中考数学难点突破与训练：全等三角形与矩形翻折模型（原卷版+解析）

专题05全等三角形与矩形翻折模型

【模型展示】

【模型变换】

特点

在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF,将四边形CDFE沿着

EF翻折得到CDTE,o

(1)ACED^ACTD';

结论(2)四边形EDFD为菱形;

(3)C、E、D'三点共线，且C'D〃FD'。

【题型演练】

一、单选题

1.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将AABC沿AC折叠，使点2落在点E处，CE交4。于点孔

则。尸的长等于（）

士__.D

2.如图，将矩形纸片ABCD折叠使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在

一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点8落在AE■上的点G处，连接DE,若DE=EF,CE=1,则AD

的长为（）

A.1+72B.2+A/2c.2V2

3.如图，矩形。48c中，OA=4,AB=3,点。在边BC上，且CD=3O8,点E是边。4上一点，连接。E,

将四边形A3DE沿。E折叠，若点A的对称点A恰好落在边0C上，则。£的长为（）

4.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,BC=3,将△BCD沿8。折叠到二BED位置，DE交AB于点尸,

则cosNAD尸的值为（）

5.如图，ABC。是一张矩形纸片，AB=20,BC=4,将纸片沿MN折叠，点"，C'分别是B,C的对应点,

与。C交于K,若AMNK的面积为10,则DV的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

二、填空题

6.如图，在矩形纸片A8C。中，AB=6,BC=9,M是BC上的点，且CM=3,将矩形纸片ABCD沿过点

M的直线折叠，使点。落在上的点P处，点C落在点C处，折痕为MN,则线段AN的长是—.

7.如图，在矩形ABC。中，点E是边。的中点，沿AE所在的直线折叠△AOE,落在矩形内部得到△AFE,

延长AF交BC边于点G,若等=£，则当的值为.

CB/AB

AD

8.如图，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点。落在点。处，折痕

为EF,则的长为.

9.如图，矩形ABC。中，AB=3&,3c=12,E为AD中点.尸为A3上一点，将二AEF沿所折叠后,

点A恰好落到C/上的点G处，贝|EG=,EF=.

10.如图，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点8落在点E处，AE交CD

于点F,连接。E

(1)求证：AADE2ACED；

(2)求证：△。斯是等腰三角形.

11.如图，将矩形A8C。沿对角线AC折叠，点B的对应点为E,AE与交于点?

E

(1)求证：4DAF公AECF；

(2)若NPCE=40。，求NC4B的度数.

12.将矩形428对折，使AD与BC重合，得到折痕EE,展开后再一次折叠，使点A落在EP上的点A处,

并使得折痕经过点8,得到折痕8G,连接A4',如图1,问题解决：

(1)试判断图1中△W是什么特殊的三角形？并说明理由；

(2)如图2,在图1的基础上，AA与BG相交于点N,点尸是BN的中点，连接AP并延长交阴，于点。求

鬻的世

13.如图，在矩形A8CD中，M,N是对角线AC上的两点，将矩形折叠分别使点8与点M重合，点。与

点N重合，折痕分别为AE,CF.连接EF,交AC于点O.

(1)求证：△ABEdCDF.

(2)求证：四边形EC"是平行四边形.

14.实践与探究

如图①，在矩形ABC。中，AB=12,AD=\6.将矩形ABC。沿过点A的直线折叠，使点。落在矩形ABCD

的内部，点。的对应点为点DC,折痕为AE,再将矩形ABC。沿过点A的直线折叠，使点8落在边AD'上,

折痕为AF,点8的对应点为点？.延长F?交AE于点G,过点G作直线交4。于点M,交BC

于点N.

⑴求证：△4WG丝ZvW'G.

(2)求证：四边形ABNM是正方形.

(3)若OE=4,求线段2尸的长.

(4)如图②，将矩形沿即'所在直线继续折叠，点C的对应点为点C'.我们发现，点E的位置不同，点C'的

位置也不同.当点C'恰好与点8'重合时，线段。£的长为.

15.在矩形ABC。中，点E,P分别是边A。，8c上的动点，MDE=BF,连接将矩形ABC。沿EF折

叠，点A落在点G处，点8落在点H处.

⑴如图①，当线段EG与线段3c交于点尸时，求证：PE=PF；

(2)如图②，当线段EG的延长线与线段8c的延长线交于点尸时.GH交线段交于点

①求证：4PCM与APGM；

②E,尸在运动过程中，点M是否在线段所的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由.

16.如图，四边形是矩形，把矩形AC沿折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为。，连接。E.

(2)求证：DE//AC.

17.如图，在矩形ABCD中，E是的中点，将△/毗沿BE折叠后得到二G3E,且G点在矩形ABCD的

内部，延长8G交。C于点尸，连接EF.

⑴求证：LDEF冬AGEF；

AD2

(2)若DC:DF=3:2,求的值.

AB2

18.折叠矩形ABCD,使点。落在BC边上的点尸处，折痕为AE.

(1)求证△ABFs^FCE；

(2)若CP=4,EC=3,求矩形ABC。的面积.

19.如图，在矩形A2C。中，AD<2AB,点E是A。的中点，连接BE,将△ABE沿BE折叠后得到△G8E,

延长BG交。C于点E连接跖.

(1)求证：AEGF2AEDF；

(2)若点尸是C。的中点，BC=8,求CD的长.

20.如图，在正方形ABCD中，AB=6,E为BC中点，连接AE,将"BE沿AE折叠，点8的对应点为

G,连接EG并延长交。于点R连接AF,CG.

(1)判断CG与AE的位置关系，并说明理由；

⑵求DR的长.

21.如图，长方形ABC。中，AB>AD,把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点8落在点E处，AE交

CD于点尸,连接。E.

E

(1)图中有个等腰三角形；(请直接填空，不需要证明)

(2)求证：AADEdCED；

(3)请证明点尸在线段AC的垂直平分线上.

22.如图，在一ABC中，AB=AC,点。为边上一点，以8。为邻边作YABDE,连接A。、EC.

(1)求证：△ADCZ^ECD；

(2)若30=CD,求证：四边形AOCE是矩形.

23.如图1,为了探究某种类型矩形A8CD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E,连接。E.经

探究发现：当OE平分/AOC时，将△A8E沿AE折叠至AAEE,点尸恰好落在OE上.据此解决下列问题：

图1图2

(1)求证：AAFDqADCE；

(2)如图2,延长b交AE于点G,交AB于点、H.

①求证：AHAF^AGCF；

②求GH:的值.

24.在矩形ABCD中，AB^12,P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点2的对应点是点G,过

点B作3ELCG,垂足为E且在上，BE交PC于点、F.

(D如图1,若点E是A。的中点，求证：AAEB^ADEC；

CF

(2)如图2,当AD=25,且AEcDE时，求正的值;

(3)如图3,当鹿・£F=84时，求BP的值.

专题05全等三角形与矩形翻折模型

【模型展示】

【模型变换】

特点

在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF,将四边

形CDFE沿着EF翻折得到CDFE,0

(1)△CED^AC,ED,—

结论(2)四边形EDFD为菱形；

(3)C、E、D'三点共线，且C'D〃FD'。

【题型演练】

一、单选题

1.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,BC=6,将AABC沿AC折叠，使点B落在点E处,

CE交于点E则。尸的长等于()

【答案】B

【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，ZE=ZB=90°,易证AAEB咨ACDR即可得到结论

EF=DF；易得FC=fA,设阳=尤，贝l|"=x,FD=6-x,在放△C£)/中利用勾股定理得到关于

x的方程/=4?+(6-x)2,解方程求出x.

【详解】解：••,矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，

：.AE=AB,ZE=ZB=/D=90°,

又•••四边形ABC。为矩形，

：.AB=CD,

：.AE=DC,

而/AFE=/DFC,

:在△4石E与小C。尸中，

ZAFE=ZCFD

<NE=ND

AE=CD

：./\AEF^/\CDF(AAS),

：.EF=DF；

:四边形A2CD为矩形，

：.AD=BC=6,CD=AB=4,

'：AAEF^ACDF,

:.FC=FA,

设欣=x,贝！JbC=x,FD=6-x,

在RtZCDF中，CF2=CD2+DF2,

13

即X2=4?+(6-x)2,解得尤=：,

贝I]FD=6-X=g.

故选：B.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考

查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理.

2.如图，将矩形纸片ABCD折叠使A3落在AD上，AE为折痕，然后将矩

形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将延边折起，使点B落在AE上的点G处,连接OE,

若DE=EF,CE=1,则的长为（）

2+72C.272D.4

【答案】B

【分析】证明放△四我以（乩），推出8尸=。8'，再证明。B'=EC=8/=1,由直

角三角形的性质求出AB',则可得结论.

【详解】解：由翻折的性质可知，EB=EB',NB=NAB'E=NEB'D=90°,

在Rt&EBF和RtXEB'D中,

EB=EB'

EF=ED'

：.RtAEBF^RtAEB'D(HL),

：.BF=DB',

:四边形ABC。是矩形,

：.ZC=ZCDB'=ZEB'D=90°,

四边形EC。9是矩形,

：.DB'=EC=1,

：.BF=EC=\,

由翻折的性质可知，BF=FG=1,ZMG=45°,ZAGF=ZB=ZAGF=90°,

.•.AG=BG=1,

：.AB=AB'=l+y[2，

：.AD=AB'+DB'=2+收，

故选B.

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是证明四边形EC。夕是矩形.

3.如图，矩形O43C中，。4=4,42=3,点。在边上，且CD=3O2,点E是边。4

上一点，连接。E,将四边形A8DE沿。E折叠，若点A的对称点4恰好落在边0C上，则

0E的长为()

【答案】B

【分析】连接AD、A。，根据矩形的性质得到BC=04=4,0c=A3=3,ZC=ZB=ZO=90°,

即可求得CD、BD,根据折叠的性质得到AD=AD,根据全等三角形的性质可到AC=8£>=1,

再根据勾股定理即可求解.

【详解】连接A。、AD,如图，

•.•四边形OABC是矩形，

：.BC=OA=4,OC=AB=3,ZC=ZB=ZO=90°,

'：CD=3BD,

：.CD=3,BD=\,

：.CD=AB,

根据翻折的性质有：AD=AD,AE=AE,

在Rt&ACD和RtADBA中，CD=AB,AD=AD,

:.RtKACDDBA(HL),

：.A!C=BD=\,

：.A0=2,

,/在RtXHOE中，A'O2+OE2=A:E2,

22+OE2=(4-OE)2,

3

/.OE=~,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线

是解答本题的关键.

4.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到，3a位置，DE

E

【答案】c

【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AAFD也AEFB,得出AF=EF,

DF=BF,设Ab=£F=x,则的-x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x

的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可.

【详解】解：•四边形ABC。为矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根据折叠可知，BE=BC=3,DE=DE=5,ZE=ZC=90°,

Z=NE=90。

在4AFD和4EFB中<NAFD=NEFB,

AD=BE=3

：.AAEC^AEFB(AAS),

:•AF=EF,DF=BF,

^AF=EF=x,贝IJB尸=5—x,

在RtABEF中，BF2=EF1+BE2，

即(5-x)2=X2+32,

oX]7

解得：X=-,则。尸=5/=5-g=不，

.cosZADF==—,,

••DF1717，故C正确.

y

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数

的定义，根据题意证明AAFC^AEEB,是解题的关键.

5.如图，A8CD是一张矩形纸片，42=20,BC=4,将纸片沿MN折叠，点夕，C'分别是

B,C的对应点，MB'与DC交手K,若AMNK的面积为10,则DN的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作于E,NFLBM于F,由折叠得/1=/2,根据角平分线的性质得NE

二N/，可得四边形BCNF是矩形，则NP=BC=4,根据△MNK的面积为1。得NK=MK=5,

根据勾股定理得KE=3,则MF=ME=MK-KE=5-3=2,设DN=x,则CN=20-x,BM

=BF+MF=20-x+2=22-尤，由折叠可得曲会KM,即22-x>5.可得正17,即可得DN<11,

则DN的最大值是17.

【详解】解：如图所示，过点N作加于E,于E

由折叠得N1=N2,

：.NE=NF,

・・•四边形ABC。是矩形，

:・/B=/C=/BFN=90。,AB//CD,

・•・四边形5CN尸是矩形，ZDNM=Z2,

・・・NE=NF=BC=4,4\=/DNM,

:.NK=MK,

•••△MNK的面积为10,

・•・KM・NE=《KN・NF=10,

:.NK=MK=5,

KE=yjKN2-NE2=3,

在△MEN和△MEV中，

'Zl=Z2

</MEN=ZMFN,

ME=NF

：.AMEN^AMFN(A4S),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

设DN=x,则CN=BF=20-x,

：.BM=BF+MF=20-尤+2=22-x,

由折叠得BM>KM,即22-x>5.

.\x<17,即£WS17,

的最大值是17.

故选：D.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定

理，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题

6.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=6,BC=9,M是上的点，且CM=3,将矩形纸

片ABC。沿过点M的直线折叠，使点。落在A8上的点尸处，点C落在点。处，折痕为

MN,则线段AN的长是—.

【答案】4

【分析】连接推出BM=BC-CM=9-3=6,由折叠性质得,CO=PC=6,NC=NPCM

=ZPBM=90°,C'M=CM=3,由RtAPBMZRtAMC'P(HL),得出「2=C'M=3,所以

PA=AB-PB=6-3=3.设AN=x,则ND=9-尤=PN,在RtAAPN中，AN2+AP2=PN2,

即/+32=(9-x)2,求出X的值即可得出答案.

【详解】解：连接如图：

C

•：AB=6,BC=9,CM=3,

；.BM=BC-CM=9-3=6,

由折叠性质得，CD=PC'=6,ZC=ZPC'M=ZPBM=90°,C'M=CM=3,

在RtAPBM和RtAMC'P中,

[PM=PM

\BM=PC'，

.'.RtAMC'P(HL),

：.PA=AB-PB=6-3=3.

设AN=x,贝I]ND=9-x=PN,

在RS4PN中，AN2+AP2=PN2,

即/+32=（9-x）2,

解得x=4,

的长是4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩

形的性质进行计算是解决本题的关键.

7.如图，在矩形A8CZ）中，点£是边C。的中点，沿AE所在的直线折叠△ADE,落在矩

形内部得到AAFE,延长AF交8C边于点G,若萼=£,则黑的值为_________.

CB/AB

【答案】上

4

【分析】连接GE,证明EFG@.ECG（HL）,得CG=FG,设AD=BC=7a,表示出AF,

CG,GF,BG,AG的长度，再由勾股定理得的长度，即可得出比值.

【详解】如图，连接GE,

:在矩形A2CD中，

:.AD=BC,AB=CD,ZB=ZC=ZD=90°,

,由折叠的性质可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ZD=ZC=90°,

,点E是边CO的中点，

/.DE=CE=-CD,

2

CE=EF,

又；EG=EG（公共边），

:.一EFG沿AECG（HL）,

CG=FG,

..CG2

"CB~l'

.•.设AD=BC=7a,

则AP=7a,CG=FG=2a,BG=BC-CG=5a,

：.AG=AF+FG=la+2a=9a,

■:在RfABG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,

AB=\lAG2-BG-=J（9a）2-（5a）2=2A/14O,

.ADlaV14

,•AB-2至a一4,

【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，折叠前后的图形对应

边、对应角分别相等是解题的关键.

8.如图，在矩形A8CD中，AB=6,AD=S,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点。落

在点。处，折痕为ER则的长为.

14

【答案】y

【分析】根据折叠的性质即可求得AO=CD=6；连接AC,根据勾股定理求得AC=10,证得

△BAEdDAF（A4S）,根据全等的性质得：D'F=BE,根据勾股定理列出关于线段BE的

方程，解方程求得BE的长，即可求得=£=5，然后通过证利用相似

AE25

三角形的性质即可求得DO.

【详解】解：：四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=6,

'：AD'=CD,

：.AD'=6；

连接AC,

D

\'AB=6fBC=AD=SfZABC=90°,

・••由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=V62+82=10^

,

•・•ZBAF=ZDAE=90°f

r

：.ZBAE=ZDAFf

在^血石和402尸中

/BAE=/DAF

</B=/ADF=90。,

AB=AD'

/\BAF^/\TyAF(ASA),

:.D'F=BE,/AEB=NAFD',

r

：.ZAEC=ZDFD9

由题意知：AE=EC；

设BE=x,贝ljAE=EC=8-X9

在放△ABE中，ZB=90°,由勾股定理得:

(8-x)2=6W,

7

解得：x=：，

4

7725

；•BE=—,AE=S--=—

4449

贝Ij:—,

AE25AE25

ZADrF=Z£>rAE=90°,

JDF//AE,

・・・DF//EC,

JADDrF^AG4E,

.DD_DF_7

**^4C-25?

714

DD,=—xlO=—

255f

故答案为］14.

【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等

三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题.

9.如图，矩形A3CD中，AB=3瓜,3c=12,E为AD中点.歹为A3上一点，将aAEF

沿EF折叠后，点A恰好落到CP上的点G处，则EG=,EF=.

【答案】62^/15

（分析］根据折叠的性质，即可求EG；连接EC,证Rt\ECG三Rt\ECD（HL）,由勾股定理

即可求EF-,

【详解】解：连接CE,

为AO中点

EG=ED=AE=6

在RtAECG和RtAECD中

,:EG=ED,EC=EC

：.RtNECG=RtNECD（HL）

：.CG=CD

设AF=x,则C/2=3尸+3C?

即（3遥+x『=（3«-X『+122

解得：x=2A/6

EF=y/AF2+AE2=«2国+62=2715

故答案为：6；2715.

【点睛】本题主要考查矩形得性质，三角形的全等，勾股定理，正确做出辅助线是解题的关

键.

三、解答题

10.如图，矩形A3C。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点8落在点E

处，AE交CZ)于点R连接OE

(1)求证：4ADE会ACED；

(2)求证：是等腰三角形.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)根据矩形的性质可知A£>=BC、AB=CD,再由折叠的性质，可得BC=CE,

AB^AE,进而可推导AD=CE,AE=CD,然后由“SS夕证明△ADE丝即可；

(2)由(1)可知AAOE四△CE。，根据全等三角形的性质可知/OE4=NE£»C,即NOEF

=ZEDF,即可证明AOEF是等腰三角形.

(1)

证明：(1):四边形ABC。是矩形，

C.AD^BC,AB=CD,

由折叠的性质，可得BC=CE,AB=AE,

：.AD^CE,AE=CD,

在A4£)£和八CED中，

AD=CE

<AE=CD,

DE=ED

：.AADE^ACED(SSS)；

(2)

由(1)得△ADE四△CED,

：.ZDEA=ZEDC,即NDE尸=NED尸，

：.EF=DF,

...△OEF是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形

的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

11.如图，将矩形ABC。沿对角线AC折叠，点8的对应点为E,AE与CZ)交于点?

(1)求证：ADAFm八ECF；

⑵若/FCE=40。，求NC4B的度数.

【答案】(1)见解析

(2)/68=25°

【分析】(1)由矩形与折叠的性质可得AD=3C=EC,ND=NB=NE=90°,从而可得结

论；

(2)先证明NZM^=N£CF=40。，再求解/石45=31^一//14^=90。—40。=50。，结合

对折的性质可得答案.

(1)

证明：将矩形ABC。沿对角线AC折叠，

则AD=BC=EC,ND=NB=NE=90°.

在4D4尸和△ECF中,

'NDFA=ZEFC,

■ND=ZE,

DA=EC,

ADAF咨AECF.

(2)

解：*/ADAF^AECF,

：.ZDAF=ZECF=40°.

:四边形ABC。是矩形，

/DAB=90°.

Z£AB=ZZMB-ZZMF=90°-40°=50°,

ZFAC=ZCAB,

：.ZCAB=25°.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用

轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键.

12.将矩形ABC。对折，使与重合，得到折痕跖，展开后再一次折叠，使点A落

在EF上的点A处，并使得折痕经过点8,得到折痕8G,连接A4"如图1,问题解决：

图2

⑴试判断图1中△ABA是什么特殊的三角形？并说明理由；

(2)如图2,在图1的基础上，A4'与BG相交于点N,点P是8N的中点，连接AP并延长交

.于点。，求器的值.

【答案】(1)AA5A是等边三角形，理由见解析

⑵3

【分析】(1)等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出A4'=B4,利用折叠得出

即可，解法二：根据折叠得出=BA=BA,=90。然后利用锐角三角函数

BF1

定义得出cos/W3E=-,求出N/庞=60。即可；

BA2

(2)解法一：过点N作NH〃A'B交AP于H,先证△PHV也AP。(AAS),再证

△4加64424，，得出黑=”即可解法二：由折叠可知4N=4V，由点尸是BN的中点，

QA2

AMANBOBP

得出BP=PN,利用平行线等分性质得出07=俞=1,^-=—=1,证出

BQ=QM=AM即可.

(1)

解：△AS4'是等边三角形.

解法一：理由是：由折叠可知所垂直平分A&

：.AA'=BA',

「△ABG折叠得A4BG,

，BA^BA,

：.A4'=BA=S4；

...△•'是等边三角形；

解法二：理由是：由折叠可知8£=工54,BA=BA,ZA,£B=90°,

2

BF1

/.cosZA'BE=—=-,

BA'2

NABE=60°,

...△m'是等边三角形;

图1

(2)

解法一：

过点N作NH〃尺B交AP于H,

：.ZHNP=ZQBP,NNHP=NBOP,

又：点尸是BN的中点，

BP=NP,

在4尸创和八PQB中，

ZHNP=NQBP

<NNHP=NBQP,

PN=PB

:.ZXPHN冬APQB(AAS),

HN=BQ,

天：NH//NB,

：.ZANH=ZAA'Q,ZAHN=ZAQA',

：.AAHNs^AQA,

由折叠可知AN=AN=-AA',

2

.HNAN1

"QA7"AA7"!，

.殁」

「QA,~2,

.丝」

""3；

解法二：由折叠可知A'N=4V，

又：点尸是BN的中点,

：.BP=PN,

过点N作MW〃AQ交AT于

.A'MA'N_1BQBP

'•QM一AN一，QM~PN~

BQ=QM=A'M,

.BQ_1

"BA!~3'

【点睛】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线

等分线段定理，三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形

的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是

解题关键.

13.如图，在矩形A8CZ)中，M,N是对角线AC上的两点，将矩形折叠分别使点8与点M

重合，点。与点N重合，折痕分别为AE,CF.连接ER交AC于点0.

(1)求证：△ABE四△CDP.

(2)求证：四边形E8是平行四边形.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)根据矩形的性质结合折叠证明即可；

(2)由(1)中全等可得AE=CF,再证明即可.

(1)

:四边形48CD是矩形，

：.AB=CD,ZB=ZD=90°,AB//CD,

：.NBAC=NDCA.

:将矩形折叠分别使点8与点M重合，点。与点N重合，折痕分别为AE,CF,

11

/.NBAE=-ABAC,ZDCF=-ZDCA,

22

二ZBAE=ZDCF,

/\ABE^ACDF(ASA).

(2)

•/AABE经ACDF,

：.AE=CF.

,：NBAE=ZCAE,ZDCF=ZACF,ZBAE=Z.DCF,

ACAE^AACF,

：.AE//CF,

四边形ECM是平行四边形

【点睛】本题考查矩形与折叠、平行四边形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键.

14.实践与探究

如图①，在矩形A8C。中，AB^12,AD=16.将矩形ABC。沿过点A的直线折叠，使点

。落在矩形A8CD的内部，点。的对应点为点折痕为AE,再将矩形ABC。沿过点A

的直线折叠，使点8落在边AD'上，折痕为AR点B的对应点为点8'.延长EB'交AE于

点G,过点G作直线□交于点M,交BC于点、N.

⑴求证：二△AB'G.

(2)求证：四边形是正方形.

(3)若Z)E=4,求线段BF的长.

(4)如图②，将矩形沿ED'所在直线继续折叠，点C的对应点为点C'.我们发现，点E的位

置不同，点C’的位置也不同.当点C'恰好与点皆重合时，线段DE的长为.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析;

(3)7.2；

【分析】(1)利用折叠性质和全等三角形的判定证明即可;

(2)利用全等三角形的性质和正方形的判定证明即可；

(3)利用正方形的性质得出MN=AB=2N=AA/=12,再根据相似三角形的判定与性质证明

△AMGSAWE求得MG=3,设BF=B，F=X,可求得GN=9,FG=3+X,FN=12-X,在AGNF

中利用勾股定理求得x即可求解；

(4)设。E=y,则CE=12-y,根据折叠性质得£>0E=y,B'E=12-y,再由勾股定理求得y值

即可求解.

(1)

证明：•.•四边形ABCD是矩形，

：.AB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90°,

由折叠性质得：ZMAG=ZB'AG,/AB'F=/AB'G=NB=90°,AB=AB',

'：MN±AD,

：.ZAMN=9Q°,则ZAMG=ZAB'G=90°

在44河6和2k4夕6中，

ZMAG=NB'AG

<ZAMG=NAB'G

AG=AG

，△AMG/△AB'G(A4S)；

(2)

证明："?NB=NBAD=ZAMN=90°,

，四边形ABMW是矩形，

,/Z\AMG^Z\AB'G,

：.AM=AB',则AM=AB,

，四边形ABNM是正方形；

(3)

解：：四边形是ABNM正方形，

MN=AM=BN=AB=12,

:NAMN=ND=90。,ZDAE=ZDAE,

：./\AMG^/\ADE,

.AMMG

••=,

ADDE

*：AM=12,DE=4,AD=16f

.12MG

••—，

164

：.MG=3,

丁Z\AMG^Z\ABfG,

：.MG=BfG=3,

设BF=B，F=x,则GN=12-3=9,FG=x+3,FN=12-x,

在AGNF中,ZGNF=90°,

：.由勾股定理得：GN2+FN2=FG2,

92+(12-x)2=(x+3)

解得：x=7.2,

:.BF=72；

(4)

解：由折叠性质得：ADft=AD=16,AB=AB'=U,B'E=CE,DE=D^E,ZD=ZB'DE=90°,

：.B'£)0=16-12=4,

设DE=y,则CE=12-y,

在AB'C'E中，ZB'D'E=90°,D'E=y,BE=3,

，由勾股定理得：B'D'2+DE2=BE2,

则42+y2=(12-y)2,解得：产g,

.16

・・DE——.

3

故答案为：y.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判

定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

15.在矩形ABC。中，点E,尸分别是边A。，上的动点，MDE=BF,连接EF.将矩

形ABC。沿E尸折叠，点A落在点G处，点8落在点7/处.

(1)如图①，当线段EG与线段BC交于点尸时，求证：PE=PF；

(2)如图②，当线段EG的延长线与线段8c的延长线交于点尸时.G8交线段CD交于点

①求证：△PCM沿APGM；

②E,尸在运动过程中，点〃是否在线段EF的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在,

请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②当点E,F在运动过程中，点M一直在线段E尸的垂直平分线上.证明见解

析

【分析】(1)由折叠的性质可知：ZAEF=ZGEF,根据矩形的性质可得/EFP,

即可得到ZGEF=ZEFP,根据等角对等边即可得证；

(2)①根据HL证明RtAPCMmRtAPGM,即可得证；

②当点E,f在运动过程中，点M一直在线段跖的垂直平分线上.

如图：连接2。交E尸于点0,连接0尸，证明△OOE/ZXB。尸(ASA),由①可得尸E=P/，

。尸是线段瓦■的垂直平分线，OP也是的角平分线(三线合一).

由①△PCA/g/XPGM,得/CPM=/GPM,即：是/CPG的角平分线，可得当点£、F

在移动过程中，点〃一直在线段Ef■的垂直平分线上.

(1)

由折叠的性质可知：ZAEF=ZGEF,

;矩形ABCD中，AD//BC,

：.ZAEF=ZEFP,

：.ZGEF=ZEFP,

:.PE=PF；

(2)

①由折叠的性质可知：AE=EG,

:矩形ABCD中,AD=BC,DE=BF,

：.AD~DE=BC~BF,即：

AE=FC,

:.EG=FC,

又：/PEF=ZAEF=/PFE,

：.PE=PF,

：.PE~EG=PF-CF,即：PG=PC；

XVDCXBC,HG±EG,

：.ZMCP=ZMGP=90°-,

又；PM=PM,

：.RtLPCM乌RtAPGM(HL)；

即：4PCM"八PGM；

②当点E,尸在运动过程中，点M一直在线段EP的垂直平分线上.

如图：连接2。交EF于点。，连接。尸，

\'AD//BC,

：.ZEDO=ZFBO,ZDEO=ZBFO,

又,：DE=BF,

：./\DOE^^BOF(ASA),

：.OE=OF；

由①可得尸E=P凡,。尸是线段EF的垂直平分线，

也是/EP尸的角平分线(三线合一).

由①△PCAfg/V>GM得：NCPM=NGPM,即：是/CPG的角平分线，

：/£尸尸与/。尸6是同一个角，

与。尸重合，

即：当点E、尸在移动过程中，点/一直在线段EF的垂直平分线上.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性

质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

16.如图，四边形ABC。是矩形，把矩形AC沿折叠，点8落在点E处，AE与。C的交点

为。，连接。E.

⑵求证：DE//AC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=ar>,AB=AE=CZ),根据SSS可证

△ADE咨ACED(SSS)；

⑵根据全等三角形的性质可得NEDC=NDEA,由于△ACE与AACB关于AC所在直线对

称,可得N0AC=NC4B,根据等量代换可得NOAC=ND以,再根据平行线的判定即可求解.

(1)

证明：•••四边形ABCQ是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

'-'AC是折痕，

：.BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在△ADE与ACED中，

CE=AD

<AE=CD

DE=ED

：.△ADE丝△CEO(SSS),

(2)

证明：VAADE^/\CED,

：.ZEDC=ZDEA,

又ZXACE与△ACB关于AC所在直线对称，

：.ZOAC=ZCAB,

ZOCA^ZCAB,

：.ZOAC=ZOCA,

在4DOE和^AOC中，ZDOE^ZAOC,

,：2Z0AC=l80°-ZAOC,2ZDEA=180°-ZDOE,

：.2ZOAC=2ZDEA,

：.ZOAC=ZDEA,

：.DE//AC.

【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正

确证明三角形全等是解题的关键.

17.如图，在矩形ABC。中，E是的中点，将ZWE沿BE折叠后得到一G3E,且G点

在矩形A8C。的内部，延长8G交DC于点尸，连接£足

⑴求证：ADEF/AGEF；

2

求黑An的值.

⑵若DC:DF=3:2,

【答案】(1)见解析

8

2)3-

【分析】(1)由折叠的性质可得AE=EG=DE,由“乩”可证及△。£尸丝氏△GEF；

(2)设。C=3无，DF=2x,由线段的和差关系可求A2=3无，BF=5x,由勾股定理可求解.

(1)

•.•四边形A8C。是矩形，

AAB=CD,AD=BC,ZA=ZD=ZC=90°,

是AD的中点，

AE=DE,

:将AABE沿BE折叠后得到..GBE,

/.AE=EG,AB=BG,ZA=ZBGE=90°,

：.ZD=ZEGF=90°,ED=EG,

[EG=ED

在用。班和RtGEF中，k，

[EF=EF

：.RtDEF^RtGEF[HL)；

(2)

ADEF%/\GEF,

：.DF=GF,

■:DC:DF=3:2,

设DC—3x,DF=2x,

GF=2x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

2222

在RtABCF中，BC=BF-CF=25/-/=24x,

AD2=BC2=24x2,

.AD2_24/_8

"AB2~9x2-3-

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，灵活

运用这些性质解决问题是解题的关键.

18.折叠矩形ABCZ),使点。落在BC边上的点尸处，折痕为AE.

⑴求证△ABFsAFCE；

（2）若CP=4,EC=3,求矩形ABC。的面积.

【答案】（1）见解析

⑵矩形ABCD的面积为80

【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可证明

（2）由（1）得AABFS^FCE,所以竺=空，进而可以解决问题.

ECCF

（1）

证明：由矩形A8CD可得，ZB=ZC=ZD=90°.

：.ZBAF+ZAFB=9G°.

由折叠得ZD=90°.

ZAFB+ZEFC=90°.

：.ZBAF=ZEFC.

：./\ABF^/\FCE；

（2）

解：VCF=4,EC=3,NC=90°

：.EF=DE=5,

：.AB=CD=S.

由（1）得AABEs△尸CE,

.BFAB

EC-CT7

：.BF=6.

：.BC^10.

；.S=AaCB=10x8=80.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是

得至1）△ABF^AFCE.

19.如图，在矩形A3CD中，点E是的中点，连接8E,将AABE沿BE折

叠后得到4GBE,延长BG交。C于点F,连接EF.

（1）求证：AEGF名AEDF；

⑵若点尸是C。的中点，BC=8,求CO的长.

【答案】（1）见解析

⑵4&

【分析】（1）由翻折和矩形的性质可知NEGP=ND=90。，EG=ED,可通过HL证明

RtAEGF=RtAEDF；

(2)根据点尸是CD的中点知：CF=；CD,BF=：CD,在RtABb中，利用勾股定理

即可列出方程.

(1)

证明：：将4ABE沿BE折叠后得到△GBE,

.\ZBGE=ZA,AE=GE,

:四边形ABC。是矩形，

ZA=ZD=90°,

...NEGP-90。，

•点E是AO的中点，

：.EA=ED,

：.EG=ED,

\EF=EF

在RtAEGP与RtZkEL不中，\

[EG=ED

.".RtAEGF^RtAEDF(HL).

(2)

由(1)知RtAEGF/RtAEDF,

:.GF=DF,

•.,点/是CD的中点，

：.GF=DF=CF=-CD,

2

在矩形ABC。中，/C=90。，AB=CD,又由折叠可知A2=GB,

：.GB=CD,

3

:.BF=GB+GF=—CD,

2

在RS8CF中，由勾股定理得：

(|CD)2=82+(|CD)2,

•：CD>Q,

CZ)=4A/2.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻

折前后对应边相等是解题的关键.

20.如图，在正方形A