因式分解（含解析）-2025年中考数学一轮复习专项训练

因式分解一轮复习专项训练-2025年中考数学

一、单选题

1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A.a^x-y)=ax-ayB.x2+2x+l=x(x+2)+l

C.(x+l)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+l)(x-l)

2.下列各式中，分解因式正确的是（

A.=〃2一炉B.m3-m2+m=m(m2-m)

D.x2+2x-3=x(x+2)-3

3.下列多项式能用完全平方公式分解的是（）

A.a2-abT—Z?2B.(龙一封(丁一尤)_4

4

1

C.9Q—2aH—D.+2a—1

4

4.已知a、b、c是VABC的三边，且满足/一从+收一6c=0,则VABC的形状是（）.

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.关于x的代数式2d+„u-15分解因式得（x-3）（nx+5）,则心的值为（）

A.1B.0.5C.-1D.-2

6.把多项式4〃—1分解因式，结果正确的是（）

A.(2〃+lfB.(2a-IpC.(4a+l)(4a—1)D.(2a+1)(2〃-1)

7.在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题:

因式分解：（炉+2x—3）（Y+2%+5）+16.

解：^x2+2x=y,

原式="3)(y+5)+16

=/+2y—15+16

=y2+2y+l

=(炉+2%+1)2

=[(x+l)2]2

=（尤+1）4.

例题中体现的主要思想方法是（）

A.函数思想B.整体思想

C.分类讨论思想D.数形结合思想

8.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：

a-b,x-y,x+y,a+b,%2-y~,/一片分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美.现将

（彳2_y”2_（*2一产）炉因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱美B.中华美C.爱我中华D.美我中华

二、填空题

9.在实数范围内因式分解：3X2-1=

10.若rm=2,m—n=l,则代数式相，-根/的值是.

11.若多项式*2+〃a+4在整数范围内可分解因式，则机的值是.

12.已知实数〃、b、x、y满足公—》y=3,ay+bx=^,贝!!（"十⑹任十力的值为_.

13.如果多项式的一个因式是-gab,那么另一个因式是.

14.若2是方程组：的解，则/一/的值是__.

[y=-l\bx+ay=3

15.如果一个四位自然数N各个数位的数字都不为0,把它前两位数字组成的两位数记为x,后两位

数字组成的两位数记为y,规定/（"）=詈工G（N）=2x-y,当/（N）为整数时，称这个四位数

为“齐心数贝!]b（1421）+G（1421）=.若“齐心数"S=1020a+1006+c+6,（lWaV4,

04c<3,a,b,c为整数），且G（S）除以7余数为1,则S最大值为.

三、解答题

16.将下列式子分解因式:

（l）x3—x

(2)3Q2—6ab+3Z?2

17.请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题:

(T)a?+5〃+4=++4)；

②/—10〃+21=(a-3)(〃-7)；

(3)/+4a-12=(〃+6)(a-2)；

④片一7〃-18=("-9)(〃+2).

(1)请用一个式子表示你观察到的规律：f.

⑵请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式：

①%2+2%-3;

②/-xy-i2y2.

18.一个正整数p能写成〃=(加+〃)(根-孔)(m、〃均为正整数，且相W"),则称p为“平方差数”,

机、〃为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若加+1最大，则称机、〃为p的最佳平

方差变形，止匕时方(2)=祇2+》.例如：24=(7+5)(7-5)=(5+1)(5-1),因为7?+5?>5?+心，所以

7和5是24的最佳平方差变形，所以尸(24)=74.

⑴尸(32)=_；

(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为羽y(l<x<y<7)f9为“平方差数”且％+V能被7

整除，求隙(q)的最小值.

19.某数学兴趣小组将如下一些关于。的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数,

且与多项式的系数之间存在着某种联系：

々2—a=—1)

a2+a=a(a+l)

a?+3cl+2=(a+1)(a+2)

a2+5a+6=(a+2)(a+3)

我们定义具有这种规律的多项式为“关于〃的连续式”.观察上述规律，思考以下问题：

⑴请根据上述规律，再写一个“关于。的连续式”，并写出其因式分解的形式：=;

(2)已知左为整数，多项式4+(%+1)。-^左-9能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出片的值，并

将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由.

20.阅读理解:

定义：若分式A和分式B满足A-B=〃（〃为正整数），则称A是B的“〃差分式”.

3尤33

例如:芸―'=3,我们称里二的“3差分式”,

x—1x—1x-l

解答下列问题:

1x

（1）分式■—是分式*的、差分式”.

1-x1-x

（2）分式Ac是分式8=2#x的“2差分式”.

9-x3-x

①C=_（含X的代数式表示）；

②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值.

⑶已知所1,分式十是-号的“4差分式”（其中X，，为正数），求一的值.

参考答案:

题号12345678

答案DCACBDBC

1.D

【分析】本题考查因式分解的定义.因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各

项进行判断即可.

【详解】解：A.是单项式乘多项式的运算，不符合题意；

B.右边结果不是积的形式，不符合题意；

C.是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意；

Dj3—x=x(x+l)(x—1)属于因式分解，符合题意.

故选：D.

2.C

【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的概念和方法，逐一进行判断即可.

【详解】解：A选项是多项式的乘法，不是因式分解，错误；

B选项分解时，漏项，应为m3-*+m错误；

C选项分解正确；

D选项的结果没有化成整式乘积的形式，也不是因式分解，错误.

故选C.

3.A

【分析】此题主要考查了公式法分解因式，注意。2±2乃+廿=(a.根据完全平方公式的结构特

点即可得出答案.

22

【详解】解：A、a-ab+^b=^a-^,故此选项符合题意；

B、(x-y)(y-x)-4=-(x-y)2-4=-[(x-y)2+4],无法分解因式，故此选项不合题意；

C、该多项式不是完全平方公式的结构，无法分解因式，故此选项不合题意；

D、第三项不是正数，无法分解因式，故此选项不合题意；

故选：A.

4.C

【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定.利用因式分解将已知等式变形为

(a-b)(a+b+c)=Of即可得到〃=b,由此判断三角形的形状.

【详解】角麻,**a2—b2+ac—bc=Oj

由平方差公式得：(。+))(。—9+c(。—6)=0,

(a—/?)(〃+/?+c)=0,

・・・〃、b、c三边是三角形的边，

a+b+cw0,

a-b=O,即a=b,

・•・VABC一定是等腰三角形，

故选：C.

5.B

【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数嘉，根据题意可得

2x2+mx-15=(x-3)(nx+5),再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到

m=-(3n-5),n=2,据此求出小、〃的值即可得到答案.

【详解】解：,・,关于元的代数式2一十蛆—15分解因式得(%-3)(%+5),

/.2x2+mx-15=(x—3)(nx+5),

2x2+mx-15=nx2—3nx+5%—15,

2x2+mx-15=wc2—(3n—5)x—15,

/.m=—(3n—5),n=2,

m=—l,

・・・心=2-1=0.5,

故选：B.

6.D

【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可.

【详解】解：4<72-1=(2a)2-12=(2a+1)(2a-1).

故选：D.

7.B

【分析】本题主要考查了分解因式，对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可.

【详解】解：根据分解因式的过程可知，把f+2x看做一个整体，通过多项式乘以多项式的计算法

则先去括号，然后合并同类项后利用完全平方公式分解因式，体现的主要思想方法是整体思想，

故选：B.

8.C

【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式(V-y2)分解因式，再利用平方差分解因式得到最

多因式分解的结果，再根据每个因式对应的字即可得到答案.

【详解】解：(x2-y2)a2-(x2-/)62

=(比_力侬_从)

=(尤+y)(x-y)(a+6)(a-6),

结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的，

•••四个选项中只有C选项符合题意，

故选：C.

9.+

【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把原式化为(后丁-F,再分解因式即可.

【详解】解：3/一1=(&『一仔=(4+1)(瓜一1)；

故答案为：(括x+l)(石彳-1)

10.2

【分析】本题考查代数式求值.先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值.

【详解】解：：〃?”=2,m-n=l,

nrn-mn2=m«(m-n)=2xl=2,

故答案为：2.

11.4,5,—5,—4

【分析】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键.

根据十字相乘法的分解方法和特点可知：加的值应该是4的两个因数的和，从而得出m的值即可.

【详解】解：•••4=2X2=1X4=(-1)X(T)=(-2)X(—2),

...根的值可能为：2+2=4,1+4=5,-1-4=-5,-2-2=-4,

故机的值可能为：4,5,-5,-4.

故答案为：4,5,-5,-4.

12.73

【分析】本题主要考查了完全平方式，因式分解的应用，将依-⑺=3,殴+及=8这两式两边平方

后相加，最经过提取公因式，左边可得（"+片）（炉+y），至此问题解决.

【详解】解：由题意得，ax-by=3,①

ay+bx=8,②

①式两边同平方得：a2x2+b2y2-labxy=9,③

②式两边同平方得：a2y2+b2x2+labxy=64,④

③+④得。与2+/72y2+〃2y2+〃/=73,

a2(x2+y2^+b2(x2+y2)=73,

(a2+fe2)(x2+y2)=73,

故答案为：73.

13.c-b+5ac

【分析】本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式.该多项式提

取-：必，即可求解.

【详角星】解：—abc+ab2—c^bc

=-^ab^c—b+5ac),

/.--abc+^ab2-a2be一个因式是一(ab,另一个因式是c-b+5ac,

故答案为：c-b+5ac.

14.9

x=2ax+by=6

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把"弋入方程组,。得关于a，b的方

"Tbx+ay=3

程组,利用加减消元法求出a+b和4-6的值,再把所求代数式分解成（。+切3-»,再代入计算即可.

x=2ax+by=672a-b=6①

【详解】把"弋入方程组Zzx+ay=3倚'

"T2b-a=3②'

①+②得：a+b=9,

①一②得：a-b=l,

:.a2-b2

=(a+b)(a—b)

=9x1

=9

故答案为：9.

15.14188

【分析】本题考查因式分解的应用，能够理解新定义内容，再根据数的特点分类讨论是解题的关键.根

据定义分别求出尸(1421)=8,G(1421)=7,再代入求解即可；根据所给的条件结合定义可得

F(s)=50a+b+2c+\2G(S)=2b-c-6,由题意可得2b—C能被7整除，贝脑=1,c=2或b=4,c=l

或b=5,c=3,再分情况讨论即可.

14-1-?x

【详解】解：4421)—十;4=8,0(1421)=2x14-21=7,

/.尸(1421)—G(1421)=8-7=1；

S=1020a+100Z?+c+6,l<a<4,1</?<6,0<c<3,

:.x=10a+b,y=20〃+c+6,

10。+Z?+2(20。+c+6)_50。+Z?+2c+12

〃(3)=~~

77

G(S)=2(10+b)—(20Q+C+6)=4—c—6,

G(S)除以7余数为1,

.•.2〃一c—7能被7整除，

了.沙—c能被7整除，

\<b<6,0<c<3,

:.-2<2b-c<12,

.,.2b-c=0或2b—c=7,

「2=1,c=2或0=4,c=l或Z?=5,c=3,

当b=l,c=2时，尸(S)=5.17,

当a=4时，P(S)是整数，符合题意；

.'.5=4188；

当6=4,c=l时，F(S)=50；18,

当。=3时，/(S)是整数，符合题意；

.'.5=3467；

50a23

当6=5,c=3时，F(s)=+,

l<a<4,

，尸(S)不是整数，

此时不符合题意；

综上所述：S为4188或3467,贝收的最大值为4188,

故答案为:1,4188.

16.(l)x(x+l)(x-l)

⑵3(°-6)2

【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键.

(1)先提取公因式X,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先提取公因数3,进而利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】(1)解：V-x

=尤(尤2-1)

=x(x+l)(x-l);

(2)解：3cr-6ab+3b1

=3(/-2ab+b]

=3(o-6)~.

17.(l)(x+a)(.x+&)

(2)@(x+3)(x-l)；②(x+3y)(x-4y)

【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关

键.

(1)通过观察分析总结出规律％2+(a+b)x+而=(x+a)(x+b)即可；

(2)利用(1)总结的规律求解即可.

【详解】(1)解：X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

答案为：(x+a)(x+b).

(2)解：①无2+2无一3

=X2+(3-1)X+3X(-1)

=(x+3)(x-l)；

②九2—xy—l2y2

=d+(3y-4y)尤+(3y)-(Ty)

=(x+3y)(x-4y).

18.(1)130

(2)34

【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题

的前提.

（1）32=（9+7）（9-7）=（6+2）（6-2）,根据尸⑷的定义即可得到答案；

（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据尸（4）的定义即可得到答案.

【详解】（1）32=（9+7）（9-7）=（6+2）（6-2）.

1/92+72>62+2\

F(32)=92+72=130,

故答案为：130.

（2）能被7整除，

.・.兀+y=7或x+y=14,

x=l、x=2x=3x=7

y=6或口或y=4或

y=7

当x=l,y=6时，^=16=(54-3)(5-32,F(^)=52+32=34；

当x=2,y=5时，q=25=(13+12)(13—12),F(^-)=132+122=313；

当x=3,y=4时，q=34,此时q不是平方差数，不符合题意；

当x=7,y=7时，4=77=(39+38)(39—38)=(9+2)(9—2),

392+382>92+22,

・・・/⑷=39?+38?=2965.

・・・34<313<2965,

/的最小值为34.

19.⑴/+74+12,(a+3)(a+4)

(2)能，k——6,a?—5〃+6=(a—2)(a—3)

【分析】本题考查因式分解:

(1)参照题干写出一个“关于。的连续式”即可;

(2)设储+(k+I)a—^k—9=(6z+m)(«+m+l),得至！Ja2+(k+I)a——k—9=d！2+(2m+l)«+m(m+l),

k+l=2m+1

进而得到57c(进行求解即可.

【详解】(1)解：(a+3)(a+4)=/+7。+12,

丁・/+7a+12=(a+3)(a+4),

故答案为：/+7Q+12,(a+3)(a+4)；

(2)能,

由^^意，I?+(k+Y)CI—5左一9=(Q+771)(Q+根+1),

则："2+(k+l)a——k—9—Q?+(2根+1)々+根(771+1),

k+l=2m+1