浙教版七年级数学下册 相交线 专项知识提升训练（含解析）

【能力提升】浙教版七年级下册相交线专项知识讲练

知说点1相交线

1.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点.

【特别提醒】

(1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系(2)两条直线相交有且只有一个交点

2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

注意:

(1)邻补角是成对出现的单独一个角不能称为邻补角

(2)邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系““邻”指的是位置相邻，即两个角有一条公共边补”指的是

两个角的数量关系是互补

3.邻补角与补角的区别与联系

邻补角补角

与角的大小、位置均有关只与角的大小有关，与位置无关

区别

一个角的邻补角有且仅有两个一个角的补角可以有无数多个

联系1.都是两个角之间的关系，以“互为”体现；2.两个角的和都是180。

即学即练

C.6对D.8对

知识点2对顶角

1.对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角.如

图所示，直线43与CD相交于点。,/1和43是对顶角，N2和乙4是对顶角.

2.对顶角的性质：对顶角相等.

如图所示，由N1+42=180。,43+42=180。，可得zl=Z3,即对顶角相等.

【特别提醒】

对顶角的位置关系和数量关系

1.位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线.

2.数量关系：对顶角相等.

3.对顶角与邻补角的区别与联系

邻补角对顶角

数量

邻补角互补对顶角相等

关系

区

别

位置由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直对顶角必须由两条直线相交形成

关系线相交构成邻补角有一条公共边对顶角没有公共边

相同点①都是两个角之间的关系，要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点

即学即练（2024春•长宁区期末）

2.下列图中，41、N2是对顶角的是（）

1.夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角.

【提示】两条直线相交的位置特征，可以通过两条直线的夹角来描述.

2.垂直：如图直线AB与直线CD相交于点O,当NBOC=90。（或形成的四个角中的任意一个角等于90°）时,

直线与直线。互相垂直，记作读作“4B垂直于CD”.

垂线―1d直角

垂足

D

3.垂线：如果两条相交直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它

们的交点叫作垂足.

【巧记】（己知垂直得直角，己知直角得垂直）

4.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【特别提醒】

1.“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性.

2.性质中的唯一性有两个关键条件不能少：

一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外.

【易混易错提醒】

1.垂直是相交的特殊情况：夹角为90°.

2.垂线是直线.

3.两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直.

5.垂直的记法与读法：垂直用符号“，”表示，两条直线与互相垂直，记作读作“AB垂直于CD”

6.垂线的画法：给定直线/和点P,要求过点P画已知直线/的线，如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线/,另

一直角边经过点尸，沿着这条边画直线，它就是直线/的垂线，如图2.如果点尸在直线/上，同样也可以画出直线

/的垂线.

【补充】

垂直定义的双重性

垂直的定义既是判定也是性质.

C

NBOC=90°=^，4B1CD

性质

即学即练（2024秋•城关区期末）

3.如图，直线4B和CD相交于点。,OE1OC,若乙4。。=68。，贝此E08的大小为（）

【解后反思】利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化.

知识点4垂线段及点到直线的距离

i.垂线段及点到直线的距离

名称概念符号语言图示区别

C

过直线外一点向已知直线作垂线这个点线段C。叫作点C到是一条线段，属

垂线段AO3——B

与垂足之间的线段，叫作垂线段直线2B的垂线段于几何图形

)

点到直线直线外一点到这条直线的垂线段的长C。的长度就是点C是线段的长度，

的距离度，叫作点到直线的距离到直线4B的距离是一个数量

【注意】①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段.②点到直线的距离是两点间距离的特殊情

况：直线外一点到垂足这两点间的距离.

2.垂线段的性质

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

【注意】与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据.

即学即练（2024秋•永春县期末）

4.如图，点P是直线矽卜一点，2、B、C、。都在直线I上，PBJ.I于B,在P与力、B、C、。四点的连线中，线段PB最

短，依据是（）

B.两点之间，线段最短

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.垂线段最短

即学即练（2024秋•海口期末）

5.如图，A,B,C,。四点在直线Z上，点M在直线的卜，MC1I,若M4=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,

知识点5三线八角

如图，直线与EF相交(也可以说两条直线ZB,CD被第三条直线E尸所截)，构成了8个角，简称“三线八角”.

知识点6同位角、内错角、同旁内角

1.同位角、内错角、同旁内角的概念

名

定义图形的结构特征图示

称

(1)在截线同侧；

(2)在两条被截直线

同/I与N5都在第三条直线EF的同旁，并

同侧；

位且分别位于直线48,CD的同一侧，这样的

(3)形如字母“尸’

角一对角叫做同位角.

(或倒置、反置、旋

转)

(1)在被截两直线之

A---------------------------B

间；(2)在截线的异

内Z3与/5分别位于第三条直线EF异侧，

侧；

错且都在直线AB,CD之间，这样的一对角叫

(3)形如字母

角做内错角.

直线

(或倒置、反置、旋

AB,CD被直线EF所截

转)

(1)在被截两直线之

同

间；(2)在截线同旁；

旁Z3与/6在直线EF同旁且在直线CD

(3)形如字母"ET

内之间，这样的一对角叫做同旁内角.

(或倒置、反置、旋

角

转)

注意:

（1）同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系.

（2）这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线

（3）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角.

2.手势表示

同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来（两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线），如图所示，采

用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角.

①根据手势识别同位角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

②根据手势识别内错角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

③根据手势识别同旁内角（两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线）

即学即练（2024秋•晋江市期末）

6.如图所示，下列说法一定正确的是（）

A.41和N2互为余角B.N1和N4是内错角

C.N3和N4互为补角D.N2和45是同位角

利用邻补角的性质求角度

7.如图，直线48,CD相交于点0,OE平分乙BOD,乙4OE=144。，贝吐80c的度数为（）

A■D

J、B

A.72°B.92°C.100°D.108°

审题关键：解答本题应先根据邻补角求出NBOE=180°-/.AOE=36°,由角平分线求出N8。。=2./.BOE=72°,

根据邻补角即可求出NBOC的度数.

【变式1-11

8.如图，直线AB,CD相交于点0,OE平分乙BOD,OF1OE.若乙40c=46°,贝此COF的度数为（）

A.67°B.92°C.113°D.134°

【变式1-21

9.如图，已知点。为直线4B上一点，LBOC=110°,0C1OD,0M平分N力。C,ABOP=4DOM.

C

口/

⑴求乙4。。的度数；

⑵试说明：0P平分N80C；

⑶若改变NBOC的大小，其余条件不变，设NBOC=a（90。<a<180。），（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说

明理由；若不成立，请用a表示NCOP.

【变式1-3】

10.如图，直线AE、B尸相交于点G,GC1GE,GD平分NCGF,若功GEzEGF=1:4,贝I|NBGC=______°,

工

B/GF

【方法总结】

①在直线相交问题中，通过邻补角和角平分线的性质可以求出特定角度的度数.

②当改变某个角度的大小时，若其他条件保持不变，角平分线的性质仍然适用，可以继续求解相关角度.

利用角的相关性质求角度

•例2

11.问题情境:如图，直线ZB,CD相交于点0.0N把乙40D分成两个角，且乙40N:NN。。=2:3.

(1)若NBOC=75°,求N4。N的度数.

(2)如果NBOC=75。，0M平分乙BON,那么。B是/COM的平分线吗？试说明理由.

问题解决:

(3)若。MlON,贝哈乙40C—AD0M是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由.

破题思路：(1)由对角相等，先求出40D.然后根据乙4。叱“。。=2:3即可求解；

(2)结合(1)的结论，求出NBON,然后再求NB0M即可作出判断;

(3)设N20N=2X,贝UNN0D=3X,然后用X的代数式把N40C,ND0M表示出来，即可求解.

【变式2-11

12.如图，直线ZB,CD相交于点。，已知乙4OC=75。，射线。E将NBOD分成两个角，且NDOE:NBOE=2:3,

⑴求NDOE的度数;

(2)若。F平分NCOE,试说明0C平分乙4。尸.

【变式2-2]

13.如图,直线相交于点。，0E平分NA。。，OF1OC.

(I)图中NAOF的余角是一(把符合条件的角都填上);

(2)如果=28°,求N2和N3的度数.

解：；0E平分Z71。。，

•­•AAOD=2Z1=56°(_),

•­•Z.AOD+Z=N2+Z=180°,

Z2=z==°(_).

XVOF1CO,

:.乙FOD=90°,

；.N3=900-z_=_°.

【方法总结】

通过角的性质求解角度问题的解题技巧

首先确定对顶角相等，然后利用角平分线的定义和角度的和差倍分关系进行计算.在给定条件下，若两角相等且其

中一个角被平分，则可判断另一角也被平分，在分析问题的时候要结合数形结合的方法.

利用邻补角及对顶角的性质求角

14.如图，直线48和直线CD相交于点0,0B平分乙EOD.

⑴写出图中N8。。的对顶角,和两个邻补角;

⑵若NBOD=40°,求NEOC的度数.

审题关键：解答本题应根据对顶角及邻补角的定义即可求解；求NEOC的度数可以根据角平分线的性质.

【变式3-11

(1)请写出乙40C,AAOE,NEOC的对顶角；

(2)若NAOC=50",求4BOD,ABOC的度数.

【变式3-2]

16.如图，直线48、CD相交于点。，0E、。尸是乙4。。内部的两条射线.

DE

B.

(DNB0C的对顶角是,N40C的补角是;

⑵若NB。。=28。，4DOF=44B0D,0E是4尸。8的平分线.求"0E的度数.

【变式3-31

17.如图，直线48,CD相交于点。，^。，^吕于点。，。/平分ADOE,Z.BOD=34°.

⑴写出NB。。的邻补角和对顶角;

(2)求“。尸的度数.

【方法总结】

利用对顶角和邻补角的性质来求解角度问题

1.对顶角是两条相交直线所形成的相对角，邻补角是两个相邻角的和为180度.

2.角平分线的性质用于求解角的度数，即平分线将角分成两个相等的部分.

3.解题关键在于掌握对顶角相等、邻补角互补以及角平分线的性质.

(2)如图2,共有对对顶角，对邻补角;

(3)如图3,共有对对顶角，对邻补角;

(4)根据(1)-(3)中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成

多少对对顶角？多少对邻补角？

审题关键：易考二级结论n条直线相交于一点，则可形成以ri-1)对对顶角，2以n-1)对邻补角.

【变式4-1]

19.四条直线两两相交，则图形中共有对对顶角(平角除外)；有对邻补角.

【变式4-2]

20.如图所示，若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数为()

C.24对D.32对

比例关系转化分数占比或设元列方程法求角

例5

21.如图，直线ZB,CD相交于点。。。平分ABOE,OF平分乙4OE.

(1)判断。F与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若乙40C:乙4。。=1:5,求NEOF的度数.

破题思路：⑴由。。平分NBOE,OF平分乙40E,得到NFOE=1乙40E,4EODLEOB,根据邻补角互补可得出

/.AOE+^EOB=180°,进而可得出NF。。=90。，由此即可证出。尸1。。；

(2)由乙40C:乙4。。=1:5,乙40C+NA。。=180。,得到乙40C=30°,由对顶角相等，可求出乙40C=4BOD=30°,

根据。。平分平分N20E,可得出N80E=60°以及/EOF=|N力。E,根据邻补角互补结合NEOF=^NAOE,

可求出/EOF的度数.

【变式5-1]

22.如图，直线48,CD相交于点。,。。平分N80E,OF平分N40E

(1)若NBOE=58°,NAOE=122°,判断。F与。。的位置关系，并进行证明.

(2)若NZOC：NA。。=1：5,求乙£1。尸的度数.

【变式5-2]

23.如图，直线AB,CD相交于点。，作乙DOE=4BOD,OF平分N40E.

(1)判断。尸与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若NAOC:NA。。=2:7,OG1OE,求NGOF的度数.

【变式5-3]

24.如图，直线AB,CD相交于点。，作ADOE=NBOD,OF平分N40E.

⑴判断OF与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AOC:ZXOO=2:7,OG1OE,求NGOF的度数.

【方法总结】

求特定角的度数时，要结合条件定图，如果图形具有多样性，则需要分类讨论.

利用垂线说明两角的关系

25.已知。A1OB,OC1OD.

C

⑴如图①,若NBOC=50。，求乙40。的度数;

(2)如图②，若NBOC=60。，求乙4。。的度数;

⑶根据(1)(2)的结果猜想与NBOC的关系，并根据图①说明理由.

审题关键：将线的垂直关系转化成数的角度大小关系.

【变式6-1]

26.如图，直线AB、CD相交于点。，EO1AB,垂足为O.

(2)若NCOE=60°,则乙4。。=°；

(3)猜想乙4。£>和NCOE的关系是,并证明关系式成立.

【变式6-21

27.如图，己知A8_LC£>,垂足为O,直线经过点O,图中N1与N2的关系是(

A.Zl+Z2=180°B.Zl+Z2=90°C.Z1=Z2D.无法确定

垂线段最短

28.如图，在等腰三角形4BC中，AB=AC,4D1BC,点。为垂足，E、尸分别是4。、上的动点.若AB=6,

△4BC的面积为12,贝UBE+EF的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

审题关键：作辅助线，再根据三角形面积公式求出BN的长.

【变式7-1]

29.如图，正方形网格的格点P在“0B的边0B上，点力，0,B也是格点，请利用网格完成下面画图:

(1)过点P画。B的垂线，交。4于点C,经过的一个格点记为F；

(2)过点P画。4的垂线，垂足记为H；

(3)试判断线段OC,OP,PH的大小关系并说明判断的依据.

【变式7-2]

30.如图，已知点P在乙4OB的边。4上.

⑴过点尸作04边的垂线/;

⑵过点尸作。B边的垂线段PD；

⑶过点。作PD的平行线交/于点E,比较OP,PD,0E三条线段的大小，并用“>”连接得,得此结论的依据是一.

【变式7-3]

31.用“垂线段最短”来解释的现象是()

二^例8如

32.如图，点4在直线m上，点、B,C在直线n上，设=AC=y且无论式取何值，均有则下列说法正确

A.点力到直线九的距离是4B的长度B.点4到直线n的距离是4C的长度

C.点8到直线a的距离是48的长度D.点C到直线小的距离是AC的长度

审题关键：根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解.

【变式8-1]

33.在已知平面内，点P是直线/上一点，点M,N到直线/的距离分别是5cm,3cm,且MP1NP1I,则线段

MN的长度是.

【变式8-2]

34.点A是直线/外一点，点2是直线/上一点，点A到/的距离为3cm,贝11AB3cm.（填“小于""大于”"不

小于”或“不大于”）

【变式8-3】

35.如图，在直线/外一点尸与直线上各点的连线中，PA=6,P0=5,PB=5.5,0C=4,则点尸到直线/的距

离为（）

D.5.5

36.如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊4B将水引到C处.问：从湖泊48的何处开

挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由.

审题关键：垂线段最短.

【变式9-1]

37.如图①，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的48两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃

气站的位置，使铺设管道的路线最短.

（1）如图②，作出点A关于/的对称点A,线段4B与直线/的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得

路线4cB是最短的.为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线/上另外任取一点C’,连接AC',BC,证明AC+CB<

aC'+C'B.请完成这个证明；

（2）如果在A,8两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该

区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）.

【变式9-2]

38.如图，4B是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C和D,现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位

长度的造价均相同，则下列说法正确的是（）

方案一：分别过C,。作4B的垂线，垂足为E,F,沿CE,DF铺设管道；

方案二：连接CD交力B于点P,沿PC,PD铺设管道.

CK

A.方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样

B.方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短

C.方案一比方案二省钱，因为垂线段最短

D.方案一与方案二无法比较

【变式9-3]

39.如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的

是（）

乙・

甲.

审题关键：前提“三线八角”，再注意同位角在截线和被截线的位置关系一致.

【变式10-1]

41.已知图①〜④，

在上述四个图中，N1与N2是同位角的有（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【变式10-21

42.如图，按各组角的位置，判断错误的是（）

A.N1与N4是同旁内角B.N3与N4是内错角

C.45与N6是同旁内角D.N2与45是同位角

【变式10-3]

43.如图，从已经标出的五个角中,

(1)直线2C,BD被直线ED所截，N1与一是同位角；

(2)直线4B,CD被直线4C所截，N1与.是内错角；

(3)直线4B,CD被直线所截，42与一是同旁内角.

9常见失分点避开误区。]

钟科用与叶用区力不请

[例1]

44.小明做了四道练习题：

①有公共顶点的两个角是对顶角；

②两个直角互为补角；

③一个三角板中两个锐角互为余角；

④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角;

⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；

⑥两条直线相交，一定垂直；

⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

理解不请对夜商、邻计甬的慨念向致精［例2】

45.下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角；B.邻补角一定互补；

C.互补的两角一定是邻补角；D.两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

国考卷问题不全卷而福祈［例3】

46.在直线4B上任取一点0,过点。作射线。C,。£）,使。C1。。，当4力。。=30。时，AB0D的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

47.已知产为直线机外一点，A,B,C为直线机上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC—2cm,则点尸到直线的

距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

48.如图所示，下列说法：①N1与43是内错角；②NB与N4是同位角；③N1与42是同旁内角；④41与N4CE是内错

角，其中正确的有（）

。好题必刷•强化落实。

一、单选题

49.如图，AB.CD被。E所截，则立。的同位角是（）

A.Z1B.Z2C.Z3D.Z4

50.如图，直线AB与直线CD相交于点。，若N40C增大40。，则NBOD（）

A.减少40。B.增大40。C.不变D.增大0。

51.如图，ZB1CD于点。,。5平分NA。。，若Z_BOF=20。,则NEOF的度数为（）

C.115°D.120°

52.如图,三角形力BC中，ABAC=90°,AD1BC,垂足为D,则下列结论正确的是（）

B.AD>AC

C.点2到BC的距离是线段4。的长度D.AD<BD

53.如图，直线力B,CD相交于点。，OE平分NBOC,设N4。。=a,ABOF=0,下列结论:①+。=90°,则。F1OE；

②若。尸1OE,则NDOF=£；③若a=50°,则£=65°；④若OF平分上BOD.贝4a+°=90°,其中正确的结论是

()

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题

54.如图，要把河中的水引到农田P处，若PBU可岸a,垂足为点B,则沿着线段PB铺设管道能使水管最短，其中

蕴含的数学道理是

a-------------------------------

河二二二二二二二二二二二

55.如图，直线。、。相交于点0,将量角器的中心与点。重合，发现表示60。的点在直线。上，表示140。的点在直

线6上，贝ikl=°.

56.如图直线4E与CD相交于点B,ADBE=60°,BFLAE,贝此C8F的度数是.

E

57.如图，直线AB、CD相交于点。，OE工CD,OF平分乙BOD,若乙4OE+NBOF=66。，则NBOC='

D

C

58.如图，线段8c=10,4是线段8c夕卜一点，连接AB、AC,D.E分另！J是48、AC的中点，连接BE、CD交于点F.当

四边形4DFE的面积为10时，线段A8的最小值为.

A

三、解答题

59.如图，直线48与CD相交于点。，OE平分4BOC.

⑴当“OE=27。时，求乙4。。的度数；

⑵若。F10E,乙DOF=2乙BOC,求乙4。。的度数.

60.如图，直线A8与CD相交于点。，OE1CD.

⑴如果NCOB=130°,那么根据.,可得〃。£»=.

(2)如果NE08=7./,AOC,求N&。。的度数.

图1图2

⑴如图1,若NB。。=27。4艰，求乙4OE的度数.

(2)如图2,作射线OF使4EOF=N40E,则。。是NBOF的平分线.请说明理由.

(3)在图1上作。G1AB,写出NCOG与N40E的数量关系，并说明理由.

参考答案

1.D

【分析】根据邻补角的概念判断即可.

【详解】解：41与乙2,N2与N3,N3与N4,N4与41,45与N6,N6与47,47与48,N8与N5是邻补角，共8对，

故选：D.

【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角,

称为互为邻补角.

2.D

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另

一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键.

根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断.

【详解】解：A、Nl、N2没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；

B、41、42的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意；

C、N1、42没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；

D、Nl、N2是对顶角，符合题意；

故选：D.

3.D

【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，根据0E10C得到NCOE=90。，再由平角N40B=180。即可求解.

【详解】解：YOE1OC,

:.乙COE=90°,

•/ZXOC+乙COE+乙BOE=180°,AAOC=68°,

:.乙EOB=180°-90°-68°=22°,

故选：D.

4.D

【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案.

【详解】解：PB于B,在P与4、B、C、。四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短.

故选：D.

5.A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行

解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.

•.•直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC11,

.•.点/到直线/的距离是垂线段MC的长度，为2cm,

故选：A.

6.D

【分析】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，熟练掌握相关定义是解题关键.根据互为

余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可.

【详解】解：A.由于N1与N2的和不一定是90。，所以N1和N2不一定是互为余角，因此选项A不符合题意；

B.N1和N4不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定，因此选项B不符合题意；

C.N3和44是一组同旁内角，但43和44不一定互补，因此选项C不符合题意；

D.N2和N5是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意.

故选：D.

7.D

【分析】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出NBOE=180。—乙4。5=36。，由角平分线求出

Z.BOD=2LBOE=72°,根据邻补角即可求出NBOC的度数.

【详解】解：'：/-AOE=144°,

:.乙BOE=180°-^AOE=36°,

；OE平分乙BOD,

:.乙BOD=2乙BOE=72°,

:.乙BOC=180°-乙BOD=108°

故选：D

8.C

【分析】本题考查垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及对顶角相等和邻补角互补是解题的关键.

根据N40C求出NDOB=46°,Z40D=134°,根据。E平分NB。。，得出NBOE=23°,再结合OF1OE,得出N40F=

67。，即可解决问题.

【详解】解：：乙4。。=46。，

C.^AOC=4DOB=46°,

•.•。后平分必。。，

：.ABOE=-^DOB=23°,

2

'：OF1OE,

：.^AOF=180°-90°-乙BOE=67°,

:.乙COF=ZXOF+^AOC=67°+46°=113°,

故选：C.

9.(1)20°

(2)见解析

(3)(2)中的结论依然成立，理由见解答过程

【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；

(1)先根据邻补角定义求出乙4OC=70。，再根据OC1可得乙40。的度数；

(2)先根据乙4OC=70。及角平分线定义得乙4。"=35°,进而得ND0M=55°,则NBOP=乙DOM=55°,由此即

可得出结论；

(3)根据邻补角定义得NZOC=180°-a,根据。C1OD^AOD=^COD-^AOC=a—90。，再根据角平分线定

X^AOM=l^AOC=90°-|a,进而得ADOM=N40D+NAOM=2a,贝i」NBOP=|a,由止匕即可得出结论.

【详解】(1)解：,点。为直线4B上一点，Z.BOC=110°,

N40C=180°-乙BOC=70°,

VOCLOD,

MOD=90°,

•••^AOD=/.COD-/-AOC=90°-70°=20°；

(2)•••AAOC=70°,OM^^-AAOC,

：.^AOM=-^AOC=35°,

2

由(1)可知：乙4。。=20°,

・•・乙DOM=AAOD+AAOM=20°+35°=55°,

・•・Z.BOP=乙DOM=55°,

・•・乙COP=(BOC一乙BOP=110°-55°=55°,

・•・乙BOP=乙COP=55°,

.•・。产平分NBOC；

(3)(2)中的结论依然成立，理由如下：

•・•点。为直线45上一点二戊(90。<(X<180°),

・•.AAOC=180°-Z,BOC=180°-a,

•・•0C1OD,

・•・乙COD=90°,

・•・^AOD=乙COD一乙4OC=90°一(180°-a)=a-90°,

・•・OM平分乙4OC,

・•.AAOM=1^LAOC=j(180°-a)=90°-|cr,

•••乙DOM=Z-AOD+Z.AOM=a—90°+90°--a=-a,

22

•••乙BOP—乙DOM=-a,

2

••・乙COP=Z-BOC—乙DOM=a--a=-a

22f

••・Z-BOP—乙COP=-a

2f

・•・。尸平分NBOC.

10.30

【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.根据已知可

设乙。GE=%。，/,EGF=4%0,从而可得/DGF=5%。，然后根据垂直定义可得Z_CGE=90。，从而可得NCGD=

(90-%)°,再利用角平分线的定义可得匕CGD=4)GF,从而列出关于x的方程，进行计算可求出乙EGF=60。，最

后利用平角定义进行计算，即可解答.

【详解】解：・.,z_DGE:4EGF=1:4,

・••设NDGE=%0,乙EGF=4%0,

:•乙DGF=^DGE+(EGF=5%0,

VGC1GE,

:.乙CGE=90°,

:•(CGD=(CGE一乙DGE=(90-x)°,

・.•GO平分NCGF,

:•乙CGD=乙DGF,

90—%=5%,

解得：x=15,

二.乙EGF=4x°=60°,

:.乙BGC=180°-乙CGE-Z.EGF=30°,

故答案为：30.

11.(1)30°

(2)是，理由见解析

⑶定值，18。

【分析】(1)由对角相等，先求出44。£>.然后根据乙4ON：NN。。=2：3即可求解；

(2)结合(1)的结论，求出NBON,然后再求NBOM即可作出判断；

(3)设N&ON=2X,贝I|NNOD=3X,然后用x的代数式把乙4OC,NDOM表示出来，即可求解.

【详解】(1)解：••・N力。。=NBOC,^BOC=75°,

•••/-AOD=75°,

又乙AON:乙NOD=2:3,

・•・(AON=2^AOD=21x75°=30°；

(2)由(1)知当48。。=75。时，Z.AON=30°,

••・乙BON=180°-乙AON=150°,

•••OM^^Z.BON,

•••乙BOM="ON=75°,

2

Z.COB=乙BOM,

・•・。8是4COM的平分线；

(3)是定值，理由如下：

设乙4ON=2%,

则NN。。=3%,

•••OM1ON,

・•・乙MON=90°,

••・乙MOD=90°-3%,

vZ-AOD=乙AON+乙DON=5%,

/.AOC=180°-乙AOD=180°-5%,

3

・•・-AAOC-Z.DOM

5

3

=-(180°-5%)-(90°-3%)

=18°.

【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式

表示角的和差倍分关系.

12.(l)NDOE=30°

(2)见解析

【分析】本题考查角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义；

(1)根据对顶角相等求出乙4OC=NB。。=75。，再由2。。£1:43。£1=2:3求解即可；

(2)先求出NCOE的度数，再根据OF平分NCOE得到N40C=乙COF=75°,即可证明。C平分乙4OF.

【详解】(1)=75°,

：.^AOC=乙BOD=75°,

■:乙DOE:乙BOE=2:3,

3

工人BOE=-Z-DOE,

2

■:(BOD=4DOE+乙BOE,

:.乙DOE+士乙DOE=75°,

2

解得WOE=30°；

(2)VzOOF=30°,

:.乙COE=180°-Z.DOE=150°,

,：OF^ACOE,

：.^COF=-^COE=75°,

2

：./.AOC=Z.COF=75°,

・・・OC平分乙4。工

13.(1)乙4。。，乙BOC

(2)见解析

【分析】(1)由垂线的定义得乙。。尸=90°,从而乙4。/+乙4。。=90°,结合对顶角的性质得乙4。尸+乙4。。=90°,

可得结论；

(2)由角平分线的定义得乙4。。=2乙1=56。，由补角的性质得乙2=乙4。。=56。，然后结合/F。。=90。可求出

Z3=90°-AAOD=34°.

【详解】(1)解：VOF1OC

：.Z.DOF=90°,

：.Z-AOF+^LAOD=90°,

,：£.AOD=乙BOC,

."AOF+NBOC=90°,

・・・44。口的余角是乙4。。，乙BOC.

故答案为：^AOD,乙BOC；

⑵解：平分42。£),

^AOD=2Z1=56。(角平分线的定义)，

/.AOD+/.AOC=Z2+/-AOC=180°,

42=〃。。=56°(同角的补角相等).

XVOF1CO,

J.^FOD=90°,

；./3=90°-ZXOD=34°.

【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，余角的定义，补角的性质，数形结合是解答本题的关键.

14.(l)zXOC,乙AOD,乙COB.

⑵NEOC的度数为100。.

【分析】(1)根据对顶角及邻补角的定义即可求解；

(2)根据角平分线的性质，可知NBOD=NBOE,^DOB+ACOE=180°,由此即可求解.

【详解】(1)解：NB。。的对顶角是NA。。，

'：^BOD+AAOD=180°,ABOD+ACOB=180°,

NB。。的邻补角是NA。。,NCOB,

故答案为：/-AOC,乙AOD,乙COB.

(2)解：'：^BOD=40°,OB平分4EOD,

:.乙BOD=乙BOE=40°,

:.乙DOE=2乙BOD=2X40=80°,

,：ADOE+^COE=180°,

J.Z.COE=180°-80°=100°,

."EOC的度数为100°.

【点睛】本题主要考查邻补角，角平分线综合，掌握角平分线的性质，邻补角的定义是解题的关键.

15.(1)/4。。的对顶角是NBOD,N40E的对顶角是NBOF,NEOC的对顶角是NDOF；⑵乙BOD=50°,乙BOC=130°

【分析】(1)根据对顶角的定义写出对顶角即可；

(2)根据对顶角的性质和邻补角的性质即可得出结论.

【详解】(1)N40C的对顶角是N8。。，

N40E的对顶角是NBOF,

NEOC的对顶角是NDOF.

(2)因为乙4OC的对顶角是NB。。，AAOC=50°,

所以NBOD=50°.

因为NBOC是48。。的邻补角，

所以NBOC=180°-50°=130°.

【点睛】此题考查的是对顶角的定义及性质和邻补角的性质，掌握对顶角的定义、对顶角相等和邻补角互补是解决

此题的关键.

16.⑴NA。。；NA。。、乙BOC

(2”DOE=42°

【分析】本题考查了对顶角、补角的概念，角平分线的定义，角的和差计算；

(1)根据对顶角、补角的概念可得答案；

(2)首先求出NDOF和NFOB的度数，再根据角平分线定义求出N80E,然后根据NDOE=N80E-48。。计算即可.

【详解】(1)解:NBOC的对顶角是N4。。，N/1OC的补角是N4。。、乙BOC；

故答案为：〃。£)；”。。、乙BOC.

(2)'：ABOD=28°,

:.乙DOF=4乙BOD=112°,

:.乙FOB=4BOD+乙DOF=28°+112°=140°,

：OE是NFOB的平分线，

：.^BOE=-^FOB=70°,

2

C./.DOE=乙BOE-乙BOD=70°-28°=42°.

17.(l)NBOD的邻补角是NBOC和ADO4对顶角是N40C

(2)152°

【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相

关定义，数形结合.

(1)根据邻补角和对顶角定义进行解答即可；

(2)根据垂线定义得出NEOZ=/.EOB=90°,根据48。。=34°,得出NDOE=90°-34°=56°,根据角平分线定

义求出NEOF=乙DOF=28°,最后根据邻补角求出结果即可.

【详解】(1)解：ABOD的令B补角是NBOC和4。。力，对顶角是N40C；

(2)解：•••EO1AB,

•••/-EOA=乙EOB=90°,

:4BOD=34°,

・•・乙DOE=90°-34°=56°,

•••OF平分ZDOE,

1i

•••LEOF=4DOF=-/.DOE=-x56°=28°,

22

•••乙COF=180°-乙DOF=180°-28°=152°.

18.(1)2,4

(2)6,12

(3)12,24

(4)若有几条直线相交于一点，则可形成n(n-1)对对顶角，2no-1)对邻补角

【分析】(1)根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

(2)根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

(3)根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案；

(4)由(1)-(3)中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论.

【详解】(1)解：如图1,2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角；

故答案为：2,4；

(2)解：如图2,3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角；

故答案为：6,1