指数函数、对数函数和幂函数（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题04指数函数、对数函数及塞函数

目录

题型一：指数运算及指数函数

易错点01对根式性质理解不到位出错

易错点02忽略底数对指数函数性质的影响

题型二对数运算及对数函数

易错点03忽视对数式成立的条件而出错

易错点04判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

易错点05利用换元法求值域遗忘范围

题型三幕函数

易错点05错判基函数的性质

题型一：指数运算及指数函数

易错点01：对根式性质理解不到位出错

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三•全国•专题）下列说法正确的个数是（）

①49的平方根为7；②（蚯）3=。；③77=。；④y（_3『=（-3）\

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据根式的运算，逐一判断即可.

【详解】49的平方根是±7,故①错误；

3（1V

（五）==a,故②正确；

\7

V7=|«|,故③错误；

^<=3^故④错误.

故选:A.

【易错剖析】

本题容易混淆根式的性质和分数指数幕的运算律而认为府=a，祖才=（-3«成立而误选C.

【避错攻略】

1.根式的概念

一般地，如果xn=a，那么x叫做。的〃次方根，其中〃〉1,且〃eN*.

（1）当〃是奇数时，正数的〃次方根是一个正数,负数的〃次方根是一个负数,这时,。的〃次方根用符号标

表示.

（2）当〃是偶数时，正数。的〃次方根有两个，记为土标，负数没有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,记作^0=0.

式子4a叫做根式，其中〃（及>1,且〃eN*）叫做根指数,a叫做被开方数.

2.根式的性质

根据〃次方根的意义，可以得到：

1—I——/—

（1）（标）"=Q.（2）当〃是奇数时，疗=Q；当〃是偶数时，寸优=\a\=\八

[-a.a<0

3.分数指数幕的意义

丝/——

正分数指数累规定Q〃="a"（Q〉0,加,〃£N*，且〃〉1）

分数指数幕规定。〃=F（a〉°，加，〃eN*,且

负分数指数幕

an

0的分数指数幕0的正分数指数早等于0,0的负分数指数累没有意义

易错提醒：（1）处理根式问题一定要注意分析根指数的奇偶性，因为根指数奇偶性的不同，被开方数的取值

范围不同，如（布）"中当〃为奇数时,aeR；〃为偶数时,a20,另外根式的化简结果也不同；

m

—Z2

（2）分数指数塞。〃中的一不能随便约分，要注意底数取值范围的改变.

m

举一反三

1.（2024•河南•三模）若“20/eR,则化简2幅？+（&>+后的结果是（）

A.3+Q+bB.3+a+同

C.2+a+bD.2+a+\b\

【答案】B

【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.

【详解】由*”=3,（正『="，"=间可知，

2蜒23+（&>+正=3+.+同.

故选：B

2.（2025高一•全国•课后作业）［（3—无）'（"eN,〃N2）=（）

A.3—兀B.71—3

C.|3-兀|D.当“为奇数时，3-兀；当〃为偶数时，71-3

【答案】D

【分析】当〃为奇数时，43H=3-兀;当“为偶数时，叱3-兀）"=|3-兀即可求解.

【详解】当“为奇数时，《（3-兀）"=3F

当”为偶数时，必（3-兀）"=|3-司=n-3.

故选：D

3.（24-25高一上•黑龙江大庆•期中）下列根式与分数指数基的互化正确的是（）

1

【答案】c

【分析】根据分式与指数累的互化逐项判断可得答案.

11___

【详解】对于A选项：一五=一户（工20），（_幻5=口（工00），故A错误;

对于B选项：57=_户3<0）,故B错误；

对于C选项：龙3故c正确;

r-_______o13i1

对于D选项：当无<0时，W（f）27=㈠产w=㈠尸,而当x<0时，/=石没有意义，故D错误.

故选：C

・易错题通关

1.（23-24高一上•北京延庆•期末）0（一2）4的值为（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】C

【分析】根据根式的运算求得正确答案.

【详解】=H=2.

故选：C

1

2.（23-24高三上•山东潍坊•期中）将疗写成分数指数幕的形式为（）

7a

4477

A.小B.a7C./D./

【答案】B

【分析】根据根式与指数塞的互化即可求解.

1

【详解】将彳写成分数指数幕的形式为q；4.

故选：B.

3.（23-24高一上•广东佛山•阶段练习）下列运算结果中正确的是（）

A.a3-a4=a12B.a2j=a6

C.V7=aD.行心-兀

【答案】D

【分析】根据有理数指数累、根式的运算法则计算可得答案.

【详解】对于A选项，/./=/+4=",故A错误；

对于B选项，（-a2）3=-a6,故B错误；

对于C选项，当时，#3=。，当时，迎=-a，故C错误；

对于D选项，而丁=-兀，故D正确.

故选：D.

4.（23-24高三上•广东中山•阶段练习）设。>0,将；7七表示成指数累的形式，其结果是（

1573

A*a2B.mC,白%D.〃2

【答案】C

【分析】结合根式与分数指数幕的互化，根据指数运算法则化简即可求解.

222c57

ClClCl2-T—

所以_5__________—仁—_________—ZJO-Z7O

【详解】因为“>o,

\7

故选：C

5.（24-25高三上•江苏盐城•开学考试）（多选）下列选项中正确的有（）

A.4a"=aB.若aeR,贝-a+l）°=1

C+y3=x^+yD.为=折^

【答案】BD

【分析】结合指数运算法则及其性质逐项判断即可得.

【详解】对A：当”为偶数时，叱=同，故叱=.不一定成立，故A错误;

MB：a2-a+l=^a+^+|^0,故-a+l）。=1,故B正确；

对C：显然不成立，如当x=y=l时，左边为蚯，右边为2,故C错误;

对D：疗=5；=痣，故D正确.

故选：BD.

6.（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）（多选）下列运算正确的是（）

A.昭=&B.（/丫=/

C.log43=21og23D.Ig5-e-lg2=log25

【答案】BD

【分析】运用根式性质，指数塞性质和对数性质化简计算即可.

【详解】疗=加，故A错误.

指数塞性质，知道（/）'=/,B正确；

对数运算性质，知道Iog43=glog23,C错误；

换底公式逆用，知道坨5+炮2=108252正确.

故选：BD.

7.（24-25高三上•海南海口•阶段练习）（多选）若代数式K万+万工有意义，则

6-2尤+1+#（无-2）4=.

【答案】1

【分析】由二次根式有意义得到x的取值范围，化简所求代数值，由x的取值范围去掉绝对值符号即可得到

解.

[x-l>0

【详解】由题意可知：、.-.l<x<2

[2-x>0

••・yjx2-2x+l+W（x-2）4=不（x-l）2+N（x-2）4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l

故答案为：1

8.（2023高三•全国•专题练习）（多选）/一2）7（-3），的值为.

【答案】1

【分析】利用根式的性质进行化简求值即可.

【详解】^7+^<=-VF+VF=-2+3=l.

故答案为：1.

易错点02：忽略底数对指数函数性质的影响

易错陷阱与避错攻略

Q

典例（2024•四川攀枝花•模拟预测）己知奇函数/@）=优+从鼠'（4>0,。21）在卜1,1]上的最大值为3，则

a=（）

A.1■或3B.g或2C.3D.2

【答案】A

【分析】根据奇偶性求得b,分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可.

【详解】因为/（x）是奇函数,所以f（r）=-f（x）,所以〃r）+〃x）=0.

BPa~x+b-ax+ax+b-a~x=0»则(6+1)(优+a')=0,解得6=-1,

经检验6=-l符合题意，所以/（%）=/-。一）

当Q>1时，

a

则函数>在［-1,1］上单调递增，y=a-XjL\在［-1,1］上单调递减,

所以/（X）=优-“r在［-1,1］上单调递增,

Q

所以，/a）max=/Xi）=q—qT=§，整理得3/—8〃—3=0，

解得Q=3或。=-g（舍去），所以4=3；

当0<4<1时，—>1,

a

贝IJ函数》二优在［-1,1］上单调递减，y=尸=在［-1,1］上单调递增,

所以/（%）=优-在［-1J］上单调递减，

Q

所以，/Mmax=/（-!）=«-'-a=|，整理得3/+8”3=0,

解得或。=-3（舍去），所以a=g,

综上，°或3.

故选：A.

【易错剖析】

本题求解时容易忽略底数对指数函数单调性的影响没有对a进行讨论而漏解.

【避错攻略】

1指数函数的概念

一般地，函数y=a工伍〉0,且awl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等

于1的常量，定义域是A.

【注意】学习指数函数的定义，注意一下几点

（1）定义域为：R

（2）规定a>0,且awl是因为：

①若a=l,则y=优三1（恒等于1）没有研究价值；

②若a=0,则x>0时，y=ax=0（恒等于0）,而当xWO时，优无意义；

③若a＜0,则口：中加为偶数，"为奇数时，口2无意义.

④只有当0＜。＜1或。＞1时，即。＞0,且awl,x可以是任意实数.

2底数对指数函数图像与性质的影响

(1)底数。与1的大小关系决定了指数函数歹=优(。〉0且awl)图象的“升”与“降”.

①当。＞1时，指数函数的图象是“上升”的，且当x＞0时，底数。的值越大，函数的图象越

“陡”，说明其函数值增长的越快.

②当0＜。＜1时，指数函数的图象是“下降”的，且当x＜0时，底数a的值越小，函数的图象越

“陡”，说明其函数值减小的越快.

(2)底数。的大小决定了图象相对位置的高低：不论是。＞1还是0＜。＜1,底数越大，在第一象

限内的函数图象越“靠上”.

在同一平面直角坐标系中，底数a的大小决定了图象相对位置的高低；

在歹轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；

在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；

易错提醒：I当指数函数的底数含有参数时，若应用指数函数的性质，一定要讨论底数与1的大小关系.

举一反三

1.(23-24高一上•湖南株洲'I•期末)若函数/(x)=a*(a＞0且OR1)在［0,1］上的最小值与最大值的和为3,则

函数y=2ax-1在［0,1］上的最大值是.

【答案】3

【分析】对指数函数的底数进行分情况讨论求出。值，代入所求函数，判断单调性即得其最大值.

【详解】当。＞1时，/(x)=a*在［0,1］上为增函数，

则f(x)wx+〃x)1m.=/(1)+/(0)=。+1=3,解得a=2；

当Ova＜1时，〃x)=a”在［0,1］上为减函数，

则/(x)max+/(x)mm=/(0)+〃l)=l+a=3,解得。=2(舍去)；

于是函数y=2"-l=4x-l,显然在［0,1］上为增函数，

故当xe［0,l］时，ymax=4x1-1=3.

故答案为：3.

2.已知函数=a标(a＞0且awl)在区间［2,3］上单调递增，则。的取值范围为()

B.(1,+8)

1j_

D.

352

【答案】c

【详解】由。>0且QW1,得v=为单调递减函数,

由复合函数单调性法则得。£（0,1）,

又[[1心-3«细>0解得<（。,1斗1

故选：C.

3.函数了=3-优一/在区间曰,2]上的最小值是_3,贝ija的值是.

【答案】/或g

【详解】令优=/,则了=-产—+3=-1+£|+?,其对称轴为/=-；,

当时,因为xe[T,2],所以,4区/,

a

所以函数了=-~+3=-1+；；+7在:/上单调递减,

所以当/=/时，>*=一/一/+3=-3,解得0=

当0<a<l时，因为xe[-l,2],所以"wL

所以函数了=-/27+3=-卜+£|在a：上单调递减,

所以当f时，加.=一二二+3=-3,解得

aaa2

综上，所以Q=0或。=；.

故答案为：V2或y

叁易错题通关

1.函数y=a"-2(a>0S.a1,-1<x<1)的值域是[一|,1],则实数。=()

A.3B.C.3或gD.g或g

【答案】C

【分析】由指数函数的性质分别对0<a<1和a>1的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到

答案.

【详解】函数y=aX-2（a>OJLa^1,-1<%<1）的值域为

又由指数函数的单调性可知，

当0<a<l时，函数y=a*-2在［-1,1］上单调递减，值域是［a-2,。一］一2］

（0<a<1p<a<l

所以有卜1_2=一|,即.a=g,解得a=,；

（a-i-2=1、a-1=3

当a>l时，函数y=ax-2在［—1,1］上单调递增，值域是［a-1—2,a—2］

fa>1Ca>1

所以有IL—2=一［即］a-1=|,解得a=3.

（a1—2=1Ia=3

综上所述，@=々或。=3.

故选：C.

rQ”xw］

2.（23-24高三上•北京海淀•阶段练习）已知a>0且”1,函数/（x）='一，，若函数“X）在区间

［-x+a,x>l

［0,2］上的最大值比最小值大g,则a的值为（）

12717

A.一或2B.—或2C.2或—D.一或一

23222

【答案】D

【分析】按照。与1的大小进行分类讨论，求出函数〃X）在［0,2］上的最值，从而可得。的值.

【详解】①当0<a<1时，函数〃x）在［0』上是减函数，在（1,2］上也是减函数.

...〃0）=/=l>-l+a,...函数的最大值为"0）=1,而/⑵=-2+°<°=/⑴，.•.函数〃x）的最小值为

/（2）=-2+«,

.---2+a+|=l,解得a=ge（O,l）,符合题意.

②当”>1时，函数〃x）在［05上是增函数,在0,2］上是减函数.

=Q>—1+Q,

・•・函数/(X)的最大值为〃1)=0,而*2)=-2+*/⑼=。°=1,

当ae(l,3)时，一2+。<1,止匕时函数〃x)的最小值为/■(2)=-2+。，因止匕有一2+a+g=。，无解；

当a«3,+co)时，-2+。却，此时函数的最小值为"0)=1,因此有1+：S=。，解得。=5743,+8),

符合题意.

综上所述，实数。的值为1;或:7.

22

故选：D

((a-2)x+4o+l,x<2

3.(23-24高三上・安徽六安•阶段练习)己知函数/'(》)=；-(a>0且awl),若存在

最小值，则实数。的取值范围为()

A.(0,1B,旧_

C.mJD.1o扑(1,2)

【答案】A

【分析】通过对参数。分类讨论，研究〃x)在(--2］和(2,+8)的单调性，再结合已知条件，即可求解.

【详解】由题意，不妨令g(x)=(a-2)x+4a+l,XG(^»,2］；h(x)=2尸,xe(2,+oo),

①当0<a<1时，g(x)=(a-2)x+4a+1在(—co,2］上单调递减，

A(x)=2al在(2,+s)上单调递减，易知力(无)=2/T在(2,+s)上的值域为(0,2a),

又因为/(x)存在最小值，只需g(2)=(a-2)x2+4a+lV0,解得，a<1,

又由0<a<l,从而0<aV；；

②当1<a<2时，g(x)=(a—2)x+4a+1在(-8,2］上单调递减，h(x)=2al在(2,+8)上单调递增，

又因为/(X)存在最小值，故g(2)<7/(2),

3

即(a-2)x2+4a+142a,解得，a<—,这与1<。<2矛盾；

4

…［9,x<2

③当。=2时，/(*)=2：尤>2'易知"X)的值域为(4,+0，显然〃x)无最小值；

④当。>2时，g(x)n(a-2)x+4a+l在(F,2］上单调递增,/x)=在(2,+co)上单调递增，从而〃x)无

最小值.

综上所述，实数。的取值范围为［o,；.

故选：A.

5.（23-24高一上•黑龙江绥化•阶段练习）已知指数函数/（司=优在［-1川上的最大值与最小值之差为2,则

实数。的值为（）

.3—2-\/2„/­„2-$/2+3„/—

A.------B.J2-1C.-----------D.J2+1

22

【答案】BD

【分析】分0＜。＜1和〃〉1两种情况，根据题意列方程求解即可.

【详解】当0＜〃＜1时，y（x）=0'单调递减，

所以，a-l-a=2,即工-。=2,解得.=也一1（负根已舍弃）；

a

当0＞1时，/（%）=优单调递增，

所以，a-al=2,即。-1=2,解得.=&+1（不符合条件的根己舍弃）.

a

综上，实数。的值为亚-1或血+1.

故选：BD

6.（2024高三,全国・专题练习）已知函数/0）=优（。＞0且。大1）在区间［-2,4］上的最大值是16,求实数

。的值；

【答案】；或2.

【详解】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得.

【分析】当0＜。＜1时，函数/（X）在［-2,4］上单调递减，1Mx=〃-2）=32=16,因此。=；；

当。＞1时，函数“X）在［-2,4］上单调递增，/⑴111ax=”4）=/=16,因此a=2,

所以实数。的值为:或2.

7.（2024高三下•全国•专题练习）函数/（x）=/*+优+1（a＞0,且aw1）在［T』上的最大值为13,求实

数a的值.

【答案】3或;

【分析】令"=入讨论。＞1或0＜a＜l,求出/的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.

【详解】•・•〃x）=++a，+l

令a'=t,贝ll，〉0,

i3i

贝Uy=『+/+1=«+/)2+彳，其对称轴为/=一,.

该二次函数在［-g,+°°)上是增函数.

①若。＞1,由得/=a*e-,a,

_a

故当,=4,即X=1时，

Xnax=/+4+1=13,解得Q=3(Q=-4舍去).

②若0＜。＜1,由可得,=优£a,—

a_

故当，=4，即工=-1时，

a

•,•°=/或一;(舍去).

综上可得。=3或g.

8.(21-22高一上•河北•阶段练习)已知函数/(x)=1"X(_1a＞0且。片1).

(1)若了(2)=；,求〃一2)的值；

(2)若/(x)在上的最大值为g,求。的值.

【答案】(1)-,;

⑵;或3.

【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断/(x)是奇函数，再由-2)=-/(2)即可求解;

(2)讨论0＜a＜l和。＞1时，函数/(x)在11川上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得。

的值.

【详解】(1)因为/'(x)的定义域为R关于原点对称,

屋一1

=-〃x),

优+1

所以“X)为奇函数，故/(-2)=-〃2)=-g.

2

若则歹=优+1单调递减，歹=—二单调递增，

a+\

2

可得/(x)=l--为减函数，

71

当xe[T,l]时，/«ax=/(-l)=l--z?7T=-!

解得：。=；，符合题意；

2

若〃〉1,则歹=优+1单调递增，歹=丁7单调递减，

a+1

2

可得/(x)=l--为增函数，

71

当xe[T,l]时，/(x)max=/(l)=l--=-

解得：＜7=3,符合题意，

综上所述：。的值为;或3.

9.(23-24高三上•甘肃兰州•阶段练习)已知函数P+。-2*+加(优_「)仅＞0且“片1).

⑴若沉=2,求函数/(x)的最小值；

(2)若〃x)2-1恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】⑴1

(2)[-273,273]

【分析】(1)换元令:优-尸武-吟+⑹，可得了=产+2f+2=«+l)2+l,结合二次函数即可得最小值;

(2)换元令:优-「武-叫+⑹，可得/+皿+320恒成立，结合AVO运算求解.

【详解】(1)若旭=2,贝1」/(%)=/工+.3+2(/-3，)=(优一院")+2+2(优-qf),

令ax—ax=t，

故原式化为y=/+2f+2=(/+1)+1,

若a＞l时，可知j==-/*在R上单调递增，

可知"优-a-，在R上单调递增，可知左(-8,+8)；

若0＜。＜1时，可知y=优)=-a-”在R上单调递减,

可知f=优-在R上单调递减，可知(-00,+00);

xx

综上所述：t=a-a~6(-00,+00),

可知当t=T时，y=«+1)2+l«e(-8,+oo))取至Ij最小值为1.

(2)因为〃无)=/*+。一”-a-*)+2+加(优-尸)，

t—Q.X—aF_8,+8),

由题意得即”+M+22-1恒成立，即r+“"+320恒成立，

>Ze(-co,+oo),贝必=>一12«0,解得

所以实数加的取值范围为卜26,2百］.

题型二对数运算及对数函数

易错点03：忽略对数式成立的条件而出错

,易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•山西太原•期中)已知函数〃x)=log,x(a>0,awl)的图象经过点(2,-1),则不

等式/(x)</(2x-1)的解集为.

【答案】例

【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案.

【详解】由题意可得/'(2)=log.2=-1,则/=2,解得

由函数=l°g1x在(0,+动上单调递减，

2

x>2x-1

则可得，x>0,解得;<x<l,

2x—1〉0

故答案为：o

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略对数式成立的条件，漏掉〈x>0,这一隐含条件而出错.

2x—1>0

【避错攻略】

1.对数的定义

一般地，如果a、=N（a>0,且awl）,那么数x叫做以。为底N的对数，记作x=log°N,其中。叫

做对数的底数，N叫做真数.

2.常用对数与自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为IgN.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…

为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为InN.

3.指数与对数的互化

当a〉0,aw1时，a*=N。x=logflN.

4.对数的性质

（1）log“1=0；⑵log“a=l；⑶零和负数没有对数.

5.对数运算性质

如果a〉0,且awl,V>0,N>0,那么：

（1）logfl（M-N）=logflM+logflN；

M

⑵logfl—=logaM-logaN；

n

（3）logaM=nlogflM（neR）.

【注意】对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.

易错提醒：基于对数式log”N,其中对应的参数各自有其成立的条件，分别为底数。>0且aWl,真数20,

在解决对数问题时，一定要充分考虑对应的隐含条件或限制条件，避免出现遗漏或多解.

举一反三

1.（24-25高一上•广东广州•期中）（1）已知loggG?-7X+13）=0,求x的值；

【答案】4

【分析】根据方程可得V-7X+13=1,并结合对数的定义取舍；

【详解】（1）因为10&一）1一7x+13）=0,可得X2-7X+13=1,解得X=4或X=3,

又因为、-2>0且x-2wl,可得x>2且"3,

综上所述：x=4；

2.（24-25高三上・北京•阶段练习）若log2（x+l）W0,则实数x的取值范围是.

【答案】-l<x<0

【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出X的取值范围.

【详解】log2(x+l)<0^0<x+l<l,解得-1<XWO,

故实数x的取值范围为-1<x40.

故答案为：-l<x<0

3.(24-25高三上•湖北武汉•期中)若。：log4(aT)<g,4：a2-2a-3<0,则P是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解两个不等式，分别得到1<。<3和-1<。<3,根据真包含关系，得到。是1的充分不必要条件.

【详解】log4(a-1)<^-=>log4(a-1)<log42,故0<a-l<2,解得l<a<3,

a?—2Q-3<0,解得-1<Q<3,

因为何1<a<3}是{a|-l<a<3}的真子集，

所以。是4的充分不必要条件.

故选：A

・易错题通关

1.(2025・广东•模拟预测)若log2加+log/=2,则机,=()

A.3B.4C.9D.16

【答案】D

【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.

【详解】因为Iog2m+log4"=2,所以Iog2»7+；log2"=2,

1rD

故得log?加+log?"5=log24，化间得l°ggmn=,

\7

所以心〃5=4，故加2〃=16,故D正确.

故选：D.

2.(24-25高三上•四川成都•阶段练习)已知集合/=3嘘2》41},2?={x|0<x<4},则()

A.{x|x<2}B.{x|x<4}

C.{x|0<x<4jD.{x|0<x<2}

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质化简集合A,即可由并集的定义求解.

【详解】Slog2X<1,则log2X4log22,所以0<尤42,

所以/=|x|log2x<1}={x[0<x<21,A<JB={x[0<x<4}

故选：C

3.（24-25高三上•内蒙古赤峰•期中）已知。，Z>eR,lgo+lg（2/>）=l,则4a+6的最小值为（）

A.2亚B.4V2C.2V5D.475

【答案】D

【分析】由对数及运算性质可得=5,a>0,b>Q,再由基本不等式即可求解.

【详解】lga+lg（2fe）=l,所以lg2仍=1,且

所以2必=10,即必=5,

4a+/?>2V4^K=2V4^5=475,

I0

当且仅当4a=b且ab=5,即<2时等号成立，

b=2小

所以4a+6的最小值为4石.

故选：D.

4.（2024•广东广州•模拟预测）若x,yeR,贝卜2*-2>>0”是“111（工一切>0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断.

【详解】因为>=2*在xeR上单调递增，

由2'-2>>0可得2*>2，'，即x>>,所以x-y>0,

但无法保证故ln(x-力>0不一定成立，充分性不满足;

由ln(x-日>0可得所以尤一定成立，故必要性满足；

所以“2、_2>>0”是“ln(x-y)>0”的必要不充分条件.

故选：B

5.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)设函数/(x)=》3忖,则不等式〃210g3%)+〃3-唾3到<0的解集是

()

AJ/27)B.(0,^C.(0,27)D.(27,+8)

【答案】B

【分析】分析可知“X)为定义在R上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可.

【详解】由题意可知：/(x)的定义域为R,且〃5)=(-可］-司=*国=一〃耳，

可知/(x)为定义在R上的奇函数，

且当x20,则〃x)=x4在［0,+8)内单调递增，

可知;'(X)在(-叫0］内单调递增，所以“X)在R上单调递增，

因为7(21og3X)+〃3-k)g3X)<0,则/(21og3X)<-/(3-log3X)=/(log3X-3),

可得210g3X<log3X-3,gplog3x<-3=：log3,解得0<x<(，

所以原不等式的解集为

故选：B.

6.(24-25高三上•湖北•期中)若关于x的函数/(xhlgDog/f+G+z)］的定义域为R,则实数。的取值

范围为()

A.(O,l)U(l,2)B.(0,l)u(l,2V2)C.(1,2)D.［1,272)

【答案】C

【分析】根据定义域为实数集，转化为》2+依+2>0且1。8°(，+^+2)>0恒成立，

结合二次不等式恒成立求解即可.

【详解】由题意，Q>O,QW1,且对任意XER,

+cix+2〉0,(J)

且log。（无2+办+2）>0,②

对于①，、="-8<0,结合得ae（0,l）u（l,2©

若ae（O,l）,由②知对任意xeR,—+亦+2€（0,1）,矛盾；

若ae（l,20）,由②知对任意xeR,—+。工+2>1,BPx2+ax+1>0,

2

JUOA2=a—4<0,得ae（1,2）,

综上，当ae(l,2)时，对任意xeR,①②同时成立.

故选：C

7.(24-25高三上•上海闵行•期中)设0<a<1,若log//+1)>loga(3x+5),则实数x的取值范围是

【答案】-l<x<4

【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可；

【详解】因为0<。<1,所以函数y=bg“x为减函数，

2

又log“(x+l)>loga(3x+5),

x2+l>0

所以,3x+5>0,解得-1Vx<4,

x2+1<3x+5

故答案为：-l<x<4.

8.(23-24高三下•上海•阶段练习)方程lg(2-》)+怆(3-》)=坨12的解是.

【答案】x=-l

【分析】根据对数的运算法则计算可得.

【详解】由方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2,可得lg[(2-x)(3-x)]=lgl2,

2-x>0

/.<3—x>0,解得x=-1.

（2-x）（3-x）=12

故答案为：'=-1

9.(24-25高三上河南•期中)已知函数〃x)=log2(e-1为奇函数.

⑴求a的值;

(2)求满足f(x)<log2(x+2)-log,x的x的取值范围.

【答案】⑴。=4

(2)(0,1)

【分析】(1)根据奇函数的性质求解即可；

(2)先求出函数/(x)的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可.

【详解】(1)因为函数/(x)为奇函数，所以f(—W=一/(%)，

则噫(曰-1]=-噫[号-1]，

[2+x)\l-x)

(a-2-xy(a八1ra-2+x\.(2-x、

即log2-TZ-=Tt°g?9-------1=T°g2—z-------=!og—7—，

I2+xJ<2-xJI2-x)2\a-2+x)

贝!JQ=4.

(2)由(1)知，/(x)=logj-^--11=小尹。

\l-x)2-x

由言>0,解得-2<X<2,即函数〃X)的定义域为(-2,2),

2-x

/(x)<log2(X+2)-log^x,0<x<2,

0_1.y

即log?--<log?(x+2)-logQX,

2.—x

即log2(x+2)-log2(2-x)<log2(x+2)-log&x,

即log2(2-x)>log^x=log2尤②，

贝!J2-X>X2,解得一2<x<l,

又0<x<2,贝

即x的取值范围为(0,1).

易错点04：判断对数型复合函数的单调性忽略定义域

,易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•辽宁大连•期中）函数〃%）=1限卜2-4）的单调递增区间为（）

A.(0,+oo)-oo,0)C.(2,+co)D.(-oo,-2)

【答案】C

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.

【详解】函数〃x)=log3(/-4),令/一4>0,即(无一2)(尤+2)>0,解得尤>2或x<-2,

所以/(x)的定义域为(-e，-2)。(2,+巧,

又)=logsx在定义域上单调递增，了=/-4在(2,+⑹上单调递增，在(-叫-2)上单调递减,

所以的单调递增区间为(2,+C0).

故选：C

【易错剖析】

本题求解时容易错解中忽视了函数的的定义域，因为单调区间是定义域的子集，在解函

数问题时，一定要树立“定义域优先”的意识.

【避错攻略】

1.复合型函数单调性规律

若函数y=/(M)在Z内单调，M=g(x)在5内单调，且集合{瓦/M=g(x),xeB}NZ.

(1)若y=/(M)是增函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是增(减)函数

(2)若y=/(M)是减函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是减(增)函数

2.复合型函数单调性判断步骤

第一步：求函数的定义域

第二步：令内函数为瓦=g(x),画出其图像，从而确定其函数的单调性

第三步：画出外函数y=/(M)的图象并确定其单调性

第四步：利用结论同增异减判断.

易错提醒：在处理对数复合函数的单调性问题时，一定要注意两个易错点：(1)注意分析对数底数对单调

性的影响；(2)树立定义域优先的思想.

举一反三

1.(24-25高三上•宁夏石嘴山•阶段练习)函数/(x)=lnx+ln(2-x)的单调递增区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(-8,1)D.(l,+°o)

【答案】A

【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.

Ix>0

【详解】函数〃x)=hu+ln(2-x),因为解得0<x<2.

［2—x>0

所以函数/(x)=lnx+ln(2-x)的定义域为(0,2),且/(刈=皿*+2x),(xe(0,2)).

因为函数f=f2+2x(xe(0,2))在区间(0,1)上单调递增,

在区间(1,2)上单调递减，函数y=lm单调递增，

所以由复合函数的单调性知函数〃x)=hu+ln(2-x)在区间(0,1)上单调递增，

在区间(1,2)上单调递减，

故选：A

2.(24-25高三上•山东德州•期中)已知关于》的函数^=1°81(/+^+°-1)在［-3,-2］上单调递增，则实数

2

。的取值范围是()

A.a<4B.a<4

C.a<3D.a<3

【答案】D

【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间［-3,-2］上单调递减且函数值

一定为正，建立不等式组，求得。的取值范围.

【详解1-^t=x2+ax+a-l>

贝"=logj,「oKvl,2在(0,+功上单调递减，

22

由复合函数的单调性可知，，在［-3,-2］单调递减，

一建一2(a<4

2,则,

(-2)-+(-2)a+a-l>0

・••Q<3

故选：D

3.(24-25高三上・江苏泰州•期中)函数/'(x)=ln(/一品+12)的单调递增区间为.

【答案】(6,+“)

【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得单调递增区间.

【详解】由X2-8X+12=(X-2