中考数学复习：二次函数中考综合压轴题（专项练习）

专题5.20二次函数中考综合压轴题分类专题（专项练习）

【第一部分】综合解答题

【考点1］二次函数的图象与性质（3题）

【考点2】二次函数与一元二次方程（3题）

【考点3】二次函数与实际问题（3题）

【考点4】二次函数与利润问题（3题）

【考点5】二次函数与面积问题（3题）

【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题）

【考点7】一次函数与二次函数综合（3题）

【第二部分】压轴填空选择题

【考点8］根据二次函数的图象判断式子符号（3题）

【考点9】二次函数中最值（2题）

【考点10］二次函数中的动点（1题）

【第三部分】压轴解答题

【考点11】二次函数与定点、定值问题（3题）

【考点12】二次函数与折叠问题（3题）

【考点13】二次函数与存在性问题（3题）

【第一部分】综合解答题

【考点1］二次函数的图象与性质（3题）

（2024•北京•中考真题）

1.在平面直角坐标系x（方中，已知抛物线y=ax2-2a2x（a*0）.

（1）当。=1时，求抛物线的顶点坐标；

（2）己知〃（国,必）和N（Xz，%）是抛物线上的两点.若对于X］=3a,3<x2<4,都有必<力,求

。的取值范围.

（2024・山东威海•中考真题）

2.已知抛物线”/+独+4方④西X轴交点的坐标分别为国,。），（x2,0）,且再<%.

⑴若抛物线弘=x2+6x+c+le<0）与X轴交点的坐标分别为（尤3,0），⑶⑼，且£<尤4.试

试卷第1页，共18页

判断下列每组数据的大小（填写＜、=或〉）:

①X]+x2x3+x4；②X]-x3X2-x4；（3）X2+X3X]+x4.

⑵若再=1,2＜/＜3,求6的取值范围；

⑶当OWxWl时，＞=/+云++＜0）最大值与最小值的差为二，求6的值.

（2024•山东•中考真题）

3.在平面直角坐标系xQy中，点P（2,-3）在二次函数了="2+为-3（°＞0）的图像上，记该

二次函数图像的对称轴为直线x=m.

（1）求m的值；

⑵若点。（私-4）在歹=如2+云-3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,

得到新的二次函数的图像.当04x44时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

⑶设了=。尤2+法-3的图像与x轴交点为（国,0）,（%,0）（占＜3）.若4＜々-再＜6,求。的

取值范围.

【考点2】二次函数与一元二次方程（3题）

（2024•江苏扬州•中考真题）

4.如图，已知二次函数＞=-/+历：+。的图像与x轴交于4-2,0）,3（1,0）两点.

（1）求6、c的值；

⑵若点尸在该二次函数的图像上，且AP/8的面积为6,求点尸的坐标.

（2023•浙江•中考真题）

5.已知点（一加,0）和（3刃,0）在二次函数了="2+加+3（/6是常数，"0）的图像上.

（1）当加=一1时，求。和6的值；

（2）若二次函数的图像经过点/（〃,3）且点/不在坐标轴上，当-2（加＜-1时，求〃的取值范

围；

⑶求证：b2+4a=Q.

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（2023•浙江宁波•中考真题）

6.如图，已知二次函数丁=X2+乐+。图象经过点/（1,-2）和8（0,-5）.

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

（2）当-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.

【考点3】二次函数与实际问题（3题）

（2024•湖北•中考真题）

7.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长

为42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：

m）,与墙平行的一边长为M单位：m）,面积为S（单位：m2）.

H---------42m------------H

墙

x实验田x

y

（1）直接写出夕与x,S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）；

⑵矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求X的值；如果不能，请说明理由.

（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

（2024•湖北武汉•中考真题）

8.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级

运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直

线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为尤

轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y=a/+x和直线

y=~x+b.其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

试卷第3页，共18页

图1图2

（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.

①直接写出a,6的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之

间的距离.

（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

（2024•山西・中考真题）

9.大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大

棚，图1是其横截面的示意图，其中⑺为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水

平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5

米的墙体A处，另一端固定在墙体。处，骨架最高点尸到墙体A8的水平距离为2米，且点P

离地面的高度为3.75米.

数学建模

（1）在图1中，以8为原点，水平直线8C为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐

标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为了（米），该处离墙体N3的水平距离为x

（米），求了与x之间的函数关系式；

问题解决

试卷第4页，共18页

（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，

支架可以看成是由线段FG组成，其中点£,尸在顶棚抛物线形骨架上，尸GL4E于

点G.为不影响耕作，将点£到地面的距离定为1.5米.

①点E的坐标为,NE的长为；

②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度.（结果精确到0.1米.参考数

据：V17-4.12）

【考点4】二次函数与利润问题（3题）

（2024•四川遂宁•中考真题）

10.某酒店有48两种客房、其中A种24间，3种20间.若全部入住，一天营业额为7200

元；若48两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.

（1）求42两种客房每间定价分别是多少元？

（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增

加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额少

最大，最大营业额为多少元？

（2024・四川南充・中考真题）

11.2024年“五一”假期期间，阖中古城景区某特产店销售8两类特产./类特产进价50

元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3

件A类特产和5件8类特产需540元.

（1）求/类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

（2）4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天

可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件4类特产降价x元，每天的销售量为〉件,

求〉与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）在（2）的条件下，由于2类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该

店每天销售这两类特产的总利润为w元，求枚与x的函数关系式，并求出每件/类特产降

价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润=售价一进价）

（2024•新疆•中考真题）

12.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额必

（万元）与销售量无（吨）的函数解析式为M=5X；成本%（万元）与销售量x（吨）的函

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数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点.

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(1)求出成本为关于销售量X的函数解析式；

(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？

(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？(注：利润=销售额-成本)

【考点5】二次函数与面积问题(3题)

(2024•江苏徐州•中考真题)

13.如图，/、8为一次函数y=-x+5的图像与二次函数y=/+6x+c的图像的公共点,

点48的横坐标分别为0、4.尸为二次函数y=/+6x+c的图像上的动点，且位于直线

的下方，连接P/、PB.

(1)求6、c的值；

(2)求△尸4B的面积的最大值.

(2023•湖南・中考真题)

14.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形0/3C为正方形，其中点N、C分别在X

轴负半轴,》轴负半轴上，点B在第三象限内，点/。,0),点P(l,2)在函数y=£(左>0,x>0)

的图像上

试卷第6页，共18页

（1）求后的值；

（2）连接BP、CP,记ABCP的面积为S,设T=2S-2/，求T的最大值.

（2024•福建•中考真题）

15.如图，已知二次函数y=/+6x+c的图象与x轴交于48两点，与了轴交于点C,其中

^(-2,0),C(0,-2).

（1）求二次函数的表达式;

（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段尸C交x轴于点口△尸。2的面积

是△CD8的面积的2倍，求点尸的坐标.

【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题）

（2024•江苏苏州•中考真题）

16.如图，ZUBC中，AC=BC,ZACB=90°,^(-2,0),C(6,0),反比例函数

y=^k^0,x>0）的图象与AB交于点。（加,4）,与BC交于点E.

试卷第7页，共18页

(2)点P为反比例函数y左力0,无>0)图象上一动点(点尸在。，£之间运动，不与D,E

重合)，过点尸作尸”〃N3,交y轴于点过点尸作尸N〃x轴，交BC于点、N,连接

MN,求APMN面积的最大值，并求出此时点尸的坐标.

(2023•江苏苏州•中考真题)

17.如图，一次函数了=2x的图象与反比例函数y=gx>0)的图象交于点4(4,〃).将点A沿

x轴正方向平移m个单位长度得到点3,。为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横

k

坐标，连接的中点C在反比例函数广-(x>0)的图象上.

X

⑴求〃，上的值；

(2)当加为何值时，ABOD的值最大?最大值是多少？

(2022•四川遂宁•中考真题)

18.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎

点”.例如(-M),(2022,-2022)都是“黎点”.

⑴求双曲线了=/上的“黎点”；

(2)若抛物线》="2-7%+。(心c为常数)上有且只有一个“黎点”，当。>1时，求c的取值

范围.

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【考点7】一次函数与二次函数综合（3题）

（2019湖北荆州•中考真题）

19.若二次函数>="2+云+°（。x0）图象的顶点在一次函数夕=日+//力0）的图象上，则称

y=ax?+6x+c（。w0）为^=履+/（人中0）的伴随函数，如：y=/+1是y=x+l的伴随函数.

（1）若>=/_4是'=-'+2的伴随函数，求直线'=^+p与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数y=/«x-3（加/0）的伴随函数了=/+2苫+〃与x轴两个交点间的距离为4,求

m,n的值.

（2019・安徽・中考真题）

20.一次函数丫=1«<+4与二次函数y=ax?+c的图像的一个交点坐标为（1,2）,另一个交点是该

二次函数图像的顶点

（1）求k,a,c的值；

（2）过点A（0,m）（0<m<4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于

B,C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2,求W关于m的函数解析式，并求W的最

小值.

（2024•江苏徐州•中考真题）

21.如图，A、8为一次函数>=-x+5的图像与二次函数》=x2+6x+c的图像的公共点，

点42的横坐标分别为0、4.尸为二次函数y=x2+6x+c的图像上的动点，且位于直线N3

的下方，连接尸N、PB.

（1）求氏c的值；

⑵求的面积的最大值.

【第二部分】压轴填空选择题

【考点8］根据二次函数的图象判断式子符号（3题）

试卷第9页，共18页

（2022•内蒙古•中考真题）

22.如图，抛物线了="2+加+。（。彳0）的对称轴为直线尤=1,抛物线与x轴的一个交点

坐标为（T,。）），下列结论：①a6c<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是

-l<x<3；④点（-2,%），（2,%）都在抛物线上，则有％<0<%.其中结论正确的个数是

（）

（2021・湖北荆门・中考真题）

23.抛物线>="2+加+。（a,b,c为常数）开口向下且过点41，0）,须加,0）

（-2<m<-l）,下歹!］结论：①26+c>0；②2a+c<0；@a（m+l）-b+c>0■④若方程

a（x-机）（x-l）-l=0有两个不相等的实数根,则4ac-b2<4a.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

（2021・湖北恩施•中考真题）

24.如图，已知二次函数>=。/+加+。的图象与x轴交于（-3,0）,顶点是（-1,加），则以下

结论：（T）abc>0；@4a+2b+c>0；③若>2c,贝!Jx4-2或x±0；（4）b+c=-^m.其中

正确的有（）个.

试卷第10页，共18页

C.3D.4

【考点9】二次函数中最值（2题）

（2021・广东・中考真题）

25.设。为坐标原点，点N、8为抛物线了=/上的两个动点，且连接点/、B,

过。作于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.vB.—C.—D.1

222

（2019•江苏无锡・中考真题）

26.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4百,D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一

边作正方形CDEF,连接BE,则ABDE面积的最大值为.

【考点101二次函数中的动点（I题）

（2023•辽宁•中考真题）

27.如图，AMAN=60°,在射线4W,/N上分别截取/C=48=6,连接8C,/MAN

的平分线交BC于点。，点E为线段48上的动点，作交NM于点R悴EG〃AM

交射线4D于点G,过点G作GH，/加■于点，，点£沿42方向运动，当点E与点8重合

时停止运动.设点E运动的路程为x,四边形EF7/G与△ABC重叠部分的面积为S,则能大

致反映S与x之间函数关系的图象是（）

试卷第11页，共18页

M,

J

AEBN

【点拨】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的

前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键.

【第三部分】压轴解答题

【考点11】二次函数与定点、定值问题(3题)

(2024•江苏宿迁•中考真题)

28.如图①，已知抛物线必=Y+6x+c与x轴交于两点。(0,0)、/(2,0),将抛物线必向右

平移两个单位长度，得到抛物线%，点尸是抛物线乂在第四象限内一点，连接P4并延长,

交抛物线%于点。.

试卷第12页，共18页

⑴求抛物线％的表达式；

⑵设点P的横坐标为马，点。的横坐标为电，求阳-Xp的值；

（3）如图②，若抛物线为=/-8x+f与抛物线弘=/+bx+c交于点C,过点C作直线MN,

分别交抛物线乂和力于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为a,点N的

横坐标为"，试判断阿-“I是否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

（2024•黑龙江大庆•中考真题）

29.如图，己知二次函数>="2+2关+。的图象与x轴交于A,B两点.A点坐标为（-1,0）,

与了轴交于点C（0,3）,点M为抛物线顶点，点E为N8中点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在直线8c上方的抛物线上存在点。，使得N0C8=2442C,求点。的坐标；

（3）已知。，尸为抛物线上不与A,8重合的相异两点.

①若点尸与点C重合，。（办T2）,且加>1,求证：D,E,尸三点共线；

②若直线2。，8尸交于点尸，则无论。，尸在抛物线上如何运动，只要。，E,尸三点共

线，AAMP,AMEP,A/AP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的

三角形及其面积，不必说明理由.

（2024•河北•中考真题）

30.如图，抛物线G：y=。/一2x过点（4,0）,顶点为0.抛物线。2：>=-；a一）2+?2-2

（其中f为常数，且/>2）,顶点为P

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（2）嘉嘉说：无论:为何值，将。的顶点。向左平移2个单位长度后一定落在G上.

淇淇说：无论f为何值，C?总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

⑶当"4时，

①求直线的解析式；

②作直线/〃尸。，当/与g的交点到x轴的距离恰为6时，求/与x轴交点的横坐标.

（4）设G与C2的交点4,2的横坐标分别为乙,与,且吃<马.点M在。上，横坐标为

m（2<m<xJi）.点N在C,上，横坐标为若点M是到直线尸。的距离最大的

点，最大距离为力点N到直线尸0的距离恰好也为力直接用含/和加的式子表示

【考点12】二次函数与折叠问题（3题）

（2024•内蒙古包头•中考真题）

31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2，+bx+c与x轴相交于8两点（点

A在点8左侧），顶点为连接

试卷第14页，共18页

(1)求该抛物线的函数表达式；

⑵如图1,若。是了轴正半轴上一点，连接当点C的坐标为10,g4寸，求证：

ZACM=ZBAM；

(3)如图2,连接将沿x轴折叠，折叠后点〃落在第四象限的点”处，过点8

的直线与线段相交于点D,与了轴负半轴相交于点£.当时，3S^BD与2s.BD

DE7

是否相等？请说明理由.

(2015・湖北荆门・中考真题)

32.如图，在矩形48co中，04=5,48=4,点D为边48上一点，将△2。沿直线CD

折叠，使点B恰好落在边0/上的点E处，分别以OC,ON所在的直线为x轴，y轴建立平面

直角坐标系.

(1)求OE的长及经过0,2。三点抛物线的解析式；

(2)一动点P丛点C出发，沿C3以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从

E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停

止运动，设运动时时为t秒，当t为何值时，DP=DQ.

(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点

N,使为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标：若不存在，请

说明理由.

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（2021•江苏镇江•中考真题）

33.将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点/（-6,0）,点B（0,

2）,点C（-4,8）,二次函数y=a/+bx+c（存0）的图象经过点N,B,该抛物线的对称轴经

过点C，顶点为D

（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标;

（2）点〃在边NC上（异于点/,C）,将三角形纸片4BC折叠，使得点/落在直线N3上,

且点M落在边8c上，点M的对应点记为点N,折痕所在直线/交抛物线的对称轴于点尸,

然后将纸片展开.

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线/；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹）

②连接儿/尸，NP,在下列选项中：A.折痕与A8垂直，B.折痕与的交点可以落在抛

MN3MN广

物线的对称轴上，c.而=T。而二日所有正确选项的序号是.

③点。在二次函数y=ox2+bx+c（"0）的图象上，当APDQ〜APMN时,求点。的坐标.

【考点13］二次函数与存在性问题（3题）

（2024•山东淄博•中考真题）

34.如图，抛物线y=ax2+6x+3与x轴相交于/（再,0）,8（々,0）两点（点A在点B的左

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侧)，其中X1,尤2是方程/-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C.

备用图

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

⑵己知直线/：》=3x+9与x,了轴分别相交于点D,E.

①设直线8c与/相交于点尸，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得

NPBF=NDFB?若存在,求出点尸的坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点〃作直线5c的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相

交于点0.连接QE.求线段。。+成的最小值.

(2024・四川雅安・中考真题)

35.在平面直角坐标系中，二次函数》="2+加+3的图象与x轴交于8(3,0)两点,

与》轴交于点C.

图①图②

⑴求二次函数的表达式;

(2)如图①，若点尸是线段8c上的一个动点(不与点5,C重合)，过点尸作y轴的平行线

交抛物线于点。，当线段尸。的长度最大时，求点0的坐标;

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点。，且/CQZ)=2/OC。.在

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y轴上是否存在点E,使得ABDE为等腰三角形？若存在，直接写出点£的坐标；若不存在,

请说明理由.

（2024•四川眉山•中考真题）

36.如图，抛物线y=f2+6x+c与无轴交于点火-3,0）和点8,与丁轴交于点C（0,3）,点。

（2）当点。在第二象限内，且A/CA的面积为3时，求点。的坐标；

（3）在直线8c上是否存在点尸，使△0尸。是以尸。为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第18页，共18页

L(DOT；

(2)0<Q<1或Q<-4

【分析】(1)把。=1代入广/_2心，转化成顶点式即可求解；

(2)分①〃〉0和。<0两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；

本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解

题的关键.

22

【详角星】(1)角星：才巴4=1代入y=。%2一2/%得，y=x-2x=(x-l)-lf

・•・抛物线的顶点坐标为(1,-1);

2

(2)解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线％=-*-7■a=a；

2a

①当Q〉0时，如图，此时3〃<3,

Q<1,

又a>0,

0<6Z<1；

当a<0时，如图，此时一〃>4,

解得〃<-4,

又a<0,

**•u<—4；

综上，当0<。<1或。<一4,都有必<为.

答案第1页，共61页

2.（1）=；<；>；

⑵-4<6<-3

…3.1

（3）6的值为-Q或一己.

【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，

解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质.

（1）根据根与系数的关系得到国+%=-6,以及无3+工4=-入即可判断①，利用二次函数

的图像与性质得到不<无3<匕<尤2,进而得至1卜2-玉>乙-工3,利用不等式性质变形，即可判

断②③.

（2）根据题意得到3<马+王<4,结合芯+%=-6进行求解，即可解题；

（3）根据题意得到抛物线y=V+瓜+c（6<0）顶点坐标为对称轴为x=-《>0；

当x=0时，N=c,当无=1时，y=l+b+c,由>=/+岳:+。仅<0）最大值与最小值的差为

J，分以下情况①当在x=0取得最大值，在x=l取得最小值时，②当在x=0取得最大值，

16

在顶点取得最小值时，③当在X=1取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即

可解题.

【详解】（1）解：；y=/+6x+c仅<0）与X轴交点的坐标分别为（国⑼，4洋）,且

Xx<X2,

+x2=-b,且抛物线开口向上，

,・,乃=\+6%+c+i9<0）与x轴交点的坐标分别为（3,0）,（x4,0）,且/<%4.

即y=、+bx+c（b<0）向上平移1个单位，

Xx<X3<X4<X2,且工3+工4=-b,

/.@xi+x2=x3+x4；

x2-xx>x4-x3,

/.X-X>3<x-X；

24-X3,即②/一%24

答案第2页，共61页

/.x2+x3>x1+x4,BP(3)x2+x3>xr+x4,

故答案为；=；<；>；

(2)解：玉=1,2<x2<3,

3</+再<4,

•-3<—b<4,

-4<6<-3；

(3)解：抛物线V=x2+6x+c优<0)顶点坐标为1-:，竺

对称轴为％>0;

当％=0时，y=cf

当x=l时，y=l+b+c,

①当在x=0取得最大值，在％=1取得最小值时，

有c-(l+b+c)=^,解得6=-1|(舍去)；

②当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时，

=解得6(舍去)或6=4

41622

③当在尤=1取得最大值，在顶点取得最小值时，

A-h2971

有l+6+c-----r------=——，解得b=一彳(舍去)或6=一；；

41622

综上所述，6的值为一3;或-：1.

22

3.(l)m=1

(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为11；

3

(3)-<a<1

【分析】⑴把点尸(2,-3)代入昨办2+法-3(”>0)可得6=-2°,再利用抛物线的对称轴

公式可得答案；

(2)把点。(1,-4)代入了="2-2*-3,可得：a=l,可得抛物线为

y=x2-2x-3=(x-l)2-4,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函

答案第3页，共61页

数为：J；=(X-1)2-4+5=(X-1)2+1,再利用二次函数的性质可得答案；

(3)由根与系数的关系可得XI+无2=2,-x2=—,结合/—&=J(X]+%)~-4再/，

4<X2-X,<6,再建立不等式组求解即可.

【详解】(1)解：•.•点尸(2,-3)在二次函数>=办2+加-3(。>0)的图像上，

•**4。+2b—3——3,

解得：b=-2a,

.•.抛物线为：y=ax2-2ax-3,

••・抛物线的对称轴为直线X=-g=1,

2a

••・m=1；

(2)解：,点。(1,—4)在>=a/一2"一3的图像上，

a—2a—3=—4,

解得：a=\,

••・抛物线为7=一一2x-3=(x-l『-4,

将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：

y=(x-l)2-4+5=(x-l)2+1,

•••0<x<4,

二当x=l时，函数有最小值为1,

当x=4时，函数有最大值为(4-1『+1=10

••・新的二次函数的最大值与最小值的和为11;

(3)D=/L2OX-3的图像与x轴交点为(再,0),(1,0)(占<4).

4</一为<6,

.­•4<2./l+-<6BP2<.1+-<3,

Va\a

答案第4页，共61页

3

解得：

o

【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的

性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.

4.⑴6=-1,c=2

(2)4(2,—4),《(一3,—4)

【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次

方程的方法是解题的关键.

(1)运用待定系数法即可求解；

(2)根据题意设尸(私〃)，结合几何图形面积计算方法可得点尸的纵坐标，代入后解一元二

次方程即可求解.

【详解】(1)解：二次函数y=f2+6x+c的图像与x轴交于/(一2,0),8(1,0)两点，

J-4-2Z>+c=0

I-l+b+c=0'

•••b=-1,c=2；

(2)解：由⑴可知二次函数解析式为:y=-x2-x+2,，(-2,0),8(1,0),

・•・/3=1-(-2)=3,

设尸(私〃),

.,电9=；叫"|=6,

；.同=4,

••・H=±4,

二当-工2_工+2=4时，A=l-8=-7<0,无解，不符合题意，舍去；

当一工2一%+2=—4时，再=一3,%=2；

.・・<(2,-4),鸟(—3,—4).

5.⑴。=-1,6=-2

答案第5页，共61页

⑵一4<〃<一2

⑶见解析

【分析】（1）由加=-1可得图像过点（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程组即可解答;

（2）先确定函数图像的对称轴为直线x="J则抛物线过点（",3）,（0,3）,即〃=2加，然后再

结合-2<优<-1即可解答；

（3）根据图像的对称性得-£=俏，即6=-2am,顶点坐标为（山,。/+加+3）；将点（-加,0）

和（3加,0）分别代入表达式并进行运算可得°加2=一］；则

am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4,进而得到坦二^=4,然后化简变形即可证

4。

明结论.

【详解】（1）解：当加=-1时，图像过点（1,0）和（-3,0）,

J0=Q+6+3Q=-1

,解得

[0=9a-3b+3b=-2

y=—x22x+3,

a=—l,b=—2.

（2）解：•.•函数图像过点（-加,0）和（3%0）,

二函数图像的对称轴为直线x.

・•・图像过点（",3）,（0,3）,

・•・根据图像的对称性得〃=2加.

-2<m<-1,

*,•—4<〃<—2.

（3）解：,图像过点（-私0）和（3私0）,

・•・根据图像的对称性得-3=加.

2a

b=-2am,顶点坐标为（私。加之+加+3）.

0=am2-bm+3①

将点（一见0）和（3m,0）分别代人表达式可得

0=9am2+3bm+3②

①x3+②得12。加2+12=0,

答案第6页，共61页

am2=-1.

•••am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4.

12a-b2.

----------=4.

4a

12〃—=16Q.

/+4q=0.

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式

等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键.

6.(1)y=—+2、一5,顶点坐标为(一1,一6)；

(2)-3<%<1

【分析】(1)把/(1,-2)和5(0,-5)代入歹=*+&+°,建立方程组求解解析式即可，再把

解析式化为顶点式，可得顶点坐标;

(2)把歹=-2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得2时x的取值范围.

【详解】(1)解：•・•二次函数歹=/+乐+。图象经过点Z(l,-2)和8(0,-5).

:;解得:b=2

-5

••・抛物线为V=Y+2%-5=(x+1)-6,

・•・顶点坐标为：(-L-6)；

(2)当>=-2时，(X+1)2-6=-2,

+=4

答案第7页，共61页

A-3<X<1.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用

图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.

7.(l)y=80-2x,S=-2X2+80X

(2)x=25

(3)当x=20时，实验田的面积S最大，最大面积是gOOn?

【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键.

(1)根据2x+>=80,求出J与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析

式；

(2)先求出x的取值范围，再将S=750代入函数中，求出x的值；

(3)将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值.

【详解】(1)解:••-2x+y=80,

*.y=—2x+80,

S=xy,

S=x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)vy<42,

.\-2x+80<42,

:.x>19,

.-.19<x<40,

当S=750时，-2/+80X=750,

/-40x+375=0,

(x-25)(%-15)=0,

..x-25,

.•.当x=25m时，矩形实验田的面积s能达到750m2；

(3)；S=-2x2+80x=-2(/-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,

.•.当x=20m时，S有最大值800mL

8.(1)(1)a=-,6=8.1；(2)8.4kin

2

⑵-王'〈av。

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数

答案第8页，共61页

的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性

质是解题的关键.

（1）①将（9,3.6）代入即可求解；②将＞=一£/+X变为＞=一3口-?1+，，即可确定

顶点坐标，得出y=2.4km,进而求得当＞=2.4km时，对应的x的值，然后进行比较再计算

即可；

2

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为15km,求得。=-二，即可求解.

27

【详解】（1）解：①•・•火箭第二级的引发点的高度为3.6km

••・抛物线歹二分？+x和直线歹=一;x+6均经过点（9,3.6）

•♦.3.6=8kz+9,3.6=」x9+b

2

解得q=-百，6=8.1.

（2）由（J）知，y———x+8.1,y=—

^y=--x2

15

••・最大值V=彳

当歹="—L35=2.4km时,

4

则--—x2+x=2.4

15

解得再=12,x2=3

又,.•x=9时，歹=3.6＞2.4

・•.当y=2.4km时，

贝ij」x+8.1=2.4

2

解得x=11.4

11.4-3=8.4（km）

••.这两个位置之间的距离8.4km.

（2）解:当水平距离超过15km时,

火箭第二级的引发点为（9,8L+9）,

答案第9页，共61页

将(9,81Q+9),(15,0)代入歹=—；x+b,得

Sla+9=--x9+b,0=-—xl5+/)

22

2

解得6=7.5,tz=-—

27

2

:.-----<a<0.

27

9.(1)jv=——x2+—x+3.5(0<x<9)；(2)①(8,1.5),2>/17；②9.3米.

164

【分析】(1)根据题意得，抛物线的顶点尸的坐标为(2,3.75),设y与x之间的函数关系式

为j=a(x-2)2+3.75,然后用待定系数法即可求解；

(2)①当y=L5时，1.5=-3+3+3.5,解得：x=8即可求出£(8,1.5),再用两点之

间的距离公式求出/K；

②过点E作于点过点尸作5c于点M,交AE于点、N,求出/E所在直

线的函数表达式>=-1x+3.5,设点尸的横坐标为加，贝U

4

FN=---/M2+—m=--—(m-4)2+1,当加=4时，万N最大=1,再根据

16216

sinZHAE=smZFNG=—=^^=^-,得出FG=生反EN,最后根据线段和差即可

AE2V171717

求解；

本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识

点的应用是解题的关键.

【详解】解：(1)根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为(2,3.75),

设丁与x之间的函数关系式为y=a(x-2)2+3.75,

由题意得，点A的坐标为(0,3.5),

2

将4(0,3.5)代入y=a(x-2)+3.75,

得44+3.75=3.5,解，得々二--1-,

16

111

/.y=——(x—2)72+3.75=——x92+-x+3.5,

16164

即了与X之间的函数关系式为了=-2/+9+3.5(0"49),

答案第10页，共61页

（2）①由（1）得y=-----x~+—x+3.5,

164

当y=L5时，1.5=-^X2+^X+3.5,解得:x=8或x=-4（舍去），

164

.•.£,（8,1.5）,

•••AE=^（0-8）2+（3.5-1.5）2=2后，

故答案为：（8,1.5）,2后;

②过点E作硒，48于点H,过点B作FWL8c于点交4E于点N,

设/£所在直线的函数表达式为了=履+6,

将/（0,3.5）,/8,1.5）分另1]代入了=b+6,

仿=3.5,k=---

得k人…解，得4,

|8左+6=1.5,、二

I[b=3.5

・••AE所在直线的函数表达式为y=+3.5,

4

设点尸的横坐标为加，

;点尸在抛物线y=-'/+!》+3.5的图象上，

164

:.F\m,-----m2+—m+3.5|,N'm,--m+3.5|,

I164）I4）

FN=-m2+—m+3.5-|--m+3.5|=---m2+—m=--—（m-4）2+1,

164I4J16216

,「一＜0,且0W9,

16

有最大值，当加=4时，FN最大=1,

•••FN〃y轴，

ZHAE=ZMNE=NFNG,

又•；NFGN=ZAHE=9。°,HE=3,HA=AB-BH=1,