中考数学复习专项提升：矩形的性质与判定（练习）原卷版

第五章四边形

第24讲矩形的性质与判定

口题型13根据矩形的性质与判定求周长，面积

模拟基础练口题型14根据矩形的性质与判定解决多结论问题

口题型15与矩形有关的新定义问题

□题型01矩形性质的理解

口题型16与矩形有关的规律探究问题

口题型02根据矩形的性质求角度

口题型17与矩形有关的动点问题

□题型03根据矩形的性质求线段长

口题型18与矩形有关的最值问题

口题型04根据矩形的性质求周长，面积

□题型19矩形与函数综合

口题型05根据矩形的性质求点的坐标

口题型20与矩形有关的存在性问题

□题型06矩形的折叠问题

口题型21与矩形有关的材料阅读类问题

□题型07利用矩形的性质证明

口题型08矩形判定定理的理解重难创新练

口题型09添加一个条件使四边形是矩形

口题型10证明四边形是矩形

□题型11根据矩形的性质与判定求角度真题实战练

口题型12根据矩形的性质与判定求线段长

模拟基础练

□题型01矩形性质的理解

1.（2024•贵州黔东南•一模）在下列立体图形中，左视图为矩形的是（）

2.（2024・重庆•模拟预测）正方形具备而矩形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.四个角都是直角

C.对角线互相平分D.对角线相等

3.（2024.辽宁大连.模拟预测）下列图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.矩形C.菱形D.正六边形

4.（2024.四川广安・中考真题）如图，矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线，每个小正

方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片.请

在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线.

注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；

②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况.

两块纸片两块纸片两块纸片两块纸片不是全等形

是全等形是全等形是全等形但面积相等

□题型02根据矩形的性质求角度

5.（2024.陕西西安.模拟预测）如图，在矩形4BCD中，AC.BD相交于点。，AE平分NB4D交BC于点E.若

A.45°B.60°C.65°D.75°

6.（2024•广东惠州•模拟预测）石油的提取物中含有稠环芳香烧，它的同系物的分子结构中有一种物质叫

释迦牟尼分子，它的分子式是C“2（部分结构是正六边形和矩形构成），其中N1的度数为

二4

L

7.（2024•海南海口•模拟预测）如图,把一块等腰直角三角尺EFG的直角顶点G放在矩形纸片力BCD的边BC

上，另外两个顶点瓜尸分别在矩形纸片ABC。的边a。、CD上，若NGFC=76。，贝此2EG=（）

C.104°D.102°

8.（2024•河北唐山・一模）如图，直线。怙,线段ZB和矩形CDEF在直线m人之间，点A,E分别在m"上,

点B、C、尸在同一直线上，若Na=80。，47=55。，贝!UABC=（）

A.130°B.135°C.140°D.150°

□题型03根据矩形的性质求线段长

9.（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，E是边4D的中点，连接BE交对角线AC于点F.若AC=6,

10.（2024.河北石家庄.二模）如图，矩形48CD中，AB=6,8c=4,点尸为CD的中点，若点尸绕力B上的

点。旋转后可以与点B重合，贝U4Q的长为（）

----------------------冶

11

A.6B.—C.3D.4

6

11.（2024・江苏无锡•一模）如图，已知矩形ABC。，AB=2,BC=3,E、尸分别是边BC、CD上的动点，且

BE=CF,将△BCF沿着方向向右平移到△£/；“，连接。“、EH,当。E=E”时，。“长是；运动过

程中，△DE”的面积的最小值是

12.（2024・安徽.模拟预测）如图，矩形28CD中，点E在4。边上，BE平分乙ABC,F,G分别是BE,CE的中

点，AF=2V2,DG=V5,贝UFG的值为（）

A.V5B.2V2C.2V3D.3

13.（2024・湖南•模拟预测）如图，在矩形2BCD中，=2,BC=4,E,F分别是力D,BC上的点（点E,尸分别

不与点4c重合），且EF1B。，贝加石+石尸+。尸的最小值为.

□题型04根据矩形的性质求周长，面积

14.14.（2024•甘肃平凉.三模）如图，在矩形48CD中，AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点。，点

E,F分别是40,4D的中点，连接EF,则△力EF的周长为.

15.（2024•福建龙岩.模拟预测）如图,矩形力BCD中,4。=41AB,点E是矩形内部一动点，且N82E=乙CBE,

已知DE的最小值等于2,则矩形2BCD的周长=

16.（2024・广东•模拟预测）如图，在长方形力BCD中，AB=5,AD=3,以点。为圆心，4D长为半径画弧,

交线段CD延长线于点E,点尸为BC边上一点，若CF=2BF,连接EF,则图中阴影部分的面积为

（结果保留力）.

17.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）如图，矩形力BCD中，AB=2,BC=4,点尸从点2出发沿BC边匀速移

动到点C,同时点。从点C出发沿C。、DA,4B边向点B匀速移动，且点。移动的速度是点尸移动速度

的2倍，设PB的长为尤，APCQ的面积为》则下列各图中能够正确反映y与x的函数图象的是（）.

18.（2024.山东荷泽.二模）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如

图1,8。是矩形48CD的对角线，将ABC。分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆

放，观察两图，若a=6,6=4,则矩形2BCD的面积是.

图1图2

19.（2024・广东清远・模拟预测）y=—x+6与y=x+2的图象交于点M,设点M的坐标为（m,n）,求边

长分别为机、〃的矩形面积.

口题型05根据矩形的性质求点的坐标

20.（2024•江西九江•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-|%+4分别与无轴、y轴交于点力、

B,点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以4、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为

21.（2024・湖北宜昌•模拟预测）如图,在平面直角坐标系中，矩形ABC。两边与坐标轴重合,。4=2,OC=1.将

矩形ZBC。绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，则第2025次旋转结束时，点8的坐标为（）

¥

C---------------iB

OAx

A.（1,2）B.（2,1）C.（-2,-1）D.（-1,2）

22.（2023•河南商丘•二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形04BC为矩形，点4,C分别在y轴、x轴

上，且点B（4,3）,D为边BC上一点,将48沿4。所在直线翻折，当点8的对应点所恰好落在对角线4C上时，

23.（2022.河北邢台三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形048。的顶点坐标分别为4（8,0）,C（0,6）.把

横、纵坐标均为偶数的点称为偶点.

（1）矩形Q4BC（不包含边界）内的偶点的个数为;

（2）若双曲线L：，=£（>>0）将矩形048。（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，贝味的整数值有

个.

24.（2024・四川乐山・一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形04BC的边。力、OC分别在无轴和y轴上，

OC=3,OA=2V6,。是BC的中点，将小OCD沿直线。。折叠后得到△OGD,延长OG交48于点E,连接DE,

则点G的坐标为（）

D.明）

口题型06矩形的折叠问题

25.（2024.宁夏银川・模拟预测）如图，四边形48CD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠，使边

落在DC边上，点4落在点”处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF.若矩形"EFG

与原矩形A8CD相似，AD=3,则CD的长为.

26.（2024・山东日照・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（4,0）,C（0,4&）是矩形04BC的顶点，

点M,N分别为边力B,OC上的点，将矩形O4BC沿直线MN折叠，使点8的对应点次在边。4的中点处，点C的

对应点C'在反比例函数y=：（k丰0）的图象上，则k=

27.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，矩形4BCD的长3。=同，将矩形A8CD对折，折痕为PQ,展开后,

再将NC折到NDFE的位置，使点C刚好落在线段4Q的中点尸处，则折痕DE=.

AD

PQ

B:c

E

28.（2024・湖北.模拟预测）如图，将一个矩形纸片。ABC放置在平面直角坐标系中，点。（0,0）,点B（2次,2）.D

是边BC上一点（不与点B重合），过点D作DE||OB交。C于点E.将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C'.当

点C'落在。B上时，点（7的坐标为

口题型07利用矩形的性质证明

29.（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图，在矩形4BCD中，NB2D的平分线交BC于点E,EF12。于点F,DG1AE

于点G,DG与EF交于点0.

（1）判断四边形4BE尸的形状，并说明理由;

(2)若AD=AE,AF=1,求DG的长.

30.（2024・吉林长春•模拟预测）如图①，BD是矩形4BCD的对角线，AABD=30°,AD=1.将△BCD沿射

线BD方向平移到△BCD，的位置，使夕为BD中点，连接力夕，CD,AD',BC,如图②.

图①

⑴求证：四边形4B'C'D是菱形;

（2）四边形的周长为二

（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有

可能拼成的矩形周长.

31.（2024•广东梅州・模拟预测）如图,将矩形4BCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿C4方向平移得到

⑴求证：LA'AD'=ACCB-,

⑵若〃CB=30。，试问当点C，在线段力C上的什么位置时，四边形力BC7/是菱形，并请说明理由.

口题型08矩形判定定理的理解

32.（2024•山东临沂模拟预测）小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形,

下面的测量方法正确的是（）

A.度量窗户的两个角是否是90。

B.测量窗户两组对边是否分别相等

C.测量窗户两条对角线是否相等

D.测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

33.（2024•河南郑州.模拟预测）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是

某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否互相平分B.测量各顶点到对角线交点距离是否相等

C.测量一组对角是否都为直角D.测量两组对边是否分别相等

34.（2023•安徽蚌埠•三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（）

A.①②B.①④C.③④D.②③

口题型09添加一个条件使四边形是矩形

35.（2024・湖南•模拟预测）已知叱48CD,下列条件能使图/BCD成为矩形的是（）

A.AB=BCB.AC1BDC.AC=BDD.Z-A=Z.C

36.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，回48CD的对角线AC,相交于点O,E,尸分别是04OC的中点.

DC

(1)求证：BE=DF；

(2)连接DE,BF.请添加一个条件，使四边形DE8F为矩形.(不需要说明理由)

37.(2024.陕西西安・模拟预测)如图，已知四边形力BCD为平行四边形，AE1BC于点E,点F为4D上一点,

连接CF，请你添加一个条件，使得四边形4ECF为矩形.(不再添加其他线条和字母)

(1)你添加的条件是;

(2)根据你添加的条件，写出证明过程.

38.(2024.湖北武汉.模拟预测)如图,在平行四边形4BCD中，点E,尸在对角线AC所在直线上,N2BE=乙CDF.

(1)求证：BE=DF；

(2)连BF,DE.请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由.

口题型10证明四边形是矩形

39.(24-25九年级上•江苏南京•期中)如图，在。。的内接四边形ABCD中，AB=CD,AB||CD.

求证：四边形2BCD是矩形.

40.(2022・西藏・模拟预测)在△ABC中，。是BC边的中点，£、尸分别在4。及其延长线上，CEIIBF,连接BE、CF.

A

⑴求证：&BDF34CDE；

（2）若DE=^BC,试判断四边形BFCE的形状，并说明理由.

41.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，团IBCD中,AC,BD相交于点0,E,F分别是04,。。的中点.

⑴求证：BE=DF；

（2）设却=%直接写出k=_时，四边形DEBF是矩形.

BD

42.（2024.湖北.模拟预测）如图，在A4BC中，AB=AC,尺规作图所得射线4尸交BC于点D且四边形4BDE

是平行四边形，求证：四边形4DCE是矩形.

口题型11根据矩形的性质与判定求角度

43.（2024•福建泉州•一模）“已知NM0N,点A,8是。N边上不重合的两个定点，点C是。“边上的一个动

点，当ATIBC的外接圆与边OM相切于点C时，乙4c8的值最大.”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，

我们称之为米勒定理.已知矩形力BCD,4。=4,点E是射线4。上一点，点尸是射线4B上的一动点.当4E=12

时，则4DFE的值最大为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

44.（2023•江苏镇江•二模）如图，在平行四边形4BCD中，点E、F、G、H分别在边力B、BC、CD、DA1.,

且4E=CG,8F=连接EG、FH.

DGC

⑴求证：hAEH=ACGF；

（2）若EG=FHjAHE=35°,求的度数.

45.（2023・广东梅州•一模）如图，四边形力BCD中，对角线AC,BO相交于点。，2。=。。，BO=OD,且

/.AOB=2/.OAD.

（1）求证：四边形4BCD是矩形；

（2）若N20B:乙ODC=6:7,求42。。的度数.

□题型12根据矩形的性质与判定求线段长

46.（22-23八年级下•重庆梁平・期末）如图，在菱形4BCD中，AC=8,BD=6.E是CD边上一动点，过点

E分别作EFLOC于点F石61。。于点6,连接FG,贝UFG的最小值为（）

A.2.4B.3C.4.8D.4

47.（2024•辽宁盘锦•三模）如图，在△4BC中，Z.BAC=90°,4B=4C=5,点。在4c上，且AD=2,点

E是AB上的动点，连接DE,点RG分别是BC和。E的中点，连接4G,FG,当AG=FG时，线段DE的长

为

c

48.（2024・西藏・中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,点尸是边AB上任意一点,

过点尸作PD14C,PELBC,垂足分别为点D,E,连接DE,贝UDE的最小值是（）

口题型13根据矩形的性质与判定求周长，面积

49.（2024.山东.模拟预测）如图，在固4BCD中，AB=2,BC=5,延长DC至点E,使CE=DC,连接AE,

交BC于点F,连接AC,BE,AAFC-2zD.

（1）求证：四边形4BEC是矩形；

（2）求回2BCD的面积.

50.（2024・甘肃・模拟预测）如图，在回48CD中，点、E,尸分别在BC,4。上，EF与2C相交于点。，BE=

(2)若AE=BE,AB=2,sin乙4cB=|,求四边形力BE。的面积.

51.（2024•陕西西安・模拟预测）问题探究

图1

（1）如图1,在固4BCD中，E,BC,CD上的点（不与团2BCD的顶点重合）,

连接EG,FH,^EG||AB,FH||4。时，求证：S四边形EFGH=豹团ABCD-

问题解决

（2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置.如图2,设计师通过设计软件画出圆形场地,

记作O0,主区域△ABC内接于。。，4B经过圆心。M为力B上一点，ME1AC,MF1BC,垂足分别为

E,F,要求AE=BF.观赏区为AZEM与△BMF,已知28=25m.设AM=Jtm,观赏区△4EM与△BMF的

面积的和为Sin?.

①求S与x之间的函数关系式.

②当S最大时，求△力的面积.

52.（2024•贵州遵义・二模）如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁,

这样的四边形叫做凹四边形.如图，在凹四边形A8CD中，BC=2,48=2次,4。=30。,乙4=15。，则凹四

边形力BCD的周长为.

53.（2024・四川遂宁•二模）如图，已知等腰梯形4BCD中，AD\\BC,Z.B=60°,AD=2,BC=8,则此等

腰梯形的周长为（）

A.19B.20C.21D.22

□题型14根据矩形的性质与判定解决多结论问题

54.（2023・四川达州•模拟预测）如图，将矩形4BC0沿着GE、EC、GF翻折,使得点4、B、。都落在点。处,

且点G、。、C在同一条直线上，点E、。、F在另一条直线上.以下结论：①A4EG7DGF；②ZB=V2AD；

@ShC0F=|SACDG；@EF=3DF.其中正确结论的个数为（）

55.（2024・湖北•模拟预测）如图，四边形4BCD是矩形纸片，AB=6,对折矩形纸片4BCD,使力。与BC重

合，折痕为EF.展平后再过点B折叠矩形纸片，使点4落在EF上的点N,折痕与EF相交于点Q,再次展

平，连接延长MN交BC于点G.有如下结论：

①N2BN=60。；@AM=3；③ABMG是等边三角形；④P为线段8M上一个动点，H是线段8N的动点，

则PN+PH的最小值是3次.其中正确结论的序号是.

56.（2024.上海闵行.二模）在矩形48CD中，AB<8C,点E在边4B上，点尸在边BC上，联结DE、DF、EF,

AB=a,BE=CF=b,DE=c，乙BEF=LDFC,以下两个结论：®（a+h）2+（a-b）2=c2；@a+b>

B.①②都错误；

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

57.（2023•山东临沂・二模）如图，在矩形4BCD中，=342,AD=6,点E,尸分别是边AB,BC上的动点,

点E不与A,8重合，且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且NEGF=90。的点，现给出以下结

论：①乙4EG与NGFB一定相等；②点G到边AB,BC的距离一定相等；③点G到边4D,DC的距离可能相

等；④点G到边DC的距离的最小值为3,其中正确的是（写出所有正确结论的序号）.

□题型15与矩形有关的新定义问题

58.（2024・浙江•一模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条

直线为这个图形的“紫金线

⑴如图1,已知△ABC,AB=AC,ACBC,

①用尺规作图作出△ABC的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）

②过点C能作出A/IBC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由;

（2）如图2,若MN是矩形4BCD的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将N/1CD用含a的代数式

表示为;

（3）如图3,已知四边形4BCD中，ZB=ZC=90°,AB=3,SC=8,CD=5.用尺规作图作出四边形4BCD的

“紫金线”PQ.（保留作图痕迹）

59.（2024.河南漠河.一模）定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的几倍，就说这个三角形是另一

个三角形的“n倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的Z分之一三角形”.如图1,△ABC的中线2D把三角

形分成面积相等的两部分，即△48。和AACD的面积都是AABC面积的一半，所以△力BC是△力BD或△2CD

的“2倍三角形"，AABD^A力CD都是△ABC的“2分之一三角形”.

图1图2图3

(1)①如图2,A4CP是AABP的“2倍三角形"，那么AABP是A/IBC的“分之一三角形”；

②若点。是AABC的重心，连接。8,0C,则A48C是AOBC的“倍三角形”；

(2)在AABC中，AB=2BC,分别延长边B4,BC到点M,N,连接MN.已知4M=AB,ABMN是△4BC的

“16倍三角形”.求证：ABMN与△ABC是相似三角形；

(3)如图3,在矩形4BCD中，AB=4,连接4C,过点D作DE14C于点E,点P,Q分别是线段4D,4E上的

动点，连接EP,PQ.已知△力BC是ACDE的“4倍三角形"，求EP+PQ的最小值.

60.(2024•辽宁本溪.二模)定义：

在平面直角坐标系中，图象上任意一点P(*,y)的纵坐标y与横坐标x的差即y-x的值称为点P的“坐标差”；

例如：点43,7)的“坐标差”为7-3=4,而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”.

(1)求二次函数y=-/+7x+1的图象的“特征值”；

运用：

(2)若二次函数y=-%2-bx+c(c*0)的“特征值”为-1,点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴，y轴

的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；

拓展：

(3)如图，矩形ODEF,点E的坐标为(7,4),点。在x轴上，点F在y轴上，二次函数y=-/+px+q的图

象的顶点在“坐标差”为3的函数图象/上.

①当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；

②当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出p的取值范围.

参考公式：y=ax2+bx+c(c0)=a

61.(2023・江西上饶•一模)我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.例如：如

图，NB=NC,则四边形ABCD为等邻角四边形.

D

A

BC

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是

①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形

(2)如图，在四边形力BCD中，AB,CD的垂直平分线恰好交于BC边上一点P,连结4C,BD,S.AC=BD,

求证：四边形ZBCD为等邻角四边形.

(3)如图，在等邻角四边形4BCD中，AB=4BCD,CELAE,点尸为边BC上的一动点，过点P作PM14B,

PN1CD,垂足分别为N.在点P的运动过程中，猜想PM,PN,CE之间的数量关系？并请说明理由.

口题型16与矩形有关的规律探究问题

62.(2020•辽宁•中考真题)如图，四边形力BCD是矩形，延长DA至U点E,使4E=D4连接EB,点&是CD的

中点，连接E&,BFi，得到/E&B；点/2是C0的中点，连接E4，BF2,得到/E&B；点F3是C4的中点，

连接EF3，BF3,得到/EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABC。的面积等于2,则的面积

为.(用含正整数n的式子表示)

63.(2024•安徽阜阳•三模)邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作;

在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第"

次操作余下的四边形是正方形，操作停止，这样第w次操作后所得到的余下的正方形则称为原矩形的〃阶正

方形，如图，相邻两边长分别为3和5的矩形，最后所得到的正方形为原矩形的3阶正方形.

32

311

矩形相邻的两边长操作次数最后所得到的正方形为

2和11原矩形的1阶正方形

3和22原矩形的—阶正方形

8和3—原矩形的—阶正方形

（1）完成上表：

⑵已知矩形的两相邻边长分别为a,6,满足a=6b+m,b^3m（相为正整数），则最后所得到的正方形是原

矩形的阶正方形.

64.（23-24九年级上•山东青岛•期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连

接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，己知第一个矩形的面积是1,则第”个矩形的

面积是

65.（2024•河南郑州.三模）综合实践

【问题】小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1,在矩形4BCD中，。为对角线BD的

中点，4ABD=60°,动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点。出发，分别向终点运动，

且始终保持。石=。工点E关于的对称点为%,%;点尸关于的对称点为a,尸2,在整个过程中，

四边形E1E2&F2形状的变化依次是什么?

【探究】（1）小张觉得在点瓦F运动的过程中，四边形E1E2&F2的两组对边分别相等，所以四边形E1E2&F2

形状必定为;

（2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索：

①小王看到四边形的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接和。F2,只

要能说明乙力。F2为180°即可，其余三条边都可以用这个方法证明.请你根据小王的说法，证明边当心经过

点、D.

②小王发现，点民F在点。时，四边形邑与64为菱形；点民F分别运动到终点时，四边形邑%&尸2为菱

形；并猜想点E,F在运动过程中，四边形E1E2&F2能为矩形.请你利用图2判段点3F在运动过程中，四边

形%与6尸2否能为矩形？若能请找到点尸的位置并证明此时四边形位第6尸2为矩形；若不能，也请说明理由.

【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形E1E2&F2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边

形、菱形的结论.如图3,在原题的基础上，将条件乙4BD=60。变为2B=6,AD=8,其余条件不变，小

袁发现在点运动过程中，四边形位％心尸2依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩

形的周长.

DC

AB

图1图2图3

口题型17与矩形有关的动点问题

66.（2024•河北石家庄•三模）如图1,,在矩形力BCD中，BC=4,E是BC边上的一个动点，AE1EF,EF交CD

于点尸，设BE=久,CF=y,图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，贝U4B的长为（）

67.（2024•浙江嘉兴•一模）如图，在矩形2BCD中，AB=4,BC=8,点E是边4D上的动点，连接CE,以CE

为边作矩形CEFG（点。、G在CE的同侧），且CE=2EF,连接BF.

（图1）（图2）

（1）如图1,当点E在4D的中点时，点B、E、尸在同一直线上，求BF的长；

（2）如图2,当乙BCE=30。时，求证：线段被CE平分.

68.（2024•福建南平•模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家

刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形

的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形4BCD中，AB=5,AD=12,对角线力C与BD交于点

。，点E为BC边上的一个动点，EF1AC,EG1BD,垂足分别为FG.

（1）当E为BC的中点时，求证：EG=EF；

⑵当E为BC边上任意一点时，求EF+EG的值.

69.（2024湖北武汉•模拟预测）（1）问题导入：如图1,在正方形48CD中，48=2+2直，E为线段BC上

一动点，将AABE沿力E翻折，得到△?!夕E,若力夕的延长线恰好经过点C,贝.

（2）问题探究：如图2,在矩形力BCD中，E为线段BC上一动点，设4E=mAB,将AABE沿力E翻折，得

图1图2图3

（3）问题深挖：如图3,在RtAABC中，Z.B=90°,AB=4,BC=8,E为直线BC上一动点，设4E=mAB,

将A4BE沿4E翻折，得到A2夕E,在的延长线上找一点R使得2尸=爪4巴当△4EC是以4E为腰的等

腰三角形时，求出点尸到直线BC的距离.

70.（2023•江苏苏州•二模）如图，在菱形4BCD中，对角线AC=8cm,BD=6cm,动点E、G分别从点4、

。同时出发，均以lcm/s的速度沿4B、CD向终点B、。匀速运动；同时，动点H、尸也分别从点4、C出发，

均以2cm/s的速度沿4D、CB向终点D、B匀速运动，顺次连接EF、FG、GH、HE.设运动的时间为ts,若

四边形EFGH是矩形，贝亚的值为

口题型18与矩形有关的最值问题

71.(2024・湖南•模拟预测)如图，在矩形4BCD中，AB=4,AD=6,E是4B边的中点，尸是线段BC上的

动点，将AEBF沿EF所在直线折叠得到AEBN,连接夕D,则夕。的最小值是

72.(2024・广东深圳•模拟预测)同学在学习矩形时，发现了矩形的一些神奇性质，如图1,尸为矩形A8CD内

任意一点，P4、PB、PC、PD之间存在一种特殊的数量关系：=pB2+p£)2,同学们发现勾股定

理就可以快速证明出来如图2；

图1图2图3

(1)若点尸在矩形4BCD外部，以上结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑵若如图3,点P在正方形4BCD内，若P4=1,PB=2,PC=3,贝“PD=；

(3)如图4,ACMB中，E1为内部一点，且。4=2,OB=3,OE=1且4E1BE,求4B的最小值.

73.(2024・吉林长春•二模)如图，在菱形4BCD中，AC=16,BD=12,E是CD边上一动点，过点E分别作

EF1OC于点F,EG1。。于点G,连接FG.

(1)求证：四边形OGEF为矩形.

（2）求GF的最小值.

74.（2024・湖南长沙.一模）如图，RtAABC中，=90。，AB=6,BC=8,。是斜边AC上一个动点，过

点作DE1AB于E,DF1BC于F,连接EF.

（1）求证：四边形BEDF是矩形；

（2）在。点的运动过程中，求EF的最小值；

（3）若四边形BEDF为正方形，求处

75.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，矩形4BCD中，AB=1,AD=2,连接BD,M、N分别为边AD、BC上

的动点，且MN1BD于点P,连接DN、BM,贝UDN+BM的最小值为.

76.（2024.安徽淮南•模拟预测）如图，E是线段4B上一点，在线段4B的同侧分别以4E,BE为斜边作等腰

□△山^和等腰史/^^，F,M分别是CD,AB的中点.若4B=6,则下列结论错误的是（）.

A.FA+FB的最小值为3^B.四边形4BCD面积的最小值为?

C.ACDE周长的最小值为3迎+3D.FE+FM的最小值为3

口题型19矩形与函数综合

77.（2024•陕西汉中•二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线5：y=a/+bx+24（a、b为常数,

且a于0）与x轴交于2（2,0）,B（6,0）两点.

y

O\A]Bx

（i）求抛物线5的函数表达式；

（2）点C为抛物线L上一点，连接AC、BC,过点C作CDlx轴于点。，点尸为X轴上的动点，作抛物线L

关于原点。对称的抛物线G，当点C在抛物线%的对称轴左侧，且AABC的面积为12时，在抛物线L2上

是否存在点E，使得以点C、D、E、尸为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐

标；若不存在，请说明理由.

78.（2024•江苏镇江•一模）函数y=（和函数y=-|久的图像如图所示，点A是函数y==的图像在第一象限

上的一点，它的横坐标为相，过点A分别作4B平行于x轴、2。平行于y轴，分别与函数y=的图像交

于点8、D,以4B、4D为邻边作矩形4BCD.

（1）点。的纵坐标为_（用含力的代数式表示）；并求证：点C在函数y=:的图像上；

（2）若点E在函数y=（的图像上，CEWBD,当机=3时，直接写出点E的坐标为一.

79.（2024・辽宁大连•模拟预测）综合与探究

如图1,在平面直角坐标系中.抛物线y=+gx+4与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧）.与

y轴交于点C,。是y轴负半轴上一点，。4=3。。，直线4D与抛物线交于点E.

y

图1图2图3

（1）求直线2。的函数表达式；

（2）如图2.在线段A8上有一条2个单位长度的动线段MN（点M在点N的左侧），过点M作x轴的垂线，

交抛物线于点F交直线4。于点P;过点N作无轴的垂线，交抛物线于点G.交直线4。于点。连接FG,

MQ.设点M的横坐标为如请解答下列问题：

①线段FM的长为；（用含m的代数式表示）

②当皿=一号时，判断四边形MFGN的形状，并说明理由；

③求当相为何值时，MQ||FG.

（3）如图3,在（2）的条件下，当点M在抛物线的对称轴上时.连接4C,试探究；此时在第一象限内是否

存在点T.使以T,G,。为顶点的三角形与△4CD相似？若存在.请直接写出点T的坐标；若不存在，请

说明理由.

80.（2022•广东深圳•模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（尸④夕如，约300-350）

把“08三等分的操作如下：

（1）以点。为坐标原点，OB所在的直线为无轴建立平面直角坐标系；

（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数丫=：（久＞0）的图象；

（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=3

（4）分别过点C和。作x轴和y轴的平行线，两线交于点E,M；

（5）作射线OE,交CD于点、N,得到NE08.

备用图

(1)判断四边形CEDM的形状，并证明;

(2)证明：。、M、E三点共线；

1

(3)证明：4EOB=：4AOB.

口题型20与矩形有关的存在性问题

81.(2023•贵州黔东南•一模)如图,在矩形4BCD中,AB=6cm,BC=8cm,BD为对角线.点P为线段CD上

一动点，点P从点。出发，向点C匀速运动，速度为lcm/s；点Q为BC上一动点，过点Q作BD的垂线，交BD于

点M,交力。于点N,点Q从点C向点B运动，速度为lcm/s,当点P停止运动时，点Q也停止运动；设运动时

间为t(s)(0<t<6).

⑴当t为何值时，PQIIBD1

(2)设四边形NQPD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻3使四边形NQP。的面积是矩形48CD面积的若存在，请求出此时t的值；若不存

在，请说明理由.

82.(2024•山东青岛.模拟预测)如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,动点P从点。出发沿D4向终点

A运动同时动点。从点A出发沿对角线4C向终点C运动.过点P作PEIIDC,交AC于点E,动点尸、。的运

动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒,当点。与点E重合时,P、。两点同时停止运动.设SAPQE=g

(1)当尤为何值时，点。与点E重合？

⑵当尤为何值时，PQIIBE.

(3)当点。与点E不重合时，求y关于尤的函数关系式(不用写出x的取值范围).

(4)是否存在这样的点尸和点。，使尸、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求

的x的值；若不存在，请说明理由.

83.(2024•辽宁・模拟预测)问题情境

图①是一块三角形形状的边角料，记作△ABC,BC=a,BC边上的高=现要从这块边角料上剪出一

个矩形DEFG,使顶点E,歹在边BC上，顶点。，G分别在4B,4C上，设DG与高4”交于点M.

初步探究

(1)经测量得a=8dm,h-6dm.

①如图②，若四边形DEFG是正方形，求边DG的长.

思考：设DG=xdm,由正方形的性质可知DGIIBC,DG=DE=xdm,乙EDG=ADEF=9。°.由力”是BC边

上的高，可知NEHM=90°,所以四边形DEHM是矩形.所以MH=DE=xdm,XM=(6-x)dm.由。G||BC,

可知AADG^AABC,由止匕求得边DG的长为dm.

②若矩形的面积为9dm2,求边OG的长.

思考：设DG=xdm,由矩形DEFG的面积为9dm2,得到DE,再运用①中的思路求解，请写出解题过程.深

入探究

(2)按照上述要求，可以剪出无数个矩形，问：是否存在两个不同的矩形，使得这两个矩形的面积之和等于

△ABC的面积？若存在，请求出这两个矩形的周长；若不存在，请通过计算说明理由.

84.(2024・北京.模拟预测)问题探究：

⑴如图1,在等边△ABC中，=3,点尸是它的外心，则PB=_；

(2)如图2,在矩形4BCD中，AB=3,边BC上存在点P,使乙4P。=90。，求矩形4BCD面积的最小值；

问题解决：

(3)如图3,在四边形4BCD中，AB=3,zX==90°,zC=45°,边CD上存在点P,使N4PB=60。,

在此条件下，四边形48CD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

□题型21与矩形有关的材料阅读类问题

85.(2023•山西大同•二模)阅读与思考

下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.

“三点共线模型”及其应用

背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短.根据这个事实，我们证明了：三角

形两边的和大于第三边.根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边.

知识拓展：如图，在同一平面内，已知点4和B为定点，点C为动点，且BC为定长(令BCV4B),可得线段4B

的长度为定值.我们探究2C和两条定长线段28,BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C不在直线2B

上时，如图1,由背景知识，可得结论4B+BC