直角三角形（讲义）原卷版-2025年中考数学一轮复习

专题18直角三角形的核心知识点精讲

O复习目标O

1.了解直角三角形的概念；

2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余（无需证明）；直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；

O考点植理O

考点1:直角三角形的性质与判定

1.两锐角之和等于90°

2.斜边上的中线等于斜边的一半

3.30°角所对的直角边等于斜边的一半

1,若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°

性质（应用时需先证明）

2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则

2122

a+b=c

直

角1.有一个角为90°的三角形时直角三角形

2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形

1,一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形

角判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足

形

a+b2=c，那么这个三角形为直角三角形。

S」ab=J'其中'是底边常，hs是底边上的高

一仗

面积公式

b

考点2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别

为a,b,斜边长为c,那么/+/=。2.

直角边

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+62=02,那么这个三角形是直角三

角形.

（3）勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

0刃典例引领

【题型1：直角三角形的性质与判定】

【典例1】（2024•山东济宁•中考真题）如图，菱形4BCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点，连

接。E.若。E=3,则菱形的边长为（）

A.6B.8C.10D.12

即时检测

1.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，力B是。。的直径，点C在48的延长线上，CD与O。相切于点。，若

ZC=20°,贝I]NG4D=°,

2.（2024•山东青岛•中考真题）如图，菱形4BCD中，8C=10,面积为60,对角线NC与8。相交于点O,

过点/作AE1BC,交边BC于点E,连接E。，则E。=.

3.（2024•山东东营•中考真题）如图，△ABC内接于。。，4B是O。的直径，点E在。。上，点C是质的中

点，AE1CD,垂足为点。，DC的延长线交的延长线于点足

⑴求证：CD是。。的切线；

（2）若CD=百，N4BC=60。，求线段4F的长.

河典例引领

【题型2：勾股定理及逆定理】

【典例2】（2024・四川巴中・中考真题）"今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐•问:

水深几何？"这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即4C=5,DC=1,BD=BA,则BC=（）

A.8B.10C.12D.13

即时检测

1.（2024・辽宁・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形40BC的顶点4在%轴负半轴上，顶点B在直

线y=/上，若点B的横坐标是8,为点C的坐标为（）

4

A.(—1,6)B.(—2,6)C.(-3,6)D.(-16)

2.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，将矩形纸片力BCD沿边EF折叠，使点。在边BC中点M处.若

AB=4,BC=6,则CF=

3.（2024・江苏常州•中考真题）如图，在中，ZXCB=90°,AC=6,BC=4,。是边力C的中点，E

是边BC上一点，连接8。、DE.将△CDE沿OE翻折，点C落在8D上的点尸处，则CE=

【题型3：勾股定理与弦图、拼图】

【典例3】（2023•内蒙古•中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小

的锐角为a,则cosa的值为（）

R44

A-IB-wD-5

即时检测

1.（2023,江苏扬州•中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图"，后人称之为"赵

爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a、b,

斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为

o好题冲关o

名码基础过关

1.（24-25八年级上•吉林四平•期末）如图，RtAXBC=RtADB£,若乙4=30。，贝!UE的度数为（）

A.60°B.45°C.35°D.30°

2.（24-25八年级上•河南郑州•期中）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然

后将绳子拉到离旗杆底端5m处,发现此时绳子底端距离打结处约1m.如果设旗杆的高度为xm,那么

根据题意可列方程（）

A.(%-1)2+52=X2B.(x+I)2+52=%2

C.x2+52=(x-1)2D.x2+52=(x+I)2

3.（24-25八年级上•四川•期中）一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m,如果

梯子的顶端下滑0.8m,那么他的底部滑行了（）

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

4.（20-21八年级上•全国•课后作业）如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B与点C的距

离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点2爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是

（）

A.25cmB.20cmC.24cmD.10V5cm

5.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）如图，以数轴上的原点为圆心，。8长为半径画圆弧，交数轴正半

轴的点4处，则点Z所表示的数为（)

'B

-10121X

A.V9C.V6D.V5

6.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）下图是由正方形和直角三角形拼组成的，若正方形4,3的面积分

别为9,4,则正方形C的面积是（

A.5B.V5D.V13

7.（2024•安徽安庆・二模）如图，在长方形2BCD中，DC=6,在DC上存在一点及沿直线AE把△ADE折叠,

使点。恰好落在8c边上，设此点为尸，若△4BF的面积为24,贝UCE的长度为（）

A.3.5B.1C.2D.3

8.（24-25九年级上•江苏宿迁,期末）如图，是。。的直径，AC是。。的弦，AB=2,^BAC=30°,若

点。在O。上，且=60°,则CD长为

9.（24-25八年级上•上海・期末）在平面直角坐标系中，点4的坐标为（0,5），点P坐标为（3,0），则线段AP=

10.（24-25八年级上•吉林长春•期末）如图，将等腰直角三角尺一条直角边放在数轴上，顶点B和C对应的数

分别为0和1,再将三角尺绕顶点B逆时针旋转，使得斜边与数轴重合，则顶点4在数轴上对应的数

是.

11.（24-25八年级上•福建厦门•期中）如图,在/XABC中,AB=BC,zX5C=120°,过点B作BD1BC,交

AC于点D,若AD=1,贝必C的长度为.

12.（24-25八年级上,陕西•期中）如图，在Rt△力BC中，NACB=90。,乙4=30。，2B=8,BC=4,若点。

在直线48上，且NBCD=30。，贝的长为.

13.（24-25八年级上•辽宁鞍山・期中）如图,4（0,3），B（2,0）,4C=AB,AC1AB,则点C的坐标为.

14.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米,

把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端/与旗杆根部C

之间的距离为9米，设旗杆BC的高度为x米.

⑵求旗杆的高度8C；

⑶珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰

好接触地面的点。处，求珍珍应从/处向东走多少米？

15.（2024・广东汕头•一模）如图，△4BC和aDCE都是等腰直角三角形，AACB=ADCE=90°,AC=BC,

DC=EC,连接他BE.

B

（1）求证：△ACD三△BCE；

（2）直接写出AD和BE的位置关系.

钳能力提升

1.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，菱形ZBCD中，点。是BD的中点，AM1BC,垂足为M,AM

交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为（）

A•近B.誓C.善D.等

2.（2024•江苏苏州・中考真题）如图，矩形2BCD中，AB=百，BC=1,动点、E,尸分别从点/,C同时出

发，以每秒1个单位长度的速度沿ZB,CD向终点3,。运动，过点£,下作直线/,过点/作直线/的

垂线，垂足为G,贝必G的最大值为（）

A.V3B-TC.2D.1

3.（2024•西藏・中考真题）如图，在RtaABC中，ZC=9O°,AC=12,BC=5,点尸是边上任意一点,

过点P作PD14C,PELBC,垂足分别为点。，E,连接DE,贝UOE的最小值是（）

4.（2024•广西・中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD,E,F,G,〃分别为各边中点，连接4G,BH,

CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

A.1B.2C.5D.10

5.（24-25九年级上•重庆荣昌•期中）如图，在正方形力BCD中，E,尸分别为BC,CD边上的点，4F与OE交

于点M,N为2E的中点，连接MN,若48=4,CE=DF,CF=3DF,则MN的长度为.

6.（24-25九年级上•广东汕头•期中）如图，△ABC中，N4CB=90。，BC=8,AC=6,将△ABC绕点B逆

时针旋转得△4BC',若点C'在48上，连接24,贝|44’的长为.

7.（24-25九年级上•陕西咸阳•阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图"的示意图，它是由四个全等的直

角三角形围成的，若正方形ABCD的面积为25,正方形EFGH的面积为1,则tan/ABF的值为.

8.（2024•四川内江•中考真题）如图，在△ABC中，乙4BC=60。，BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点

/是△力BC的内心,B/的延长线交4c于点D,P是8。上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为.

9.（2024・四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片4BCD沿对角线BD折叠，使点C落在点£处，BE与AD交

于点尸，若48=6,BC=8,贝hosNABF的值是.

10.（2022•吉林长春•模拟预测）问题引入：如图①，ABWCD,AB>CD,NABD=90。，E是线段AC

的中点，连接。E并延长交4B于点R连接BE.贝UBE与DE之间的数量关系是；

问题延伸：如图②，在正方形4BCD和正方形BEFG中，点/、B、£在同一条直线上，点G在BC上，P

是线段DF的中点，连接PC、PG.

图①图②

（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由;

(2)连接CF,若4B=3,PC=VL贝/产的长为.

11.（2024•河北,模拟预测）如图1,嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个"赵爽弦图"，其中大正方形4BCD

的面积为25,小正方形EFGH的面积为1.

图1图2图3

(1)如图2,连接DG,CF,BE,4H得到一个风车图案(阴影部分)，则风车图案的周长为

(2)如图3,连接4C,交BG于点尸，交DE于点、M,贝1JS^FP—SMGP=

12.(2024•广东•模拟预测)综合与实践

【提出问题】唐朝诗人李顽的诗《古从军行》开头两句"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，"中隐含着

一个有趣的数学问题一一将军饮马问题.如图1,将军从山脚下的点4出发，到达河岸点P饮马后再回到

点B宿营，请问怎样走才能使总路程最短？

【分析问题】

如图1,取点力关于河岸线的对称点4,连接AP,A'P,当4,P,B三点共线时，点P为饮马的地方，

PA+PB=A'B,此时所走的路程就是最短的.

【解决问题】

(1)当4,P,B三点共线时路程最短的依据是」

【迁移应用】

(2)如图2,A,8两个村庄在河岸CD的同侧，两村到河岸C。的距离分别为AC=1千米，BD=3千米,

(CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P,从P处向4B铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管

道长度和最少.

①请在河岸CD上作出水厂P的位置，并写出作图过程；

②若铺设水管的工程费用为20000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用.

真题感知

1.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图，在菱形ABCD中，N力BC=60。，AB=6,AC是一条对角线，E是AC

上一点，过点E作EF14B,垂足为F,连接DE.若CE=4F,则DE的长为

2.（2024・新疆,中考真题）如图，在RtZ\2BC中，NC=90。,乙4=30。,43=8.若点。在直线48上（不与点

A,8重合），且NBCD=30。，贝必。的长为.

3.（2024•四川•中考真题）如图，Rta/IBC中，NC=90。，AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点/与点8重

合，折痕DE与2B交于点。，与力C交于点E,则CE的长为.

4.（2024•陕西•中考真题）如图，在△4BC中，AB=AC,£是边4B上一点，连接CE,在BC右侧作8尸||4C,

且BF=2E,连接CF.若4C=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为.

5.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一个

正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50。的直角三角形，再分别以所得

到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后

得到的图形，人们把它称为"毕达哥拉斯树".若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形

中所有正方形的面积和为.

图①图②图③

6.（2024•辽宁・中考真题）如图1,在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮