2024年二次函数知识点

二次函数知识點一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。這裏需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可认為零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的构造特性：⑴等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝對值越大，抛物线的開口越小。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上轴時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下轴時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．2.的性质：上加下減。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上轴時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下轴時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．3.的性质：左加右減。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上X=h時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．4.的性质：的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上X=h時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．三、二次函数图象的平移1.平移环节：措施一：⑴将抛物线解析式转化成顶點式，确定其顶點坐標；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶點平移到处，详细平移措施如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．措施二：⑴沿轴平移:向上（下）平移個單位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移個單位，变成（或）四、二次函数与的比较從解析式上看，与是两种不一样的体現形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五點绘图法：运用配措施将二次函数化為顶點式，确定其開口方向、對称轴及顶點坐標，然後在對称轴两侧，左右對称地描點画图.一般我們选用的五點為：顶點、与轴的交點、以及有关對称轴對称的點、与轴的交點，（若与轴没有交點，则取两组有关對称轴對称的點）.画草图時应抓住如下几點：開口方向，對称轴，顶點，与轴的交點，与轴的交點.六、二次函数的性质1.當時，抛物线開口向上，對称轴為，顶點坐標為．當時，随的增大而減小；當時，随的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，抛物线開口向下，對称轴為，顶點坐標為．當時，随的增大而增大；當時，随的增大而減小；當時，有最大值．七、二次函数解析式的表达措施1.一般式：（，，為常数，）；2.顶點式：（，，為常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交點的横坐標）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶點式，但并非所有的二次函数都可以写成交點式，只有抛物线与轴有交點，即時，抛物线的解析式才可以用交點式表达．二次函数解析式的這三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作為二次项系数，显然．⑴當時，抛物线開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，抛物线開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起来，决定了抛物线開口的大小和方向，的正负决定開口方向，的大小决定開口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的對称轴．⑴在的前提下，當時，，即抛物线的對称轴在轴左侧；當時，，即抛物线的對称轴就是轴；當時，，即抛物线對称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，結论刚好与上述相反，即當時，，即抛物线的對称轴在轴右侧；當時，，即抛物线的對称轴就是轴；當時，，即抛物线對称轴在轴的左侧．總結起来，在确定的前提下，决定了抛物线對称轴的位置．的符号的鉴定：對称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的說就是“左同右异”總結：3.常数项⑴當時，抛物线与轴的交點在轴上方，即抛物线与轴交點的纵坐標為正；⑵當時，抛物线与轴的交點為坐標原點，即抛物线与轴交點的纵坐標為；⑶當時，抛物线与轴的交點在轴下方，即抛物线与轴交點的纵坐標為负．總結起来，决定了抛物线与轴交點的位置．總之，只要都确定，那么這条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次函数解析式，一般运用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据題目的特點，选择合适的形式，才能使解題简便．一般来說，有如下几种状况：1.已知抛物线上三點的坐標，一般选用一般式；2.已知抛物线顶點或對称轴或最大（小）值，一般选用顶點式；3.已知抛物线与轴的两個交點的横坐標，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐標相似的两點，常选用顶點式．九、二次函数图象的對称二次函数图象的對称一般有五种状况，可以用一般式或顶點式体現1.有关轴對称有关轴對称後，得到的解析式是；有关轴對称後，得到的解析式是；2.有关轴對称有关轴對称後，得到的解析式是；有关轴對称後，得到的解析式是；3.有关原點對称有关原點對称後，得到的解析式是；有关原點對称後，得到的解析式是；4.有关顶點對称（即：抛物线绕顶點旋转180°）有关顶點對称後，得到的解析式是；有关顶點對称後，得到的解析式是．5.有关點對称有关點對称後，得到的解析式是根据對称的性质，显然無论作何种對称变换，抛物线的形状一定不會发生变化，因此永遠不变．求抛物线的對称抛物线的体現式時，可以根据題意或以便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或体現式已知的抛物线）的顶點坐標及開口方向，再确定其對称抛物线的顶點坐標及開口方向，然後再写出其對称抛物线的体現式．拾、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交點状况）：一元二次方程是二次函数當函数值時的特殊状况.图象与轴的交點個数：①當時，图象与轴交于两點，其中的是一元二次方程的两根．這两點间的距离.②當時，图象与轴只有一种交點；③當時，图象与轴没有交點.當時，图象落在轴的上方，無论為任何实数，均有；當時，图象落在轴的下方，無论為任何实数，均有．2.抛物线的图象与轴一定相交，交點坐標為，；3.二次函数常用解題措施總結：⑴求二次函数的图象与轴的交點坐標，需转化為一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要运用配措施将二次函数由一般式转化為顶點式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形結合；⑷二次函数的图象有关對称轴對称，可运用這一性质，求和已知一點對称的點坐標，或已知与轴的一种交點坐標，可由對称性求出另一种交點坐標.抛物线与轴有两個交點二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两個不相等实根抛物线与轴只有一种交點二次三项式的值為非负一元二次方程有两個相等的实数根抛物线与轴無交點二次三项式的值恒為正一元二次方程無实数根.⑸与二次函数有关的尚有二次三项式，二次三项式自身就是所含字母的二次函数；下面以時為例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：图像参照：拾一、函数的应用二次函数应用二次函数考察重點与常見題型考察二次函数的定义、性质，有关试題常出目前选择題中，如：已知认為自变量的二次函数的图像通過原點，则的值是综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习題的特點是在同一直角坐標系内考察两個函数的图像，试題类型為选择題，如：如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大体是（）yyyy110xo-1x0x0-1xABCD考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习題出現的频率很高，习題类型有中等解答題和选拔性的综合題，如：已知一条抛物线通過(0,3)，(4,6)两點，對称轴為，求這条抛物线的解析式。考察用配措施求抛物线的顶點坐標、對称轴、二次函数的极值，有关试題為解答題，如：已知抛物线（a≠0）与x轴的两個交點的横坐標是－1、3，与y轴交點的纵坐標是－eq\f(3,2)（1）确定抛物线的解析式；（2）用配措施确定抛物线的開口方向、對称轴和顶點坐標.5．考察代数与几何的综合能力，常見的作為专題压轴題。【例題經典】由抛物线的位置确定系数的符号例1（1）二次函数的图像如图1，则點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列結论：①a、b同号；②當x=1和x=3時，函数值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中對的的個数是（）A．1個B．2個C．3個D．4個(1)(2)【點评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是处理問題的关键．例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交點在點(O，2)的下方．下列結论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中對的結论的個数為()A1個B.2個C.3個D．4個答案：D會用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：有关x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一种根為x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的對称轴是直线x=2，则抛物线的顶點坐標為()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D．(3，2)答案：C例4、（烟台市）如图（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移動，直到AB与CD重叠．设x秒時，三角形与正方形重叠部分的面积為ym2．（1）写出y与x的关系式；（2）當x=2，3.5時，y分别是多少？（3）當重叠部分的面积是正方形面积的二分之一時，三角形移動了多長時间？求抛物线顶點坐標、對称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-．（1）用配措施求它的顶點坐標和對称轴．（2）若该抛物线与x轴的两個交點為A、B，求线段AB的長．【點评】本題（1）是對二次函数的“基本措施”的考察，第（2）問重要考察二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象通過點P(4，10)，交x轴于，两點，交y轴负半轴于C點，且满足3AO=OB．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上与否存在點M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，請你求出M點的横坐標的取值范围；若不存在，請你阐明理由．(1)解：如图∵抛物线交x轴于點A(x1，0)，B(x2，O)，则x1·x2=3<0，又∵x1<x2，∴x2>O，x1<O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．∴點A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2b=3∴．二次函数的解析式為y-2x2-4x-6．(2)存在點M使∠MC0<∠ACO．(2)解：點A有关y轴的對称點A’(1，O)，∴直线A，C解析式為y=6x-6直线A'C与抛物线交點為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范围為-1<x<0或O<x<5．當點M的横坐標满足-1<x<O或O<x<5時，∠MCO>∠ACO．例7、“已知函数的图象通過點A（c，－2），求证：這個二次函数图象的對称轴是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法识别的文字。（1）根据已知和結论中既有的信息，你能否求出題中的二次函数解析式？若能，請写出求解過程，并画出二次函数图象；若不能，請阐明理由。（2）請你根据已經有的信息，在原題中的矩形框中，填加一种合适的条件，把原題补充完整。點评：對于第（1）小題，要根据已知和結论中既有信息求出題中的二次函数解析式，就要把本来的結论“函数图象的對称轴是x=3”當作已知来用，再結合条件“图象通過點A（c，－2）”，就可以列出两個方程了，而解析式中只有两個未知数，因此可以求出題中的二次函数解析式。對于第（2）小題，只要給出的条件可以使求出的二次函数解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不一样的角度考虑可以添加出不一样的条件，可以考虑再給图象上的一种任意點的坐標，可以給出顶點的坐標或与坐標轴的一种交點的坐標等。[解答]（1）根据的图象通過點A（c，－2），图象的對称轴是x=3，得解得因此所求二次函数解析式為图象如图所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得因此可以填“抛物线与x轴的一种交點的坐標是（3+”或“抛物线与x轴的一种交點的坐標是令x=3代入解析式，得因此抛物线的顶點坐標為因此也可以填抛物线的顶點坐標為等等。函数重要关注：通過不一样的途径（图象、解析式等）理解函数的详细特性；借助多种現实背景理解函数；将函数视為“变化過程中变量之间关系”的数學模型；渗透函数的思想；关注函数与有关知识的联络。用二次函数处理最值問題例1已知边長為4的正方形截去一种角後成為五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面积．【评析】本題是一道代数几何综合題，把相似三角形与二次函数的知识有机的結合在一起，能很好考察學生的综合应用能力．同步，也給學生探索解題思绪留下了思维空间．例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的曰销售量y（件）之间的关系如下表：x（元