韦达化和非对称韦达的处理（2大题型）原卷版-2025年高考数学二轮复习

重难题型•解题技巧攻略

韦达化和非对称韦达的处理（2大题型）

*>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01韦达化处理.............................................................................1

题型02非对称韦达.............................................................................4

•-----------题型探析・明规律-----------<>

题型01韦达化处理

【解题规律•提分快招】

二「储见至瓯祖理-一一—―…

倘若定点尸（0,。，在椭圆上的动点幺（西,%）,802，%），那么：

（1）%・%==%%—（%+%）+厂,此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直

国x2石12

接代入韦达定理求解.

（2）kPA+kPB="二+及二L=%），这里对交叉项西外+x2yx的处理可进一步代入直线

再x2再入2

方程：AB:y=kx+m,化简可得：

后+后=匹％+'%一+/）=2/+（加一伏再+£）（*）,再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，

rArD

x{x2XxX2

（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.

（3）111_而।-2」%+了2%-/（弘+%）.

kPAkPB（%一）（必一）（/一）（必一）

（4）面积计算

①一般方法：S=^AB\d（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）

=2J1+4个（X]+/）4X]X]-kx^-y^+m

（直线为斜截式y=kx+m）

71+F

=gj（Xl+X2>—4%内日o—二

功+7〃

②特殊方法：拆分法，可以将三三角形沿着X轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一

般在x轴或者y轴上，此时，便于找到两，r三角形的底边长.

'2|J（必+%）2-4%为

S/\PAB=S"。/+S^PQB=—|I：力1="

S"AB=^APQA+S.QB=尸。|口>。|4>1+工2）2-4中2

注：注意直线代换中直线反设法的应用，E相设/：x=ty+m

【典例训练】

一、解答题

1.（2024•江西上饶•一模）已知双曲线C:展1r=1（。>0,6>0）的焦点厂与抛物线V=8了的焦点重合，且

双曲线C的离心率为近.

（1）求双曲线c的方程；

（2）若过点0（2,0）的直线/与双曲线C交于42两点，AO/B的面积为2行，求直线/的方程.

2.(2024•河北石家庄•二模)已知M为平面上一个动点，刊到定直线x=l的距离与到定点尸(2,0)距离的比

等于色，记动点M的轨迹为曲线C.

2

⑴求曲线C的方程；

(2)过点尸的直线/与曲线C交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得福•丽为定值？若存在，求出

该定值；若不存在，请说明理由.

22

3.(2024•黑龙江齐齐哈尔•三模)己知双曲线C:三-胃=1(“>0,6>0)的实轴长为2,设尸为C的右焦点,

ab

T为C的左顶点，过尸的直线交。于45两点，当直线45斜率不存在时，的面积为9.

(1)求C的方程；

(2)当直线斜率存在且不为。时，连接以，9分别交直线x于尸，。两点，设M为线段的中点,

记直线W的斜率分别为左,《，证明：发用为定值.

4.(2025•河北邯郸•二模)已知P为圆片：(x+l)2+V=4a2(a>i)上一点，F2(1,0),线段阴的垂直平分线

22

交半径尸周于点。，记动点。的轨迹为曲线C,双曲线「:三-尢=1的一条渐近线被圆片所截得的弦长为

V61.

(1)求曲线C的标准方程；

⑵过C上一点M作斜率为。的直线/,交双曲线「于A、8两点，且M恰好为线段N5的中点，求出点M

的坐标；

⑶若直线/'：歹=区+4与曲线。交于。、E两点，求△OQ£面积的取值范围.

5.（2025•江西新余•一模）平面直角坐标系中，点”与定点尸（6,（））的距离和它到定直线x=孚的距离之

比是常数反.

2

⑴求点M的轨迹方程；

⑵若不过点42,0）的直线/交曲线”于P,。两点；

①若以尸，。为直径的圆过点A,证明：直线/过定点；

②在①条件下，作为垂足.是否存在定点T,使得|。门为定值？若存在，求点7的坐标；若不

存在，说明理由.

22

6.（2024・全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，点（3,0）在双曲线C:》-方=1（。>0,6>0）上，渐近线

方程为x-=0.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点尸（道,1）作直线/与双曲线C交于48两点，在无轴上是否存在一定点。，使得直线3与03的斜率

之和为定值？若存在，请求出点。的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

7.(2024•吉林长春•一模)已知尸为抛物线C:「=2px(p>0)的焦点，。为坐标原点，过焦点下作一条直线

交C于/,3两点，点〃在C的准线/上，且直线板的斜率为的面积为1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)试问在/上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)过焦点尸且与x轴垂直的直线4与抛物线C交于尸，0两点，求证：直线4P与50的交点在一条定直线

上.

8.(2025•广东惠州•模拟预测)己知椭圆C:/+/=l(a>6>0)的长轴长为2挺，离心率为乎.

⑴求椭圆C的方程；

22

⑵己知椭圆5+方=l(a>6>0)上点(X。,为)处的切线方程是学+等=1.在直线/：X=2上任取一点M引

椭圆C的两条切线，切点分别是尸、Q.

①求证：直线尸。恒过定点N；

②是否存在实数彳，使得|RV|+|QV|=RRVHQN|,若存在，求出义的值，若不存在，说明理由.

题型02非对称韦达

【解题规律•提分快招】

1、在一元二次方程办2+bx+c=0中，若A>0,设它的两个根分别为再，马，则有根与系数关系：

西+x,=-勺，xA=-,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理卜-X2I,x；+x；,工+工之类的结构。

aaxxx2

2、但在有些问题时，我们会遇到涉及范，起的不同系数的代数式的应算，比如求%，3±%+2再一%或

x22XXX2一项+x2

彳%+〃£之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立

直线和圆锥曲线方程，消去x或y,也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形

如X]+2*2,彳X,之类中不，Z的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构,

称为“非对称韦达”.

【典例训练】

一、解答题

22

1.(2024•浙江绍兴•三模)设双曲线C：\-2=1(“>0，b>0)的一条渐近线为x-3y=0,焦点到渐

ab

近线的距离为1.4，4分别为双曲线c的左、右顶点，直线/过点7(2,0)交双曲线于点N,记直线

刖2的斜率为左，质.

(1)求双曲线C的方程；

k

⑵求证了}为t定值.

/2

2.2

2.（2024・四川成都・模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆C的方程是土+匕=1.

43

⑴若直线了=日与椭圆C交于48两点，P为椭圆C上任意一点，直线力、总斜率分别为左、k2,求

尢.左2；

⑵过椭圆。的右焦点与作直线交椭圆于〃，N两点.直线八、=4,作于点”证明直线过定点

E,并求出E点坐标.

22

3.（2024•河南新乡一模）已知双曲线C:3-口^=1（。＞0）的左、右焦点分别为耳,巴，且闺玛|=26.

a。+3

（1）求C的渐近线方程.

（2）点。为C的左支上一点，且cos/片。月=].42分别为C的左、右顶点，过点（2,0）的直线交C的右支

于民厂两点，其中点E在x轴上方，直线口与”交于点P.

①求直线耳。的方程；

②证明：点尸到直线耳。的距离为定值.

4.(24-25高三上•湖北•期末)已知椭圆0+/=1的左，右焦点为斗旦，点P是椭圆上任意一点，PF/PFz

a

的最小值是-2.

⑴求椭圆M的方程；

(2)设42为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于43的两点，记直线4C2。的斜率分别为配后2,且

与=3

(i)证明：直线8过定点S；

111

(ii)设直线/C与直线5。交于点。，直线0s的斜率为《，试探究鼠,匚,厂满足的关系式.

/1/243

♦>题里通关•冲高考O

一、解答题

1.(24-25高三上•广东潮州•期末)设厂为抛物线C：J?=4x的焦点，P为c的准线与X轴的交点，且直线

I过点P.

(1)若/与C有且仅有一个公共点，求直线/的方程；

⑵若/与C交于A,8两点，且瓦4，尸8,求的面积.

22

2.(24-25高三上•辽宁・期末)已知直线2x+3k6=0经过椭圆C:2+方=l(a>6>0)的右顶点A和上顶

点、B.

(1)求椭圆C的标准方程及离心率；

⑵与直线平行的直线/交C于两点(M,N均不与C的顶点重合)，设直线即的斜率分别为

左,左2，证明：占自为定值.

3.(2024高三•全国・专题练习)己知双曲线。:0—==1(°>0力〉0)过点“(2,3),且M到直线

ab

7a5

""一E的距离为“

(1)求双曲线C的标准方程.

⑵C的左、右焦点分别为耳，耳，若过大的直线与C交于42两点，直线/月与/交于点P.

(i)证明：直线3P过定点；

(ii)当43两点均在C的左支上时，直线3耳与/交于点0,直线5P与直线交于点。，求△48。的面

积的最小值.

f3、22.

4.（24-25高三上•上海浦东新•期中）已知/（。,3）和尸3,彳为椭圆cj+马=l（a>6>0）上两点.

12/ab

（1）求C的离心率；

（2）若过P的直线/交C于另一点B,且的面积为9,求/的方程；

⑶过。4中点。的动直线与椭圆C有两个交点N,试判断在〉轴上是否存在点T使得而.而W0,若

存在，求出T点纵坐标的取值范围；若不存在，说明利用.

4

5.（24-25高三上•山东潍坊・期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-3,0）,离心率为过点（4,0）

的直线/交C于”，N两点.

⑴求C的方程；

（2）设C的左、右顶点分别为A,B,直线8M与直线x=l交于点G,证明：A,G,N三点共线.

22

6.(24-25高三上•湖北武汉・期末)己知椭圆C：宏+方=l(a>6>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距为

26，点、A,8分别为C的左、右顶点，点尸，。为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，LAPQ

和她尸。的面积分别为S,,记得=2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若4=7-46，求证直线尸。过定点，并求出该点的坐标；

(3)若彳>1,设直线NP和直线8。的斜率分别为占，k2,求3的取值范围.

7.(24-25高三上•河北沧州•期末)平面直角坐标系中，动点尸(xj)到点(1,0)的距离比它到了轴的距离多1.

(1)求动点P的轨迹方程；

⑵若点C为。,2),过“(2,0)的直线/与点p的轨迹交于儿B两点(48与C不重合)，直线/C,BC

与直线x=-2交于点£,下•证明：以跖为直径的圆在x上截得的弦长为定值.

8.(24-25高三上•山东日照・期末)在平面直角坐标系中，已知定点片(-1,0),工(L0),动点T满足

|7^|+|7K|=6,记T的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵过月作x轴的垂线与曲线C在第一象限的交点为M,过点M的直线与曲线C相切，且与x轴交于点p.

(i)点R是曲线C上异于M的一点，且工心欠=24,求直线初?的方程；

(ii)过点尸且斜率不为0的直线交曲线C于A?两点(。在E的左侧)，若N为线段用的中点，直线7VE

交直线于点0,求证：轴.

9.(24-25高三上・安徽铜陵・期末)设椭圆£：1+《=1(46>0).已知点7(0,1),S偿，-口在椭圆E上.

ab<-35)

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵若过点工(2,1)的直线/与椭圆E交于瓦。两点(B在C右侧)，且与线段ST交于点P.

APAB

(i)证明:---=2----

PCBC

(ii)当尸为NC中点时，求直线4P的方程.

2.2

10.（24-25高三上•甘肃武威・期末）已知4-2,0）,3（2