中考数学难点突破与训练：全等三角形中的手拉手旋转模型（原卷版+解析）

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

Be口

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和小CDE,连接AD与BE。

(1)△BCE^AACD,△BCM^AACN,△MCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=60°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN//BD

(5)CF为NBFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

E

VAABC^AECD为等边三角形

解决方案

:.BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°

ZACB=ZECD

:.ZACB+ZACE=ZECD+NACE

NBCE=NACD

在AA3C与AECD中

BC=AC

<NBCE=NACD

CE=CD

AABC=AECD

BAcD

^BCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

•••ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMO)

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

ZBMC=ZAFM

ZBCM=NARM=60°,即NAR3=60°

ABCM=AACN

CM=CN

ZMCN=60°

AMCN为等边三角形

•rAMCN为等边三角形

NMNC=60°

•：NNCD=60°

ZMNC=ZNCD

:.MN//BD

E

a<A

BcD

过点C分别作PC1BE,QC1AD

ABCE=AACD

■.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

RtABPCvRt^AQC

在R/APCR与R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtkPCF=RtAQCF

即RC平分ZBbD

在线段RD上截取FG=RE,连接EG

­.­FG=FE,ZEFG=60°

AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

;NCED=NEFG=60°

ZFEC=ZGED

在AEG。与此口饼

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

结论：AE=CG且AE_LCG

其他相关

模型及其

结论

S=6•

°AADG-"CDE'

若AM=GM,则其反向延长线DH_LCE;

DM=-CE

2

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在AABC中，NABC=90。，分别以A3,AC为边作等边△ABD和等边AACE,连结£）石，若45=3,

AC=5,则即=（）

A.2aB.2A/3C.4D.3亚

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形A8C和等边三角形

CDE,与BE交于点。，AD与BC交于点P,BE与CD交于点连结尸。.以下结论错误的是（）

Bf

ACE

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

3.如图，在RdABC和RdADE中，ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AO=AE=2,点P,Q,R分别

是BC,DC,的中点.把AAOE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

4.如图，在44BC中，AB=AC,点/是射线BC上两点，且AD_LAF,若M=AD,ZBAD=ZCAF=15°；

则下列结论中正确的有（）

①CELBF；②△ABD/AACE；③以"。=S四边形初B；@BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，正AABC和正△CDE中，B、C、。共线，且3c=3CD,连接AO和BE相交于点R以下结论中

正确的有（）个

①//出8=60。②连接FC,则C/平分NBED®BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

6.如图，点C是线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形

CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；®DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的结论有（）个

B

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.如图，AABD、ZkCDE是两个等边二角形，连接8C、BE.ZDBC=3Q°,BD=6,8c=8,则6£=

8.如图，△ABC中，ZC=90°,AC=BC=y/2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△A8C的位置，连

接BC,8C的延长线交A8于点。，则8。的长为.

9.如图，AABC是边长为5的等边三角形，3O=CD,/班心=120。.及尸分别在A8、AC上，且/EZ）户=60。,

则三角形A斯的周长为.

E

54--V-/^>c

D

10.如图，C为线段AE上一动点(不与点A、£重合)，在AE同侧分别作正△ABC和正△a)E,AD与BE

交于点与2C交于点尸,BE与CD交于点。，连接尸0.以下五个结论:①②尸Q〃AE；③4尸=2。；

@DE=DP-⑤/4。8=60。.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题

11.如图，AACB和AECD都是等腰直角三角形，。4=。2,。=。巳八4。3的顶点人在4瓦刀的斜边。石上,

连接BO.

(1)求证：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

12.如图，A、B、C在同一直线上，且AABD,△BCE都是等边三角形，AE交BD于点M,CD交BE于

点N,MN〃AC,求证：

⑴ZBDN=ZBAM；

(2)ABMN是等边三角形.

E

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上，与8E交于点。，△ABC和△ECD是等边三角形.

(1)求证：AACD沿/XBCE；

(2)求/B。。的度数；

14.在△4所和4DEC中，AC.BD相交于点P,AE,2。相交于点。，AE=BE,DE=CE,NAEB=NDEC.

(1)求证：AC=BD；

(2)求证：ZAPB=ZAEB.

15.△ACB^AOCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

⑴问题发现：

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：4ACD咨ABCE；

②求NAEB的度数.

(2)类比探究：如图2,点8、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为△OCE中。E边上的高，请

求NADB的度数及线段AD,0M之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,若设A。(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，并证明.

16.如图，在AA8C和AAOE中，AB^AC,AD^AE,NBAC=NDAE,连接B£),CE,BD与CE交于点

O,8。与AC交于点孔

(1)求证：BD=CE.

(2)若/BAC=48。，求/C。。的度数.

(3)若G为CE上一点，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求证：BD±AC.

17.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AB^AC,/54C=90。，点、E,P分别为AB,AC的中点，H为线

段跖上一动点(不与点E,/重合)，过点A作AG_LA"且AG=4"，连接GC,HB.

(1)证明：AAHB乌AAGC；

(2)如图2,连接GRHG,HG交AF于点、Q.

①证明：在点”的运动过程中，总有NHFG=90。；

②当AAQG为等腰三角形时，求NAHE的度数.

(1)如图1,线段AN与线段8M是否相等?证明你的结论；

(2)如图1,线段AN与线段交于点O,求/AOM的度数；

(3)如图2,AN与MC交于点E,BM马CN交于点、F,探究ACEF的形状，并证明你的结论.

19.已知：两个等腰直角三角板AACB和(AC=BC,DC=CE,NAC2=/OCE=90。)如图所示摆

放，连接AE、8。交于点O.AE与。C交于点M,8。与AC交于点N.

（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BO有何关系并说明理由；

（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC=QC）,在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2

中四对全等的直角三角形.

20.如图1,在AA8C中，CA=CB,ZACB=90°.点。是AC中点，连接8。，过点A作交8。

的延长线于点E,过点C作CFLBD于点F.

（1）求证：/EAD=/CBD；

（2）求证：BF=2AE；

（3）如图2,将△氏/沿8c翻折得到ABCG,连接AG,请猜想并证明线段AG和A8的数量关系.

21.定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”.

E

图2

(1)特例感知：如图1,四边形ABC。是“垂美四边形"，如果OA=OD=go3,03=2,ZOBC=60°,贝U

AD2+BC2=,AB2+CD2=.

(2)猜想论证：如图1,如果四边形ABC。是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB,CD与BC,之间的

数量关系并给予证明.

(3)拓展应用：如图2,分别以Rt^ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACPG和正方形A2DE,

连接CE,BG,GE,已知AC=4,Zfi4c=60。，求GE长.

22.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到

两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，AB^AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE,连接8。，CE,贝1]△A3。0△ACE.

(1)请证明图1的结论成立;

(2)如图2,△ABC和△AED是等边三角形，连接8。，EC交于点。，求/8OC的度数;

(3)如图3,AB=BC,ZABC^ZBDC^60°,试探究NA与/C的数量关系.

23.已知在欣△ABC中，ZACB=90°,a,6分别表示/A,的对边，a>b.记△ABC的面积为S.

(1)如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACQE和正方形BGFC.记正方形ACOE的面积为S1,正

方形BG尸C的面积为S?.

①若H=9,S2=16,求S的值；

②延长交GB的延长线于点N,连结PN,交BC于点M,交AB于点H.若依，A3(如图2所示)，求

证：S2-Sl=2S.

(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形AC。和等边三角形CBE,记等边三角形AC。的面积

为岳，等边三角形CBE的面积为邑.以A8为边向上作等边三角形ABF(点。在4ABF内)，连结EF,CF.若

EFLCF,试探索邑-岳与S之间的等量关系，并说明理由.

24.如图，在MAABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为斜边A8上一动点(不与端点A,8重合)，以C

为旋转中心，将逆时针旋转90。得到CE,连接AE,BE,尸为AE的中点.

(1)求证：BEVAB-,

(2)用等式表示线段。，BE,CT三者之间数量关系，并说明理由;

3

(3)若CP=5，CD=5求tan/3CE的值.

25.如图，AAOB和△COD都是以。为直角顶点的等腰直角三角形，连接AC,BD.

(1)如图1,试判断AC与8。的数量关系和位置关系，并说明理由.

图1

(2)如图2,若点。哈好在AC上，且。为AC的中点，AB=5求ABOD的面积.

(3)如图3,设AC与即的交点为E,若AE=CE,ZAOD=60°,AB=4,求CD的长.

D

E.

B

图3

专题01全等三角形中的手拉手旋转模型

【模型展示】

E

特点

BeD

在线段BCD同侧作两个等边三角形4ABC和4CDE,连接AD与BE。

(1)ABCE^AACD,ABCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=60°

(3)AMCN为等边三角形

结论

(4)MN/7BD

(5)CF为/BFD的角平分线

(6)FC+FE=FD

【模型证明】

•••AABC^AECD为等边三角形

解决方

案BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°

•/ZACB=ZECD

:.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE

NBCE=NACD

在AABC与AECD中

BC=AC

<ZBCE=ZACD

CE=CD

AABC=AECD

•;ABCEvMCD

BE=AD

•/ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

•/ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

•••ZBMC=ZAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即NAR3=60°

•/ABCM=AACN

CM=CN

•/ZMCN=60°

.•.△MCN为等边三角形

•：AMCN为等边三角形

NMNC=60°

•••ZNCD=60°

:.ZMNC=ZNCD

:.MN//BD

过点C分别作PC1BE,QC1AD

•：ABCE=AACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在MA3PC与MAAQC中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

RtbBPC兰Rt/\AQC

在RfAPCR与RfAQCR中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分NBfD

在线段RDh截取FG=RE,连接EG

•••FG=FE,NEFG=60°

.•.AER湃边三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

NCED=NEFG=60°

:.NFEC=NGED

在AEG。与公石口时

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

NFEC=/GED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在AABC中，ZABC=9Q°,分别以AB,AC为边作等边和等边AACE,

连结£>E,若AB=3,AC=5,则£D=()

B.2A/3C.4D.36

【答案】C

【分析】在RdABC中可直接运用勾股定理求出BC,然后结合“手拉手”模型证得

△ABC^^ADE,即可得至!j£)E=3C,从而求解即可.

【详解】解：在RdABC中，AB=3,AC=5,

，由勾股定理得：BC=4,

'：△ABD和AACE均为等边三角形,

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=6Q°,

.\ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

即：ZBAC=ZDAE,

在△ABC和△AOE中,

AB=AD

，ABAC=ZDAE

AC=AE

：.AABC^AADE（SAS）,

:.DE=BC=4,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性

质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键.

2.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形A3C

和等边三角形C£）E,AD与BE交于点。，与8C交于点P,BE与CD交于点、Q,连结

PQ.以下结论错误的是（）

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到于

是ZAOB=/DAC+NBEC=/BEC+/DEO=ZDEC=6Q°，得出A正确；根据ACQB出△CPA

(ASA),得出B正确；由小ACD<ABCE得NCBE=/DAC,力口之/ACB=NDCE=60。,AC=8C,

得至lbCQBZZXCBl(ASA),再根据NPCQ=60。推出APC0为等边三角形，又由

NPQC=/DCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据NCOE=60。，

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/OQE力/CZ)E,得出D错误.

【详解】解：••,等边△ABC和等边△CDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ABCD,即ZACD=ZBCE,

在A&。与4BCE中，

AC=BC

<NACD=ZBCE,

CD=CE

:.△ACD/4BCE(SAS),

ZCBE=ZDAC,

又：NACB=/DCE=60°,

AZBCD=60°,^ZACP=ZBCQ,

又・・・AC=BC,

在aCQB^LCPA中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

:•△CQBQXCPA(ASA),

：.CP=CQ,

又・・・N尸CQ=60。可知△PC。为等边三角形，

ZPQC=ZDCE=60°,

:・PQ〃AE,

故C正确，

：.AP=BQf

故B正确，

'：AD=BEfAP=BQ,

：・AD-AP=BE-BQ,

BPDP=QE,

・・•ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,/CDE=60。,

：.ADQEtACDE,故D错误；

ZACB=ZDCE=60°f

：.ZBC£)=60°,

•・,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCDf

：.BC〃DE,

：./CBE=/DEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题

的关键是找到不变量.

3.如图，在尺dABC和放△A0E中，ZBAC=ZDAE=90°fAB=AC=5,AD=AE=2f

点尸，Q,R分别是8C,DC,。片的中点.把△AOE绕点A在平面自由旋转，则△尸QR的

面积不可能是()

A

RE

BPC

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】连接8ZXCE,3。的延长线交CE的延长线于。,AC交3。于H证明△BAD四△CAE,

然后可推出△「色?是等腰直角三角形，S〃PQR=1•尸。2,由AB=5,")=2可知39上7,

从而得到白3产匕7；那9么1•尸即49可得出答案.

228/8

【详解】解：连接3。、CE,5。的延长线交CE的延长线于O,AC交B0于H.

*：AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

.,.△BAD^ACAE,

:.BD=CE,/ABH=/0CH,

'：ZAHB=ZCHO,

：.ZO=ZBAH=90°,

•・,点P,Q,/?分别是BC,DC,OE的中点，

：.PQ=^BD,PQ//BO,QR=；EC,QR//CO,

VBO±OC,

；.PQLRQ,PQ=QR,

•••△尸。氏是等腰直角三角形，

:&PQR=gpQ2,

'：AB=5,AD=2,

：.3<BD<7,

：.APQR的面积不可能是8,

故答案为：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4.如图，在AABC中，AB^AC,点。、F是射线8C上两点，且若AE=AD,

NBAD=NCAF=15°；则下列结论中正确的有（）

①CELBF；②△ABD四△ACE；③弘.。=S四边磔力虑；@BC-^EF=2AD-CF

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性质得出

ZB=ZACB=45°,由SAS证得△ABD0Z\ACE(SAS),得出BD=CE,NB=NACE=45°,

SAABC=S四边形ADCE,则NECB=90。，即EC_LBF,易证NADF=60。，ZF=30°,由含30。直角

三角形的性质得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,贝l]BD=gEF,由BC-BD二DF-CF,得出BC4

EF=2AD-CF,即可得出结果.

【详解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ZBAC=90°,

TAB二AC,

/.ZB=ZACB=45°,

在^ABD和^ACE中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

.'.△ABD^AACE(SAS),

BD=CE,NB=NACE=45°,SAABC=S四边形ADCE，

・•・ZECB=90°,

AECXBF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

ZADF=60°,

ZF=30°,

・・・EF=2CE=2BD,DF=2AD,

，BD=/EF,

,.,BC-BD=DF-CF,

.,.BC-|EF=2AD-CF,

①、②、③、④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角直角三角

形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键.

5.如图，正AABC和正△CDE中，B、C、。共线，且5c=3CD,连接AD和仍相交于点

F,以下结论中正确的有（）个

①NA£B=60。②连接尸C,则平分五O③BF=3DF@BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手”模型证明ABCE均ACD,从而得到NCBE=ZCAD,再结合三角形

的外角性质即可求解=NACB=60。，即可证明①；作CMJL砥于〃点，CNLAO于

N点，证明ACENZACDN,结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示功行

和AOb的面积，然后利用比值即可证明③；利用“截长补短”的思想，在AD上取点Q,使

得FC=FQ,首先判断出A/C。为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出ABCP/AACQ即

可证明④.

【详解】解：①:△ABC和△（?£见均为等边三角形，

ZACB=ZECD=60°,AC^BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

NBCE=ZACD,

在ABCE和八4。£>中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD

EC=DC

：.ABCE、ACD（SAS）,

：.NCBE=NCAD,

；ZAFB=NCBE+NCDA,ZACB=ZCDA+ZCAD,

：.ZAFB=ZACB^^）°,故①正确；

②如图所示，作CMJ_BE于〃点，CNLAD于N点、,

则NCME=NCWD=90°,

•：ABCE'ACD,

：.NCEM=NCDN,

在△CEM和ACDN中,

ZCME=ZCND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

：.△CEMQACDN(AAS),

：.CM=CN,

・・・C/平分N5FD,故②正确；

③如图所示，作FPLa)于尸点，

・・

.,△oScrBCF2=-BF2.CM=-BCFP,S2nrF=-DF.C2N=-CD.FP,

c-BF.CMLBC.FP

・TBCF_2________2_____

,•S~1-1，

'△DCF-DF^CN—CD・FP

22

,:CM=CN,

整理得：—,

DFCD

,:BC=3CD,

・.・-B-F=-3-C-D=5c,

DFCD

：・BF=3DF,故③正确；

④如图所示，在AO上取点。，使得FC=FQ,

ZAFB=ZACB=60°fCF平分ZBFD,

：.ZBFD=120。，/CFD=-ZBFD=60°,

2

・・・△尸。。为等边三角形，

AZFCQ=60°,CF=CQ,

'：NACB=60。，

ZACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

.・.ZBCF=ZACQ,

在△BCF和△ACQ中，

BC=AC

ZBCF=ZACQ

CF=CQ

^BCF^ACQ(SAS),

/.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正确；

综上，①②③④均正确；

故选：A.

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形

的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想

等是解题关键.

6.如图，点C是线段AE上一动点(不与A,E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接

PQ,有以下5个结论：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤NAOB=60。.其

中一定成立的结论有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC^ACDE是等边三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

从而证出△ACDgZiBCE,可推知AD=BE；

③由△ACD四4BCE得NCBE=/DAC,力口之NACB=/DCE=60。，AC=BC,得到

△ACP^ABCQ(ASA),所以AP=BQ；故③正确；

②根据②△CQBgACPA(ASA),再根据/PCQ=60。推出△PCQ为等边三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

④根据/DQE=/ECQ+/CEQ=6(T+/CEQ,ZCDE=60°,可知/DQE热/CDE,可知④错

误；

⑤利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到/CBE=/DEO,于是

/AOB=/DAC+/BEC=/BEC+/DEO=/DEC=60。，可知⑤正确.

【详解】①：等边4ABC和等边△DCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,/DEC=/BCA=/DCE=60。,

：.ZACD=ZBCE,

在仆ACD和^BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

/.AD=BE；

故①正确；

③•.•△ACDgABCE(已证)，

/CAD=/CBE,

/ACB=/ECD=60°(已证)，

/BCQ=180°-60°x2=60°,

/.ZACB=ZBCQ=60°,

在△ACP与ABCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

.,.△ACP^ABCQ(ASA),

；.AP=BQ；

故③正确；

(DVAACP^ABCQ,

；.PC=QC,

APCQ是等边三角形，

/.ZCPQ=60°,

ZACB=ZCPQ,

：.PQ〃AE；

故②正确；

④：AD=BE,AP=BQ,

.,.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

/DQE=/ECQ+/CEQ=60°+/CEQ,/CDE=60°,

/DQErNCDE,

.,.DE#QE,

则DP，DE,故④错误；

⑤：ZACB=ZDCE=60°,

.\ZBCD=60°,

•.,等边△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

；.BC〃DE,

.".ZCBE=ZDEO,

-,.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型

的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键.

二、填空题

7.如图，△ABD、△CDE是两个等边三角形，连接BC、BE.若NDBC=30。，BD=6,

8c=8,贝l|BE=.

【答案】BE=10

【分析】连接AC,根据题意易证△ACD之△BED(SAS),根据全等三角形的性质可得AC=BE,

再根据勾股定理求出AC的值即可得出结论.

【详解】如图，连接AC,

「△AB。、△CDE是两个等边三角形,

；.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

，NADC=NBDE,

AD=BD

在4ACD与公BDE中，ZADC=ZBDE,

CD=DE

.'.△ACD^ABED(SAS),

；.AC=BE,

,/ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

AC=AB2+BC2=A/62+82=10，

，BE=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，孰练的掌握

知识点是解题关键.

8.如图，△ABC中，/C=90。,AC=BC=夜，将445c绕点A顺时针方向旋转60。到小AB'C

的位置，连接BC,8C的延长线交A8于点。，则8。的长为.

【答案】V3

【分析】连接32'，根据旋转的性质可得判断出△ABB'是等边三角形，根据等边

三角形的三条边都相等可得然后利用“边边边”证明△ABC和全等，根据

全等三角形对应角相等可得因7,延长BC咬4夕于根据等边三角形的性质

可得利用勾股定理列式求出A8,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形

的性质求出BD.

【详解】解：如图，连接8月，

B'

D

BS--------------DC

1/AABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB'C,

：.AB=AB',NBAS'=60°,

.♦.△AB用是等边三角形，

在△48。和4"BC中，

AB=BB'

<AC'=B'C,

BC'=BC

.,.△ABC'必△B'BC'(SSS),

；.NABC=/B，BC=30。,

延长8。交A9于Z),

则BDLAB',

VZC=90°,AC=BC=y[2,

；.AB=何+(用=2=AB\

.,.AD=—AB=1

2

•*-BD=7AB2-AD2=A/3，

故答案为：出

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的

关键，也是本题的难点.

9.如图，A4BC是边长为5的等边三角形，BD=CD,ZBDC=120°.E、/分别在A3、

AC上，且/£1加=60。，则三角形AEF的周长为.

BC

D

【答案】10

【分析】延长AB到M®BN=CF,连接Z)N,求出//8=/仍0=/g。=90。，根据SAS

证△N302△/CO,推出。N=O尸，/NDB=NFDC,求出NEDF=NEDN,根据SAS证

△EDF/AEDN,推出EF=EN,易得△AEb的周长等于A3+AC.

【详解】解：延长A3到N,使BN=CF,连接ON,

,•.△ABC是等边三角形，

・•・ZABC=ZACB=60°,

■;BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：.ZACD=ZABD=300+60°=90°=ZNBDf

•・・在△NB。和△bCO中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:•△NBD"AFCD(SAS),

:・DN=DF,/NDB=/FDC,

'：ZBDC=nO°,ZEDF=60°,

O

：.ZEDB^-ZFDC=609

：./EDB+/BDN=60°,

即/EDF=NEDN,

在4矶加和^EC正中，

DE=DE

NEDF=NEDN,

DN=DF

：.AEDN^/XEDF（SAS）,

EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

「△ABC是边长为5的等边三角形，

：.AB=AC=5,

'：BE+CF=EF,

：./\AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的性质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

10.如图,C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点、P,BE与CD交于点、Q,连接P。.以下五个结论：

®AD=BE-®PQ//AE；®AP=BQ；@DE=DP；⑤NAO8=60。.恒成立的结论有.（把

你认为正确的序号都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明；根据全等三角形的性质证明AMCN为等

边三角形，再证明△ACD注△BCE即可求解.

【详解】解：①△ABC和ADCE均是等边三角形，点A,C,E在同一条直线上，

：.AC=BC,EC=DC,ZBCE^ZACD=12.Q°

：.AD=BE,故本选项正确，符合题意；

②；AACDWAECB

：.ZCBQ=ZCAP,

X•/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,

型△ACP,

/.CQ=CP,

又NPCQ=60。，

...△PC0为等边三角形，

ZQPC=60°=ZACB,

：.PQ//AE,故本选项正确，符合题意；

③：ZACB=ZDCE=6Q°,

：.ZBCD=60°,

：.NACP=/BCQ,

'：AC=BC,ZDAC=ZQBC,

：./\ACP^/\BCQCASA),

：.CP=CQ,AP=BQ,故本选项正确，符合题意；

④已知△ABC、AOCE为正三角形，

故/QCE=NBCA=60°0N0cB=60°,

又因为/r>PC=NZ)AC+NBC4,ZBCA=60°^>zDPC>60°,

故DP不等于OE,故本选项错误，不符合题意；

⑤「△ABC、ADCE为正三角形，

ZACB=ZDC£=60°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：./ACD=NBCE,

:.AACD安ABCE(SAS),

：.ZCAD=ZCBE,

ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,

ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,

：.ZAOB=60°,故本选项正确，符合题意.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

三、解答题

11.如图，AACB和&ECD都是等腰直角三角形，C4=CB,CD=CE,AACB的顶点A在^ECD

的斜边£>E'上，连接

CB

（1）求证：BD=AE.

（2）若AE=3cm,AD=6cm,求AC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）AC='®cm.

2

【分析】（1）根据同角的余角相等得出/BCD=/ACE,然后根据SAS定理证明

△BCD^AACE,从而得出结论；

（2）根据全等三角形的性质得出/BDC=/AEC,然后结合等腰直角三角形的性质求得

NBDA是直角三角形，从而利用勾股定理求解.

【详解】（1）,••△ACB和△£££）都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90°,

：.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,

ZBCD=ZACE,

在△3CD和AACB中，

CB=CA

</BCD=NACE

CD=CE

：.NBCD^ACE（SAS）,

；•BD=AE.

（2）VABCD^AACE,

・•・ZBDC=ZAEC,

又・・・是等腰直角三角形，

/CDE=NCED=45。,

：.ZBDC=45°,

：.ZBDC+ZCDE=90°,

是直角三角形，

AB2=BD2+AD2=AE2+AD1=32+6?=45,

在等腰直角三角形AC3中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.

12.如图，A、B、C在同一直线上，且AABD,ABCE都是等边三角形，AE交BD于点

M,CD交BE于点N,MN/7AC,求证：

（1）ZBDN=ZBAM；

（2）ABMN是等边三角形.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解。

【分析】（1）只需要证明AABEgADBC,就可以得到=

（2）N£>BA=NE5C=60°,因为MN〃AC,所以NM7VB=NN3C=60°,NNMB=NMBA=6«,

所以ABMV是等边三角形.

【详解】证明：（1）;NEBC=NABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在AD8N、中

DB=AB

<ZDBC=ZABE

BC=BE

：.AABE丝NDBC

：.ZBDN=ZBAM

（2）"JADBA=AEBC=60°,MN//AC,

NMNB=NNBC=6«,

/NMB=NMBA=6S,

所以ABMN是等边三角形.

【点睛】这是一个典型的手拉手模型，是初中几何必会的模型之一，两个60。的三角形是等

边三角形.

13.如图1,B、C、。三点在一条直线上，与3E交于点O,△ABC和△ECD是等边三

角形.

（1）求证：XACD义XBCE；

⑵求N8。。的度数；

（3）如图2,若8、C、。三点不在一条直线上，/BOO的度数是否发生改变？（填

“改变”或“不改变”）

【答案】（1）证明见解析

（2）ZBO£>=120°

⑶不改变，理由见解析

【分析】（1）根据“SAS”证明△Aco丝ZYBCE即可;

(2)由全等三角形的性质得NAOC=N3EC,再由三角形的外角性质得NAO5=60。，即可

求解；

(3)同(1)得：△ACO也△BCE,得出ND4C=NE3C,根据三角形外角求出NAOEM20。，

即可得出答案.

(1)

证明：:△ABC和△ECO是等边三角形，

ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△ACO中

BC=AC

|ZBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS).

(2)

解：VABCE^AACZ),

J/ADC=/BEC,

'：ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=ZEBC+ZBEC=Z£>CE=60°,

NAO8+N5OD=180。，

ZBOD=120°.

(3)

解：不改变，理由如下：

同(1)得：△ACO2△3C£(SAS),

：.ZDAC=ZEBC,

,/ZAOE=ZABO^-ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

JZBOD=ZAOE=120°,

即N30。的度数不改变.

故答案为：不改变.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，

对顶角性质，证明△ACO且△BCE是解题的关键.

14.在AAEB和△DEC中，AC、3。相交于点尸，AE、8。相交于点0,AE=BE,DE=CE,

ZAEB=ZDEC.

⑴求证：AC=BD；

(2)求证：ZAPB=ZAEB.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

【分析】(1)先证/2EZANAEC,再利用SAS证明三角形全等即可；

(2)由全等可得/EBD=/E4C,根据三角形内角和和/^。后乙^^即可证明.

(1)

证明：VZAEB=ZDEC,

：.ZAEB+ZAED=ZDEC+ZAED,

：.ZBED=ZAEC,

在^BED与△AEC中，

AE=BE

<ZAEC=/BED

DE=CE

:.ABED<4AEC(SAS),

：.AC=BD.

(2)

证明BE。之△AEC,

ZEBD=ZEAC,

'：ZEBD+ZBOE+ZAEB=ZAOP+ZAPB+ZEAC=180°,

又,：/BOE=/AOP,

：./AEB=/APB.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS,ASA,SAS,

44S和HL熟练掌握判定方法是解题的关键.

15.△478和4OCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

(1)问题发现：

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：XACD^^BCE；

②求/AEB的度数.

⑵类比探究：如图2,点8、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为ADCE中DE

边上的高，请求的度数及线段DB,AD,之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,若设(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，

并证明.

【答案】⑴①见解析；②N4班=60。；

⑵乙位＞2=60。，2DM+BD=AD,理由见解析；

(3)ot=6O°,证明见解析

【分析】(1)①由△ACB和△DCE是等边三角形知AC=BC,