用锐角三角函数解决实际问题压轴训练（解析版）-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

用锐角三角函数解决实际问题6类压轴训练

01思维导图

目录

压轴题型一解直角三角形应用仰角俯角问题......................................................1

压轴题型二解直角三角形应用方位角问题.......................................................9

压轴题型三解直角三角形应用坡度坡比问题....................................................15

压轴题型四解直角三角形应用与三角形的综合..................................................22

压轴题型五解直角三角形应用与四边形的综合..................................................27

压轴题型六解直角三角形应用与其他图形的综合................................................34

02压轴题型

压轴题型一解直角三角形应用仰角俯角问题

例题：（24-25九年级上•山东聊城•期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图

与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶2的仰角为54.5。，沿斜坡走13米到达斜坡

。处，测得塔顶8的仰角为26.7。，且斜坡CD的坡度i=1:2.4,其中点/,C,G,尸在同一条水平直线

上.求：

B

EDX26.T/

FGCA

(1)点。到地面/C的距离；

(2)塔48的高.(精确到0.1米)(参考数据：tan54.5°»1.40,sin54.5°«0.81,cos54.5°«0.58,

tan26.7°®0.50,sin26.7°®0.45,cos26.7°®0.89)

【答案】(1)5米

(2)17.1米

【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、坡度坡比问题（解直角三角形的应

用）

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理.

（1）根据坡度和CD的长进行求解即可；

（2）过点。作垂足为“，设/C=机米，则/G=（%+12）米，在RtZk/8C中，

/B=/C・tan54.5°修1.4m米,在RtZkBDH中,32/=•tan26.7。0.5（机+12）米，根据+=建

立方程求解，得到”的值，即可解答.

【详解】（1）解：••・斜坡CO的坡度i=l:2.4,设。G=x,CG=2.4x,

.-.x2+（2.4x）2=132,

解得x—5,

答：点。到地面/C的距离为5米；

（2）解：如图，过点。作垂足为",

EDX26.T

FGCA

由题意得：0G=/〃=5米，DH=AG,DGLAF,

•.•斜坡CD的坡度，=1:2.4,OG=5米，

设AC=加米，

：.AG=DH=CG+AC=[m+\i)^z,

在RtzX/BC中，ABCA=54.5°,

AB=/C■tan54.5。®IAm米，

在中，ZBDH=26.7°,

BH=DHXan26.1°a0,5(m+12)米,

•••BH+AH=AB,

0,5(»?+12)+5=1.4m,

解得：m=—

.•.48=1.4"伊17.1米，

；・塔高48约为17.1米.

1.（24-25九年级上•山东淄博・期中）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所

示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为a,无人机沿水平线Z尸方向继续飞

行50米至8处，测得正前方河流右岸。处的俯角为30。.线段NM的长为无人机距地面的铅直高度，点

M、C、。在同一条直线上.其中tana=2,儿/C=50百米.

（1）求无人机的飞行高度（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CD.（结果保留根号）

【答案】⑴100G米

（2）（350-506）米

【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）

【分析】（1）由题意得，AF//DM,AMYDM,即得N/CM=NC4F=a,//MC=90。，再解直角

即可求解；

（2）如图，过点B作877_1。河于贝1」3〃=/川=100』米，MH=4B=50米,ZBHD=90°,解直角

△BHD可得DH=BH=300,即得M3=M/+D"=350,进而根据CO=MD-MC即可求解；

tan30

本题考查了解直角三角形的应用日仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意得，AF//DM,AMLDM,

/.ZACM=ZCAF=a,ZAMC=90°,

AM…3

---=tan/ACM=tana=2,

MC

•••/M=2MC=100/米；

(2)解：如图，过点B作a于4,则8，=/河=100g米，MH=AB=50^,ZBHD=90°,

DH

DH=，=卑=300

tan30°y/3米,

3

:.MD=MH+DH=50+300=350^:,

CD=A®-MC=（350-50百）米

2.（24-25九年级上•上海闵行•阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示.嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角

4408=150。时，顶部边缘A处离桌面的高度NC的长为15cm,此时舒适度不太理想.嘉嘉调整书架与桌

面的夹角大小继续探究，最后发现当张角44'。3=120。时（点4是A的对应点），舒适度较为理想.

（图1）（图2）

（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到4走过的路径长.

（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点尸，旋转点。到点尸的距离为20cm,嘉嘉

看点下的俯角为18。，眼睛到桌面高度为胡，点。到点8的距离为25cm,求此时眼睛到尸点的距离，即所

的长度.（结果精确到1cm；参考数据：sinl8°®0.31,cosl8°»0.95,tanl8°«0.32）

【答案】（1）5万cm

⑵斯*37cm

【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）

【分析】（1）利用平角定义先求出乙4。。=30。，然后在RMZC。中，利用锐角三角函数的定义求出/。的

长，从而求出0。的长，进而利用弧长公式求解即可.

（2）过点尸作万FNLBE于点、M、N,则四边形M3NF是矩形，ZFNE=90°,在Rt^REN中,

解直角三角形即可得解.

【详解】（1）解：•.•408=150。，

ZAOC=180°一"03=30°,

在RM/C。中，AC=15cm,

AO=2AC=30cm,

由题意得：AO=A'O=30cm,

■:ZA'OB=120°,

ZA'OA=1500-ZA'OB=30°,

20X77"X40

・•・边缘A点到A'走过的路径长工：=5万cm.

180

（2）解：过点尸作FN1BE于点、M、N,则四边形"8NF是矩形，NFNE=/FMO=90°,

VOF=20cm,/尸（W=l80。—120。=60。,

OM=—OF=10cm,

2

：.FN=BM=OM+OB=35cm,

・•,向下看的俯角为18°,

：./EFN=18。，

【点睛】本题主要考查了解直角三角形、30度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌

握解直角三角形、30度直角三角形的性质是解题的关键.

3.（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像

前，自C处测得雕像顶Z的仰角为53。，小强站凤栖堂门前的台阶上，自。处测得雕像顶4的仰角为45。,

此时，两人的水平距离石。为0.45m,已知凤栖堂门前台阶斜坡CO的坡比为2=1:3.（参考数据：

434

sin53°«—,cos53°«-,tan53°«—）

553

(1)计算台阶DE的图度；

(2)求孔子雕像42的高度.

【答案】⑴0.15m

(2)2.4m

【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角，解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角

俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

(1)根据凤栖堂门前台阶斜坡8的坡比为，=1：3计算即可；

(2)设48的对边为肱V,作。RLACV于尸，根据矩形的性质得到尸N=DE=0.15m,。尸=NE,根据等

腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案.

【详解】(1)解：••,凤栖堂门前台阶斜坡8的坡比为i=l：3,EC为0.45m,

DE\

——，

EC3

EC

DE=----=0.15m,

3

即台阶的高度为0.15m：

(2)解：如图所示，设4B的对边为肱V,作。尸_LM?V于尸，

凤

栖

堂

孔

子

雕

像

尸..一»如

________53叭^n

BNCE

••・由题意得，四边形NFDE是矩形,

FN=DE=0.15m,DF=NE,

设=,则A/F=(%一0.15)m,

在RMMFD中，/MDF=45。，

.,ro=A^=(x-0.15)m,

.­.2VC=2VE-EC=(x-0.15)-0.45=(x-0.6)m,

…MN44

tan53=-----«—即小

NC33

解得尤=2.4,

经检验，x=2.4是原方程的解，

答:孔子雕像的高度约2.4m.

4.（23-24九年级下•江西宜春•期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1

所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座。。建在山坡。下上（坡比i=3:4,垂直于水平地

面E尸，O,D,E三点共线），坡面。尸长10m,三个相同长度的风轮叶片CM,OB,OC可绕点。转动,

每两个叶片之间的夹角为120。；当叶片静止，04与。。重合时，在坡底尸处向前走25米至点”处，测得

点。处的仰角为53。，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30。（点E,F,M,N在同一水

平线上）.

⑴求叶片04的长；

⑵在图2状态下，当叶片绕点。顺时针转动90。时（如图3）,求叶片OC顶端C离水平地面E厂的距离.（参

434

考数据：sin530»-,cos53。。），tan53。。］,$1.7,结果保留整数）

【答案】⑴12m

（2）叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34nl

【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、

坡度坡比问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数解直角

三角形是解题的关键.

(1)利用坡比，=3:4可求出DE、E尸的长，在RtAOME或中，利用NOME和/N的正切值分别

求出OE、/E的长即可得答案；

(2)过点C作CHLOE于点CG1NE于G,可得四边形HEGC是矩形，根据旋转的性质得出

NCOH=3Q°,利用NCOH的余弦值可求出OH的长，进而可得答案.

【详解】(1)解：垂直于水平地面E尸，

：.ZE=90°,

,:坡比，=3:4,

DE

EF4

设DE=3xm,则EF=4xm,

•・•坡面。厂长10m,

・•・(3x)2+(4x)2=1()2,

解得：x=2,(负值舍去)

:.DE=6m,EF=8m,

•/MF=25m,

：.ME=MF+EF=33m,

由题意得：/OME=53。,

4

.•・O£=ME-tan530p33x—=44m,

3

•••MV=23.5m,

：.NE=ME+MN=56.5m.

由题意得：NN=30。，

h

•••AE=NE•tan30°=56.5x——«32m，

3

OA=OE-AE=44-32=12m.

(2)如图，过点C作。于点CG工NE于G,

/CHE=ZHEG=ZCGE=ZCHO=90°,

・•・四边形HEGC是矩形，

・•.EH=CG,

•・・叶片绕点。顺时针转动90。,

.・.ZAOE=90°,

vZAOC=120°f

・•.ZCOH=30°,

由题意得：0c=04=12m,

■OH=OCcosZCOH=12x—=6厨，

2

■-CG=HE=OE-OH=44-6y/3-34m.

叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m.

压轴题型二解直角三角形应用方位角问题

例题：（2024•湖北武汉•模拟预测）某市要在东西方向M,N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180m

范围内为文物保护区，在龙亚上点/处测得C在/的北偏东60。方向上，从/向东走500m到达2处，测得

C在8的北偏西45。方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？

【答案】不能.理由见解析

【知识点】方位角问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作CO1/8于点。，求出C到4B的距离为并与180m

比较即可得出结论.

【详解】解：不能.理由如下:

由题意可得/C48=30。，ZCBA=45°,AB=500,

设C到48的距离为,如图，过点C作C£>_L48于点D,

M

则CD=/z,

CDh

贝有tan30°=,tan45°=

ADAD茄访

AD=yl3h,BD=h,

■-AD+BD=AB=500,

•••扬+〃=500,

解得力=250（百-1卜183（m）,

■,-A>180,

・••MN不穿过文物保护区.

巩固训练

1.（24-25九年级上•重庆九龙坡•开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发,

小明沿正东方向步行60米到一处小山5处，再沿着3C前往寺庙C处，在5处测得亭台。在北偏东15。方向

上，而寺庙C在8的北偏东30。方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台。处，再步行至正

东方向的寺庙C处.

（1）求小山8与亭台。之间的距离；（结果保留根号）

（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙。处.（结果精确到个位，参考数据：V2x1.41,g21.73,V6®2.45）

【答案】(1)小山8与亭台。之间的距离60亚米

(2)小玲先到达寺庙C处

【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键.

(1)作BE，/。于点E,在中求出3£=4£=30也，然后在RtaBDE中即可求解;

(2)延长4B,作_LA4于点尸，作CGJ_H4于点G,则NC8G=60。，在中求出

。歹=/尸=30+30月，CG=。尸=30+30百米，在RMBCG中求出3G=106+30,8C=206+60,进

而求出两人行走的路程可得答案.

【详解】(1)作于点E,

由题意知，AB=60,ZA=45°,乙4区0=90°+15°=105°,/CB/=90°+30°=120°,

ZADB=180°-105°-45°=30°

在RtZ\/5E中，BE=AE=-j==30V2

在Rt△区DE中,ED=6BE=3076，BD=2BE=6072，

.•.小山B与亭台。之间的距离60A/2米

卜30VI

(2)延长4B,作。尸，A4于点尸，作CGL氏4于点G,则/CBG=180。-/C84=60。，

由题意知，CD//AB,

••・四边形CDFG是矩形,

,-.CG=DF,CD=FG.

•••AE=30V2-ED=3。底,

■■AD=3042+3046,

ADr~

在中，DF=AF=近=30+30yl3,CG=Z）尸=30+304米,

CG

在Rtz^CG中，BG=-^=\QQ+3Q,BC=2BG=204+60

：.CD=FG=AB+BG-AF=6。-2。6

;.S玲=40+。=30&+30«+60-20月。141.2米,

S明=/8+8C=60+60+20®154.6米，

•■•141.2<154.6且两人速度一致，

丁小玲先到.

答：小玲先到达寺庙C处.

2.(23-24九年级上•重庆荣昌•期末)今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心/的

正北方向的8处，其中〃?=2km,明明位于游客中心/的西北方向的。处.烈日当空，妈妈准备把包里的

太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60。方向缓慢前进.15分钟

后，他们再游客中心/的北偏西37。方向的点。处相遇.

(1)求妈妈步行的速度；

⑵求明明从C处到。处的距离.

【答案】⑴妈妈步行的速度为6km/h

(2)明明从C处到。处的距离约为1±^目km

2

【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形,

掌握方向角定义.

(1)根据正切函数求出3。的长，即路程，则速度=路程+时间，代入计算即可；

(2)过点C作交延长线于点E,设/E=CE=akm,过点。作于点尸，得矩形

BEFD,可得跖=D8=1.5(km),表示出。尸，CF,进而得出结论.

【详解】(1)解：根据题意可知：43=2km,4840=37。，

BD=/Atan37°~2x0.75=1.5(km),

.,.1.5+篇=6(km/h),

答：妈妈步行的速度为6km/h；

(2)解：如图，过点C作交延长线于点E,

ZCAE=45°,ZAEC=90°,

.•.△/EC是等腰直角三角形,

AE=CE,

设Z£=CE=〃km,

过点。作。尸，CE于点尸，得矩形8成办,

EF=DB=1.5(km),DF=BE=AE-AB=(a-2)km,

.­.CF=CE-EF=(a-l.5)km,

在RtZ\CZ)尸中，tanZDCF=——，

CF

：.tan30°=―—―,

ct—1.5

h

**,-(Q—1.5)=Q-2,

9+V3

••a=--------,

4

2=叱^,

4

1/i

■■CD=2DF=(km),

答：明明从。处到。处的距离约为叱3km.

2

3.(2024•湖南长沙•模拟预测)蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离

几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置/点的北偏西66。方向距”

点60cm的3点有一只正在觅食的蚂蚁(如图)，N点北偏东45。方向距/点20百cm的C点有一块糖，蚂蚁

正沿正东方向朝着C点处的糖前进.

(1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离；

(2)若在/点北偏东75。方向距/点40cm的。点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离.(结

果取整数，参数数据：sin45°®0.707,cos45°®0.707,sin66°»0.914,cos66°«0.407,tan66°a2.246,

GaL732)

【答案】(1)3点与糖所在位置C点之间的距离为79cm

⑵蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为20cm

【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角

形利用三角函数进行解题即可.

(1)记正北方向为NE,BC与4E交于点、M,利用正弦求出的长，即可得出结果;

(2)过点C作CNL4D与点N,根据题意可得/C4N=30。，再根据含30。角的直角三角形特征求出NC的

长，再根据勾股定理即可求出结果.

【详解】(1)解：记正北方向为NE,BC与AE交于点、M,

AB=60cm,

BM

sin66°=—»0.914,

AB60

BMn54.84cm,

在RtZXZMC中，ZMAC=45°JAC=2043,

MCMC

...sin45°=«0.707,

AC-2073

MCx0.707x2073«24.49cm,

/.BC=BM+MC=54.48+24.49=79.33«79cm

答：8点与糖所在位置。点之间的距离为79cm；

(2)如图，过点。作CNL4。与点N,

ZMAD=75°,ZMAC=45°f

/CAN=30。，

•/AC=20百cm,

:.CN=-AC=10y/3cmf

2

/.AN=yjAC2-CN2=^(20A/3)2-(1073)2=30cm,

•/AD=40cm,

:.ND=AD-AN=40-30=lQcm,

在RtZ\CDN中，CD=>]CN2+ND2=^(1073)\102=20cm,

答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为20cm.

压轴题型三解直角三角形应用坡度坡比问题

例题：（2024・湖北•模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行

观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高2c=80m,坡面4B的坡度i=107（注：坡度i是指坡面的铅直

高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、尸在同一水平线上，从山顶8处测得河岸E和对岸尸的俯角分

别为408£=45°,NDBF=31°.（参考数据：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°®0.60）

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽所的长度.（结果精确到0.1m）

【答案】（1）山脚A到河岸E的距离为24m

（2）河宽E尸的长度约53.3m

【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、坡度坡比问题（解直角三角形的应用）

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键.

（1）在中，根据的坡度求出/C,在RM5CE中，根据等腰直角三角形的性质可得C£=3C,

由线段的和差即可求得/E;

（2）在RtABCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出E尸的长度.

【详解】（1）解：在RtZ\/3C中，BC=80,

■■■的坡度i=1:0.7,

.BC_1

"就一访‘

,801

"34C"07,

AC=56,

在RM3CE■中，5c=80,ZBEC=ZDBE=45°,

NCBE=90°-ZBEC=90°-45°=45°,

ZBEC=ZCBE,

CE=BC=80,

/E=CE-NC=80-56=24（m）,

答：山脚A到河岸E的距离为24m；

（2）解：在Rt/iBC/中，5。=80,/BFC=/DBF=31。，tanZBFC=——,

CF

QQ

——®0.60,

CF

.-.CF»133.33,

EF=CF-CE=133.33-80=53.33»53.3（m）,

答：河宽”的长度约53.3m.

巩固训练

1.（2024•山西长治•模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无

人机测量边靖楼的高度,测量方案如图：在坡底D处测得塔顶/的仰角为45。,沿坡比为5:12的斜坡CD

前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为60。.

A

（1）求坡顶C到地面的距离；

（2）计算边靖楼的高度.

【答案】（1）坡顶C到地面的距离为10米;

（2）边靖楼的高度为（21+7石）米.

【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、坡度坡比问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相

关计算、根据矩形的性质与判定求线段长

【分析】本题主要考查了解直角三角形应用一坡比，仰角、俯角问题.熟练掌握等腰直角三角形性质，

锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键.

（1）延长交P。于点E,过点C作C尸，于点尸，证明四边形3EFC是矩形，根据坡比设

BE=CF=5X,则DF=12X,在RtAQCF中，由勾股定理求得x=2,即得坡顶C到地面的距离为10米.

（2）设8C=EF=y米，Rt4/BC中，求得/8=也了，得到NE=10+6y,DE=24+y.根据等腰直角

三角形性质得到10+回=24+了，解得片7便+1）,

即得边靖楼42的高度为（21+76）米.

【详解】（1）解：延长交尸。于点E,过点C作C尸，尸。，垂足为点尸，

则/CFE=90°,

VAE±BC,BC\\DE,

・•.AELDE,

/.ABEF=ZCBE=NCFE=90°,

.•・四边形8EFC是矩形，

CF=BE,EF=BC,

CF5

:.设BE=CF=5x,

则。产=12%，

・在RMDC尸中，DC=26米，CF2+DF2=CD2,

.•・（5x）2+（12x）2=262,

解得，x=2（负值舍去），

.•.CF=5x=10,

即坡顶C到地面的距离为10米.

（2）设8C=EF=y米，

•••ZACB=60°,

.•.在RtZUBC中，=8C-tan60°=岛，

由（1）知，EF=1Q,DF=12x=24,

.■.AE=lQ+43y,DE=2^+y.

,在RM4DE中，ZADE=45°,ZAED=90°,

/DAE=90°-ZADE=45°,

AE=DE,

''•10+yf^y=24+y,

解得，y=7（V3+l）,

...48=岛=m7（道+1）=（21+7⑹，

即边靖楼4B的高度为（21+76）米.

2.（2024九年级下•辽宁•专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由

呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示.已知台阶的坡

面DE的坡度i=l:6,坡面DE的长为2.4m.

A

（1）计算坡面DE的铅直局度；

（2）如图3,为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪G8,测得

纪念碑碑身顶端/的仰角是35。，继续向纪念碑前进8.1m到达点K处，此时测得纪念碑顶端45。，求纪念

碑的实际高度4C.（结果精确到0.01,参考数据：sin35°»0.574,cos35°»0.819,tan35°«0.700）

【答案】（1）坡面DE的铅直高度为L2m；

（2）纪念碑的实际高度AC为19.34m.

【知识点】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、坡度坡比问题（解直角三角形的应用）

【分析】此题考查了解直角三角形的应用，

（1）过点。作于点〃，根据坡比设=EH=43xm,由勾股定理得到0炉+跳2=狈2,

则一+（瓜了=2.42,解方程即可求出答案;

(2)设=证明M==由tan35。=■得至lj2二，由=得到

MH0.7

言解得J^18.9,进一步即可求出答案.

【详解】（1）解：如图所示:

CD

7\z=l：V3

FHE

过点。作。旌于点

,DH1

•/I——~r=,

EHV3

，设DH=xm,EH=Gxm，

•・•ZDHE=90°,DE=2Am,

；•DH?+HE?=DE?，

.-.X2+(V3X)2=2.42,

解得：％=±L2,(负值舍去)，

.-.CF=DH=1.2m,

・•・坡面。£的铅直高度为1.2m；

(2)设，〃=ym,

/AMI=90°,NAIM=45°,

.・./MAI=45°,

；•ZMAI=ZAIM,

MI=AM=ym,

vZAHM=35°,ZAMH=90°,

___AM

/.tan35=-----,

MH

・••上*0.700,

MH

0.7

-MH-MI=SA,

上_y=8.1

0.7

y=18.9,

AM=18.9m,

+MF=18.9+1.64=20.54(m),

AC=AF-CF=20.54-1.2=19.34（m）.

••・纪念碑的实际高度NC为19.34m.

3.（22-23九年级上•重庆•阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的N8为从三楼到五楼

的扶梯的侧面示意图.小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37。，此时他的眼睛。与

地面的距离4D=1.7m,之后他沿三楼扶梯到达顶端5后又沿皮（皮〃MV）向正前方走了1.6m,发现日光灯

C刚好在他的正上方.

----------券—天花板

D.J-L

N地面

图⑴图（2）

已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,48长度是13m.(参考数据：sin37°-0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75)

（1）求图中8到三楼地面的高度.

（2）求日光灯C到三楼地面的高度.（结果精确到整数）

【答案】（l）5m

(2)12m

【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题（解直角三角形的应用）、坡度坡比问题（解直角三角形的应

用）

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用一仰角俯角和坡度坡比问题，正确作出辅助线构造直角三角

形是解题的关键.

（1）过点8作于点£,由坡度的定义和勾股定理求解即可；

（2）过点C作于点尸，过点。作“J-C尸于J交班于“，四边形8EFG、四边形4。卬是矩形,

求出4月的长，再由三角函数定义求出C7的长，即可得出结果.

【详解】（1）解：如图，过点2作BELMV于点E,

----------------£—天花板

设AE=xm,

••・AB的坡度为1:2.4,

BE_1

"AE~Z4f

/.BE=—xm,

12

在中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2,即=132,

解得:x=12,

二.BE=5m,

答：3到三楼地面的高度为5m.

(2)如图，过点C作CFLMN于点尸，过点。作尸于J交班于

由题意可知2G=L6m,NCDJ=37。,四边形BE尸G、四边形/。卬是矩形，

EF=BG=\.6m,AD=FJ=

■：4F=/E+E尸=12+1.6=13.6m,

DJ=AF=13.6m,

CJ

在RtACDJ中，tan/CDJ=a0.75,

:.CJ«0J5DJx0.75x13.6=10.2m,

C尸=G/+JF=10.2+1.7=11.9B12m.

答：日光灯C到三楼地面的高度为12m.

压轴题型四解直角三角形应用与三角形的综合

例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝.常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、

悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等.如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形,

如图2所示，已知屋檐胡=6米，屋顶E到支点C的距离EC=5.4米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角

/ECT)-28°.(参考数值：sin28°»0.47,cos28°®0.88,tan28°«0.53)

(1)求房屋内部宽度FG的长;

(2)求点A与屋面FG的距离.

【答案］⑴99米

⑵3.2米

【分析】（1）如图，过£作E/7LCD,交于CO点。，交FG于点H,则£打，尸G,运用三角函数解直角

三角形可得C。。4.752,然后再根据等腰三角形的性质可得CD=2C。土9.5,然后再根据矩形的性质即可解

答；

（2）如图，过N作//，9，交9/于点/.再解直角三角形可得以,£。的长，然后再求得即，最后根

据m=EH-EI,即可解答.

【详解】（1）解：如图，过K作EH_LC。，交于CD点。，交FG于点、H,则硒_LBG,

则在RtZkCEO中，CO=CE-cosNECO=5.4xcos28。x4.752（米），

•••AECA是等腰三角形，

CD=2C。a9.5（米）.

•.•四边形CDG尸是矩形，

...FG=CD=9.5（米）；

（2）解：如图，过N作N/_LE〃，交EH于点、I.

在中，EI=AE-sinAEAI=6xsin28°2.82（米），

在RtAECO中，EO=CE-sinZECO=5Axsin28°«2.538（米），

:.EH=EO+OH=EO+CF=6.038（米），

.•.田=£"-£/=3.218a3.2（米），

即点A到屋面尸G的距离约为3.2米.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角

函数解直角三角形成为解答本题的关键.

巩固训练

1.露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对

称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CO,用绳子拉直CE后系在树干42上的点/处，使得/,C,£在

一条直线上，通过调节点/的高度可控制“天幕”的开合，若CE=CF=3米，。£），斯于点。

（参考数据：sin75。土0.966,cos75。a0.259,tan75°«3.732）

图1图2

⑴天晴时打开“天幕”，若N/CF=150。，求遮阳宽度EG（结果保留一位小数）

（2）下雨时收拢“天幕”，44c尸由150。减小到120。，求点。下降的高度.（结果保留一位小数）

【答案】（1）5.8米

⑵0.7米

【分析】（1）根据三线合一求出N/CO=75。，解直角三角形求出E。，可得E尸；

（2）解直角三角形求出OC,过点、£作E'H1CD交CD于点、再解直角三角形求出CH,根据

=求解即可.

【详解】（1）解：•••CE=CF,且C£>_LE尸，

.•.8平分//3,EF=2EO,

;NACF=150°,

AACO=-ZACF=75°,

2

在RtZ\CE。中，EO=CE-sinZACO,

•；CE=3米，

.•.EO=3x0.966=2.898米，

贝UEF=2EO=5.796®5.8米，

故遮阳宽度E尸为5.8米.

(2)•••在RtZsCEO中，OC=CE-cosNACO,

；.OC=3x0.259=0.777米，

当44CF从150。变为120°,

如图所示：CE旋转到CE，，

贝!ICE'=CE=3,

过点E'作E'HLCD交CD于点H,则=60°,

•.•在RGE'CH中，CE=CE'cos60°,

W=1.5米，

■：OH=CH-OC,

OH=1.5-0.777=0.723a0.7米，

••.O点下降到〃点的距离为0.7米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质.解题的关键在于抽象出直角三角形并正确

的运算.

2.油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的

内涵，决定进行设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结

构(其中也々0.618)：伞柄始终平分/R4C,AB=AC=20cm,当乙B/C=120。时，伞完全打开，

AH

此时25。。=90。・

(1)/54。=,/ADB=；

(2)求线段ND的长；(结果保留整根号)

(3)请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：V3«1.732)

【答案】⑴60°,45°；

(2)(10+10^3jcm

(3)72cm

【分析】(1)根据角平分线的定义可得N3/D=NC/D=；NB/C=60。，再证明泌NCO(SAS),然后

利用全等三角形的性质可得=ZADC=g/BDC=45°,即可解答；

(2)过点8作垂足为E,先在中，利用锐角三角函数的定义求出4E,8E的长，再

在中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答;

(3)利用黄金分割的定义，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：(1)〈AH平分NBAC,ZBAC=nO0,

：.NBAD=ACAD=-ZBAC=60°,

2

,/AB=AC,AD=4D,

；.AABDSUCD(SAS),

...NADB=NADC=-ZBDC=45°,

2

故答案为：60°；45。；

(2)解：(2)过点2作BE_L4D,垂足为K,

在RtAABE中，/BAE=60°,AB=20cm,

/.BE=ABxsin60。=20x曰=104(cm),

AE=ABxcos60°=20x；=10(cm),

在RtABED中，DE=BE=1oV3(cm),

tan45

AD=AE+DE=(\Q+\0V3)cm,

线段AD的长为(10+100)cm；

(3)解：(3)V—®0.618,

AH

.AH-AD

,.------------x0.618,

AH

.4〃二(10—106)

>•---------------------------〜U.01o,

AH

解得：AH=72,

最少需要准备72cm长的伞柄.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数

的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

压轴题型五解直角三角形应用与四边形的综合

例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，己知〃尸G,A,D,H,

G四点在同一直线上，测得/五EC=44=72.9。,/。=1.6m,£尸=6.2m.(结果保留小数点后一位)

(1)求证：四边形DEFG为平行四边形;

(2)求雕塑的高(即点G到N3的距离).

（参考数据：sin72.9°«0.96,cos72.90工0.29,tan72.90名3.25）

【答案】(1)见解析

(2)雕塑的高为7.5%,详见解析

【分析】(1)根据平行四边形的定义可得结论;

(2)过点G作GPVAB于P,计算/G的长，利用乙4的正弦可得结论.

【详解】(1)证明：•・•4B〃CO〃/G,

：.Z-CDG=/-A,

"FEC=△A,

：.AFEC=^CDG,

■■.EF//DG,

-FG//CD,

・•・四边形DEFG为平行四边形;

(2)如图，过点G作G?1/8于尸,

•・•四边形DEFG为平行四边形,

：.DG=EF=6.2,

•・弘。=1.6,

・・・4G=OG+"=6.2+1.6=7.8,

*».PG

在Rt/^APG中，sinA=——,

AG

PG

*'•----=0.96,

7.8

.•.PG=7.8xO.96=7.488-7.5.

答：雕塑的高为7.5办

图2

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题.

巩固训练

1.（24-25九年级上•河北衡水•期中）某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形N8C。

为矩形，48长3米，ND长1米，点。距地面为0.2米.道闸打开的过程中，边ND固定，连杆,CD

分别绕点N,D转动,且边3c始终与边4。平行.

（1）如图2,当道闸打开至ZADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米,求点尸到MN的距离PF

的长.

（2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至//DC=35。时，轿车能否驶入小区？请说

明理由.（参考数据：sin35°»0.5736,cos35°~0.8192,tan35°®0.7002）

【答案】（1）2米

（2）能，理由见解析

【知识点】根据矩形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）

【分析】（1）在Rt△尸。。中，由/尸。。=45。，DQ=PQ=l,进而求出EP即可；

（2）当N/OC=36。，尸E=1.6米时，求出尸尸，与1.8米比较即可得出答案.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

【详解】（1）解：如图，过点。作。。，尸E,垂足为。，

由题意可知，ZADC=45°,PE=1.2米，。£=0.2米，

在中，ZPDQ=45°,20=1.2-0.2=1（米），

:.DQ=PQ=1（米），

:.PF=AB-DQ=3-1=2（米），

即点P到MN的距离PF的长为2米；

（2）解：依题意，

当/4DC=35。,PE=L6米时，且4。〃尸。，

则/DP0=35。，

•・•点。距地面为0.2米

PQ=1.6—0.2=1.4（米），

。。=P。•tan35°«1.4x0.7002=0.9803（米），

二.尸尸=3-0.9803a2.02（米），

•••2.02>1,8,

•••能通过