中考数学专项复习提升：一次函数的应用（讲义考点+15种题型）（原卷版）

第三章函数

第11讲一次函数的应用

（思维导图+考点+15种题型）

01考情透视•目标导航»题型07调运问题

02知识导图•思维引航»题型08计时问题

03考点突破•考法探究＞题型09体积问题

04题型精研•考向洞悉»题型10几何问题

院题型01最优方案问题»题型11新考法：新情景问题

A题型02最值问题»题型12新考法：与现实有关的热考问题

院题型03行程问题＞题型13新考法：新考法问题

•►题型04工程问题»题型14新考法：跨学科问题

＞题型05分配问题»题型15新考法：中考预测题

＞题型06分段计费问题

考情透视•目标导航

中考考点【常见类型】考有频率新课标要求

一次函数的实际应用

★★

一最优方案问题

结合具体情境体会次函数的意义，能根据已知条件确定次

一次函数的实际应用

★★

函数的解析式；

--最值问题

能用一次函数解决简单实际问题.

一次函数的实际应用

★★

一一行程问题

【考情分析】

应用一次函数解决实际问题，包含两大类：1）利用函数图像解决运动问题；

2）利用函数性质解决最大利润、最小费用等最值问题.

考查内容包含利用待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性求最值等，试题形式以解答题为主，难度

中等.

【命题预测】一次函数的应用在中考中多考察一次函数图像的理解和信息提取，通常以最优方案、最值问

题与行程类问题为主。出题时也多和方程、不等式结合，一次函数的实际应用的题目在中考中难度不大，

关键在于函数关系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，从文字、图像和图表中获取信息，建立函数

关系式是解题的关键.

知识导图•思维引航

计时问题

体积问题

几何问题

新考法：新情景问题（

一次函数的应用（15种题型）

新考法：与现实有关的热考问题

重难点突破新考法：新考法问题

新考法：跨学科问题

新考法：中考预测题

考点突破•考法探究

用一次函数解决实际问题：应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一

次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数解析式，再应用一次函数的相关知识去

解决与其相关的实际问题.

1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：

1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；

2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；

3）观察图像特征，判断函数的类型.

2.建立一次函数解析式的常用方法

1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式；

2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式；

3.一次函数应用问题的求解思路：

1）建立一次函数模型一求出一次函数解析式一结合函数解析式、函数性质求解；

2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然

后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，

这是应用中的难点，也是中考的热门考点；

3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小

等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤：

1）观察图像，获取有效信息；

2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；

3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题.

【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围.

5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及

最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或

线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式一确定函数增减性一根据自变量的取值范围确定最值.

题型精研•考向洞悉

-题型01最优方案问题

1.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种

水果的进价和售价如表所示:

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

兀.

（1）求a,b的值;

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售

完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量》的取值

范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

2.（2024.江苏南通・中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、8两种型号智能机器人进行快递分

拣.

相关信息如下：

信息一

A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）

13260

32360

信息二

㈠）

A型机器人每台每天可

分拣快递22万件；

B型机器人每天每天可

分拣快递18万件。

kJ___________________________/

（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；

（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、8两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方案，

能使每天分拣快递的件数最多？

3.（2024•内蒙古通辽•中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地

建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1

台煎蛋器和3台三明治机需395元.

（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；

（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省

费用的购买方案.

4.（2024・四川广元・中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某

服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：

价格/类别短款长款

进货价（元/件）8090

销售价（元/件）100120

（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不

变），且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大

销售利润是多少？

＞题型02最值问题

5.（2024.云南・中考真题）4、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.

某超市销售力、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：

成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）

力型号35a

B型号42b

若顾客在该超市购买8个4种型号吉祥物和7个8种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个4种型号吉

祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元.

（1）求a、b的值；

（2）若某公司计划从该超市购买4B两种型号的吉祥物共90个，且购买力种型号吉祥物的数量%（单位：个）

不少于B种型号吉祥物数量的豆又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的

总利润为y元，求y的最大值.

注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.

6.（2022.湖北十堰・中考真题）某商户购进一批童装,40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量y（件）

2Y0,yVQQ

与销售时间“,天）之间的关系式是广｛~+；4。，皿“一。'销售单价「（元件与销售时间天）

之间的函数关系如图所示.

（1）第15天的日销售量为件；

（2）当。＜久〈30时，求日销售额的最大值；

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，贝产火热销售期”共有多少天？

7.（2022・山东济宁•中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A,B

两地，两种货车载重量及到A,2两地的运输成本如下表：

货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往8地的成本（元/辆）

甲种161200900

乙种121000750

（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；

（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往8地.设甲、

乙两种货车到A,8两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为/辆.

①写出w与f之间的函数解析式；

②当/为何值时，卬最小？最小值是多少？

8.（2021.贵州贵阳.中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺

活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间

和利润如下表：

产品展板宣传册横幅

11

制作一件产品所需时间（小时）1

52

制作一件产品所获利润（元）20310

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量;

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作.求制作三种产品总量的最小值.

＞题型03行程问题

9.（2024・吉林长春.中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的

时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长

度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶2小时，再立即减速以另一速度匀速行驶

（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100

千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所

（l）a的值为

（2）当专WxWa时，求y与x之间的函数关系式；

（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过

120千米/时）

10.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到

C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早M小时到达目的

地.甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：

（1）甲车行驶的速度是km/h,并在图中括号内填上正确的数；

（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距2地路程的3倍.

11.（2023•浙江绍兴•中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米.甲、乙两

机器人分别从MN两地同时出发，去目的地N,M,匀速而行.图中。48c分别表示甲、乙机器人离M地的距

离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象.

（1）求04所在直线的表达式.

（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？

（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离.

12.（2024•陕西西安•模拟预测）某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行.甲

机器人离4点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如下表.乙机器人在离4点15米处出发，以0.5

米/秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向（远离4点）出发并保持前进的状态.

出发时间（单位：秒）46810

甲机器人离力点距离(单位：米)9111315

(1)设甲、乙两机器人离4点的距离分别为y甲、y乙，求它们与出发时间t之间的函数关系式;

(2)甲机器人出发时距离4点多远？两机器人出发多长时间时相遇?

＞题型04工程问题

13.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平

均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独

修复90千米公路所需要的时间相等.

(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的

工期，两队最多能修复公路多少千米？

14.(2023•吉林・中考真题)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每

天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成

了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关

系如图所示

(1)甲组比乙组多挖掘了天.

(2)求乙组停工后y关于尤的函数解析式，并写出自变量尤的取值范围.

(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.

15.(2023•江苏南通・中考真题)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、

乙两个工程队参与施工，具体信息如下:

信息一

工程队每天施工面积(单位：m2)每天施工费用(单位：元)

甲x+3003600

乙X2200

信息二

甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等.

(1)求尤的值；

(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施

工面积不少于15000m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？

16.(2024•江苏盐城•模拟预测)在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，

由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在

独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天.

(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？

(2)若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14

天，使施工费用最少？并求出最少费用.

＞题型05分配问题

17.(2024•山东东营・中考真题)随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑

烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买2型公交车3辆，B型公交车1辆，共

需260万元；若购买4型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元.

(1)求购买4型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？

(2)经调研，某条线路上的力型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次.公司准备

购买10辆力型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设

计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.

18.(2024・湖南长沙•模拟预测)为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，

某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，a品牌的电脑单价比8品牌电脑的单价少

1000元，通过预算得知，用30万元购买a品牌电脑比购买B品牌电脑多10台.

(1)试求48两种品牌电脑的单价分别是多少元；

(2)该公司计划购买力，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于4品牌电脑的:试求出

该公司费用最少的购买方案.

19.(2024•河南周口•三模)春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或

爬山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进2,B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购

进4型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进力型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要

710元.

(1)求该商店购进每个a型号和B型号的野餐垫的价格；

(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进a型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的点为使购进野餐

垫的总费用最低，应购进型a号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元？

20.(2024•河南周口•二模)为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经

典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛.为鼓励同学们积极参与，大赛设置

一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示.已知购买一本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记

本和2支笔的价格是20元，购买2个笔记本和3支笔的价格是36元.

一等奖二等奖三等奖

1本《诗经》1本《诗经》

奖品1个笔记本2支笔

2个笔记本、1支笔2支笔

(1)请计算购买1个笔记本和1支笔的价格分别是多少?

(2)据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖

的数量不少于三等奖数量的则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名.

＞题型06分段计费问题

21.(2024•浙江衢州.一模)我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表,

每户每年应缴水费y(元)与用水量比(m3)关系如图.

分类用水量%(m3)单价(元/m3)

第1级不超过300a

第2级超过300不超过480的部分k

第3级超过480的部分6.2

根据图表信息，解答下列问题:

(1)小南家2022年用水量为400m3,共缴水费1168元.求a,k及线段4B的函数表达式.

(2)小南家2023年用水量增加，共缴水费1516.4元，求2023年小南家用水量.

22.(2023•陕西西安•二模)某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行

驶里程超过3km时，计价器开始变化，行驶里程x(km)与车费y(元)之间的关系如图所示.

(1)当行驶里程超过3km时，求y与龙之间的函数关系式；

(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程.

23.(2023•上海浦东新•二模)某市全面实施居民“阶梯水价”.当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点

后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：

分档户年用水量自来水单价污水处理单价

（立方米）（元/立方米）（元/立方米）

第一阶梯0-220（含220）2.25

第二阶梯220-300（含300）41.8

第三阶梯300以上6.99

注：应缴的水费=户年用水量X（自来水单价+污水处理单价）

仔细阅读上述材料，请解答下面的问题:

（1）如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？

（2）居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段力B）的表

达式；

（3）如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？

24.（2023•四川・中考真题）某移动公司推出A,8两种电话计费方式.

计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

A782000.25免费

B1085000.19免费

（1）设一个月内用移动电话主叫时间为rmin,根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式4方式B的计

费金额关于/的函数解析式；

（2）若你预计每月主叫时间为350min,你将选择A,8哪种计费方式，并说明理由；

（3）请你根据月主叫时间/的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.

＞题型07调运问题

25.（2024.内蒙古呼和浩特.二模）4城有肥料200t,B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从

4城往C,。两乡运肥料的费用分别为20元八和25元八；从8城往C,。两乡运肥料的费用分别为15元/t和

24元/t.现C乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t.

C乡需要肥料240吨4城有肥料200吨

又运输/

。乡需要肥料260吨5城有肥料300吨

/

(1)设从力城往C乡运肥料x吨，则从B城往D乡运肥料多少吨(用含X的式子表示，并化简结果)？

(2)设调运的总运费y元，请写出y关于x的函数关系式以及x的取值范围；

(3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费.

26.(2023•湖北武汉•二模)计划将甲、乙两厂的生产设备运往A,2两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有

40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费(单位：百元)如表格所示，设从甲厂运往A地的有

尤台设备(尤为整数).

nA地8地

FJ

10

(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往8地台，乙厂运往A地台，乙厂运往8地

__________台.

(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？

(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了切百元，从乙到8的运输费用每台减小了2根百元，其它

不变，且1＜小＜4,请你探究总费用的最小值.

27.(2022.黑龙江.中考真题)为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市.甲、乙

两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达8市.甲车卸载蔬菜

后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往8市.乙车维修完毕后立即

返回A市.两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间尤(h)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是______km/h,乙车出发时速度是______km/h；

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自变

量的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.

28.(2024•山东青岛.一模)某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往4乃两地，

两种货车载重量及到4B两地的运输成本如下表：

货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往8地的成本（元/辆）

甲种161200900

乙种121000750

（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；

（2）如果前往4地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地.设甲、

乙两种货车到力,B两地的总运输成本为0元，前往4地的甲种货车为t辆.求当t为何值时，w最小？最小值是

多少.

＞题型08计时问题

29.（2023•浙江台州•中考真题）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一

根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔lOmin观

察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间〃min010203040

水面高度/z/cm（观察值）302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量.

【建立模型】

小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数

近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.

任务2利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度〃与流水时间f的函数解析式.

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，

减少偏差.通过查阅资料后知道：f为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对

应/?的观察值之差的平方和，记为w；W越小，偏差越小.

任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的W值.

（2）请确定经过（0,30）的一次函数解析式，使得w的值最小.

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务4请你简要写出时间刻度的设计方案.

30.（2024・广东.模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具.小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻

计时工具模型，研究中发现其水位九（cm）与时间t（min）之间成一次函数关系.小轩通过多次计时并测量水位

的高度，得到如下表数据：

t(min)1235

h(cm)2.42.83.24.0

（1）求八关于t的函数关系式；

（2）若小轩开始测量的时间为早上9：30,当水位读数为14cm时，求此时的时间.

31.（2023•江西南昌•一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置.它是根据均匀的沙粒从一玻

璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间.其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置

（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始.某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余

量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140

粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒.

（1）求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；

（2）求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间.

32.（2022・广东深圳•二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了

一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器.沙子缓慢匀速地从沙漏孔

漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）.该实验小组从函数角

度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1.

表1

(1)建立平面直角坐标系，如图2,横轴表示漏沙时间x,纵坐标表示精密电子称的读数》描出以表1中的

数据为坐标的各点.

图1

(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数

模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由.结论应用：应用上述发现的规律估算：

(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？

(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30,当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？

33.(2024・湖南长沙•模拟预测)“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙

两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.

(1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔lOmin观

察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量

△h.

流水时间t/min010203040

水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8

水面高度的变化量Ah/cm

(2)小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函

数近似地刻画水面高度%与流水时间t的关系.试利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水

面高度八与流水时间t的函数解析式；

(3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析

式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值

与对应/I的观察值之差的平方和，记为W；W越小，偏差越小.

①计算任务2得到的函数解析式的w值；

②请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小；

＞题型09体积问题

34.(2020・浙江绍兴•模拟预测)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器(甲、丙

的底面积相同)，用两个相同的管子在容器的6cm高度处连通(即管子底离容器底6cm,管子的体积忽略不

计).现三个容器中，只有甲中有水，水位高2cm,如图①所示.若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量

的水，到三个容器都注满水停止，乙、丙容器中的水位h(cm)与注水时间t(min)的图象如图②所示.若

35.(2023・河北保定•一模)如图1,一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往

容器内注水,注满容器为止.容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象如图2所示.

(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间.

(2)求正方体铁块的体积.

36.(2022•山东济宁.三模)如图1,在底面积为100cm2,高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯,

以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的

质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度/，与注水时间f之间的函数

关系如图2,则烧杯的底面积是cm2

力(cm

37.（2021.河北石家庄.一模）如图，4、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱4中没有水，

水箱B中盛满水.现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱力中，直至水箱4注满水为止.设注水t（min）,

水箱力的水位高度为后3机），水箱B中的水位高度为油（dm）,根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积

（1）水箱4的容积为;（提示：容积=底面积x高）

（2）分别写出为、即与t之间的函数表达式；

（3）当水箱a与水箱8中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差.

38.（23-24九年级上•湖南长沙•期末）一透明的敞口正方体容器力BCD-&BO装有一些液体，棱4B始终

在水平桌面上，容器底部的倾斜角为aQCBE=a,如图所示）.

探究：如图1,液面刚好过棱CO,并与棱交于点。,此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图

②.解决问题:

(1)CQ与BE的位置关系是BQ的长是_dm,a=_。(注：sin49°=cos41°=tan37°=-)

44

（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积丫液=底面积SBCQX高4B）

（3）在图1的基础上，以棱4B为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出.图3或图4是其正面示意图,

若液面与棱LC或CB交于点P、点。始终在棱B夕上，设PC=K,BQ=y,分别就图3和图4求y与x的函

数关系式，并写出相应的a的范围.

39.（2024连云港市模拟）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其

中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深

度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：

图1图2

（1）图2中折线ABC表示一槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示—槽中水的深度与注水时间之间

的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”）

（2）点B的纵坐标表示的实际意义是」

（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？

（4）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.

40.（2021・浙江绍兴.一模）将一块ax6xc（a<6<c）的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图

2）,现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水

深与注水时间f的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3,图4,图5）（注：长度单

（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；

（3）求铁块的体积.

>题型10几何问题

41.（2024•山东济南•模拟预测）如图，四边形49BC四个顶点的坐标分别是4（—1,3）,。（0,0）,B（3,-1）,

C（5,4）,在该平面内找一点P,使它到四个顶点的距离之和。4+。。+。8+。。最小，则P点坐标

为

-2-l.Ldl^y45^

4B

42.(2024•山东德州.一模)在平面直角坐标系中，M(—2,1),N(3,4),点P(a,0)是x轴上的动点.当PM+PN

取得最小值时，a=.

43.(2024・广西河池・二模)如图，直线y=2x+1与无轴交于点4与y轴交于点8,将直线4B绕点8顺时

44.(2023•江苏泰州•二模)如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点4C分别是直线y=—gx+4与坐标

轴的交点，点B(-2,0),点。是边4C上的一点，DE1BC,垂足为E,点F在4B边上，且。、F两点关于y轴

上某点成中心对称，连接EF.线段EF长度的最小值为.

45.(2023•江苏盐城•三模)如图，菱形48CD的顶点4(1,0)、B(7,0)在x轴上，Z.DAB=60°,点E在边BC上

且横坐标为8,点尸为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,-1遍).当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，

>题型11新考法：新情景问题

46.（2024•内蒙古•中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家生

产大小两种型号的“龙辰辰，，，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰

辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为元.某网店在该

厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙

辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，

则该网店所获最大利润为元.

47.（2024•山东日照•中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加

良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍.

【素材呈现】

素材一：有4B两种书架可供选择，A种书架的单价比8种书架单价高20%；

素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买2种书架的数量多6个；

素材三：A种书架数量不少于8种书架数量的|.

【问题解决】

（1）问题一：求出4B两种书架的单价；

（2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求卬与。的函数关系式，并求出费用最少时的购买

方案；

（3）问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价机元，8种书架每个涨价1加元，按问题

二的购买方案需花费21120元，求机的值.

48.（2024.黑龙江大庆•中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.某

村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1W久W30且%为整数）的售价为y（元/千

克）.当1W久W20时，y=kx+b；当20<xW30时，y=15.销量z（千克）与x的函数关系式为z=x+10,

已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）.

（l）fc=_,b=；

（2）写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式；

（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？

49.（2024・四川南充・中考真题）2024年“五一”假期期间，闿中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类

特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A

类特产和5件2类特产需540元.

（1）求A类特产和8类特产每件的售价各是多少元？

(2)4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件

(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与尤的函数关系式，并写

出自变量尤的取值范围.

(3)在(2)的条件下，由于3类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两

类特产的总利润为w元，求卬与尤的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大

利润是多少元？(利润=售价一进价)

50.(2024•山西•模拟预测)2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号

任务取得圆满成功.某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型.已知

每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的

数量比“神舟”模型多2个.

(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？

(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，

每个“天宫”模型的售价为28元.设购进“神舟”模型。个，销售这批模型的利润为w元.若购进“神舟”模型

的数量不超过“天宫”模型数量的%则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利

润是多少？

＞题型12新考法：与现实有关的热考问题

51.(2024・陕西・中考真题)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽

车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80kw-h,行驶了240km后,

从2市一高速公路出口驶出，己知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kw-h)与行驶路程x(km)之

(2)已知这辆车的“满电量”为100kW•h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占

“满电量''的百分之多少.

52.(2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以。米/秒的速

度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人

机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机

按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为/秒的联合表演，表演完成后以相同的速

度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的

函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题：

(l)a=米/秒，t=秒；

(2)求线段MN所在直线的函数解析式；

(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)

53.(2024•黑龙江绥化•中考真题)为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购

买2、B两种电动车.若购买4种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买4种电动车60

辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变.

(1)求4、8两种电动车的单价分别是多少元？

(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买2、B两种电动车200辆，其中4种电动车的数量不多于

B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？

(3)该公司将购买的48两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间比min之间的对

应关系如图.其中4种电动车支付费用对应的函数为月；B种电动车支付费用是lOmin之内，起步价6元，对

应的函数为内.请根据函数图象信息解决下列问题.

①小刘每天早上需要骑行4种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为

300m/min(每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计)，小刘家到公司的距离为8km,那么小刘选

择种电动车更省钱(填写a或B).

②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值_____.

54.（2024•河南•中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植

树活动，并准备了A,2两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g,营养成分表如下.

国）营养成分表

小，营养成分表

项目