相似三角形模型（4大模型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学安徽复习专练（原卷版）

重难点02相似三角形四种模型

明考情-知方向

2025年考向预测：解答题（必考题型）

重难点题型解读

考向一："8"字模型

模型一：“8”字模型

模型展示：

8字一一平行型

条件：CDWAB,

结论：△以6〜APC。（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面积相等;

四边形26。为一般梯形.

D

条件：CD\\4B，PD=PC.

结论:△/^〜△。。〜△/女上下相似）

△PAAXPBC左右全等;

四边形26。为等腰梯形；

8字一一不平行型

条件：4CDP:乙BAP.

结论：

A4Q6〜△。2C（上下相似）；

ZL4PZ?〜"Pq左右相似）；

1.如图，已知。是BC的中点，M是A。的中点.求AN:NC的值.

A

2.（2024•安徽合肥•一模）已知：如图，两个AZMS和A£BC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,

且点A、B、C在一条直线上，连接AE、ED,AE与BD交于点F.

DF

（2）若止=CE,求仁的值.

DD

3.（1）某学校"学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在中，点。在线段BC上，回班。=30。，EIOAC=75。，A0=6，BO；C0=2：1,求AB的长经过

数学小组成员讨论发现，过点B作BDBiAC,交AO的延长线于点D,通过构造财BD就可以解决问题（如图2）

图1

请回答：BADB°,AB

（2）请参考以上解决思路，解决问题:

如图3在四边形ABC。中对角线47与B。相交于点。，4CEL4D,A0=也,SABC=SACB=75°,：。。=2：

1,求0C的长

4.（2023•安徽合肥,模拟预测）在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,tanZABC^a,。是BC上一点（不与点8,

C重合），连接AD,过点C作于点E,连接8E并延长，交AC于点尸.

⑴如图1,当。=1时，

①求证：ZECD<45°；

BECD

②求证:

EF~CF

（2）如图2,若。是BC的中点,求tan/CEF的值（用含。的代数式表示）.

考向二："A"字模型

模型二：“A”字模型

模型展示:

/、工eAAADAEDE

⑴如图1,DE//BC<^/\ADE^=­=—

ADACDC

/、_LEADAEDE

⑵如图2,AAED=ZB^AAADE^AACB^-^-^=—

ACADDC

ADACCD

⑶共边共角模型，如图3,NACD=Ng丛ADCs丛ACBR^F=~^

ACADDL

AA

A

图3

1、如图，已知BE,CD是△A3C的两条高，连接OE,求.证：AADES^ACB.

2.如图，在AABC中，点〃在线段6。上，ZBAD=75°fZCAD=30°,AD=2,

BD=2DC,求"1的长.

BD

3.一块直角三角形木板的面积为l.Sn?,一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一个面积最大的正方

形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损

耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

（甲）（乙）

4.（2022•合肥二模）已知：如图，AABC中，ZACB=9Q°,CD为池边上的高,NABC的平分线5石分

别交CD,AC于点P,E.

(1)求证：ACBFs^ABE；

(2)若AB=1O,BC=6,求ACS尸的面积;

^BC=AD,求笠的值.

AE

5.如图，在蜘BC中，AB=AC,以AB为直径作回。交BC于点D,过点。作回。的切线0E交AC于点E,交阳

延长线于点F.

(1)求证;DESAC;

(2)若AB=10,BF=-,求AE的长.

3

考向三：“手拉手”旋转型

模型三：“手拉手”旋转型

模型展示

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.

1、如图，。为△ABC内一点，£为△ABC外一点，且/ABC=NDBE,N3=/4.求证:

(l)AABDsACBE；

(2)AABCs^DBE.

2.（2021・安徽•二模）在数学探究活动中，小梦进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC（SACB

=90°,AC=BC=13）^ADE（0AZ）E=9OO,AD=DE=5）的锐角顶点A重合，AD在AC边上.

请完成下列探究：

（1）tanHABE的值为；

（2）将0AOE绕点A顺时针旋转（旋转角为锐角），连接8E,当C,D,E三点在同一条直线上时，取线段

8E的中点M,线段。0的长为.

A

3.（2023•亳州三模）如图1,在A/幽和AACE中，ZBAD=Z.CAE,ZABD=ZACE.

图1图2

（1）①求证：AABC^AADE；

@^AB=AC,试判断AADE的形状，并说明理由；

（2）如图2,旋转AADE,使点D落在边3c上，若NR4C=NZME=90。，ZB=ZADE.求证：CELBC.

4.（2024九年级下•安徽・专题练习）（1）（问题发现）如图1,VA5C和VADE均为等边三角形，点B,D,

E在同一条直线上.填空：

①线段8。，CE之间的数量关系为；

②NBEC=0.

（2）（类比探究）如图2,VABC和VADE均为等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC=BC,AE=DE,

点8,D,E在同一条直线上，请判断线段8。，CE之间的数量关系及/3EC的度数，并给出证明.

（3）（解决问题）如图3,在VABC中，ZACB=90°,/A=30。，AB=5,点。在AB边上，DE且AC于

点、E,AE=3,将VAZ汨绕点A旋转，当OE所在直线经过点8时，CE的长是多少？（直接写出答案）

图1图2图3

考向四：“一线三等角”模型

模型四：“一线三等角”模型

模型展示：

(1)“三垂直”模型

如图1,N6=N2=N/B=90°,则△4?叱/\期

(2)“一线三等角”模型

如图2,/B=/ACE=/D,则△/及。△鹿

特别地，连接AE,若C为初的中点，则△/龙s△ABCs△CDE.

1、如图，AB±BC,DC±BC,E是BC上一点,使得AE_LDE.

(1)求证.：AABEsAECD；

(2)若48=4,AE.=BC=5,求CD的长.

2、如图，在△ABC中，AB^AC,点E在边8C上移动(点E不与点8,C重合)，满足/DEF=/B,且点

D,尸分别在边A3,AC上.

(1)求证：4BDEsACEF；

(2)当点E移动到2C的中点时，求证：FE平分/DFC.

F

BC

E

3.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰加8C中，其中

AB^AC,如图1,进行了如下操作：

第一步，以点4为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E,F,如图2；

第二步，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点。，作射线45

第三步，以。为圆心，DA的长为半径画弧，交射线4E于点G；

⑴填空；写出回。\。与EIGAD的大小关系为—；

⑵①请判断与BC的位置关系，并说明理由.

②当A8=AC=6,8C=2时，连接DG,请直接写出金名=—；

⑶如图3,根据以上条件，点P为AB的中点，点/W为射线AD上的一个动点，连接PM,PC,当NCPM=NB

时，求4M的长.

4.(1)问题

如图1,在四边形ABC。中，点P为AB上一点，当/DPC=NA=/3=90。时，求证：ADBC^APBP.

(2)探究

若将90。角改为锐角或钝角(如图2),其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

(3)应用

如图3,在AABC中，AB=2近,48=45。，以点A为直角顶点作等腰HAWE.点。在BC上，点E在

AC上，点F在BC上，且NEFD=45。，若CE=M,求CD的长.

5.(2022•磁山县模拟)如图1,在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB=AC.尸是边上一动点,

连接AF,DF,DF交AC于点,E,其中NZM尸=90。，ZAFD=ZB.

(1)求证：ACEC=BFCF■,

(2)若AB=AC=10,3c=16.

①如图2,若DF//AB,求旦的值；

AB

6.矩形AOBC中，OB=4,04=3.分别以。8、。4所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标

系.F是8c边上一个动点(不与8、C重合).过点F的反比例函数y=8(k>0)的图象与边AC交于点E.

(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为;

(2)连接EF,求回FEC的正切值；

⑶如图2,将回CE尸沿EF折叠，点C恰好落在边0B上的点G处，求BG的长度.

2Q

7.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线片-§/一2彳+］交x轴于A、B两点，点C在抛物线

上，且点C的横坐标为-1,连接BC交y轴于点D.

图1图2图3

(1)如图1,求点。的坐标；

(2)如图2,点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG取轴于G,点E在线段PG上，连接4E,过点E作E用AE

交线段0B于F,若EF=AE,设点P的横坐标为3线段PE的长为d,求d与t的函数关系式；

⑶如图3,在(2)的条件下，点”在线段0B上，连接CE、EH,若回C£F=ME”，EH-CE=^AH,求点P的

3

坐标.

限时提升练

（建议用时：120分钟）

1.（2024•安徽合肥•三模）如图1,C为线段8E上一点，分别以BC,EC为底,在8E的同侧作等腰VABC和

等腰ADCE且/ABC=/OCE.在线段AC上取一点F,使得AF=DC,连接即，AD.

（1）求证：AAB尸丝ACW；

⑵如图2,延长班■交AO于点G,若G是AD的中点，且AB=2,求CO的长.

2.（2024•安徽•模拟预测）如图，AB为。。的直径，。为54延长线上一点，过点。作。。的切线，切点为

C,过点B作8ELOC交DC的延长线于点E,连接BC.

（1）求证：BC平分NDBE；

⑵连接E。，交5c于点孔若BC="U，求。。的半径.

3.(2024•安徽宣城•三模)如图1,在VABC中，点。为AC的中点，点尸为射线C4上一动点(不与点C,

A重合)，分别过点A,C向直线作垂线，垂足分别为点E,F,连接DE,DF,ZDFE=30°.

(2)当点尸在AD边上时，求证：DE+AE=CF；

⑶如图2,当—ABC为钝角，且点P在C4延长线上时，猜想。E,AE,C尸之间的数量关系，并证明.

4.(2024・安徽•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+6与反比例函数y=：(l>0)的

图象相交于M(2,2),N两点.

(1)求点N的坐标；

(2)若点尸为x轴负半轴上一点，且满足NMPN=90。，求点尸的坐标.

5.(2024•安徽六安•一模)如图，四边形ABC。内接于O。，80平分/ABC,交AC于点M.

图1图2

⑴如图1,求证：AD2=DMDB.

(2)如图2,若AC经过圆心。，且AB=4,BC=3,求的长.

6.(2025•安徽•模拟预测)在平面直角坐标中，点。是坐标原点，抛物线y=af+x-6(a*0)与无轴交于点

A,B,与y轴交于点C,OB=；OC.

⑴求抛物线的解析式;

⑵已知点。在抛物线上，且在第二象限，连接8。交y轴于点E.

①若CE的长为d,点。的横坐标为f,求d与f的函数关系式；

②取30的中点R连接Ab,当A尸〃3c时，求点。的坐标.

7.(2024•安徽合肥•模拟预测)已知，如图1,在RtZkABC,ZACB=90°,ZABC>60°,点。是AB的中

点，将线段AO绕点。逆时针旋转。度，得DE,连接CE.

⑵如图2,若夕=90。，求证：BC+0CE=AC;

⑶若a=120。，—=求tanZABC.

BC4

8.(2024・安徽合肥・模拟预测)如图①，四边形A3C。中，ZABC=90°,ZBAC=30°,将AACD沿翻

折得到△"心，过点A作于点E,EF=BC=3,连接50,且3D=7.

图①图②

(1)求证：AE=AB-

⑵求DE的长；

7

(3)如图②，连接BE交AC于点交AD于点N,求证：MN=-DN.

9.(2024・安徽池州•模拟预测)(1)已知：如图1,在VABC和VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=NDAE,

若点。是3c的中点，连接CE.求证：DC=EC；

(2)已知：在VABC和VADE1中，AB=BC,AD=DE,NBAC=NDAE.

①如图2.若点D在3C上，ADJ.BC,F是AC的中点，连接OF,EF.求证：DF=EF；

②如图3,点。在AC上，且是AC的三等分点(CD<AD),若8=2,AE=3,求CE的长.

10.(2024・安徽合肥・三模)已知RtVABC中CD为斜边A3上的高，过AC边上的点E作跖〃BC交AD于

点、F.

(1)如图1,求证：ZAFE=ZACD；

⑵如图2,连接即并延长，交CB的延长线于点G,若ZAED=NDBG,求证：EF=BG；

(3)如图3,在(2)的条件下，取ED上一点H,连接CH并延长，交所的延长线于点连接。M,延

长DM交CG于点N,若NCMN=2NECM,AF=7,GW=18,求OF的长.

n.(2024・安徽•模拟预测)如图，在菱形ABCD中，E为边C。的中点，连接AE交BC延长线于点尸，CG

平分工OCF交AF于点G,连接AC.

(1)如图1,求NACG的大小；

⑵如图1,证明：点G为线段AF的三等分点;

⑶如图2,连接BE交AC于点尸，若5c=5,BP=3,求AC的长.

12.(2024•安徽安庆•二模)如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,