角平分线的性质课件数学八年级下册

1.4.1角平分线的性质第1章直角三角形湘教版数学8年级下册（公开课课件）授课教师：********班级：********时间：********一、教学目标知识与技能目标学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。过程与方法目标通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观目标让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。二、教学重难点重点直角三角形的性质和判定定理。勾股定理及其逆定理的应用。难点勾股定理及其逆定理的证明。灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。三、教学方法讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。（二）知识讲解（20分钟）直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余。引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为180°，在直角三角形中，有一个角是90°，那么另外两个锐角之和为180°-90°=90°，即两个锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形的判定有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，所以这个三角形是直角三角形。勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。勾股定理的逆定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为c，与原三角形三边对应相等，根据SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。学习目标1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.

（重点）5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解挑战第一关情境引入问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分

线吗？

用量角器度量，也可用折纸的方法．问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？提炼图形

问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.尺规作角的平分线AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？OＯ已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：连接CM,CN

在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB自学检测：如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂线。怎么画呢？自学检测：若点Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看这个问题能不转化为“画线段垂直平分线”的问题呢？自学检测：复习引入1.角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OBCA122.下图中能表示点P到直线l的距离的是

.线段PC的长PlABCD3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是

.AAPPl1l2l1l2图1图2图1角平分线的性质如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.PAOBCDEPD=PE作图探究验证结论已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC典例精析例

已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是

.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的

任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4温馨提示：存在两条垂线段———直接应用典例精析1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件知识与方法利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解

DA.

B.

C.