自动控制原理 第十二次课(1)学习资料

上次课回顾典型环节的bode图根据传递函数绘制bode图根据bode图确定传递函数5.2Nyquist稳定判据闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是在频率域内判定系统稳定性的准则5.2.1柯西定理（围线映射）定理系统闭环传递函数其中：是闭环特征多项式

是闭环特征方程。

柯西定理：（1）除奇点外（使F(s)为不定值的解），F(s)是s的单值函数。cc′当s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线C时，

即当s连续[s][F(s)]某系统：若[s]j21[F(s)]﹣j0.5771.12零点：-1.5±j2.44极点：-1，-2[s]××（2）当s平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时，围线C’必定不包围F(s)平面的坐标原点。[s]F(s)ReIm××csF(s)（3）如果C以顺时针方向包围F(s)的一个零点，CC’CC’[s][F(s)][s][F(s)]C’将以顺时针方向包围原点一次。如果C以顺时针方向包围F(s)的一个极点，C’将以逆时针方向包围原点一次。若z>p,N为正值,

顺时针包围;

CC’[s][F(s)]则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次,N=z-p。若z<p,N为负值,

逆时针包围。围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点，物理含义是s平面上任一封闭曲线包围F(s)的零极点情况和它的映射在F(s)平面包围原点的情形有关。5.2.2奈魁斯特稳定判据5.2.2.1F(s)的零点和极点设有z个零点，p个极点。设

F(s)的零点是系统的闭环极点;F(s)的极点是系统的开环极点。5.2.2.2奈魁斯特轨迹l

取根平面上的封闭围线包围全部s右半平面，此封闭围线由整个虚轴(从s=-j∞到s=j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成，这一封闭围线c称作

奈魁斯特轨迹（D形围线）。F(s)的极点是开环极点F(s)的零点是闭环极点l

考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹内是否包围F(s)的零点—闭环极点问题。[s]S=-j∞S=j∞∞结论与问题奈魁斯特轨迹是否包围F(s)的零极点问题＝F(s)在[s]右半平面是否存在零极点问题

F(s)在[s]右半平面是否存在零极点问题与奈氏轨迹映射F(s)包围坐标原点有关。如果F(s)在[s]右半平面没有零极点，F(s)就不包围坐标原点。反之，如果F(s)不包围坐标原点，是否说明F(s)在[s]右半平面没有零极点？？？根据F(s)包围坐标原点的情况，可以提供F(s)零极点的哪些信息？？？根据F(s)包围坐标原点的情况，可以提供F(s)零极点的差值信息。l

根据上述的映射定理，在s平面的奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为其映射在F(s)平面上包围原点的问题。以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理。l

求出奈魁斯特轨迹的映射，考察其包围原点的情况，同时知道s右半平面的开环极点数，就可以知道s右半平面F(s)的零点数，即系统不稳定的闭环极点数，并以此判断系统的闭环稳定性。l

其映射恰好是系统的开环频率特性。1、沿无穷大半径的半圆路径奈魁斯特轨迹的二个组成部分：为什么s平面上的奈魁斯特轨迹在F(s)平面上的映射就是系统的开环频率特性???2、沿虚轴路径所对应的直线[s]S=-j∞S=j∞∞这部分上s取值：s→∞这部分上s取值：s＝jω(-∞＜ω＜+∞)（1）沿无穷大半径的半圆路径：当s趋向无穷大时，有奈魁斯特轨迹的这一部分映射到F(s)平面上是一个点。开环传递函数G(s)H(s)的一般形式为：（2）沿虚轴路径：当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)围线映射F(jω)＝1＋G(jω)H(jω)下图是奈魁斯特轨迹在F(s)平面上的映射图。[s]∞→←其中G(jω)H(jω)恰好是系统的开环频率特性。

l

F(s)与系统开环传递函数G(s)H(s)仅相差一个单位量，即F(s)－l＝G(s)H(s)。l

F(jω)曲线对原点的包围情况与G(jω)H(jω)曲线对于(-l，j0)点的包围情况完全相当。l

只要将F(jω)曲线向负实轴方向平行移动1个单位，即是G(jω)H(jω)曲线。奈魁斯特轨迹在G(jω)H(jω)平面上的映射关系：当奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的z个零点和P个极点时，在G(jω)H(jω)平面内的映射围线G(jω)H(jω)(开环频率特性)，必定顺时针包围(-1，j0)点N次，且N＝z-p。××●[s]∞×-1,j05.2.2.3奈魁斯特稳定判据利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。（1）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定的。（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。N＝z-p解释：(1)

开环稳定情况：G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点(2)

开环不稳定情况：G(jω)H(jω)逆时针包围（-1，j0）点p次—[s]右半平面没有F(s)的极点—s右半平面有p个F(s)的极点—p个开环极点==没有闭环极点在[s]右半平面F(s)的零点=奈氏轨迹不包围==没有闭环极点在s右半平面=奈氏轨迹不包围F(s)的迹顺时针包围F(s)的p个极点=奈氏轨F(s)的极点是开环极点F(s)的零点是闭环极点闭环稳定任何零点闭环稳定说明：（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条，不用考虑方向。（2）因为G(jω)H(jω)和G(-jω)H(-jω)共轭，与实轴对称，只画出一半即可。判断是以ω由-∞→+∞变化为准。方向：以ω增加时开环频率特性变化的方向。（3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。×逆包围1次×逆包围2次×不包围×不包围﹣1K5.2.2.4奈魁斯特稳定判据应用例5-3

开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭环稳定性。(1),开环稳定，p=0；(2)画开环系统的极坐标图无论K取何值，均不包围-1，j0点，闭环系统稳定。只要K>1，逆时针包围-1，j0点一次，闭环系统稳定。,开环不稳定,p=1﹣1,j0﹣KK<1，不包围，闭环系统不稳定。K＝1？

例5-4开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭环稳定性。P=0P=1P=2wwK﹣KK取任意值，曲线均不包围(-1，j0)点，闭环稳定。（奈氏判据第一条）

K>1，逆时针包围(-1，j0)一次，闭环稳定。K<1，不包围(-1，j0)点，闭环不稳定。K＝1，曲线穿过(-1，j0)，临界稳定。K取任意值，均不包围(-1，j0)点，有2个不稳定闭环极点。闭环不稳定。(奈氏判据第二条)

﹣1wK﹣1﹣1习题5-7已知开环传递函数为：试画出系统极坐标图,并确定闭环稳定条件。系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，如果系统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。分析：分析：与虚轴无交点（在实频范围内无解）。在正频范围内计算ω>0：确定起始点：ω=0时，终点：ω→∞实部等于－1时，K1＝10（ω=0），K2＝28（ω2=3）。闭环系统稳定范围10<K<28K=15K=10K=28K=35则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次,N=z-p。CC’[s][F(s)]如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点，柯西定理：

C取奈魁斯特轨迹，F(s)取F(s)=1+G(s)H(s)

F(s)的的极点是开环极点(p)，F(s)的零点是闭环极点(z)

由于F(s)与G(s)H(s)只差单位1，柯西定理可解释为：如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点，则G(jw)H(jw)将以顺时针方向包围（-1,j0)N=z-p次。奈魁斯特稳定判据：柯西定理可解释为：如果s右半平面存在z个F(s)的零点（闭环极点）和p个极点（开环极点），则G(jw)H(jw)将以顺时针方向包围（-1,j0)N次,N=z-p。若使系统闭环稳定，必有z＝0。因此有，G(jw)H(jw)将以逆时针方向包围（-1,j0)p次。（已知N和P，求Z）（1）当系统为开环稳定时（p＝0），只有当开环频率特性G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点，闭环系统才是稳定的。（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点P次，闭环系统才是稳定的。奈魁斯特稳定判据若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。G(jω)H(jω)在原点取一小半圆，ε为半径，让,θ从-90°变化到+90°。改进后的奈魁斯特轨迹图:的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。当ε→无穷小时，在原点的小圆→0。因此，F(s)在右半平面改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）：5.2.3奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况D0+0﹣ABC[S]例5-5：(1)(BC)若系统开环传递函数为：利用奈奎斯特稳定判据判定系统的闭环稳定性。解：GHGH(2)(CD)当s沿着R=∞右半圆运动时,其映射在GH平面上仅一点，GH=0。(3)(DA段)

ω=-∞→0-时，其映射与0+→∞对称。

(4)(AB段)

,

s从0-→0+时，θ从-90°~90°,对应的映射为：

.因此，映射GH为半径为∞，角度从+90°到-90°的半圆（顺时针方向）。此例系统中，没有开环极点在s右半平面，开环频率特性曲线不包围-1，j0点。因此，该闭环系统稳定。GH×总结：当开环传递函数包含因子当s沿半径为ε(ε→0)的半圆运动时，其映射图形就具有n个顺时针方向的半径为无穷大的半圆环绕原点。例：当θ的角度：－90°→90°G(s)H(s)的角度：180°→－180°0+0﹣ABCD[S]例中，顺时针包围（－1，j0）点两次；没有不稳定开环极点右半平面有两个闭环极点闭环系统不稳定×-1总结：当开环传递函数不存在积分项（0型系统），使用开环频率特性判断闭环系统的稳定性。当开环传递函数存在积分项（1型以上系统），要在开环频率特性GH基础上，从s=0-的映射出发顺时针画辅助连线（半径无穷大）到s=0+的映射处，以此封闭曲线判断闭环系统的稳定性。注意：画开环频率特性GH曲线（极坐标图）时不需要画辅助线，只有在判断稳定性时才需要画辅助线。5.2Nyquist稳定判据闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部；奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域，是在频率域内判定系统稳定性的准则；

Nyquist稳定判据的特征不求取闭环特征根利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上；理论依据是复变函数中的柯西定理。5.2.4奈魁斯特稳定判据的物理意义对于开环稳定的系统：(1)G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点，闭环系统稳定。(2)G(jω)H(jω)包围(-1，j0)点，闭环系统不稳定。(3)G(jω)H(jω)通过(-1，j0)点，闭环系统临界稳定，在虚轴上存在闭环极点。频域上的（－1，j0）点如同根平面上的虚轴一样重要。可求解出一对虚根解题思路：利用系统临界稳定时的已知条件：（1）Im(GH)=0,Re(GH)=-1（2）例5-61.试确定开环放大倍数K的临界值Kc与时间常数的关系。从相角条件解出，解出：把ωa代入幅值条件，分析：使闭环系统稳定的条件是：设T=2，开环传递函数如下：2.令T=2，K取不同值，(<1.5),(=1.5),分析系统的稳定性。(>1.5)作图，用奈魁斯特稳定判据w=¥ReIm01=-mn2=-mn3=-mn2.令T=2，K取不同值，(<1.5),(=1.5),分析系统的稳定性。K<1.5，不包围(-1,j0)点，闭环稳定。K>1.5，顺时针包围(-1,j0)点2次，系统存在2个实部为正的闭环极点。闭环不稳定。开环稳定系统(>1.5)作图，用奈魁斯特稳定判据K=1.5，穿过(-1,j0)点2次，,系统存在2个共轭虚根，。闭环临界稳定。K<1.5﹣1﹣1﹣1K=1.5K>1.5求出K’<0.75，即0<K<1.5为稳定边界条件。求出结论与利用奈氏稳定判据完全相同。=0根据辅助方程劳斯判据判断系统的稳定性/选择填空题奈魁斯特稳定判据是利用（）频率特性去判断（）系统的稳定性。1开环2闭环

1开环2闭环开环闭环5.2Nyquist稳定判据（1）当系统为开环稳定时（p＝0），只有当开环频率特性G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点，闭环系统才是稳定的。（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点P次，闭环系统才是稳定的。

Nyquist稳定判据的特征不求取闭环特征根利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上；理论依据是复变函数中的柯西定理。5.2Nyquist稳定判据（1）当系统为开环稳定时（p＝0），只有当开环频率特性G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点，闭环系统才是稳定的。（2）当开环系统不稳定时，若有P个开环极点在[s]右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点P次，闭环系统才是稳定的。

Nyquist稳定判据的特征不求取闭环特征根利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性

能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上；理论依据是复变函数中的柯西定理。5.3稳定裕度及其分析方法5.3.1稳定裕度的基本概念工程上将G(jω)H(jω)曲线离开(-1，j0)的远近程度，叫稳定裕度，它是在频率域内衡量系统相对稳定性的指标。曲线离(-1,j0)点的距离从两方面考虑:即当时，相位差与-180°差多少？当∠时，幅值比与1差多少？

●●-1,j01●●-1,j0rr定义：相位裕度:幅值裕度:闭环稳定系统:(截止频率）增益裕度●●-1,j01●●-1,j0rr闭环不稳定系统:闭环临界稳定系统:GM>1GM<1GM=1对开环最小相位系统：对数坐标图上稳定裕度的表示法：200﹣20﹣90°﹣180°rR闭环稳定系统200﹣20﹣90°﹣180°200﹣20﹣90°﹣180°rR闭环不稳定系统临界稳定系统一般，r,R’越大，系统稳定裕度越大，但不能盲目追求过大的稳定裕度。工程上，经常取R’=0.5，幅值裕度：开环最小相位系统5.3.2系统稳定裕度的求解方法例5-7标准二阶惯性系统的方块图如图，求稳定裕度。﹣GXY系统开环和闭环传递函数分别为：得到系统开环频率特性：其中，幅频特性：相频特性：问题？如何求解系统的幅值裕度和相位裕度？？求稳定裕度的步骤：(1)对于开环频率特性G(jω)H(jω)，写出幅频特性和相频特性。例5-8：图中所示为一个宇宙飞船控制系统的方块图。（1）求增益裕度；（2）为了使相位裕度等于50°，试确定增益K值。K(s+2)﹣解：因为相位曲线不和-180°线相交，所以增益裕度为无穷大，没有相位交角频率。增益裕度这个K值将产生相位裕度50°。K(s+2)﹣要求相位裕度为50°，意味着必须等于-130°，的模必须等于1。当ω=2.38时，因此，相位裕度例5-9：某单位反馈的最小相位系统，其开环系统的渐近对数幅频特性如图所示，(1)

求取系统的开环传递函数。(2)用稳定裕度判断系统稳定性。(4)要求系统具有30º的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。(3)系统有一延滞环节时，在什么范围内系统是稳定。（1）系统开环传递函数的基本形式为解：﹣60dB/dec100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec400(2)用稳定裕度判断系统稳定性100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0开环对数幅频特性为（各渐近线方程）系统开环对数相频特性为:

幅值裕度计算略，R>0，在频率范围(0.1≤ω≤10)内，求解幅值交角频率。相角为：故系统闭环稳定。>0100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0（弧度→度）(度)加入延迟环节后，原幅值交角频率ωc不变，相频特性发生滞后。解得：若使系统稳定，必须(3)系统增加一延滞环节时，在什么范围内系统是稳定。100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0分析：增加延迟环节不改变原幅频特性，只改变相频特性。稳定裕度法说明(扩展到非最小相位系统）

对某些系统，两个稳定裕度是互相矛盾的，此时需利用奈魁斯特稳定判据或根轨迹判定系统的稳定性。单一的稳定裕度不能说明整个系统的稳定性，必需使用两个稳定裕度。稳定裕度法对某些系统不适用。一阶和二阶最小相位系统的增益裕度为无穷大。为避免2个指标的歧义，Smith提出了矢量裕度的概念，即用开环频率特性G(jω)H(jω)曲线离(-1，j0)的最短距离表示系统的稳定裕度。●●-1,j01过去由于计算繁琐，没有推广计算机帮助实现5.3.3

利用稳定裕度法分析与设计控制系统5.3.3.1调节器调节规律对稳定裕度的影响当广义对象确定之后，可以通过改变调节器的结构和参数，满足系统对稳定裕度的要求。调节器的频率特性与广义对象的频率特性相乘。GcyG0x+﹣1、比例作用

比例作用是最基本的控制作用。相当于调整系统的开环增益，Kc增加，减少稳态误差。但使系统的相对稳定性（稳定裕度）降低。改变Kc，开环频率特性的对数幅频曲线上下移动，对相频特性没有影响。Kc↑，幅频特性上移，R↓r↓，使幅值裕度和相位裕度降低。1、大Kc2、小Kcr2R22、比例积分作用1、有积分2、无积分增添一个开环极点，提高系统的型，改善系统的静态特性，消除系统的余差；使系统的动态特性变差；积分作用在低频段起作用，使幅值比增加,相滞角增加，因此，R↓,r↓-R2r2-当Ti↓，比例积分特性曲线右移，使R,r更为减小。为使积分作用不致对动态品质影响太大,故Ti不能太小。一般工程上取Ti=(0.5~1)Tg3、比例微分作用微分作用在高频段起作用，使幅值↑，相位超前，其结果使r↑R↑。继续增大Td，其相位超前最大为90º；幅值却不断增加，反而使R↓。所以一般Td不能太大,一般取这时幅值比为1.3~2，相角超前45º~60º。由于引入，一般可以使R↑，所以可适当增加，减小，增加PI作用。1、无微分2、小Td5.3.3.2控制系统设计的稳定裕度法降低增益可以提高稳定裕度，但会降低稳态精度；根据稳定裕度要求，设计校正装置，满足系统要求；校正装置－增加开环零极点，改变传递函数；

PID调节器是工业控制中应用最广泛的校正装置；控制系统的性能指标－时域动态、静态指标；设计超前（微分）校正装置，满足动态指标；滞后（积分）校正装置，满足静态指标；稳定裕度是在频域内表示相对稳定性的指标，防