万有引力与航天（四大题型）解析版-2025年高考物理答题技巧与模板构建

模板06万有引力与航天（四大题型）

本节导航：

题型01天体质量和密度的估算题型02卫星及其变轨问题

题型03天体表面重力加速度的相关问题题型04双星和多星问题

题型01天体质量和密度的估算

口曼理解禳

1、问题涉及情景新颖，常与最新的航天科技结合出题，出题角度不难但易错。

2、公式的选用灵活多变，学生要谨记其本质为万有引力提供向心力，掌握各个公式是解题的关键。

一、必备基础知识

1、开普勒三大定律

定律内容图示

入

开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太

（轨道定律）阳处在椭圆的一个焦点上。阳

开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在

（面积定律）相等的时间内扫过相等的面积。O

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它

星

开普勒第三定律的公转周期的二次方的比值都相等。即

（周期定律）3

a=左，上是一个与行星无关的常量。

2、万有引力定律

内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量风

和他2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

u

表达式：F=d^,其中G叫做引力常量，G^6.61xlO^N-frr/kg\牛顿得出了万有引力与物

体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G

的值。

适用条件：①适用于质点间的相互作用；②两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与

球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；③两个物体间的距离远远大于物体本身的大

小，r为两物体质心间的距离。

3、天体（卫星）运动问题的两点思路

2

①天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即=maa==mcor=0

②在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即隼=mg（g表示天体表面的重力加速度）。

二、解题模板

1、解题思路

明确中心天体，建

立圆周运动模型

2、注意问题

区分中心天体的半径和环绕天体的轨道半径，只有近地环绕天体的轨道半径才等于中心天体的半径。

该类型的题目是求解中心天体的质量和密度，是不能求解环绕天体的质量和密度。

3、解题方法

①利用天体表面的重力加速度g和天体半径Ro

由于$耨=岫故天体质量M=啥，天体密度P=^=^-=4；*R。

"铲庐

②通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径ro

由万有引力等于向心力，即牵=符匕得出中心天体质量M=盛；若已知天体半径R,则天体

的平均密度"=的=产=施7；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于

押3

天体半径R,则天体密度〃=溪。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体

的密度。

第槿极运用

|（2024・北京・高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙

物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一

点。为观测点，以质量为根的小星体（记为P）为观测对象。当前尸到。点的距离为为,宇宙的密度为4。

（1）求小星体P远离到5处时宇宙的密度"；

（2）以。点为球心，以小星体P到。点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于

。点对P的引力。己知质量为奶和利、距离为R的两个质点间的引力势能l=-G巧会，G为引力常量。

仅考虑万有引力和P远离。点的径向运动。

a.求小星体尸从％处远离到2%。处的过程中动能的变化量A线；

b.宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr,其中厂为星体到观测点的距离，”为哈勃系数。

H与时间/有关但与「无关，分析说明H随丹曾大还是减小。

思路分析

第一问的思路：

在宇宙中所有位置观测的结果都一样,根据质量相同即

则小星体P运动前后球内质量相同可求出密度

第二问的思路:

根据密度和半径由能量守恒定律根据a问得到速度与半径的

可求得质量求得动能变化量关系，联立哈勃定律可求解

详细解析

12

【答案】（1）P=--P;（2）a.AE=-^Gjipmr^；b.H随f增大而减小

o03kQ

【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离。点半径为4和2%的球内

质量相同，即

Arg屁兀（24丫

解得小星体P远离到4处时宇宙的密度

1

方於

（2）a.此球内的质量

4

M“3

=P0--^

P从4处远离到4处，由能量守恒定律得，动能的变化量

（GMm\_22

△纭=-G----------------------------=--Gnpomro

roV2roJ3

b.由。知星体的速度随％增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间f越长，由厂=坳知，//减小，

故〃随f增大而减小。

|（2024・广东•模拟预测）2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务"天间一号"探测

器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。设想某一天一位宇航员到

达火星后进行如下实验：如图所示，将支架水平固定在火星表面上，摆轴末端用细绳连接一质量为优的小

球。拉直细绳并给小球一个垂直细绳的初速度，让它在竖直平面内做完整的圆周运动。在最低点a和最高

点b,细绳拉力大小分别为£、Tb,阻力不计。已知火星的半径为R,万有引力常量为G。求:

⑴火星表面重力加速度的大小g;

（2）火星的质量

【答案】⑴

om

⑵M=（小心

6Gm

【详解】（1）设绳长为/,在。点时

emv：

Ta-mg=—

在b点时

Tb+mg=

由机械能守恒定律可得

1212c,

—mva=—mvb+2mgl

联立解得

(2)由题可知

「Mm

G-^=ms

解得

6Gm

题型02卫星及其变轨问题

金敦幽篌

1、该题型常与较新的卫星结合出题，题目一般较长，一般介绍的内容可以忽略，本质就是圆周运动规

律的应用。

2、题型难度不大，考查公式较多，需要学生具备一定的综合分析能力。

一、必备基础知识

1、卫星轨道

卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。

N■N'

A<»*

►

赤道轨道极地轨道逆行轨道顺行轨道

倾斜轨道

2、运行规律

y24兀之、、

2

卫星做匀速圆周运动。万有引力提供向心力：即由m~=mrw=mr=man可推导出：①线

2

Mmv/GMA、士士

速度：G驾=m一=>y=J------；②角速度:

rrVr

「Mm47r之nT=2%匚；④向心加速度:

G-----=m----r

r2T2\GM

3、三种卫星

①近地卫星：在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动其运行的轨道半径可近似认为等于

地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。

②地球同步卫星：地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道

上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期。

③极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

4、三大宇宙速度

数值

宇宙速度意义

(km/s)

第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星

7.9

（环绕速度）绕地球做圆周运动的最大运行速度。

第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

11.2

（脱离速度）

第三宇宙速度

16.7使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

（逃逸速度）

发射速度为％第一宇宙速度为历，第二宇宙速度为匹，第三宇宙速度为%,发射物体的运动情况跟宇

宙速度息息相关，它们的关系如下表所示：

V<V]发射物体无法进入外太空，最终仍将落回地面；

VIWv<V2发射物体进入外太空，环绕地球运动；

V2WV<V3发射物体脱离地球引力束缚，环绕太阳运动；

发射物体脱离太阳系的引力束缚，逃离太阳系中。

5、两类变轨的比较

两类变轨离心运动近心运动

变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小

受力分析冷<4尊

变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨

变轨结果

道上运动道上运动

应用卫星的发射和回收

二、解题模板

1、解题思路

2、注意问题

地球同步卫星的轨道平面、周期、角速度、高度、速率、绕行方向、向心加速度都是一定的。

轨道平面一定（只能位于赤道上空，轨道平面和赤道平面重合）；

周期一定（与地球自转周期相同，大小为六24h=8.64X10"s。）；

角速度一定（与地球自转的角速度相同）；

高度一定（根据G（=冽［与］（R+h）得八月?—R）=3.6X10,加；

线速度一定（根据线速度的定义，可得y=2-（R+/z）=3.08km/s,小于第一宇宙速度）；

T

向心加速度一定（根据可得an=瞿h2=gh=Q.23m/s2）；

十句n~rn

绕行方向一定（与地球自转的方向一致）。

卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变

化由v='丹判断；卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大；卫星经过不同

轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

3、解题方法

卫星变轨的判断及处理思路方法：①要增大卫星的轨道半径，必须加速；②当轨道半径增大时，卫星

的机械能随之增大。

2

卫星向心加速度的不同表述形式：（j^=man-,an=y=r（o=^-r»

解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律：卫星的诙、

v、co、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化；出、。、8、T均与卫星的质量无

关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。

卫星变轨解题方法：

轨道渐变问题：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。

当卫星的速度逐渐增加时，畔1即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径

变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v=、浮可知其运行速度比原轨道时减小。

当卫星的速度逐渐减小时，尊＞/，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半

径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v=、岸可知其运行速度比原轨道时增大。

离心运动：

当/增大时，所需向心力"增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由■=当口其运行速度要

r\r

减小，此时重力势能、机械能均增加。同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径（半长轴）越大,

机械能越大。

卫星向心运动：当n减小时，所需向心力用减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v=

知其运行速度将增大，此时重力势能、机械能均减少。情景分析，如下图所示：

m/汽N、、

先将卫星发送到近地轨道I；使其绕地球做匀速圆周运动，速率为71,变轨时在尸点处点火加速，短

时间内将速率由再增加到吸，使卫星进入椭圆形的转移轨道II；卫星运行到远地点0时的速率为期此时

进行第二次点火加速，在短时间内将速率由聪增加到右，使卫星进入同步轨道III,绕地球做匀速圆周运动。

注意：卫星在不同轨道相交的同一点处加速度相等，但是外轨道的速度大于内轨道的速度。中心天体

相同，但是轨道不同（不同圆轨道或椭圆轨道），其周期均满足开普勒第三定律。

变轨过程物体的分析如下：

速度根据以上分析可得：V4>V3>V2>V7

加速度在尸点，卫星只受到万有引力作用，所以卫星当从轨道I或者轨道n上经

过尸点时，卫星的加速度是一样的；同理在。点也一样。

周期根据开普勒第三定律,=上可得Ti<r2<r3o

机械能卫星在一个确定的轨道上（圆或者椭圆）运动时机械能是守恒的，若卫星

在I、II、III轨道的机械能分别为机、E”E3,则区<及<&«

说明：根据以上分析可得当增大卫星的轨道半径时必须加速。

。槿极运用

］（2024•江苏苏州•三模）人造卫星发射场一般选择靠近赤道的地方，这样可以利用地球自转减小

发射需要的能量，中国文昌航天发射场是世界上为数不多的低纬度发射场之一、已知地球质量为〃，半径

为R,地球自转角速度为。，万有引力常量为G。若在赤道上发射一近地卫星，求：

（1）发射前卫星在赤道上随地球自转的速度大小%;

（2）卫星相对地面的最小发射速度V。

思路分析

第一问的思路:

卫星静止时，角速度由线速度与角速度的关

为地球自转角速度系公式可求出线速度

第二问的思路:

近地卫星由万有引根据圆周运动规律求根据相对速度公式可求得相

力提供向心力得发射最小速度对地面卫星的最小发射速度

详细解析

【答案】（1）%=6尺；（2）

【详解】（1）卫星静止时，随地球自转角速度为。，且运动半径等于地球半径R,由线速度与角速度的关

系公式，得

%=coR

（2）近地卫星，由万有引力提供向心力可得

2

厂Mmv,

G——=m—

R2R

求得卫星发射的最小速度

GM

匕=

则在赤道上相对地面卫星的最小发射速度

也一①R

R

（2024■陕西安康•一模）从1970年中国成功发射第一颗人造地球卫星东方红一号起，至2024

年，中国在轨运行的卫星数量已超过600颗，这标志着中国航天技术实现了从跟跑到并跑，乃至领跑的跨

越式发展。现有一颗在赤道上空运行的人造卫星，它到地球表面的距离等于地球的半径，转动的方向与地

球的自转方向相同。若地球的半径为R,自转的角速度为明，地球表面附近的重力加速度大小为g。求:

⑴该人造卫星绕地球转动的线速度大小V；

（2）该人造卫星连续两次经过赤道上同一处的时间间隔北

【答案】（l）v=

271

t=

⑵蔡-豌

【详解】（1）该人造卫星静止在地球表面时有

-Mm

G铲="吆

该卫星在轨道上运动时，由万有引力提供向心力

_Mmv2

G------=m——

（2J?）272R

解得

（2）卫星的角速度

由几何关系可知

-gt=2%

解得

题型03天体表面重力加速度的相关问题

重力加速度往往是万有引力和运动学联系的桥梁，通过它可以将天体运动和自由落体运动、抛体运动

相结合进行考查。

励槿超的建

一、必备基础知识

1、地球自转对地表物体重力的影响

如下图所示，在纬度为0的地表处，物体所受的万有引力为尸G=m与M巴。

物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为/向=»?RCOS0Q2,方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所

受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg,严格地说：除了在

地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。

地球表面处物体所受到的重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力。通过分析地球上

物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力，大小等于地面对物体的支持力FN=mg,

方向跟支持力方向相反，垂直该处的水平面竖直向下。引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的

向心力F向=ms盲r（这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力）如图所示。从合力

与分力的关系来看，重力mg和向心力F向是万有引力的两个效果力，即分力。若从力产生的原因（力的性

质）来分析地面上物体的受力情况，则物体只受到万有引力和地面的支持力，不能同时再分析重力。但由

于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。

2、不忽略地球自转的影响

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力机g,二是提供物体随地球自转的向心力产向，如

下图所示。

①在赤道上：G-^-^mgi+marRo

②在两极上：鬻=7Mg2。

③在一般位置：万有引力隼可分解为两个分力：重力，咫与向心力厂向。

越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，

anGMm

即尺2=mg。

3、忽略地球自转影响

在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即〃zg=G^。可得：

①地球表面重力加速度g=窄，距地面高h处重力加速度g=。有$="5"'即g与到

地心距离的平方成反比。

②地球质量M=塔；

③恒等式：GM=gk。

以上各式对自转可忽略的其他星球同样适用。

4、处于地球上空不随地球自转的物体

在地球表面上，mg=竿，在〃高度处mg'=浮后，所以g'=（皆力之且，随高度的增加，重力加

速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。

二、解题模板

1、解题思路

根据运动学规律列方

程，求出重力加速度

2、注意问题

在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，

其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已。

3、解题方法

星体表面上的重力加速度问题，计算重力加速度的方法：

①在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：，"g=瞿，得g=等;

②在地球上空距离地心厂=R+〃处的重力加速度为mg'=篙*，所以＞,随高度的

增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略；

③地球表面的物体运动规律的迁移应用，在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、

竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的

分析，只是当地重力加速度取值不同而已。

第梗极运用

］（2024・广东清远・模拟预测）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅次于水星的第二小

的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，其半径R=3400km。我国发射的火星探测器"天问一号"在登陆火

星之前围绕火星做圆周运动，其环绕速度v与轨道半径厂之间的关系如图甲所示。"天问一号"火星探测器成

功登陆火星表面后，“祝融号"火星车出舱进行探测任务，如图乙所示。某次任务时，火星车以速度vo=O.5m/s

沿水平面匀速行驶，前方有一高度/?=2m的断崖，断崖下方是平坦的地面。求：

/(xlO'V)

图乙

⑴火星表面的重力加速度g火;

(2)火星车在断崖下方地面着陆时的速度Vo

思路分析

第一问的思路;

万有引力提供向心力得结合图像和在火星表面万联立方程可求出重力

到速度的表达式有引力等于重力列方程加速度

第二问的思路:

火星车做平抛运动根据平抛运动规律求得着陆时的速度

详细解析

【答案】⑴4m/s2,方向竖直向下

⑵晅m/s,方向与水平方向夹角的正切值为8

2

【详解】(1)根据万有引力充当向心力

Mmmv2

G^~=-----

rr

可得

1

v92=GM-

结合图像可知

GM==4.624xio13m3/s2

在火星表面上有

GMm

〃吆火

解得

g火=4m/s2

方向竖直向下。

（2）火星车做平抛运动，在竖直方向有

vj=2g火〃

可得

vy=4m/s

水平方向做匀速直线运动

火星车在断崖下方地面着陆时的速度

设着陆时的速度方向与水平方向的夹角为仇则有

tan0=—=8

匕

则速度方向与水平方向夹角的正切值为8„

|（2024•全国•模拟预测）为实现嫦娥六号探测器在月球背面与地面顺利进行通信，中国又发射了

"鹊桥二号"中继卫星，作为嫦娥六号探测器与地面联系的桥梁，"鹊桥二号"中继卫星在环绕月球的大椭圆轨

道上运行，其运行周期为已知嫦娥六号探测器环绕月球表面飞行的周期为T,月球半径为R,引力常

量为G,求:

（1）"鹊桥二号”中继卫星的轨道半长轴与月球半径之比;

（2）月球表面的重力加速度;

⑶月球的密度。

【答案】（1）3=）生

Rvr2

4/R

(2)g=

T2

..3乃

⑶。=彳

【详解】（1）根据开普勒第三定律有

不一产

解得

£=3匠

RVr2

（2）对嫦娥六号探测器有

4/"zR

m

S=y2

解得

4/R

S=^T~

（3）对嫦娥六号探测器有

GMmc4万2

解得

3%

P~GTT

题型04双星和多星问题

这类题目考查学生应用万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动规律解决天体运动问题的能力，对建

模能力、几何作图能力和分析推理能力要求较高。

.槿笆狗建

一、必备基础知识

1、双星

定义：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点（公

共圆心）做周期相同的匀速圆周运动的行星组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。它们在宇宙中

往往会相距较近，质量可以相比，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。

2、双星模型的条件

①两颗星彼此相距较近。

②两颗星利用相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一■圆心做圆周运动。

3、双星的特点

①“向心力等大反向”—各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即两星做匀速圆周运动的

向心力相等，都等于两者之间的万有引力，故泾=巳，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用

力和反作用力。所以有蟹也=如。，］,号詈=租2s加2。

②“周期、角速度相同”一一两颗星做匀速圆周运动的周期及鱼速度都相同，即71=乃，01=02。

③“距离不变”一一两星之间的距离不变，且两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，厂1+/2=小

④“半径反比”一一圆心在两颗行星的连线上，且n+r2=£,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星

的质量成反比，即号，与星体运动的线速度成反比。

m2ri—

⑤若在双星模型中，图中乙、机1、机2、G为已知量，双星的运动周期7=2”/丁匚。

\1十加2

4冗2/3

⑥若双星运动的周期为T,双星之间的距离为L,G已知，双星的总质量加1+加2=爷仔，即双星系统

的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。

4、多星

多星定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度

或周期相同。

5、三星模型

①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。

这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：誓

+舞=机小两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行

星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。詈x2xcos30°=:也其中L=2n=os30。。

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

①如下图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周

运动，誓x2xcos45。+匿=加由其中『尊。四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大

小相等。

②如下图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心。点，

三颗行星以。点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。察><2xcos30°+乌罗=.。其中L=2rcos

30%外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。（其中一种是四颗质量相等的

恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动；另一种是三颗恒星始终位

于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点。，外围三颗星绕。做匀速圆周运动。）

二、解题模板

1、解题思路

2、注意问题

由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动

的角速度必相等，因此周期也必然相同。

由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由凡77a2可得

1m2rm,!r

rx一,可得八=——二—L,r2=———L,即固定点离质量大的星较近。

m+m2mx+m.

列式时须注意：万有引力定律表达式中的「表示双星间的距离，按题意应该是£,而向心力表达式中的

厂表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为八、r2,千万不可混淆。

当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略

不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心

星球的球心。可以认为它是固定不动的。

多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其它各个行

星对该行星的万有引力的合力提供。

每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等。

注意利用几何知识求半径。

3、解题方法

①双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

②星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

③星体的角速度相等。

④星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和

向心力。

@掇隹三用

|（2024•广东•模拟预测）某双星系统中A、B两星球的质量都是他，相距3它们正围绕两者连

线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值心，且

9k于是有学者猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为星球C位于星球A、B

的连线正中间，相对星球A、B静止。引力常量为G。求：

（1）A、B两星球组成的双星系统周期理论值”的表达式；

（2）星球C的质量（用瓦机表示）。

思路分析

第一问的思路：

题目为双星模型，万有!■根据双星的运动规律即可

引力提供向心力・■求出周期的表达式

第二问的思路:

|（2024•广东•阶段练习）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动

形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在

三角形所在的平面内做角速度相等的圆周运动，如图所示。己知星体A的质量为4僧，星体B、C的质量均

为m,三角形边长为d。求：

（1）星体A所受的合力大小”;

（2）星体A、B、C的向心加速度大小之比%A：a”B：a“c。

【详解】（1）设星体A受到星体B、C的引力大小分别为《A、或A，分析如图所示，由几何关系知

FBA=FCA

又

k4〃，

%=G丁

由矢量合成有

FA=2^Acos30°

则二者的合力大小

4石G病

设星体8所受的合力为心，正交分解心，有

%=0cos60°+%=十

%=%sin60°=尊d

则

~®Gm2

6=J凡」+/

d2

则

.._尸4.FB,取

解得

%人："：金="7：7

@梭板演秣

1.（2024•北京海淀•一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他

将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是

卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星尸运动的示意图，在尤Oy平面内，质量

为相的卫星P绕坐标原点。做匀速圆周运动。已知引力常量为G,不考虑各卫星之间的相互作用。

（1）若认为木星位于坐标原点。，根据伽利略的观察和推测结果:

①写出卫星P做圆周运动的向心力大小尸的表达式。

②求木星的质量Mo

③物体做简谐运动时，回复力应该满足声-依。请据此证明：卫星尸绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投

影是简谐运动。

（2）若将木星与卫星尸视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为

M'a请分析比较（1）②中得出的质量底与时的大小关系。

A;②加。=尤£；③见解析；（2）M'>M0

GT

【详解】（1）①卫星P做圆周运动的向心力大小P的表达式

尸=92ym"A

T2

②根据

G乎=庠4

得木星的质量

4万2A3

%)

GT2

③如图

4%24乃2

晶复=-m—rrcos0=-m—x=-kx

则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。

（2）根据

厂M'm4/

°1rmFA

得

22

M'=4TZ-£A

GT2

由于

A<L

则

M'>M0

2.（2024•江苏南通•模拟预测）嫦娥六号探测器将于2024年6月登月。已知探测器在近月圆轨道运行速度

大小为v,月球半径为凡万有引力常量为G,不考虑月球的自转。求：

（1）月球质量M；

（2）月球表面重力加速度大小g。

【答案】（1）M=—；（2）g=E

GR

【详解】（1）探测器绕月球做圆周运动，万有引力定律及牛顿第二定律得

—Mmv2

G——=m——

R2R

化简可得月球质量

M=-----

G

（2）不考虑月球自转的影响，月球表面的物体受到的重力等于万有引力

G也…

将月球质量代入上式化简可得月球表面的重力加速度

V2

3.（2024•广东•阶段练习）若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同

一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地，若羽毛和铁锤是从高度为〃处下落，经时间/落到月球表面。

已知引力常量为G,月球的半径为R。（AR,不考虑月球自转的影响）求：

（1）月球表面的自由落体加速度大小g月；

（2）月球的质量

（3）月球的第一宇宙速度；

（4）月球的平均密度夕。

【答案】（1）辛（2）桨；（3）A[ihR,-3h

；⑷2»RG产

【详解】（1）月球表面附近的物体做自由落体运动

z12

解得

2h

g月二产

（2）不考虑月球自转的影响，有

「Mm

G言=帆？月

解得

“2hR,

M=b

（3）由第一宇宙速度的物理意义为

-Mmv2

G——=m——

R2R

解得

[2hR

V=^J—

（4）月球的体积为

V=-^3

3

平均密度为

M

p=­

V

解得

3h

p=----------

2兀RGt°

4.（2024•江苏南通•三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为反、RB，且T=2RA，距行星中心r

处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方F随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀

的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。

（1）求行星A、B的密度之比0A：0B；

（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同

的情况下，求铅球射程的比值乙：/。

【答案】（1）0A：0B=4：1；（2）A：4=1：应

【详解】（1）设质量为根的卫星绕行星做圆周运动