高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2.2 正切函数的图象与性质示范教学设计 新人教B版必修4

高中数学第一章基本初等函数（II）1.3三角函数的图象与性质1.3.2.2正切函数的图象与性质示范教学设计新人教B版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学第一章基本初等函数（II）1.3三角函数的图象与性质1.3.2.2正切函数的图象与性质示范教学设计

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年11月15日星期三上午第二节课

4.教学时数：1课时

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亲爱的同学们，大家好！今天我们要一起探索的是高中数学第一章“基本初等函数（II）”中的“三角函数的图象与性质”，重点聚焦于“正切函数的图象与性质”。这节课，我们将通过实际操作和深入分析，一起揭开正切函数的神秘面纱。准备好了吗？让我们一起走进数学的世界，感受三角函数的魅力吧！🌟📚💡核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算的核心素养。通过学习正切函数的图象与性质，学生将学会从几何直观中抽象出函数模型，运用逻辑推理分析函数的周期性和奇偶性，通过直观想象构建函数图象，并在解决实际问题中运用数学运算的能力。通过这样的学习过程，学生将提升数学思维和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入高一之前，已经接触过基本的三角函数概念，对正弦、余弦函数的图象和性质有一定的了解。他们已经具备了观察函数图象、分析函数性质的基础能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一学生对数学学科普遍抱有浓厚兴趣，尤其对函数这一部分充满好奇心。他们的数学思维能力逐渐增强，能够进行一定的逻辑推理和抽象思考。在学习风格上，部分学生偏好通过图形直观理解概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式和代数方法进行学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习正切函数时，学生可能会遇到以下困难：首先，理解正切函数的周期性和奇偶性可能会比较抽象，需要学生具备较强的逻辑推理能力；其次，正切函数在坐标轴上的间断点可能导致学生难以把握函数的连续性；最后，将正切函数应用于实际问题中，学生可能需要在建模和求解过程中灵活运用所学知识，这可能会是一个挑战。因此，教学过程中需要注重帮助学生克服这些困难，提升他们的数学应用能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《新人教B版必修4》教材，以便课堂使用。

2.辅助材料：准备正切函数图象的动画视频、相关的函数性质图表以及实例分析的PPT，以辅助学生理解。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置互动讨论区域，配备黑板或白板用于绘制函数图象，确保学生能直观看到教学内容。教学流程1.导入新课

-详细内容：同学们，我们上一节课学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质，今天我们将继续探索三角函数的世界，聚焦于正切函数。请大家回忆一下，正弦和余弦函数的特点有哪些？我们是如何通过它们的图象来理解它们的性质的？今天，我们就来揭开正切函数的神秘面纱。首先，我将通过一个简单的实际问题引入今天的主题。

-用时：5分钟

2.新课讲授

-详细内容：

a)正切函数的定义：我会向学生们介绍正切函数的定义，通过实际生活中的例子，如测量角度，来帮助他们理解正切函数的概念。

b)正切函数的图象：接下来，我会展示正切函数的图象，并分析其基本性质，如周期性和奇偶性。我会使用动态图来展示函数图象的变化，让学生直观地看到周期性。

c)正切函数的对称性和间断点：最后，我会讲解正切函数的对称性和间断点，并通过具体的例子来帮助学生理解这些性质。

-用时：15分钟

3.实践活动

-详细内容：

a)绘制正切函数图象：学生们将使用计算器或函数绘图软件来绘制正切函数的图象，观察其周期性和间断点。

b)分析函数性质：学生将被分成小组，分析给定的正切函数的性质，如周期、相位移动和振幅。

c)解决实际问题：学生将尝试解决与正切函数相关的问题，如计算给定角度的正切值，或者根据已知条件确定角度。

-用时：15分钟

4.学生小组讨论

-三方面内容举例回答：

a)学生可能提出如何确定正切函数的周期长度，我可以举例说明如何通过观察图象或使用公式来计算。

b)学生可能会讨论正切函数在哪些点上有间断，我会举例说明间断点的定义，并展示如何在图象上识别。

c)学生可能会遇到如何从图象中确定相位移动的问题，我会通过具体的函数实例来指导他们如何分析。

-用时：10分钟

5.总结回顾

-内容：在课程结束前，我会回顾今天学习的重点内容，包括正切函数的定义、图象、周期性、奇偶性和间断点。我会通过提问的方式来检查学生对这些概念的理解，并给出具体的例子来加深他们的印象。

-用时：5分钟

总计用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-正切函数的应用：介绍正切函数在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用实例，如振动分析、信号处理、几何计算等。

-三角函数的积分：探讨正切函数的积分方法，包括不定积分和定积分的计算，以及积分的应用。

-高阶三角函数：介绍余割函数、正割函数和余正切函数的概念，以及它们与正切函数的关系。

-三角函数在极坐标系中的应用：讲解正切函数在极坐标系中的表示方法，以及如何使用极坐标来分析正切函数的性质。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《高等数学导论》、《数学分析》等书籍，以深入了解三角函数的理论和应用。

-在线学习资源：鼓励学生利用在线平台，如KhanAcademy、Coursera等，观看相关的视频教程和练习题，以增强对正切函数的理解。

-实践项目：建议学生参与一些数学建模或科学实验项目，将正切函数应用于实际问题中，如设计一个简单的振动分析模型。

-小组合作研究：组织学生进行小组合作，共同研究正切函数在特定领域的应用，如电子工程或天文学，并撰写研究报告。

-课外阅读：推荐学生阅读《数学之美》、《数学家的故事》等书籍，以激发对数学的兴趣，并了解数学家们是如何发现和应用三角函数的。

-实验室参观：如果可能，组织学生参观科学实验室或工程中心，让学生亲眼看到正切函数在实际设备中的应用。

-比赛和竞赛：鼓励学生参加数学竞赛或科学展览，以展示他们在正切函数学习上的成果，并与其他学生交流学习经验。重点题型整理1.题型一：求正切函数的周期

-例题：已知正切函数\(y=\tan(x)\)，求其周期\(T\)。

-解答：正切函数的周期\(T\)是指函数图象上相邻两个相同周期的起点之间的距离。对于\(y=\tan(x)\)，其周期为\(\pi\)。因此，\(T=\pi\)。

2.题型二：求正切函数的对称性

-例题：分析正切函数\(y=\tan(x)\)的对称性。

-解答：正切函数\(y=\tan(x)\)是一个奇函数，即对于任意的\(x\)，都有\(\tan(-x)=-\tan(x)\)。这意味着函数图象关于原点对称。

3.题型三：求正切函数的间断点

-例题：找出正切函数\(y=\tan(x)\)在区间\([0,2\pi]\)内的所有间断点。

-解答：正切函数在\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)（其中\(k\)为整数）处有间断点。在区间\([0,2\pi]\)内，这些间断点为\(x=\frac{\pi}{2}\)和\(x=\frac{3\pi}{2}\)。

4.题型四：求正切函数的值域

-例题：确定正切函数\(y=\tan(x)\)的值域。

-解答：正切函数的值域为\((-\infty,\infty)\)，即所有实数都是该函数的值。这是因为正切函数的图象在垂直方向上可以无限延伸。

5.题型五：正切函数在极坐标系中的应用

-例题：在极坐标系中，点\(P(2,\frac{\pi}{4})\)的直角坐标是多少？

-解答：在极坐标系中，点的坐标表示为\((r,\theta)\)，其中\(r\)是点到原点的距离，\(\theta\)是与正极轴的夹角。要转换为直角坐标系，使用公式\(x=r\cos(\theta)\)和\(y=r\sin(\theta)\)。对于点\(P(2,\frac{\pi}{4})\)，我们有\(x=2\cos(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\)和\(y=2\sin(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\)。因此，直角坐标为\((\sqrt{2},\sqrt{2})\)。板书设计①正切函数的基本概念

-正切函数定义：\(y=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

-定义域：\(\{x|x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)

-值域：\((-\infty,\infty)\)

②正切函数的