自动控制原理 7.4~7.5学习资料

7.4线性连续系统的可控性与可观性分析

可控性(controllability)和可观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，是由R.E.Kalman于20世纪60年代初首先提出并研究的这两个重要概念。粗略地说，所谓系统的可控性问题是指：对于一个系统，控制作用能否对系统的所有状态产生影响，从而能对系统的状态实现控制。所谓系统的可观性问题是：一个系统，能否在有限的时间内通过观测输出量，识别出系统的所有状态。经典控制理论应用传递函数来研究系统的输入/输出关系，输出量就是被控量，只要系统稳定，输出量就可以控制。而输出量又总是可以量测的，所以在理论上和实践上都不存在能否控制和能否观测的问题。而在现代控制理论中，着眼于对状态的控制，状态向量x(t)的每个分量能否一定被控制u(t)控制呢？每个状态变量的分量能否一定可用y(t)来量测呢？回答是不一定的。这两个问题的答案完全取决于受控系统本身的特性。桥式网络，选取电感电流和电容电压作为状态变量。当电桥处于非平衡状态时，系统可控可观测；当电桥平衡时，系统不可控也不可观测。7.4.1可控性与可观测性的概念1、线性连续系统的状态可控性(1)状态可控，总有定义在时间域上的控制函数能使系统从任意初始状态，转移到任意终止状态则称该系统的这一特定状态时刻是可控的在对于系统{A,B}及某一个特定的状态，若对每一个(2)系统状态完全可控如果系统的每一个状态都可控，则称该系统为状态完全可控，简称状态可控。物理意义：不论初始状态在何处，通过控制函数，可以将初始状态转移到指定位置。2、线性连续系统的输出可控性若对每一个系统{A(t),B(t),C(t),D(t)}及某一个特定的初始输出,总存在定义在时间域上的控制函数u(t),能把系统{A(t),B(t),C(t),D(t)}从初始输出,转移到任意输出,则称该系统{A(t),B(t),C(t),D(t)}为输出完全可控的。物理意义：不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出转移到指定位置。3、线性连续系统的状态可观测性(1)状态可观测性系统{A(t),C(t)}及某一个特定的初始状态可用有限时间区间量测到的输出y(t)来确定，那么称状态时刻可观测的。是若状态在所有时刻都是可观测的，则又称该状态为一致可观测的。已知无外力作用时系统的状态方程为物理意义：可控性和可观性是状态空间法设计问题完全解存在性的条件。可控性是状态反馈的实现的必要条件；可观性是状态估计的必要条件。在进行系统设计之前，必须判断系统是否可控和可观。(2)系统状态完全可观测若系统{A(t),C(t)}的状态空间中每一个状态都是可观测的，则称该系统是状态完全可观测的，或简称状态可观测的。当系统状态不可测量时，可以通过测量到的系统输出估计出状态值。7.4.2线性连续系统的可控性判据

1、状态可控性的格拉姆(Gramian)矩阵判据已知系统的状态方程该系统的可控性格拉姆(Gramian)矩阵为非奇异矩阵。2、线性定常连续系统可控性的秩判据线性定常连续系统{A,B}状态完全可控的充要条件是：线性连续系统{A(t),B(t)}在时刻可控的充要条件是：可控性矩阵满秩例：判断系统的状态可控性解：此为3阶系统，n=3系统状态不完全可控例：若系统为可控标准型判断状态可控性解：可控性矩阵为下三角阵，所以满秩，系统状态完全可控3、对角阵标准型和约当标准型判据若系统具有互异的n个特征根，可化为对角阵标准型，如下所示：所示系统状态完全可控的充要条件是上式中没有全零行。有重特征根，但系统可以化为对角阵时，此判据不成立。系统完全可控。约当阵标准型判据系统状态完全可控的充要条件是B中对应每个约当块的最后一行不是全零行。系统完全可控。例：判断系统可控性解：秩为2，不完全可控。虽然没有全零行，但系统不完全可控。线性变换会不会改变系统的状态可控性？因为P为非奇异矩阵，不影响矩阵的秩。线性变换不会改变系统状态的可控性。4、系统输出的可控性判据线性定常连续系统系统{A,B,C,D}输出可控的充要条件是输出可控性矩阵满秩。线性变换不会改变系统输出的可控性。7.4.3线性定常连续系统的可观测性判据1、状态可控性的格拉姆(Gramian)矩阵判据已知系统的动态方程线性连续系统{A(t)，C(t)}在t0时刻可观的充要条件是：该系统的可观性格拉姆(Gramian)矩阵为非奇异矩阵。2、线性定常连续系统可观性的秩判据线性定常连续系统{A，C}在状态完全可观的充要条件是：可观性矩阵Po满秩，其中为可观性矩阵。例：判断系统的状态可观性解：此为2阶系统，n＝2系统状态不完全可观。可观测标准型可观测标准型一定可观测。3、对角阵标准型和约当标准型判据若系统具有互异的n个特征根，可化为对角阵标准型，如下所示所示系统状态完全可观的充要条件是中没有全零列。有重特征根，但系统可以化为对角阵时，此判据不成立。约当阵标准型判据系统状态完全可观测的充要条件是中对应每个约当块的第一列不是全零列系统不完全可观因为P为非奇异矩阵，不影响矩阵的秩。线性变换不会改变系统状态的可观性。7.4.4对偶原理线性系统S1：为对偶系统。线性系统S2:可控标准型和可观测标准型就是一对对偶系统。对于对偶系统有如下性质，即对偶原理。对偶原理： 当且仅当系统S2完全可控（完全可观测）时，系统S1才是完全可观测（完全可控）的。7.4.5传递函数阵与可控性、可观性的关系若系统是不可控或不可观的，则该系统的传递函数矩阵中一定会出现零极点对消。对单输入－单输出系统，若传递函数

g(s)＝c(sI一A)-1b十d中出现零极点对消（即传递函数的既约分母的阶次小于系统的状态维数），则该系统的可控性和可观性至少有一个被破坏。例：分析下列系统的可控性、可观性，并求传递函数。可控但不可观可观但不可控同一系统，可控性和可观性的差异是由于系统出现了零极点相消现象。系统是不可控还是不可观，取决于状态的选取。只有当传递函数没有零极点对消时，系统才既可控，又可观。同一个输入输出关系的系统如果找得到一个非奇异常数矩阵P,满足系统{A，B，C,D}与系统为等价动态方程。通过线性变换的等价动态方程具有相同的可控性和可观性。如果找不到一个非奇异常数矩阵P,满足不能保证具有相同的可控性和可观性。凡是系统完全可控的状态方程，一定可以通过线性变换变为可控标准型。对于可控的单输入单输出系统单输入单输出系统可控标准型的变换阵是唯一的。凡是系统完全可观的状态状态空间表达式，一定可以通过线性变换变为可观标准型。作线性变换得到7.5线性定常系统的状态反馈和极点配置

7.5.1状态反馈和输出反馈

考虑一个线性定常系统：{A，B，C}这个状态空间表达式就是G(s),前面几章介绍的是输出反馈1、输出反馈当系统为n阶状态，m个输入，l个输出时H叫做输出反馈增益矩阵此时系统矩阵变为，输入矩阵和输出矩阵没变闭环系统（y对r）的传递函数矩阵是通过输出反馈都改变了系统的系统矩阵，即系统闭环的特征方程也改变了，以达到改变系统闭环极点的目的。可以证明，通过输出反馈，不会改变系统的可控性和可观测性。例：已知系统传递函数为希望将闭环极点配置在处试用输出反馈进行设计，确定输出反馈增益阵。解：首先选择状态变量，为了方便，建立可控标准型因为是单输出，所以令反馈阵H＝h闭环后的特征方程应该等于希望的特征方程无解，即表明通过输出反馈不能实现极点的任意配置。2、状态反馈K称为状态反馈增益矩阵。此时系统矩阵变为(A-BK)，输入矩阵和输出矩阵没变，所以闭环系统（y对r）的传递函数矩阵是通过状态反馈改变了系统的系统矩阵,达到改变系统闭环极点的目的。可以证明，通过状态反馈，不会改变系统的可控性，但有可能改变系统的可观测性。试用状态反馈进行设计，确定状态反馈增益阵。解：设状态反馈增益阵为K闭环后的特征方程应该等于希望的特征方程，状态反馈可以任意配置极点。7.5.2状态反馈进行极点的任意配置1、任意配置极点的充要条件状态反馈可以任意配置闭环系统极点的充要条件是系统{A，B，C}状态完全可控。2、单输入单输出系统的极点配置步骤状态反馈令状态反馈后的系统特征方程用待定系数法，求出k1，k2，‥‥kn。当系统阶次高于3阶，计算就很复杂。特殊情况：系统为可控标准型状态反馈仍然是友矩阵的形式，直接写出状态反馈后的特征方程用待定系数法，可以直接写出k当系统给出的状态空间表达式表示可控标准型时，可以通过线性变换变成可控标准型；但注意，状态不完全可控的系统不能通过线性变换变为可控标准型；状态反馈要求状态可测；当状态不可测时，通过构成观测器，估计该状态；估计该状态的条件是该状态可观。小结状态空间模型状态空间模型的概念已知微分方程求状态空间表达式已知传递函数求状态空间表达式已知状态空间表达式求传递函数阵线性变换线性变换的关系线性变换的特点——不变性特征方程不变、特征根不变、传递函数阵不变可控性不变、可观性不变化对角阵、约当阵的变换阵的求法小结（续）状态方程求解如何求状态转移矩阵的性质可控性、可观性概念判据状态反馈状态反馈的特点——任意配置极点配置极点的方法第二章掌握特定系统求微分方程弹簧—质量—阻尼系统电路液位系统传递函数——零初始条件方块图化简四个传递函数第三章求出时间响应——部分分式展开，拉氏反变换；动态性——一阶、欠阻尼二阶的性能指标公式；

——主导极点；

——主导极点以外的极点什么情况下可以忽略；稳态性——稳态误差与型别、开环放大系数和输入有关；稳定性——劳斯稳定性判据；系统设计——根据给出的性能指标确定参数；（一般原则）根据稳态误差或稳定性求出K的范围；再根据动态指标给出主导极点后，确定二阶参数；第四章

频率特性的物理意义

典型环节及开环系统的频率特性图

Nyquist图Bode图

频域稳定性判据Nyquist稳定判据对数频率特性稳定判据包围、穿越、辅助线相对稳定性幅值裕