测量误差基本知识 武汉大学 工程测量学教学课件

《测量学》主讲：付建红第一页，共68页。第三章测量误差基本知识《测量学》第二页，共68页。主要内容观测误差的分类衡量精度的标准算术平均值及其观测值的中误差误差传播定律加权平均值及其精度评定间接平差原理第三页，共68页。§3.1观测误差的分类测量误差产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性第四页，共68页。ABS往S返ACBS往S返一、测量误差产生的原因第五页，共68页。一、测量误差产生的原因人（观测者）仪器外界环境观测条件凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测”。第六页，共68页。中丝读书：159115921593第七页，共68页。第八页，共68页。AB水准测量水准管视准轴i角第九页，共68页。观测值实际值第十页，共68页。二、测量误差的分类与处理原则系统误差偶然误差粗差系统误差:在相同观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。第十一页，共68页。系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱。010203030.04N第十二页，共68页。偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最可靠值。8.512345678.48.78.58.68.38.28.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1N第十三页，共68页。粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除。N第十四页，共68页。三、偶然误差的特性1、真值和真误差真值：某一个量的真实值（X）在相同观测条件下，对此量进行n次观测，观测值：

L1，L2，····，Ln真误差:真值X与观测值Li

之间的差值，用△i表示。

△i

=X-Li第十五页，共68页。2、实例三角形内角和真误差:在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。Δi=180−(i=1,2,3,........358)第十六页，共68页。误差区间d△正误差负误差合计个数

k频率

k/n个数

k频率

k/n个数

k频率

k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″15″～18″18″～21″21″～24″24″以上合计误差分布表4540332317136404641332116135200.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816644332611600.2540.2260.1840.1230.0920.0730.0310.01701811770.5050.4953581.00第十七页，共68页。频率直方图k/ndΔ-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24Δ第十八页，共68页。3、偶然误差的特性有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即第十九页，共68页。误差分布曲线：正态分布标准差：方差：概率密度函数:第二十页，共68页。§3.2衡量精度的标准中误差相对误差极限误差第二十一页，共68页。一、中误差标准差中误差

是反映一组误差离散程度的指标。第二十二页，共68页。-m1+m1-m2+m2m2大精度低观测条件误差分布观测值精度曲线形态（陡峭、平缓）具体的数值σ

（大小）观测精度（低、高）第二十三页，共68页。精度(precise)和准确度(accuracy)InaccurateandpreciseAccurateandimpreciseInaccurateandimpreciseAccurateandprecise第二十四页，共68页。举例【例】同精度下对某一三角形进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：″）：-3，-2，+2，+4，-1，0，-4，+3，+2，-3。另一台仪器的观测结果（单位：″）为：0，+1，-7，-2，-1，+1，+8，0，+3，-1。第二十五页，共68页。二、相对误差【例】分别丈量了S1=200m及S2=40m的两段距离，观测值的中误差均为±2cm，试比较两者的观测成果质量。相对误差K:中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1表示S1的丈量精度高于S2的丈量精度第二十六页，共68页。三、极限误差第二十七页，共68页。三、极限误差概率密度函数：第二十八页，共68页。§3.3算术平均值及观测值的中误差算术平均值观测值的改正值按观测值的改正值计算中误差第二十九页，共68页。一、算术平均值第三十页，共68页。二、观测值的改正值三、按观测值的改正值计算中误差在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观测值为同精度观测值，其中误差为：第三十一页，共68页。白塞尔公式的推导②左右平方求和：①左右求和：左右平方第三十二页，共68页。组号观测值l/m△l/cm改正值v/cmvv/mm1120.0312120.0253119.9834120.0475120.0406119.976(l0=120.000)按观测值改正值计算中误差+3.1+2.5-1.7+4.7+4.0-2.410.2-1.4-0.8+3.4-3.0-2.3+4.1

0.01.960.6411.569.005.2916.8145.26算术平均值：相对误差：观测值中误差：第三十三页，共68页。§3.4误差传播定律观测值的函数观测值函数的中误差误差传播定律应用实例第三十四页，共68页。问题的提出：在上节介绍了对于某一个量直接进行多次观测，计算观测值的中误差。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，则如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。第三十五页，共68页。一、观测值的函数倍函数:一般函数:和差函数:线性函数:第三十六页，共68页。1、和或差的函数设有函数z=x+y，z:观测值的函数，x、y为独立观测值，已知mx、my，求mz(1)真误差的关系式为：Δz＝Δx±Δy

若对x、y观测了n次则：Δzi＝Δxi±Δyi（i=1~n）(2)将上式平方得：(3)求和，并除以n:

由于x,y为独立观测值，因此n趋近无穷时，[ΔxΔy]/

n

=0(4)转换为中误差关系式:两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和二、观测值函数的中误差第三十七页，共68页。n个观测值代数和的中误差平方，等于n个观测值中误差的平方和。n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。第三十八页，共68页。2、倍函数设有函数z=kx，z:观测值的函数，x为观测值，k为常数，已知mx，求mz(1)真误差的关系式为：Δz＝kΔx

若对x、y观测了n次则：Δzi＝kΔxi（i=1~n）(2)将上式平方得：

(3)求和，并除以n:(4)转换为中误差关系式:观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数第三十九页，共68页。3、线性函数设有函数z=k1x1+k2x2+···+knxn，z:观测值的函数，x1,x2,···xn为独立观测值，k1,k2,···kn为常数。已知mi求mz应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得第四十页，共68页。4、一般函数（非线性函数）a×

ΔbΔbp=a×bbaΔab×

Δa观测值a、b的中误差为ma、mb求面积p的中误差。第四十一页，共68页。第四十二页，共68页。(1)求偏微分(2)转换为中误差关系式第四十三页，共68页。三、误差传播定律应用实例例1：用尺子在1:500的地图上量得两点间的距离d=10cm，中误差md＝0.1cm，求其相应的实地距离D及其中误差mD。第四十四页，共68页。例2：对某量进行了n次独立同精度观测：L1、L2、…、Ln，中误差均为m,求其算术平均值的中误差。观测值算术平均值的中误差是观测值中误差的第四十五页，共68页。例3：测得某矩形块地的长a=10m，宽b＝5m，a、b独立，且ma＝±2cm，mb＝±1cm，求该块地的周长及中误差。S＝30m

±4.5cm第四十六页，共68页。注意单位统一第四十七页，共68页。例5：设有函数：Z=X+Y，Y=3X，已知mx，求mz正确解注：由于X和Y不是独立观测值第四十八页，共68页。总结应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式3、独立性的判断4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式注意单位的统一第四十九页，共68页。(5)、对某一三角形内角重复观测了9次，定义其闭合差：△=α＋β＋γ－180°，其结果如下(单位″)：△1=+3,△2=-5,△3=+6,△4=+1,△5=-3,△6=-4,△7=+3,△8=+7,△9=-8;求三角形闭合差的中误差m△以及三角形内角的测角中误差mβ解：第五十页，共68页。(6)、对某个水平角以等精度观测了4个测回，观测值列于下表。计算其算术平均值、一测回的中误差和算术平均值的中误差。次序观测值l△l（″）改正值v（″）1234计算7026151.75-3.253.75-2.250第五十一页，共68页。(7)、对段距离，用测仪测定其水平距离4次，观测值列于下表。计算其算术平均值、算术平均值的中误差及其相对误差。次序观测值l△l(mm)

改正值v(mm)1234计算-818820381.517.5-8.5-10.50346.522346.548346.538346.550l0=346.530第五十二页，共68页。(8)、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角α和β，其测角中误差均为±20″，计算第三个角γ及其中误差。(9)、量得一圆形地物的直径为64.780m±5mm,求圆周长度S及其中误差ms解：解：第五十三页，共68页。(10)、量得矩形场地长度a=156.34m±0.10m,宽度b=85.27m±0.05m，计算该矩形场地面积F及其面积中误差mF(11)、已知三角形三个内角α、β、γ的中误差为，，定义三角形闭合差为：解：第五十四页，共68页。解：第五十五页，共68页。§3.5加权平均值及其精度评定不等精度观测及观测值的权加权平均值加权平均值的中误差单位权中误差的计算第五十六页，共68页。在相同条件下对某段长度进行两组丈量：甲组：乙组：两组算术平均值分别为：L甲，L乙设每次观测值的中误差为m，求m甲和m乙，并求该长度的最或是值是多少？第五十七页，共68页。第五十八页，共68页。1、如何求X的最或是值？3、如何求的中误差？2、如果已知的中误差，如何求观测值Li的中误差？对某个未知量X,不等精度观测：第五十九页，共68页。观测值的权式中：C为任意正数当观测值Li的权Pi＝1