2024-2025学年河北省张家口一中高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省张家口一中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2),b=(λ,−1),c=(μ,−1)，若(A.−2 B.−1 C.0 D.12.将函数f(x)=12sin2x−1的图像向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，则函数g(x)A.[−π3+kπ,π3+kπ]，k∈Z B.[π4+kπ,π2+kπ]3.设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是A.(2,2) B.(3,−1) C.(2,2)或(3,−1) D.(2,2)或(3,1)4.定义：|a×b|=|a|⋅|b|⋅sinθ，其中θ为向量a与b的夹角.若|aA.63 B.−63 C.5.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且tanα=1A.π6 B.π4 C.π36.在△ABC中，BA⋅BC=12BCA.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形7.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，则|A.[4,213] B.[4,10] C.[6,10]8.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)区间(π,2π)内没有零点，则A.(0,13] B.(0,13]∪[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列化简正确的是(

)A.cos72°cos12°−sin72°sin12°=12 B.sin15°cos15°=14

C.10.如图所示，点P是函数f(x)=π2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若M(−π6,0)A.N(2π3,0)

B.ω=1

C.P(11.如图，已知△ABC中，B=2π3，AB=BC=2，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上.则(

)A.2BM=BA+BC

B.BP⋅BC最小值为−2

C.BM在BC上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离ℎ(单位：米)与时间t(单位：分)的函数关系式为ℎ(t)=Acos(ωt+θ)+b(A>0,ω>0,0≤θ<2π,0≤t≤60)，则函数ℎ(t)=______．13.如图，正方形ABCD的边长为2，M，N分别为AB，BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足|BE|=1，则DM⋅14.在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的终边上分别有一点P1、P2、P3、…、P30，如果点Pk的坐标为(sin四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2sin2x+3sinxcosx+cos2(x+π4)+a．

(1)若x∈R，求函数f(x)的最小正周期和对称轴；

(2)当16.(本小题15分)

已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．

(1)设BC⋅CA=CA⋅AB，判断△ABC的形状；

(2)设向量s=(2sinC,−3)17.(本小题15分)

如图所示，在△ABC中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E的直线交边AB，AC于M，N两点，设AB=λAM，AC=μAN，(M,N与点B，C不重合)．

(1)证明：λ+μ为定值；

(2)求1λ+1+18.(本小题17分)

如图，有一条宽为60m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE=ℎ1，AD=ℎ2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD=α．

(1)若α=30°，求养殖区域面积的最大值；

(2)现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye1，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，F是BP的中点，AF与OP交于T两点．

(1)求|OP|；

(2)求OT的坐标；

(3)若过点P的直线l参考答案1.B

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BD

10.BC

11.ABD

12.3.5cosπ13.8−414.215.16.解：(1)因为BC⋅CA=CA⋅AB，所以CA⋅(BC−AB)=0，

又AB+BC+CA=0，∴CA=−(AB+BC)，

所以−(AB+BC)⋅(BC−AB)=0，

所以AB2−BC2=0，

所以|AB|2=|BC|2，即|AB|=|17.18.解：(1)α=30°时，AB=ℎ2sinα=2ℎ2,AC=ℎ1cosα=23ℎ1，

所以S△ABC=12AB⋅AC=23ℎ1ℎ2，

又因为ℎ1+ℎ2=60≥2ℎ1ℎ2(当且仅当ℎ1=ℎ2时等号成立)，

所以ℎ1ℎ2≤900，

于是19.解：(1)依题意可得e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cos60°=1×1×12=12，

∵OP=(3,2)，

∴OP=3e1+2e2，

∴|OP|2=(3e1+2e2)2=9e12+12e1⋅e2+4e22

=9+12×