自动控制原理 第三章 时域分析1学习资料

第三章时域分析法3.1引言3.3一阶系统的时域分析3.4二阶系统的时域分析3.2线性系统稳定性分析3.5线性系统的误差分析

本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；以及计算系统稳态误差的方法。

控制系统分析是指一个实际系统的数学模型建立后，对系统的稳定性、瞬态响应和稳态误差进行分析，判断其性能指标是否满足要求。

时域分析法是从系统的微分方程入手，求解系统的微分方程，由输出的时间响应来分析系统性能，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。3.1引言稳定性若控制系统在初始条件或扰动作用下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐进稳定，简称稳定；反之，若系统的瞬态响应随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，于外加信号无关。劳斯判据瞬态响应瞬态响应（动态响应）：一个稳定系统，在典型信号作用下从初始状态到稳态的过渡过程。分析方法直接求解法——得到系统输出y(t)表达式。间接评价法——通过时域性能指标来评价系统的品质，受到广泛使用。计算机仿真法——可对复杂的、高阶的、多变量的系统求解y(t)，直接得到各种指标。稳态响应指系统在典型信号作用下，当时间t→∞,系统输出量的表现方式，又称为稳态过程；稳态响应可以提供系统有关稳态误差（精度）的信息；从数学形式上看，是令系统响应中所有衰减模态趋于0的形式；

在控制系统的分析研究中，首要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而振荡甚至发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论：

稳定性的定义稳定的充要条件劳斯稳定判据§3-2控制系统的稳定性

稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是（渐进）稳定的。否则，称该系统是不稳定的。一、稳定性的定义

根据上述稳定性的定义，可以用脉冲函数作为输入信号来描述系统的稳定性。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于无穷时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。设控制系统的闭环传递函数为:特征方程为:如果特征方程有q个实数根Pi

和r对共轭复数根,则当系统输入为单位脉冲函数时，系统输出的拉氏变换可表示为:用部分分式法展开并进行拉氏反变换得单位脉冲响应为：二、稳定的充要条件讨论：(1)当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有，此时系统是稳定的。(2)如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有，系统是不稳定的。(3)如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C(t)趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，称之为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。线性定常系统稳定的充分必要条件：

闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于S平面的左半部分（不包括虚轴）。二、稳定的充要条件三、劳斯稳定判据高阶微分方程难于求解；数学家劳斯于1877年提出劳斯稳定判据；劳斯稳定判据是一种代数判据，无需求解微

分方程；判断系统稳定性分两步：1、用稳定的必要条件进行筛选；2、用劳斯判据判断系统稳定与否，若不稳定，

还可求出不稳定的根的个数；设系统的特征方程为：假设上式中an>0（当an<0时，可将方程两边同乘以－1）。若该方程的特征根为Pi

（i=1，2，…，n），该n个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为：……1、稳定的必要条件:特征方程的各项系数同号且不缺项.如果系统稳定（Pi都具有负实部）特征方程系数为正将上式展开：例：判断以下闭环系统稳定性。系数缺项，系统不稳定系统可能稳定1、稳定的必要条件:特征方程的各项系数同号且不缺项.一项为负，系统不稳定将系统的特征方程写成如下标准形式：

将方程各项系数组成劳斯表:2、劳斯稳定判据

这个计算过程一直进行到n+1行为止。1、劳斯表的前两行由系统特征方程的系数直接构成；2、劳斯表中每右移一列降两阶；3、劳斯表计算为:用次对角线乘积减去主对角线乘积，然后除以上一行第一个元素；运算中出现的空位，均置以零;一直计算到第n+1行，且第n+1行仅第一列有值，恰好等于特征方程常数项系数；如果劳斯表中第一列的系数都为正，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。2、劳斯稳定判据例3-1已知系统的特征方程为

试用劳斯判据分析系统的稳定性。解：列劳斯表表中第一列全为正，故系统稳定！

由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以一个正数后，再继续运算。

上例中，劳斯表可按如下方法计算；

1141061726758(同乘以6)791134（同乘以67）36900（同乘以791）134由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致。

劳斯判据的简化运算例3－2已知系统的特征方程为

s4+2s3+s2+s+1=0

试用劳斯判据判断系统的稳定性。解列劳斯表如下S4111S3210S2(2*1-1*1)/2=0.5(2*1－1*0)/2=1S1(0.5*1-2*1)/0.5=-30S0(-3*1-0.5*0)/-3=1由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由0.5变为-3，另一次由-3变为2，故特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。解：由特征方程列出劳斯表12512050

例3－3已知系统的特征方程为

试判别系统的稳定性。

(0-5)/0

第一种特殊情况的处理1）劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零。稳定性：系统不稳定，存在共轭虚根或者S右半平面的根。处理规则：用一个很小的正数

代替第一列的零项，然后按照通常方法继续计算劳斯表中的其余项。不稳定根的个数：若劳斯表第一列系数符号无变化，说明系统特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共轭虚根，系统处于临界稳定状态，共轭虚根的个数通过求解特征方程得出；若劳斯表第一列系数符号变化，说明系统特征方程存在位于S右半平面的根，根的个数由符号变化的次数决定；解：由特征方程列出劳斯表125120500

5首先，由于劳斯表第一列出现零项，可知系统是不稳定的。当e的取值足够小时，(2ε-5)/ε

=2-5/ε

将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，所以特征方程有两个根具有正实部。例3－3已知系统的特征方程为

试判别系统的稳定性。

(2ε-5)/ε

18201621216021216

000

例3－4已知系统的特征方程为分析系统的稳定性。解由特征方程列劳斯表2）劳斯表中某行（如第k行）所有系数均为零。稳定性：系统不稳定，存在关于原点对称的根，比如对称实根、对称复根、共轭虚根。处理规则：利用第k-1行的系数构成辅助方程。求辅助方程对s的导数，用其系数代替第k行的全零行，继续计算劳斯表。特征方程中关于原点对称的根可由辅助方程求得。不稳定根的个数：若劳斯表第一列系数符号无变化，说明系统特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共轭虚根，系统处于临界稳定状态；若劳斯表第一列系数符号变化，说明系统特征方程存在位于S右半平面的根，根的个数由符号变化的次数决定；第二种特殊情况的处理18201621216021216000

由上表看出，行的各项全为零，为了求出～各行，由行的各项系数构成辅助方程将辅助方程对s求导得用上式各项系数作为行的各系数继续计算劳斯表得例3－4已知系统的特征方程为分析系统的稳定性。解由特征方程列劳斯表

1820162121621216

8246168/316

结论：系统不稳定，且存在两对共轭的虚根，不稳定根个数为4个。

劳斯表第一列系数符号无变化，说明系统特征方程不存在位于S右半平面的根，但存在共轭虚根，系统处于临界稳定状态；1-2

-7

-4

1

-3

-4

0

1

-3

-4000

由上表看出，行的各项全为零，为了求出～各行，由行的各项系数构成辅助方程将辅助方程对s求导得用上式各项系数作为行的各系数继续计算劳斯表得例3－5已知系统的特征方程为分析系统的稳定性。解由特征方程列劳斯表

1-2

-7

-4

1

-3

-4

0

1

-3

-40

4

-60

-1.5

-4

-16.70

-4

结论：系统不稳定，且存在一个正实部根和一对共轭的虚根，不稳定根个数为3个。

劳斯表第一列系数符号变化一次，说明系统特征方程存在一个位于S右半平面的根，系统不稳定；

直接求解特征方程，其特征根为：劳斯表的总结1、劳斯表的前两行由系统特征方程的系数直接构成；2、劳斯表中每右移一列降两阶；3、劳斯表计算为：用次对角线乘积减去主对角线乘积，然后除以上一行第一个元素；运算中出现的空位，均置以零；一直计算到第n+1行，且第n+1行仅第一列有值，恰好等于特征方程常数项系数；4、为简化运算，可把劳斯表的某一行同乘以一个正数后，再继续运算；5、当劳斯表第一列出现零项，闭环系统不稳定；6、劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零时，用一个很小的正数

代替第一列的零项，然后继续计算劳斯表中的其余项。7、劳斯表某行系数均为零，则利用第k-1行的系数构成辅助方程，求辅助方程对s的导数，用其系数代替全零行，继续计算劳斯表。例3-6已知系统的结构图如图所示当时,试确定K为何值时系统稳定。四、劳斯判据的应用解：开环传递函数为：闭环传递函数为：R(s)-E(s)1+C(s)特征方程为将代入特征方程得：由特征方程列劳斯表1750034.67500K

7500K

要使系统稳定，必须满足

例：设一个系统的开环传递函数试找出K的稳定范围。首先列出特征方程：

根据劳斯判据：

稳定裕量的检验

如图所示，令

s

=z

-s

1即把虚轴左移s1。将上式代入系统的特征方程，替换掉s，得到以z为变量的新特征方程式，然后用劳斯判据检验新特征方程式有没有根位于新虚轴(垂直线s＝-s1)的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量s1。例：检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-１的右边。从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1(即新座标虚轴)的右边。

解：劳斯阵列表为

第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程得：

即则新的劳斯阵列表

z

3

2-1

z

2

4-1

z

1

-1/2

z

0

-1

第三章时域分析法3.1引言3.3一阶系统的时域分析3.4二阶系统的时域分析3.2线性系统稳定性分析3.5线性系统的误差分析线性定常系统的重要特性以一阶惯性环节为例说明：1、单位脉冲响应[R(s)=1]2、单位阶跃响应[R(s)=1/s]3、单位斜坡响应[R(s)=1/s2]输入信号时域表达式复域表达式一阶系统时域响应单位脉冲

1单位阶跃

1/s单位斜坡

1/s2性质：线性定常系统对输入信号导数的响应等于其对该输入信号响应的导数；线性定常系统对输入信号积分的响应等于其对该输入信号响应的积分；所以，研究线性定常系统的时域响应时，通常只取阶跃信号作为输入信号，实际中突然上电、开关闭合、负载突加都可以近似看作阶跃信号输入。稳定的系统动态性能：采用零初始条件下，系统的单位阶跃响应来衡量。（）稳态性能：采用零初始条件下，系统的多种典型输入信号的响应来衡量。（）稳态误差：当时间趋于无穷时，系统的参考输入值与稳态值之间的差值，即动态性能和稳态性能上升时间tr峰值时间tpAB调节时间ts动态性能指标定义响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。对于有振荡的系统，响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。延迟时间td响应曲线达到并保持在一个允许误差范围内所需的最短时间。（误差带通常取稳态值的5%或2%）响应曲线偏离稳态值的最大值，以百分数表示。3.3

一阶系统的时域分析3.3.1

一阶系统的数学模型一阶系统即惯性环节。T称为时间常数。

R

i(t)

CR(s)C(s)E(s)-1/Ts传递函数:方块图：微分方程:控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC电路:输入r(t)=1(t)，输出

3.2.2

一阶系统的单位阶跃响应

j

0-1/TS平面(a)零极点分布0.6320.8650.950.982初始斜率为1/T

h(t)=1-e-t/T0

tT2T3T4T1(b)单位阶跃响应曲线特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；

2）初始斜率为1/T；

3）无超调；稳态误差ess=0。动态性能指标：延迟时间：td=0.69T（0到50％）上升时间：tr=2.20T（10%到90％）调节时间：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)例3.1

某一阶系统如图(△=0.05)（1）求调节时间ts,（2）若要求调节时间ts=0.1s,反馈系数Kh应如何设计？解:

(1)

与标准形式对比得：T=1/10=0.1s，ts=3T=0.3s

(2)

要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得

解题关键：化闭环传递函数为标准形式。0.1C(s)R(s)E(s)100/s-Kh=0.1•传递函数标准形式•

方块图3.4二阶系统的时域分析R(s)C(s)(-)•其中：

ωn—无阻尼振荡频率；ζ—阻尼比。标准形式3.4.1二阶系统的数学模型3.4.2

二阶系统的单位阶跃响应•闭环极点（特征根）将决定了系统的响应形式。二阶系统特征方程：闭环极点为：闭环极点根据阻尼比的不同分为以下情况：两个互异负实根两个相同负实根一对负实部共轭复根一对共轭虚根两个正实部根二阶系统极点分布图二阶系统单位阶跃响应定性分析j0ξ＞1:ξ＝1:0＜ξ＜1:ξ＝0:两个互异负实根两个相同负实根负实部共轭复根共轭虚根下面分别讨论以下四种情况：过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼1.

过阻尼二阶系统（即ζ>1时）两个互异负实根•单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升，其响应曲线如图。tC(t)ζ>11•系统的单位阶跃响应曲线为无振荡、无超调、无稳态误差，有拐点，单调递增的曲线。如果ζ>>１，闭环极点S2将比S1距虚轴远得多，故比衰减将快得多。因此，在求取输出响应的近似解时，可以忽略p2对系统输出的影响，把二阶系统近似看作一阶系统来处理。在工程上，当时，这种近似处理方法具有足够的准确度。2.

临界阻尼二阶系统（即ζ=1时）

•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差，但调节时间短于过阻尼系统。是系统输出响应为单调还是振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。

两个相同负实根tC(t)ζ＝113.欠阻尼二阶系统

(0<ζ<1)

即振荡环节•系统有一对负实部的共轭复根：•

单位阶跃响应为：

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成：

•

稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；

•瞬态部分是一个幅值指数衰减，振荡频率为的阻尼正弦振荡过程。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应系统单位阶跃响应曲线是一条平均值为1的余弦形式等幅振荡曲线，其振荡频率为ωn，ωn由系统本身的结构参数确定，故ωn称为无阻尼振荡频率。

4.

无阻尼二阶系统（即ζ=0时）1c(t)t0123456789101112

nt

c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0

阻尼比越小，响应特性振荡得越厉害，随着增大到一定程度后，响应特性变成单调上升的。当系统无振荡时，以临界阻尼过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。当系统在欠阻尼状态时，若阻尼比在0.4～0.8之间，则系统的过渡过程时间比临界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

动态性能指标，有的可用精确表示，如有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。

3.4.3

欠阻尼二阶系统的动态性能指标3.4.3

欠阻尼二阶系统的动态性能指标对于有振荡系统，上升时间为单位阶跃响应曲线第一次到达稳态所需要的时间。

1、上升时间tr

单位阶跃响应：

单位阶跃响应曲线到达第一个峰值所需要的时间。

2、峰值时间tp

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

(k=1，2，……n)

单位阶跃响应的最大超出量与稳态值之比。

3、超调量

%

j

0

s1

ωn-

n

s2

j

d

单位阶跃响应进入±

误差带的最小时间。

•根据定义

4、调节时间ts

c(t)t01包络线•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

总结

•

阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；

•ζ过大时，系统响应迟钝，上升时间tr也长，快速性差；

•ζ=0.7，调节时间较短，快速性较好，而超调量

%<5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。结构参数ζ对单位阶跃响应性能的影响R(s)(-)C(s)•化为标准形式•即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系统闭环传递函数为•解得

n=5,ζ=0.5

例3.2

已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。设单位负反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。例3.3解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。

0t(s)11.30.1h(t)例3.4控制系统如图所示。其中（a）为无速度反馈系统，（b）为带速度反馈系统，试确定使系统阻尼比为0.5时Kt的值，并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。

解：系统（a）的闭环传递函数为

计算动态性能指标：系统（b）的闭环传递函数为

由ζ=0.5和ωn=3.16同理可求得：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。设单位反馈系统的开环传递函数为

要求系统阶跃响应的瞬态性能指标为σp＝10％，ts=2s（Δ＝0.05），试确定参数K和a的值。

解：系统的闭环传递函数为所以课堂练习3.4.5

高阶系统的时域分析特点：

1)

如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。

2)

时间响应的模态取决于闭环极点，形状与闭环零点有关。分析方法：

可由系统主导极点估算高阶系统性能。-0.75-5

p2

p3

p1

j

j1.2-j1.20(a)闭环极点分布图(b)单位阶跃响应曲线

c(t)

t3.5

系统稳态性能分析稳态误差计算控制系统的分析方法时域分析法稳定性分析

劳斯判据动态性能

上升时间，峰值时间，调节时间，超调量稳态性能

稳态误差由图所示，误差定义有两种方式：

1)输出端：e(t)=r(t)-c(t)2)输入端：e(t)=r(t)-b(t)

单位反馈时两种定义相同。3.5.1基本概念一、误差的定义无法量测e(t)=希望值–实际值E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)二、稳态误差的定义，记为：ess或e(∞)1、定义：2、影响因素：系统自身的结构参数、输入信号的形式及作用点、非线性因素;3、分类:给定值稳态误差essr

扰动值稳态误差essn4、误差传递函数：在输入信号作用下具有原理性稳态误差的系统。无差系统：有差系统:在输入信号作用下没有原理性稳态误差的系统。无差系统与有差系统--一、系统类型定义

一般开环传递函数可以写成如下形式：3.5.2系统型别和稳态误差

式中，K为开环增益，

为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，

=0,1,2时，系统分别称为

0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。!系统型别(type)与系统的阶数(order)的区别R(s)C(s)(-)R(s)C(s)E(s)-1/TsⅠ型系统Ⅰ型系统显然，系统的稳态误差取决于：系统的型别&

开环增益K&

输入信号的形式二、影响稳态误差的因素3.5.3给定值稳态误差对于随动系统，由于给定输入是变化的，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而多用给定值稳态误差来衡量系统的稳态性能。一、阶跃输入下稳态误差及稳态位置误差系数0型I型II型二、斜坡输入下稳态误差及稳态速度误差系数三、加速度输入下稳态误差及稳态加速度误差系数四、系统型别、稳态误差系数与输入信号之间的关系

减小或消除误差的措施：①增大系统的开环增益K②提高系统型别；高型别的系统跟随低幂次的输入信号，ess=0；低型别的系统跟随高幂次的输入信号，ess≠0；注意：若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差可由叠加原理求出。3、提高开环增益K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，必须在保证系统稳定的前提下，考虑提高系统准确性的问题。