2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质

第17页（共17页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质一．选择题（共5小题）1．（2024秋•恩平市期末）抛物线y＝（x﹣2）2+2与y轴的交点坐标是（）A．（2，2） B．（0，6） C．（0，2） D．（0，4）2．（2025•南山区校级一模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣53．（2024秋•曲阜市期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）4．（2024秋•三河市期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5 B．﹣5或58 C．5或-58 D．﹣5．（2024秋•烟台期末）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2二．填空题（共5小题）6．（2024秋•祁东县期末）抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是．7．（2024秋•海门区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤a时，函数值y的最大值为﹣1，则a的值为．8．（2024秋•沙河口区期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1y2．（选填“＞”“＜或“＝”）9．（2024秋•界首市期末）抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线．10．（2024秋•曲阜市期末）将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到对应函数图象的解析式为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（2，c）．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中m﹣1＜x1＜m，m+2＜x2＜m+4，且y1＝y2，求m的取值范围．12．（2025•南山区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣1，0）．（1）则b＝，c＝；（2）该二次函数图象的顶点坐标为；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；（4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是．13．（2024秋•阜阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：x…﹣1012…y…﹣4﹣228…（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．14．（2024秋•合川区期末）如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c和直线y2（1）求m和n的值；（2）求抛物线的对称轴；（3）结合图象直接写出满足y1≥y2的x的取值范围．15．（2024秋•延边州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣10…y…﹣1﹣2﹣12…（1）求该二次函数的解析式．（2）当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2．直接写出n的取值范围．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之二次函数的图象与性质参考答案与试题解析题号12345答案BBDCC一．选择题（共5小题）1．（2024秋•恩平市期末）抛物线y＝（x﹣2）2+2与y轴的交点坐标是（）A．（2，2） B．（0，6） C．（0，2） D．（0，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】根据题意得出x＝0，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0，得y＝（x﹣2）2+2＝（0﹣2）2+2＝6，故与y轴的交点坐标是：（0，6）．故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．2．（2025•南山区校级一模）将抛物线y＝x2﹣2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】B【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解答】解：所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣2+3，即y＝（x+2）2+1，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．3．（2024秋•曲阜市期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】D【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选：D．【点评】本题考查了二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数，a≠0）的性质，熟练掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k的性质是解答本题的关键．y＝a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是直线x＝h．4．（2024秋•三河市期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5 B．﹣5或58 C．5或-58 D．﹣【考点】二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】C【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，解得：m＝5；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，解得：m=-故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2024秋•烟台期末）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】C【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小解题即可．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+k，∴a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝2，∴抛物线开口向下，∵2﹣（﹣3）＝5，2﹣1＝1，4﹣2＝2，5＞2＞1，∴y1＜y3＜y2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是解此题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•祁东县期末）抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是y＝5（x﹣2）2+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】y＝5（x﹣2）2+2．【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【解答】解：抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是y＝5（x﹣4+2）2+3﹣1＝5（x﹣2）2+2，故答案为：y＝5（x﹣2）2+2．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．7．（2024秋•海门区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤a时，函数值y的最大值为﹣1，则a的值为1+3【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】1+3【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将y＝1代入函数解析式求出x的值，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），将y＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得﹣1＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝1-3，x2＝1+∵1-3＜∴当a＝1+3时，y＝﹣1故答案为：1+3【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．8．（2024秋•沙河口区期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1＜y2．（选填“＞”“＜或“＝”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】＜．【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．9．（2024秋•界首市期末）抛物线y＝（x﹣4）（x+3）的对称轴为直线x=12【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】x=1【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可直接写出该抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣4）（x+3）＝x2﹣x﹣12＝（x-12）2﹣12∴该抛物线的对称轴为直线x=1故答案为：x=1【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．10．（2024秋•曲阜市期末）将二次函数y＝x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到对应函数图象的解析式为y＝x2﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】y＝x2﹣1．【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．【解答】解：二次函数ν＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新图象函数的表达式为y＝（x+1﹣1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1，故答案为：y＝x2﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解答的关键，三．解答题（共5小题）11．（2024秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（2，c）．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中m﹣1＜x1＜m，m+2＜x2＜m+4，且y1＝y2，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先确定二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，c），然后利用抛物线的对称性确定对称轴；（2）利用二次函数的对称性即可得到结论．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，c），∵二次函数的图象经过点（2，c），∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＝y2，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于x＝1对称，∵m﹣1＜x1＜m，m+2＜x2＜m+4，∴x1＜1，x2＞1，点A（x1，y1）关于对称轴的对称点为（2﹣x1，y1），∴2﹣m＜2﹣x1＜3﹣m，∵存在y1＝y2，∴2-m≥m+2∴﹣1＜m【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键．12．（2025•南山区校级一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣1，0）．（1）则b＝﹣2，c＝﹣3；（2）该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣4）；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；（4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是﹣4≤y＜0．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）（1，﹣4）；（3）函数图象见解析过程；（4）﹣4≤y＜0．【分析】（1）将点（0，﹣3）和（﹣1，0）代入函数解析式进行计算即可．（2）根据（1）中所求b，c的值，得出函数解析式即可解决问题．（3）根据题意，画出二次函数图象即可．（4）利用数形结合的数学思想即可解决问题．【解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得，c=解得b=故答案为：﹣2，﹣3．（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．（3）二次函数图象如图所示，（4）由函数图象可知，因为﹣1＜x＜2，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝1时，y＝﹣4，所以y的取值范围是：﹣4≤y＜0．故答案为：﹣4≤y＜0．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．13．（2024秋•阜阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：x…﹣1012…y…﹣4﹣228…（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】应用题；二次函数图象及其性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把已知三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．【解答】解：（1）由题意，得a-解这个方程组，得a＝1，b＝3，c＝﹣2，所以，这个二次函数的解析式是y＝x2+3x﹣2；（2）y＝x2+3x﹣2＝（x+32）2顶点坐标为（-32，对称轴是直线x=-【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．14．（2024秋•合川区期末）如图，已知抛物线y1=-x2+bx+c和直线y2（1）求m和n的值；（2）求抛物线的对称轴；（3）结合图象直接写出满足y1≥y2的x的取值范围．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．【答案】（1）m=-52，（2）x=（3）-5【分析】（1）将点A(m，254)和（2）将点A、B的坐标代入二次函数的解析式，由x=（3）根据图象求解即可．【解答】解：（1）根据题意可得：∴-3解得：m=∴m=-52，（2）∵点A(-52，254)和∴-25解得：b=∴抛物线解析式为：y1∵x∴抛物线的对称轴为：直线x=（3）由图象得：当-52≤x≤1时，y【点评】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等，掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键．15．（2024秋•延边州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣10…y…﹣1﹣2﹣12…（1）求该二次函数的解析式．（2）当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2．直接写出n的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取三组对应值代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组，从而得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到y＝（x+2）2﹣2，根据二次函数的性质得到当x＝﹣2时，y有最小值﹣2，所以x＝﹣2在n＜x＜n+2范围内，则n＜﹣2＜n+2，从而得到n的取值范围．【解答】解：（1）把（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣2），（0，2）分别代入y＝ax2+bx+c得9a解得a=1∴抛物线解析式为y＝x2+4x+2；（2）∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x＝﹣2时，y有最小值﹣2，∵当n＜x＜n+2时，y的最小值为﹣2，∴n＜﹣2＜n+2，解得﹣4＜n＜﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．

考点卡片1．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．2．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac3．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|44．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-b2a①抛物线是关于对称轴x=-b2②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x5．二次函数图象与几何变换由于抛