:.ZDCE=60°,
DE上BC,
../DEC=900,
在RtVOCE中,NCDE=90°—ZDCE=3。。,
:.CE=-CD=3,
2
/.DE=ylCD2-CE2=3A/3,
:.BE=BC+CE=9.
ADBE,
ZADE=180。—/DEC=90°,
22
在RtADE中,AE=y]DE+AD=小国+G=3币,
ADBE,
/.AFD^EFB,
.AFAD_6_2
'FE~BE~9~3"
.477_2_6a
..AF——AAEr——x3,7------,
555
AD//CE,
AAGD^AEGC,
AGAD6
----==—=2,
EGCE3
/.AG=2AE=^X3币=2币,
33
.”入厂。/76s4近
..FG=AG—AATF7=2y7-------=------.
55
故答案为:亚.
5
9.(2024•四川宜宾•中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E、尸分别是边CZXAD上
的动点,且CE=L>F.当AE+CF的值最小时,则CE=
【答案】|2
【详解】解:延长BC,截取CG=CD,连接GE,AG,如图所示:
・・•四边形ABC。为平行四边形,
AAB=DC=2,AD=BC=4,AD//BC,
:.ZD=ZECG,
•:CD=CG,DF=CE,
:・-CDF'GCE,
:・CF=GE,
:.AE+CF=AE+EG,
・••当AE+EG最小时,AE+C尸最小,
•・,两点之间线段最短,
・••当A、E、G三点共线时,AE+EG最小,即AE+CF最小,且最小值为AG的长,
9:ADCG,
AAEDs/xGEC,
,ADDE2-CE
*~GC~~CE呜=CE
2
解得CE=§.
2
故答案为:—.
10.(2023•四川泸州•中考真题)如图,E,尸是正方形ABCD的边A5的三等分点,尸是对角线AC上的动
Ap
点,当尸石+小取得最小值时,克的值是
【详解】解:作点尸关于AC的对称点/,连接所'交AC于点P,过点尸作AO的垂线段,交AC于点K,
由题意得:此时「落在A。上,且根据对称的性质,当P点与严重合时尸E+尸尸取得最小值,
2
设正方形ABCD的边长为a,贝!|AF'=Ab,
「四边形45co是正方形,
:.ZF'AK=45°,ZP'AE=45°,ACfa
F'K_LAF',
:.NF'AK=NFKA=45。,
..„_272
..AK------a,
3
ZF'PK=ZEPA,
.-.^F'KP'^EAP',
F'KKP'c
/.------=------=2,
AEAPr
,APr=-AK=-y/2a
39f
:.CP=AC-AP=L@,
9
.”'_2
*cF-7?
AP7
•••当PE+尸尸取得最小值时,的值是为,,
9
故答案为:—.
考向三:反"A"字型
相似三角形几何模型之反"A"字模型(特点:共角)
①如图1所示:已知NAED=NACB,则AADEiABC,线段比例关系:器=*=奈
/1£JDG/1C
②如图2所示:已知NABD=NACB,贝必ABDSAACB,线段比例关系:*=霹=煞
DC/IC
③如图3所示:AADEJAABC,线段比例关系:竿=取=条
ALDJCI£5
1.(2024•四川内江•一模)如图,在矩形ABC。中,BC=6,DC=1,点。为对角线8。的中点,OE±BD,
交BC于点E,点尸是对角线30上的动点,尸E+尸C的最小值为()
【答案】B
【详解】解:延长EO交AO于点尸,如图,
BD=YJBC2+CD2=2
丁点。为对角线50的中点,
BO=DO=\
':OE±BD,
:./DOF=/BOE=90°,
又ADBC
:.ZODF=NOBE
:.ABOE2/\DOF,
:.DF=BE,OF=OE,即点尸在AD上,
连接尸C,交BD于点P,连接PE,
当点EP,C三点共线时,PE+PC的值最小,为CP的长,
,/NOBE=ZCBD,ZBOE=ZBCD=90°
:.BOEsBCD,
,BEBO
"BD~BC
BOBD1x2273
BC一瓦一丁
DF=^~
3
在RtZ^CD厂中,
PE+PC的最小值为:&T,
故选:B
2.(2024•四川巴中•二模)如图,在AABC中,点。,E分别在边A3,AC上,S.ZAED=ZB,则下列各
式中一定正确的是()
B.AE.AC=AD.AB
C.ACAD^AEABD.AECE^AD-BD
【答案】B
【详解】解:ZAED=ZB,ZBAC^ZEAD,
:.ABACsLEAD,
故选:B.
3.(2024•四川自贡•一模)如图,在AABC中,ZC=90°,ZB=60°,。是AC上一点,DEJ.AB于E,且
CD=2,DE=1,则3C的长为()
A
CB
A.2B.173C.273D.4G
【答案】B
【详解】解:•・•在AABC中,ZC=90°,ZB=60°,
AZA=30°,
VCD=2,DE=1,
:.AD=2DE=2,
・・・AC=AD+OC=4,AE=dAl"DE2=5
VZA=ZA,ZDEA=ZC=90°,
:.八ABC^/\ADE,
.BCAC
•・法一瓦’
・B・C丁4⑻解得:BC4=J^3.
故选:B.
4.(2024•四川成都•一模)如图,矩形ABCZ)中,已知48=3,8。=6,石为4。边上一动点,将/睡沿BE边
翻折到,EBE.点A与点斤重合.连接ORCF.则。P+的最小值为.
【详解】解:在5C上取点G,使5G=1.5,连接FG,DG,
:翻折,
/.BF=AB=3,
又BC=6,
.BG1.51BF_31
**BF-T-2?BC-6-2?
.BGBF
•・而一拓’
又AFBG=NCBF,
/.一FBS,.CBF,
.GF_BF\
**CF-BC-2)
/.FG=-CF,
2
DF+=FC=DF+GFNDG,
2
当。、F、G三点共线时,DF+(/C最小,
2
在RtACDG中,CD=AB=3,CG=BC-BG=4.5,ZBCD=90°,
/.DG=VCD2+CG2=,
2
即的。尸+[PC的最小值为亚.
22
故答案为:巫.
2
5.(2023•四川资阳•中考真题)如图,已知。的圆心。在AABC的边AC上,与AC相交于A、E两点,
且与边2C相切于点连结DE.
(1)若£4=BD,求证:A5是)。的切线;
(2)若CD=4,CE=2,求。的半径.
【答案】(1)见解析
(2)。的半径长为3
【详解】(1)证明:连接OD,则如=。4,
Z.OAD=Z.ODA,
:)0的圆心。在AC上,且与边BC相切于点。,
/.BCYOD,
/ODB=90。,
BA=BD,
/.ZBAD=ZBDA,
:.Z.OAB=AOAD+ZBAD=Z.ODA+ZBDA=ZODB=90°,
是,。的半径,且ABLOA,
.二AB是。的切线.
(2)解:VOD=OE,
:./ODE=NOED,
是。的直径,
/.ZADE=90°,
:.ZCAD+ZOED=90°,
,/ZCDE+/ODE=ZODC=90°,
:./CDE=/CAD,
*:zc=zc,
:.ACDE^Z\CAD,
.CDCE
••一,
CACD
•■CECA=CD2,
VCD=4,CE=2,OE=OA,
2(2+2OE)=42,
解得OE=3,
的半径长为3.
6.(2024•四川眉山•中考真题)如图,BE是1。的直径,点A在。上,点C在8E的延长线上,ZEAC=ZABC,
平分N54E交。于点O,连结OK.
⑴求证:C4是。的切线;
(2)当AC=8,CE=4时,求OE的长.
【答案】(1)见解析(2)6a
【详解】(1)证明:连接。4,
:.ZBAE=90°,
ZBAO+ZOAE=90°,
OA=OB,
:.ZABC=NBAO,
ZEAC=ZABC,
:.ZCAE=ZBAO,
:.ZCAE+ZOAE=90°,
:.ZOAC=90°,
Q4是:。的半径,
「.C4是।。的切线;
(2)解:.ZEAC=ZABC,ZC=ZC,
/.AABC^AEAC,
ACCE
**BC-AC?
.8_4
••—―,
BC8
:.BC=16,
:.BE=BC-CE=12,
连接50,
AD平分Z&3,
\?BAD2EAD,
「•BD=DE,
BD=DE,
BE是C。的直径,
:.NBDE=90。,
:.DE=BD=—BE=6y/2.
2
7.(2024•四川雅安•中考真题)如图,是。的直径,点。是。上的一点,点尸是84延长线上的一点,
连接AC,ZPCA=ZB,
B
OD
⑴求证:PC是:。的切线;
(2)若sin/B=;,求证:AC=AP;
(3)若CD_LAB于。,B4=4,BD=6,求AD的长.
【答案】⑴见解析⑵见解析⑶AD=2
【详解】(1)如图所示,连接OC,
•「A3是(:。的直径,
・•・ZACB=90°,
:.ZBCO+ZOCA=90°,
':OB=OC,
:.ZB=ZBCO,
・.•ZPCA=ZB,
;.ZPCA=/BCO,
o
:.ZPCA=ZOCA=90f
:.OCLPC,
・・・PC是。的切线;
(2)证明:VsinZB=-,
2
AZB=30°,
ZPCA=ZB=30°f
由(1)知NACB=90。,
・・・NC4B=60。,
JZP=ZCAB-ZPCA=30°,
・•・/PCA=NP,
:.AC=AP;
(3)设陋=x,
在RtZiACB中,CD±ABf
:.AB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90°
・・・ZB=ZACD
•・•ZBDC=ZADC=90°
:.ABDCs^CDA
,BDCD
**CD-AD
CD2=ADxBD=6x.
VZP=ZP,NPCA=ZB,
:..PAC^PCB,
.PA_pc
**PC-PB*
・•.PC2=PAPB=4(6+4+%)=4(10+x),
在Rt^PCD中,由勾股定理得尸。2+co2=pc2,
即(4+%)2+6x=4(10+x),整理得尤2+10%-24=0,
解得石=2,x2=—12(舍去),
故AD=2.
8.(2024•四川资阳•中考真题)如图,已知A3是一。的直径,AC是。的弦,点。在W外,延长OC,
A5相交于点£,过点。作。尸,于点尸,交AC于点G,DG=DC.
⑴求证:DE是。的切线;
(2)若。的半径为6,点尸为线段Q4的中点,CE=8,求的长.
【答案】(1)见解析⑵3?9
【详解】(I)证明:连接OC,如图,
,DG=DC,
.\ZOAC=ZOCA,ZDGC=ZDCG,
ZAGF=ZDGC,
:.ZAGF=ZDCGf
又・DF1,AB,
:.ZAFG=90°,
/.ZOAC+ZAGF=180°-ZAFG=180。—90°=90°,
NOCD=NOC4+ZDCG=NOAC+ZAGF=90°,
二.DE是。的切线;
(2)解:如(1)图,NOCE=90。,
又'ZDFE=90°,ZOEC=ZDEF,
DFE^.OCE,
,PC_CE
,DF-FE,
」O的半径为6,CE=8,
,.OC=OB=OA=6f
:.OE2=OC2+CE2,即O石=162+82=10,
又一点厂为线段Q4的中点,
:.OF=-OA=-x6=3
22f
:.EF=OF+OE=3+10=13f
.6_8
,DF-13?
考向四:"k〃字型
相似三角形几何模型之%"字模型(也称为"一线三等角")在四川中考中常考直角型
①锐角型K字:已知N1=N2=N3贝MABCSACED,
证明:,「NACD=N2+NA,NACD=NI+NECD,zi=z2
/.zA=zECD
又•.N2=N3:.△ABCiCED。
②钝角型K字和直角型K字证明(同上)
结论:BCxCD=ABxED(即底“底=腰x腰)
1.(2023•四川南充•中考真题)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平
面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小
菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗
杆高度为()
A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m
【答案】B
【详解】解:如图所示,
BCD
由图可知,AB±BD,CD上DE,CF.LBD
\?ABC?CDE90?.
丁根据镜面的反射性质,
JZACF=ZECF,
・•・90°-ZACF=90°-ZECF,
:.ZACB=ZECD,
ABCjEDC,
AB_BC
DE~CD'
小菲的眼睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,
AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.
.16-2
DE=8m.
故选:B.
2.(2024•四川达州•一模)如图,将矩形ABCD沿着G£、EC、G下翻折,使得点A、B、。都落在点。处,
且点G、。、。在同一条直线上,点E、O、F在另一条直线上.以下结论:①AAEGsADGb;®AB=y[2AD;
③SCOF=:SSG;@EF=3DF.其中正确结论的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【详解】解:由折叠的性质可得:NDGF=NOGF,ZAGE=ZOGE,
:.ZOGF+ZOGE=1NDGO+;ZAGO=|(ZDGO+ZAGO)=90°,
"?ZA=ZD=90°,
:.ZAEG+ZAGE=ZAGE+ZDGF=90°,
ZAEG=ZDGF,
△AEGs/iDGF,故①正确;
同理可得:.AEGsBCE,
.AGBE
・・瓦一拓’
设DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,
AAD=BC=2a1AB=2b,
,a_b
•,g—五,
b=41a,
•••缥="=忘,即=故②正确;
AD2a
•:ND=NFOC=90。,/OCF=/DCG,
;.OCFs&DCG,
•£c^-m2_m2-W-i
SCDG[DC)IDCJ(AB)2,
,•sC0F=2sCDG,故③正确;
「OCFS&DCG,
.•.空=型=夜,
OFOC
DG=0OF=-JiDF,
OE=BE=b=^a=®DG=^x®DF=2DF,
:.EF=OE+EF=DF+2DF=3DF,故④正确;
综上所述,正确的有①②③④,共4个,
故选:D.
3.(2024•四川乐山•一模)如图所示,在边长为6的正方形A5C。中,£为CD上的点,/为BC的中点,过
点、尸作HF工EF交AB于点、H,点M,N分别是H尸和3斤的中点,若DE=2,则MN的长为()
AD
D0NFC
998
BC
A.8-4-D.9-
【答案】A
【详解】解:在正方形正方形ABCD中,BC=CD=6,DE=2,
:.EC=CD—DE=4,
又♦../为的中点,
Z.BF=FC=-BC=3,
2
:.HF1EF,
:.NHFB+NEFC=90。,
XVZB=90°,
NBHF+NHFB=9Q。,
:./BHF=/CFE,
又:在正方形正方形ABCD中,ZB=ZC=90°,
/.ABHF^ACFE,
3
・普翁即:IBH
BH=-
4
又・・,点M,N分别是彼和5尸的中点,
199
MN=-BH=—x—=一
2248
故选A.
4.(2024•四川巴中•一模)在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点。重合,顶
1oAn
点A、3恰好分别落在函数y=-上(%<0),>==(%>0)的图象上,则点的值为()
xxBO
【答案】A
【详解】解:过点A、3分别作ADJ_x轴,轴,垂足为。、E,
:.ZADO=ZBEO=9Q0
:.ZAOD+ZOAD=90°
19
点A在反比例函数y=-一(%<0)上,点3在y=-(x>0)±,
XX
・s_1V_9
,,dAAOD一不,,ABOE-T'
又「ZAOB=90°,
:.ZAOD-^
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