北京朝阳区第十某中学学2023-2024学年中考冲刺卷数学试题含解析

北京朝阳区第十七中学2023-2024学年中考冲刺卷数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.函数y=WE丑中自变量x的取值范围是（）

x-\

A.xN“且x*B.x>-lC.x#lD.-1<X<1

2.如图钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3及机，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15。

到AC的位置，此时露在水面上的鱼线方。长度是（）

A.3>mB.36mC.2\/3mD.4m

3.将抛物线），=・（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）

A.向下平移3个单位B.向上平移3个单位

C.向左平移4个单位D.向右平移4个单位

4.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B

向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）

C.线段EF的长始终不变D.线段EF的长与点P的位置有关

21

5.四组数中：①1和1；②-1和1；③0和0；§和・1万，互为倒数的是（）

A.®®B.®®C.①④I）.①③④

6.已知x=l是方程/+皿+〃=0的一个根，则代数式m2+2mn+n2的值为（）

A.-1B.2C.1D.-2

7.下列四个实数中是无理数的是（）

A.2.5C.nD.1.414

8.下列图形中，可以看作中心对称图形的是（）

9.小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中NE=90，ZC=90，ZA=45，ZD=30，则

N1+N2等于（）

r

A.150B.180C.210D・270

10.己知。O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

一、填空题（共7小题，母小题3分，满分21分）

11.如图，在梯形A3C。中，AD//BC,BC=2AD,E、F分别是边A。、8C的中点，设AD=a,AB=b,那

么EF等于（结果用〃、方的线性组合表示）.

12.己知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方

形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米.

13.如图，每个小正方形边长为1,贝必ABC边AC上的高BD的长为

那么抛物线在y轴右侧部分是（填“上升的”或吓降的

点尸（-1,。）在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则。的取值范围是

16.如图，在△ABC中，AB=AC,以点C为圆心，以CB长为半径作圆瓠,交AC的延长线于点D,连结BD,若NA=32。,

则NCDB的大小为____度.

17.三人中有两人性别相同的概率是_____________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知：如图，AB=AE,N1=N2,ZB=ZE.求证：BC=ED.

19.（5分）已知，关于x的方程x?・mx+LnF-1=0,

4

（1）不解方程，判断此方程根的情况;

（2）若x=2是该方程的一个根，求m的值.

20.（8分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子

顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A7）为

1.5米，求小巷有多宽.

请结合题意填空，完成本题的解答：

（I）解不等式（1）,得;

（II）解不等式（2）,得；

（III）把不等式（D和（2）的解集在数轴上表示出来：

（IV）原不等式组的解集为.

~~6~~2~3~4~~5^

22.（10分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩,

场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？

译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩,

问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？

23.（12分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A,B中，可随机选择其中的一个通过.

（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是；

（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择8通道通过的概率.

24.（14分）如图，A4BC内接于OO,AB=ACtCO的延长线交AB于点

（1）求证：AO平分的C；

3

（2）若BC=6,sin=求AC和8的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于如当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条

件都满足的公共部分.

x+1>0

详解：根据题意得到：，八，

工一1工0

解得X>-1且X于1,

故选A.

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能

使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于

0混淆.

2、B

【解析】

因为三角形A5C和三角形A夕。均为直角三角形，且SC、夕。都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求

出NC4”，进而得出NCAZT的度数，然后可以求出鱼线37?长度.

【详解】

Ag・•.BC3>/2V2

解：•sin^CAB-.......=-------=-----

AC62

：.ZCAB=45°.

VZCAC=15°,

/.ZCA^=60°.

・7nA。。—8c百

♦•sinoU-........=1>

62

解得：*C'=3j5.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.

3、A

【解析】

将抛物线y=-（x+l『+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，

若左右平移n个单位得到，则平移后的解析式为：），=一（1+1+〃『+4,将（0,0）代入后解得：n=・3或n=L所以

向左平移1个单位或向右平移3个单位后抛物线经过原点；

若上下平移m个单位得到，则平移后的解析式为：y——（x+lf+4+m,将（0,0）代入后解得：m=-3,所以向下

平移3个单位后抛物线经过原点，

故选A.

4、C

【解析】

试题分析：连接AR,根据勾股定理得出AR=JAD2+DR?的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=；AR,即

可得出线段EF的长始终不变，

考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线

5、C

【解析】

根据倒数的定义，分别进行判断即可得出答案.

【详解】

•・•①1和1；1x1=1,故此选项正确；

②“和1；・lxi=・L故此选项错误；

③0和0；0x0=0,故此选项错误；

219I

④和-1一,・一x（-1—）=1,故此选项正确；

3232

・••互为倒数的是：①④，

故选C.

【点睛】

此题主要考查了倒数的概念及性质.倒数的定义；若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

6、C

【解析】

把x=l代入F+mx+zinO,可得w+n=-l,然后根据完全平方公式把〃产+2加〃+7产变形后代入计算即可.

【详解】

把x=l代入x2+〃tr+〃=O,

代入l+/w+//=O,

*.m+n=-l,

:.m2+2inn+n2=(m+n)2=l.

故选C.

【点睛】

本题考查了方程的根和整体代入法求代数式的值，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根.

7、C

【解析】

本题主要考查了无理数的定义.根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即可求解.

解：A、2.5是有理数，故选项错误；

B、二是有理数，故选项错误；

C、江是无理数，故选项正确；

D、1.414是有理数，故选项错误.

故选C.

8、B

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、C

【解析】

根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可.

【详解】

如图:

・.・/l=ZD+^DOA,N2="+4PB,

・・ZDOA=/COP,4PB=/CPO,

・•・/I+/2="+4+/COP+/CPO

=/D+zT+180-ZC

=30+90+180-90=210，

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题

的关键.

10、D

【解析】

【分析】由图可知，OA=10,OD=1.根据特殊角的三角函数值求出NAOB的度数，再根据圆周定理求出NC的度数,

再根据园内接四边形的性质求出NE的度数即可.

【详解】由图可知，OA=10,OD=1,

在RtAOAD中，

VOA=10,OD=1,AD=7Q42-OZ)2=5A/3，

.*.tanZl=-^^=y/3,Zl=60°,

OD

同理可得N2=60。，

:.ZAOB=Zl+Z2=60o+60°=120°,

ZC=60",

・・・NE=1800・60°=120°,

即弦AB所对的圆周角的度数是60。或120。,

故选D.

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关

知识是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

-1-

11、bH—a.

2

【解析】

作A〃〃后尸交8c于〃，首先证明四边形£五〃/1是平行四边形，再利用三角形法则计算即可.

【详解】

作4"〃E产交8C于〃.

*：AE//FHf,四边形EFH4是平行四边形，：.AE=HFtAH=EF.

•:AE=ED=HF,：.HF=-a.

2

*：BC=2ADt:.BC=2a-

•：BF-FCf:.BF=a，1RH=.

•:EF=AH=AB+BH=b^-a.

2

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

12、1或5.

【解析】

小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离.

【详解】

解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2+2=1,

①如图，小正方形平移距离为1厘米;

②如图，小正方形平移距离为4+1=5厘米.

故答案为1或5,

【点睛】

此题考查了平移的性质，要明确，平移前后图形的形状和面积不变.画出图形即可直观解答.

J

5

【解析】

试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形

ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长：

根据勾股定理得：AC=V32+42=5>

由网格得：SAABC=T~X2X4=4,且SAABC=!AC・BD=]X5BD,

222

I8

A-x5BD=4,解得：BD=-.

25

考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积.

14、上升的

【解析】

:抛物线y=；x2・l开口向上，对称轴为x=O（y轴），

・••在y轴右侧部分抛物线呈上升趋势.

故答案为：上升的.

【点睛】

本题考杳的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

15、0<a<2

【解析】

计算出当P在直线y=2x+2上时a的值，再计算出当P在直线y=2x+4上时a的值，即可得答案.

【详解】

解：当P在直线y=2x+2上时，a=2x(-l)+2=-2+2=0,

当P在直线y=2x+4上时，a=2x(-l)+4=-2+4=2,

贝!J0<a<2.

故答案为0<av2

【点睛】

此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等.

16、1

【解析】

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得NACB=NABC=74。，根据等腰三角形的性质以及三

角形外角的性质在△BCD中可求得NCDB=NCBD=LZACB=1°.

2

【详解】

VAB=AC,ZA=32°,

AZABC=ZACB=74O,

XVBC=DC,

:.ZCDB=ZCBD=-ZACB=1°,

2

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用.

17、1

【解析】分析：

由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的“即可得到所求概率为1.

详解：

;三人的性别存在以下可能：(1)三人都是“男性(2)三人都是“女性”；(3)三人的性别是“2男1女”；(4)三人

的性别是“2女1男”，

・・・三人中至少有两个人的性别是相同的，

•'•P(三人中芍二人性别相同)=1.

点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、证明见解析.

【解析】

由N1=N2可得NCAB=NDAE,再根据ASA证明△ABCg^AED,即可得出答案.

【详解】

VZ1=Z2,AZ1+ZBAD=Z2+ZBAD,

/.ZCAB=ZDAE,

在AABC与AAED中，B=ZE,AB=AEtZCAB=ZDAE,

/.△ABC^AAED,

ABC=ED.

19、(1)证明见解析；(2)m=2或m=l.

【解析】

(1)由4=(-m)2-4xlx(—m2-l)=4>0即可得；

4

(2)将x=2代入方程得到关于m的方程，解之可得.

【详解】

(1)*.*△=(-m)2-4xlx(—m2-1)

4

=m2-m2+4

=4>0,

，方程有两个不相等的实数根；

(2)将x=2代入方程，得：4-2m+—m2-1=0,

4

整理，得：m2-8m+12=0,

解得：m=2或m=l.

【点睛】

本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)

将x=2代入原方程求出m值.

20、2.7米.

【解析】

先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论.

【详解】

在RSACR中，VZACB=90°,BC=0.7米，AC=2.2米,

r.AB2=0.72+2.22=6.1.

在RtAA/BD中,VZAfDB=90°,A，D=1.5米，BD2+A,D2=A,B,2,

ABD2+1.52=6.1,

ABD2=2.

VBD>0,

；・BD=2米.

ACD=BC+BD=0.7+2=2.7米.

答：小巷的宽度CD为2.7米.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

21、(I)x>l；(11)x>2；(III)见解析；(IV)x>l.

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上即可得出两不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的

解集.

【详解】

(I)解不等式(1),得玲1;

(II)解不等式(2),得x>2；

<m)把不等式(1)和(2)解集在数轴上表示出来，如下图所示：

~~0~1~2~3~4~F

(IV)原不等式组的解集为它1.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，准确求出每个不等式的解集是解本题的关键.

22、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田2亩.

3

【解析】

设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7

亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解.

【详解】

解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩.

3x+6j=4.7

可列方程组为

5x+3y=5.5

x=0.9

解得1

答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田g亩.

23、（1）—；（2）一

82

【解析】

（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；

（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可.

【详解】

解：（1）画树状图得：

甲/B

/\/\

ZJABAB

/\/\/\

丙ABABABA6

共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，

所以都选择A通道通过的概率为:，

O

故答案为：

8

（2）•・•共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择5通道通过的有4种情况，

・•・至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为：=〈.

oZ

【点睛】

考查了概率的求法；用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键.

90

24、（1）证明见解析；（2）AC=3V10，CD=—,

【解析】

分析：（1）延长AO交BC于H,连接