线框过磁场模型-2024-2025学年高二物理上册专项训练

第七节线框过磁场模型

需要掌握的内容

1.线框过磁场电势差问题。

B

0苍,X「后」

正方形线框，四边电阻相同，求匀速通过磁场分别在①②③位置及的值。

①位置时BC为电源AD相当于:总电阻UAD=iBLvo

②位置时BC以及AD为电源，电动势相同并且相反，电路没有电流U/BLv。

③位置时AD为电源AD相当于［总电阻Um=1BLvo

2.线框掉落磁场问题。

mg

LJh

XXXX

B

XXXX

当线框掉落磁场中时由于会出现F安=!118，F安〉mg,F安＜mg三种情况，由于F安

以及v=再，可知线框进场运动情况与线框高度有关。若提到恰好匀速通过则意味着F安

=mg并且线框与磁场等宽，这样整个过程能始终保持单边切割磁场。

当线框完全通过磁场时A①为零，所以根据公式Q=n等，Q=0,意味着电流先正向后

K

反向总电量为零。线框所受安培力冲量方向不变所以冲量I=2BL^„

K

经典习题

单选题1.如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a,磁感应强度的大小为8。

一边长为°、电阻为47?的正方形均匀导线框CZ）斯从图示位置开始沿x轴正方向以速度v

匀速穿过磁场区域，在图中给出的线框£、尸两端的电压。即与线框移动距离x的关系的图

像正确的是（)

y

XXXXXXX：

XXXXXX

DEX

XXXXXXX：

XXXXXXXX

0

XXXXXXXXx

XXXXXXXX

XXXXXXXX

<------------2a------------->

UEF

Bav3Bav

Bav

ABav

A.高B.~4~

3ax0

Bav

\UEF

3Bav-----

~1~~——

BavBav

「C.4QD.丁-

o-3ax

3Bav

单选题2.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程是＞=/,下半

部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是尸4的直线（图中的虚线所示）。一个

小金属块从抛物线上尸b（步Q）处以初速V沿抛物线下滑。假设抛物线足够长，金属块沿

抛物线下滑后产生的焦耳热总量是（)

mv2

B.

,,、mv2

C.mg(b-a)D.mg(b-a)+—

多选题3.由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相

等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一

高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边

界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水

平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（）

甲□□乙

XXXXX

XXXXX

XXXXX

A.甲和乙都加速运动

B.甲和乙都减速运动

C.甲加速运动，乙减速运动

D.甲减速运动，乙加速运动

多选题4.如题图所示，竖直面内有高度为〃的有界匀强磁场，完全相同的闭合矩形导线框

甲和乙，从距离磁场上边界人高度处同时由静止释放，已知L=2h，H>Li,若甲恰好匀

速进入磁场，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

11LJ口

小甲乙

:xBxXXXXX

；XXXXXXXH

!xxxxxxx

!XXXXXXX

A.刚进入磁场时，甲、乙的感应电流方向一定相同

B.刚进入磁场时，甲、乙的加速度一定相同

C.进入磁场过程中，通过甲、乙的电荷量一定相同

D.进入磁场过程中，甲、乙产生的焦耳热一定相同

多选题5.如图所示，质量为加，边长为电阻为R的正方形线框/BCD,线框的8c边

和磁场的边界都与斜面底边平行，斜面倾角为。。线框从图示位置开始沿光滑斜面向下滑动,

中途穿过垂直于斜面向外、有理想边界的匀强磁场区域，磁感应强度为瓦从线框8c边刚

进入磁场开始计时，线框的速度随时间变化的图像如图所示，J时刻线框刚好完全穿出磁场。

由图可知，以下表述正确的是（)

A.线框穿越磁场的过程中所受的安培力一直沿斜面向上

B.线框的3c边进入磁场瞬间3c两点的电势差为

C.线框边穿出磁场瞬间线框的速度为修萼

BL

D.0〜2时间内线框中产生的焦耳热为2加gZsin9-遗浣叱+fv;

单选题6.如图，一个正方形导线框以初速V。向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度

发生变化所用时间分别为〃和5以及这两段时间内克服安培力做的功分别为仍和"2,则

()

XXX

XXX

XXX

A.ti<t2,W1<W2B.ti<t2,W1>W2

C.ti>t2,Wi<W2D.ti>t2,Wi>W2

多选题7.如图所示，两水平虚线1、2之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大

小为B,边长为h的正方形导线框由虚线1上方无初速地释放，释放瞬间ab边与虚线平行

且与虚线1的间距为〃，导线框的质量为机、总电阻为心重力加速度为g。已知cd边与两

虚线重合时的速度大小均为:屈，忽略空气阻力，导线框在整个下落过程中不会发生转

动。则下列说法正确的是（）

A.导线框的成边与虚线1重合时，克服安培力做功的功率大小为回退

r

Q

B.两虚线之间的距离为77〃

14

C.导线框在穿过磁场的过程中，产生的焦耳热为守

D.导线框完全进入磁场后，做匀加速直线运动

单选题8.如图甲所示，光滑绝缘水平面上虚线血W的右侧存在方向竖直向下、磁感应强度

大小B=2T的匀强磁场，的左侧有一质量为加=0.1kg的矩形线圈a6cd,6c边长。=0.2m,

且6c边平行于血W,线圈电阻夫=20。f=0时，用一恒定拉力/拉线圈，使其由静止开始

向右做匀加速运动，经过1s,线圈的6c边到达磁场边界儿CV,此时立即将拉力厂改为变力，

又经过1s,线圈恰好完全进入磁场，在整个运动过程中，线圈中感应电流z•随时间/变化的

图像如图乙所示，则不正确的是（）

A.恒定拉力大小为0.05N

B.线圈在第2s内的加速度大小为Im/s?

C.线圈de边长乙=06m

D.在第2s内通过线圈某一横截面的电荷量q=0.2C

多选题9.如图所示，倾角於37。的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面上间距d=lm的两平

行虚线aa'和6，之间有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度3=5T。现有一质量〃?=lkg,

电阻R=5C,边长也为d=lm的正方形单匝金属线圈MVF0有一半面积位于磁场中，现让线

圈由静止开始沿斜面下滑，下滑过程中线圈边始终与虚线保持平行，线圈的下边

穿出a"时开始做匀速直线运动。已知5也37。=06cos37。=0.8,线圈与斜面间的动摩擦因数

为0.5,重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（）

A.线圈做匀速直线运动时的速度大小为0.4m/s

B.线圈速度为0.2m/s时的加速度为1.6m/s2

C.线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中产生的焦耳热为3J

D.从开始到线圈完全进入磁场的过程，通过线圈某一截面的电量为0.5C

多选题10.如图所示，由同种材料、粗细均匀的电阻丝绕制成的矩形导体框仍力的仍边

长为/、6c边长为2/,在外力作用下以速度v向右匀速进入有界匀强磁场，第一次成边与

磁场边界平行、第二次船边与磁场边界平行。不计空气阻力，则先后两次进入过程（）

XXXX

d.______a

XXXX

c----------b

XXXX

a——.bXXXX

XXXX

d'----'cXXXX

A.线圈中电流之比为1:2

B.外力做功的功率之比为1:2

C.通过导体棒截面的电量之比为1:2

D.刚进入磁场时，6两点间的电势差之比为5:2

单选题n.如图所示，虚线右侧存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，正方形金属线框电

阻为R,边长是L自线框从左边界进入磁场时开始计时。在外力作用下由静止开始，以垂

直于磁场边界的恒定加速度.进入磁场区域，〃时刻线框全部进入磁场。规定顺时针方向为

感应电流/的正方向，外力大小为尸，线框中电功率的瞬时值为P,通过导体横截面的电荷

量为q，其中P4图像为抛物线。则图中这些量随时间变化的关系正确的是（）

12.如图所示，两根等高光滑的四分之一圆弧形轨道与一足够长水平轨道相连，圆弧的半径

为&、轨道间距为乙=lm,轨道电阻不计。水平轨道处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应

强度为囱=1T,圆弧轨道处于从圆心轴线上均匀向外辐射状的磁场中，如图所示。在轨道上

有两长度稍大于乙八质量均为加=2kg、阻值均为R=0.5。的金属棒a、b,金属棒6通过跨过

定滑轮的绝缘细线与一质量为M=lkg、边长为L=0.2m、电阻尸0.05。的正方形金属线框相

连。金属棒。从轨道最高处开始，在外力作用下以速度v尸5m/s沿轨道做匀速圆周运动到最

低点儿W处，在这一过程中金属棒6恰好保持静止。当金属棒。到达最低点处被卡住，

此后金属线框开始下落，刚好能匀速进入下方〃=lm处的水平匀强磁场为中，为=道丁。

已知磁场高度〃＞工2,忽略一切摩擦阻力，重力加速度为g=10m/s2,求：

(1)辐射磁场在圆弧处磁感应强度星的大小；

(2)从金属线框开始下落到进入磁场前，金属棒。上产生的焦耳热0；

(3)若在线框完全进入磁场时剪断细线，线框在完全离开磁场历时刚好又达到匀速，已知

线框离开磁场过程中产生的焦耳热为。=10.875J,则磁场的高度X为多少。

IXXXXXX

13.真空管道超高速列车减速时，需在前方设置一系列磁感应强度相同的磁场区域，如图所

示是这种列车减速时的模型，图中粗实线表示间距为小电阻不计的两根足够长的平行光滑

金属导轨，导轨固定在绝缘的水平面上，导轨内等间距分布着足够多的有界匀强磁场区域磁

感应强度的大小都为8,方向与导轨平面垂直，每一有界磁场区域的宽度及相邻有界磁场区

域的间距均为/,这些磁场区域从左向右编号依次为1、2、3……n-U„o仍和〃是两根

与导轨垂直、长度均为/、阻值均为尺的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，二者之间

通过一绝缘细杆相连，并与导轨接触良好，其间距为s列车的总质量为m。若列车

以水平向右的速度V。驶向第一个磁场区域。求：

(1)金属棒在刚进入第一个磁场区域的瞬间，两端的电压及此时列车加速度大小;

(2)金属棒cd在穿过第一个磁场区域的过程中，abed回路中产生的焦耳热;

(3)列车能够穿过这种完整有界磁场区域的个数。

§6111121

LHfx~x_x"!Fx~xx；

s；〃；

―%►j!XxXxn%Xj!XxXX

14.如图所示，绝缘水平面上有条形区域I、n、in,其宽度均为s,区域I内有磁感强度大小

为B,竖直向下的匀强磁场，正方形金属线框a加力边长为s,线框总电阻为尺、ad边和

be边的质量均为加，仍边和cd边质量不计，线框制作平整，与水平面贴合良好，除区域III

水平面与线框间有恒定的动摩擦因数外，其余部分光滑。线框以初速度％进入匀强磁场，运

动至线框中心对称线与E尸重合时，速度恰好减为零，重力加速度为g,求:

(1)线框刚好完全进入区域I的速度大小；

(2)区域ni水平面与线框间的动摩擦因数。

15.线性涡流制动是磁悬浮列车高速运行过程中进行制动的一种方式。某研究所制成如图所

示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的泯流制动过程。车厢下端有电磁铁系统固定在车

厢上，能在长4=0.6m、宽4=0.2m的矩形区域内产生沿竖直方向的匀强磁场，磁感应强

度可随车速的减小而自动增大(由车内速度传感器控制)，但最大不超过缥=2T,长大于4、

宽也为乙的单匝矩形线圈间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为右，每个线圈的电阻为R=

0.1Q,导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为%=20m/s时，启动电磁铁制动系

统，车立即以加速度a=2m/s2做匀减速直线运动；当磁感应强度增加到2T后，磁感应强度

保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m=36kg,不计空气阻力，不考虑

磁场边缘效应的影响。求

(1)从启动电磁铁制动系统开始到电磁铁磁场的磁感应强度达到最大过程中磁感应强度8

与时间t的关系表达式，并求出磁感应强度达到最大时所用的时间；

(2)模型车从启动电磁铁制动系统到停止，共经历了多少个矩形线圈？

答案

第七节

1.D

【详解】当x在0〜。范围内时，线框进入磁场，此时昉切割磁感线产生的感应电动势大小

为

E=Bav

根据右手定则可知此时E点电势高于尸点电势，根据闭合电路欧姆定律可得

33

U=—E二一Buv

EF44

当X在Q〜2a范围内时，线框全部在磁场中运动，此时回路中磁通量不变，感应电流为零，

所以

EF=E—Bav

当x在2a〜3a范围内时,线框离开磁场，此时DC切割磁感线产生的感应电动势大小也为E,

根据右手定则可知此时E点电势仍高于尸点电势，根据闭合电路欧姆定律可得

U=—E=—Buv

EF44

综上所述可知D正确。

故选Do

2.D

【详解】圆环最终在丁=。以下来回摆动，以尸b处为初位置，处为末位置，可

知末位置的速度为零，在整个过程中，重力势能减小，动能减小，减小的机械能转化为内能,

根据能量守恒得

12

Q=mg(b-a)+—mv

3.AB

【详解】设线圈到磁场的高度为〃，线圈的边长为/,则线圈下边刚进入磁场时，有

v=42gh

感应电动势为

E=nBlv

两线圈材料相等（设密度为0），质量相同（设为加），则

m=4nlxS

设材料的电阻率为。，则线圈电阻

4„Z16眉2Pp0

R=p----=-------------

Sm

感应电流为

_EmBv

1——

R16nlppo

安培力为

F="BH=』

i6m

由牛顿第二定律有

mg-F=ma

联立解得

FB2V

a=8-m=8-^

加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度。当

2

D2§2VD

g>-一时，甲和乙都加速运动，当一时，甲和乙都减速运动，当g=7^一时都

i6mi6mi6m

匀速。

故选AB-

4.AC

【详解】A.刚进入磁场时，甲、乙线框的两个下导体边切割磁感线的方向相同，由右手定

则可知，两个闭合矩形导线框中产生的感应电流方向相同，A正确;

B.设线框的电阻是汽，刚进入磁场时，若甲恰好匀速进入磁场，则有

F炉为

mS=F^=—^~

乙线框刚进入磁场时，则有

22

5（2Z2）V

-mg=ma

R

解得

a=3g

B错误；

C.进入磁场过程中，由电荷量计算公式

△①

q=n----

\t

可知，由于甲和乙是完全相同的闭合导线框，所以通过甲、乙的电荷量一定相同，C正确;

D.在甲线框进入磁场过程中，做匀速运动，克服安培力做功，即产生的焦耳热

=2mgL1

由题意可知，两线框进入磁场时的速度相等，进入磁场过程中，甲做匀速运动，乙做减速运

动，则有乙完全进入磁场中时的速度小于甲线框进入磁场中时的速度，乙克服安培力做功，

即产生的焦耳热

=mgL2+NE^

上式中的A&是乙线框动能的变化量，由于加gL与△品的关系不能确定，因此进入磁场过程

中，甲、乙两线框产生的焦耳热可能相同，也可能不相同，因此不一定相同，D错误。

故选ACo

5.ACD

【详解】A.由图可知，线框穿越磁场的过程中先做变减速后做匀速，则所受的安培力一直

沿斜面向上，选项A正确；

B.线框的3C边进入磁场瞬间3C边产生的感应电动势为

E=BLvo

此时8C两点的电势差为

3

UBC=1BLV。

选项B错误；

C.线框/£＞边穿出磁场瞬间线框做匀速运动，则

解得速度为

mgRsin9

V=------------

B21}

选项C正确；

D.整个过程中由能量关系

1212

Q=mg-2Zsin0+—mv0-—mv

即0〜时间内线框中产生的焦耳热为

co.m3g2R2sin231,

Q=2mgLsmO----亦不—机/

选项D正确。

故选ACDo

6.B

【详解】设线框刚进入磁场是速度为V/,刚离开磁场时速度为V2,由动量定理得

-BIxLtx=mvl-mvQ,-BI2Lt2=mv2-mvx

又

EBLvBLx--

q=F=^~t=^~=i，i

可得

匕一%="2一匕

线框进入磁场和离开磁场的过程都受向左的安培力作用而减速，进入过程平均速度大于离开

过程平均速度，根据》=而知

根据动能定理

]]11

Wx=-mv1--mvy,W2=—mvl--mvf

可知

空=%±A>i

%%%

故选B。

7.CD

【详解】A.设当导线框的边与虚线1重合时，速度为v/,根据动能定理可得

712

mgn=—mvx

解得

匕=7^

所以安培力为

Bhv_B2h2v

F安=BIh=Bhxx

克服安培力做功的功率为

故A错误;

B.导线框刚全部进入磁场的过程中即〃边与虚线1重合时，由动能定理得

1212

mgh-/安=—mv--

所以克服安培力做的功为

14

W克安=~^mgh

设两虚线间的距离为〃，由题意可得当导线框的附边与虚线2重合时，速度也为由动

能定理可得

mgh'-印克安=0

解得

hr=­h

9

故B错误;

C.导线框在穿过磁场的过程中，产生的焦耳热为

28

Q=2W克安=—mgh

故C正确;

D.导线框完全进入磁场后，因无感应电流产生，导线框做匀加速直线运动，故D正确。

故选CDo

8.C

【详解】A.根据题意，由图乙可知，be进入磁场时，线圈中的电流为0.1A,设此时线圈

的速度为匕，则有

E=BLVl,i

17

解得

匕=0.5m/s

从开始运动到儿边恰好进入磁场的过程中，由动量定理有

Ft】=mvx

解得

尸=0.05N

即恒定拉力大小为0.05N,故A正确，不符合题意；

B.根据公式E=8"和i=?可得，线圈中的感应电流为

R

.BL,v

i=———

R

由图乙可知，1s〜2s内电流均匀增加，则线圈的速度均匀增加，即线圈做匀加速运动，，=2s

时，线圈电流为0.3A,同理可求，此时，线圈的速度为

v2=1.5m/s

则线圈在第2s内的加速度大小为

a=———=lm/s2

故B正确，不符合题意；

C.根据题意可知，线圈立边长为线圈在第2s内运动的距离，则

故C错误，符合题意；

D.在第2s内通过线圈某一横截面的电荷量为

丝二星£02C

RR

故D正确，不符合题意。

故选C。

9.AD

【详解】A.线圈做匀速直线运动时，沿斜面有

mgsin0=jumgcos6+Bld

Bdv

1二---

R

两式联立得

v=0.4m/s

故A正确；

B.线圈速度为0.2m/s时，沿斜面有

B2d2V

mgsin0-/umgcos3-----^-^-=ma

解得

a=lm/s2

故B错误；

C.线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中，根据能量守恒定律有

mgsin9-=pimgcos0­+^mv?+0

代入数据有

Q=2.92J

故c错误;

D.根据

__EAOAOBd-

q—TIt1=1==-----

RtRR2R

代入数据有

q=0.5C

故D正确。

故选ADo

10.AD

【详解】A.根据

E=BLv

可知，在导体框进入磁场的过程中，第一次与第二次切割磁感线的有效长度之比为1:2,因

此可知第一次和第二次导体框产生的感应电动势之比为1:2,设导体框的电阻为R,则感应

电流

I/

R

同一导体框，总电阻相同，则可知，感应电流之比也等于1:2,故A正确；

B.导体框在进入磁场的过程中，上下两边所受安培力始终大小相等方向相反，因此导体棒

所受安培力的合力实际等于切割磁感线的边所受安培力的大小，根据

F灰=BIL

可知，第一次和第二次进入磁场时电流之比为1:2,切割磁感线的边长之比为1:2,因此可

知第一次和第二次导体框所受安培力大小之比为1:4,而导体框匀速进入磁场，因此可知，

外力大小之比为1:4,则外力所做的功之比为

%__12_J_

W2~F^l~2

而两此导体框进入磁场中所用时间之比为

2/v2

—=—X—=—

t2V11

由此可得外力的功率之比为

我一致X包」

P24%224

故B错误;

C.根据法拉第电磁感应定律

-△①3

E=n----=nB-----

△t垃

则

EAS

I7=—=nBR-----

RRM

而

~ASAS

q=I\t=nB=nB

R\tR

其中〃=1,贝1」

q=B——

R

可知，两次导体框完全进入磁场后面积的变化量相同，因此两次通过导体棒截面的电量之比

为1:1,故C错误；

D.刚进入磁场时，切割磁感线的导体相当于电源，则第一次服6两点间的电势差为路端

电压，有

第二次进入磁场时外6两点间的电势差为

UOK=^B2lv=^-Blv

o3

则可知两次的电势差之比为

Uab26Blv2

故D正确。

故选ADo

11.c

【详解】A.由于线框做初速度为0,加速度为〃的匀加速直线运动由

v=at,E=BLv,I=

解得感应电流

感应电流与时间成正比，A错误;

B.由安培力公式有

由上面几式解得

线框做匀加速度直线运动由牛顿第二定律有

F-F安=ma

解得

F=----------\-ma=kt+ma

R

外力与时间的关系为一次函数，不是成正比，B错误;

C.线框中电功率的瞬时值为尸则

P=F"v

线框中电功率的瞬时值为尸与时间是二次函数关系，图像有开口向上的抛物线，C正确;

D.通过导体横截面的电荷量为q有

..l丁E

q=IAt,E=----,I——

NtR

由上式解得

又因为磁通量的变化量有

A<D=5AS=BLx,

解得

通过导体横截面的电荷量为q与时间是二次函数关系，图像有开口向上的抛物线，D错误。

故选C。

12.(1)2T；(2)2J；(3)1.2m

【详解】(1)金属棒。从轨道最高处开始，做匀速圆周运动到最低点处过程中，金属棒

6恰好保持静止，受安培力与绳拉力平衡，由平衡条件

K=4=Mg

又由

E

K=I骷,4=品，耳=34%

联立并代入数据解得

B2=2T

(2)金属线框刚好能匀速进入匀强磁场当中，设速度为v/,金属线框受力平衡有

Mgf+F安

F

F安—IB3L2,I=—,E=B3L2Vl

r

对此时金属棒b受力分析有

T?=F?=

又由

A>Ei=片印

联立解得

匕=2m/s

从金属线框开始下落到进入磁场前，根据能量守恒有

Mgh=^（M+m）v^+Q&

Q&=Qa+Qb=双

解得

a=2j

(3)线框在完全离开磁场以时刚好又达到匀速，设速度为”2,则有

Mg=F^

又有

F安=B3L2I,i'=—,E=B3L2V2

r

解得

v2=2.5m/s

在线框完全进入磁场到完全离开磁场，由能量守恒

11

MgH=-Mv^9-~Mv^9+&

解得

H=1.2m

2424s2

13.(1)-BLv.,二£%；(2)Q=■(3)见解析

22mRR2mR2

【详解】(1)感应电动势为

E=BLvo

又

E=2IR,Uab=IR

联立解得

U“b=|BLv0

由牛顿第二定律

BIL=ma

解得

a=^

2mR

(2)设列车离开第一个磁场区域时的速度为切，由动量定理得

-BIJAt=m{vx-v0)

又

—A①।--

E[=-----,E[=2R,AR=2BLs

Nt

解得

由能量守恒定律得

解得

正厂s.B心

'--R2加一

(3)由题意可知，列车最终的速度为0,从开始到列车停止，全程由动量定理得

-BILAt=m(0—%)

又

__-△①

E=I-2R，E=——,△①=BLx

At

解得

2mVcR

x=—9?

设列车能够穿过〃个磁场，则有

xmv^R

几=—=~

2sB72l77s

若2里恰为整数，则列车能够恰好穿过臀个完整磁场；

BLs