北京市各区2023-2024学年中考数学五模试卷含解析

北京市各区重点达标名校2023-2024学年中考数学五模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.从一个边长为3。机的人立方体挖去一个边长为1。"的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正

确的是（）

3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,DHJLAB于点H,且DH与AC

交于G,则OG长度为（）

3旧3后

----nLF.----

24

B.(-x)24-X=-x

D.(-2x2)3=_8x6

5.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.下列说法中正确的是（）

A.检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.

B.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是!，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.

C.“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.

D.”多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.

7.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间

后，到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（）

B.45海里C.20G海里D.306海里

8.一个圆锥的底面半径为母线长为6,则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

2

A.180°B.150°C.120°D.90°

9.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）

A.对重庆市初中学生每天阅读时间的调查

B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查

C.对某批次手机的防水功能的调查

D.对某校九年级3班学生肺活量情况的调查

10.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片

瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（）

y=100x+y=100

A.hB.1

-A+3y=1003%+—），=100

.33

x-y=100x+y=100

•x+3y=100•[3x+y=100

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根

据该统计图可算得该花店俏售花卉的平均单价为元.

12.如图,等腰△ABC中,43=AC,NA4C=50。,A3的垂直平分线MN交AC于点O,则ZDBC的度数是

13.如图，已知直线E尸分别交48、C0于点E、F,EG平分N8E凡若Nl=50。，则N2的度数为.

14.2()18年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线.某影院针对这一影片推出了特惠活动：

票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片.若观影人数为a(a

>10),则应付票价总额为元.(用含a的式子表示)

15.如匡，在△ABC中，点E,F分别是AC,BC的中点，若S四边形ABFE=9,则S三角形EFC=

16.如图，OO的半径为I，“，正六边形尸内接于CO,则图中阴影部分图形的面积和为cm2(结

果保留不).

E

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）已知关于x的一元二次方程X?-（m+3）x+m+2=1.

（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根的平方等于4,求m的值.

18.（8分）如图，8&是△ABC的角平分线，点E,产分别在HC,48上，RDE//ABtBE=AF.

（1）求证：四边形4OE尸是平行四边形；

（2）若NABC=60。，30=6,求的长.

19.（8分）综合与实践——折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在

点C处,点D落在点D，处，射线EC与射线DA相交于点M.

猜想与证明：

（1）如图1,当EC与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹，标注相应的字母）；

操作与探究：

（3）如图3,当点M在线段DA延长线上时，线段C，D，分别与AD,AB交于P,N两点时，CE与AB交于点Q,

连接MN并延长MN交EF于点O.

求证：MOJLEF且MO平分EF；

(4)若AB=4,AD=4V3,在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径的长为

20.(8分)随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家.某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调

查，对职工购车情况分4类(A：车价40万元以上；B：车价在210万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购

车)进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图.请结合图中信息解答下列问题：

(1)调查样本人数为,样本中B类人数百分比是_______,其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；

(2)把条形统计图补充完整；

(3)该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，

求选出的2人来自不同科室的概率.

21.(8分)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O,以线段AG为边作

一个正方形AEFG,连接EB、GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若AB=5,AG=2近，求EB的长.

F'AB

22.（10分）如图，△ABC中，AB=AC=1,ZBAC=45°,△AEF是由△ARC绕点A按顺时针方向旋转得到的,

连接BE,CF相交于点D.求证：BE=CF；当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

23.（12分）（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.可知BE=DG.

（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且NA=NF.求证：BE=DG.

（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上.若AE=2ED,ZA=ZF,

△EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是_______.（只填结果）

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m（k>0）交

于A。』），8两点，与丁轴交于C（0,5）,直线/与V轴交于点

（1）求抛物线的函数表达式；

A177

（2）设直线I与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若工二:，且ABCG与\BCD

FB4

的面积相等，求点G的坐标；

（3）若在工轴上有且只有一点P,使44依=90。，求攵的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

左视图就是从物体的左边往右边看.小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体

的边长为3cm,挖去的小立方体边长为1cm,所以小正方形的边长应该是大正方形;，故D错误，所以C正确.

故此题选C.

2、B

【解析】

A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；

B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；

C、主视图，俯视图均为圆，故C选项错误；

D、主视图为矩形，俯视图为三角形，故D选项错误.

故选：B.

3、B

【解析】

试题解析：在菱形中，4c=6,=所以。4=4,OQ=3,在RiAAOD中，AD=5t

因为S八加=’.80。4=''6'4=12,所以S49二，48・。"=12,则£>"=*，在中，由勾股定

2225

।OG3

理得，BH=>JBD1-D/72=J62-f—Y=—，由一小GS_O〃B可得，黑=黑，即讴=衣，所以

vI5J5BHDH——

JJ

9

OG=一・故选B.

4

D

A

A/X1/

B

4、D

【解析】

根据同底数累的除法、乘法的运算方法，塞的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即

可.

【详解】

V(a3)2=a6,

・•・选项A不符合题意；

V(-X)2vX=X,

・・・选项B不符合题意；

2a3(-a)2=a5,

・•・选项C不符合题意；

V(-2x2)3=-8x6,

工选项D符合题意.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了同底数幕的除法、乘法的运算方法，幕的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，

要熟练掌握.

5、D

【解析】

根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函数y=2x+l的图象过一、二、三

象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.

【详解】

Vk=2>0,1)=1>0,

・・・根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D.

【点睛】

本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.

6、C

【解析】

【分析】根据相关的定义（调查方式，概率，可能事件，必然事件）进行分析即可.

【详解】

A.检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；

B.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；

C.“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；

D.“多边形内角和与外角和相等“是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.

故正确选项为：C

【点睛】本题考核知识点：对（调查方式，概率，可能事件，必然事件）理解.解题关键：理解相关概念，合理运用举反

例法.

7、D

【解析】

根据题意得出：NB=30。，AP=30海里，ZAPB=90°,再利用勾股定理得出BP的长，求出答案.

【详解】

解：由题意可得：ZB=30°,AP=30海里，ZAPB=90°,

故AB=2AP=60（海里），

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=y/AB^AP2=3CX/3（海里）

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键.

8、B

【解析】

解：2^x-=—,解得n=150。.故选B.

2180

考点：弧长的计算.

9、D

【解析】

A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调套，故A错误；

B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；

C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；

D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；

故选D.

10、B

【解析】

设人马有入•匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=ioo,大马拉瓦数十小马拉瓦数=ioo,根据等量

关系列出方程即可.

【详解】

解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：

'x+y=\00

'3x+gy=100'

故选：B.

【点睛】

本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、17

【解析】

根据饼状图求出25元所占比重为20%,再根据加权平均数求法即可解题.

【详解】

解：1-30%-50%=20%,

A25x20%+10x30%+18x50%=17.

【点睛】

本题考查了加权平均数的计算方法，属于简单题，计算25元所占权比是解题关键.

12、15°

【解析】

分析：根据等腰三角形的性质得出NABC的度数，根据中垂线的性质得出NABD的度数，最后求出NDBC的度数.

详解：VAB=AC,ZBAC=50°,,NABC=NACB=(180°-50°)=65°,

VMN为AB的中垂线，:.ZABD=ZBAC=50°,:.ZDBC=65°-50°=15°.

点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质以及中垂线的性质定理，属于中等难度的题型.理解中垂线的性质是解决

这个问题的关键.4

13、65°

【解析】

因为AB〃CD,所以NBEF=180O-Nl=130。，因为EG平分NBEF,所以NBEG=65。，因为AB〃CD,所以

Z2=ZBEG=65°.

14、24a

【解析】

根据题意列出代数式即可.

【详解】

根据题意得：30ax0.8=24a,

则应付票价总额为24a元，

故答案为24a.

【点睛】

考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键.

15、3

【解析】

分析：

由已知条件易得：EF/7AB,且EF：AB=1：2,从而可得△CEFs2XCAB,且相似比为1：2,设SACEF=X,根据相似

三角形的性质可得方程：7TL=7，解此方程即可求得△EFC的面根.

9+x4

详解：

・・,在AABC中，点E,F分别是AC,BC的中点，

・・・EF是△ABC的中位线，

AEF/7AB,EF：AB=1：2,

AACEF^ACAB,

/«SACEF：SACAB=1：4,

设SACEF=X,

,**SACAB=SACEF+S西边形ABFE>S四边形ABFE=9,

.x1

・•------=—，

9+x4

解得：x=3,

经检验：x=3是所列方程的解.

故答案为；3.

点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键.

16、

6

【解析】

连接OAQBQC,则根据正六边形ABCDEF内接于00可知阴影部分的面积等于扇形OAB的面积，计算出扇形OAB

的面积即可.

【详解】

解：如图所示，连接OA,OB,OC,

•・,正六边形ABCDE厂内接于。

:.ZAOB=60°,四边形OABC是菱形，

AAG=GC,OG=BG,ZAGO=ZBGC

.,.△AGO^ABGC.

/.△AGO的面积=△BGC的面积

V弓形DE的面积=弓形AB的面积

，阴影部分的面积=弓形DE的面积+△ABC的面积

二弓形AB的面积+△AGB的面积+△BGC的面积

二弓形AB的面积+△AGB的面积+△AGO的面积

=扇形OAB的面积

360

_n

6

故答案为［.

6

E

B

【点睛】

本题考合了扇形的面积计算公式，利用数形结合进行转化是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)m的值为1或・2.

【解析】

(1)计算根的判别式的值可得(m+D2>1,由此即可证得结论；(2)根据题意得到x=±2是原方程的根，将其代入

列出关于m新方程，通过解新方程求得m的值即可.

【详解】

(1)证明：V△=[-(m+3)]2-2(m+2)=(m+1)2>1,

・••无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

(2)解：・・♦方程有一个根的平方等于2,

AX=±2是原方程的根，

当x=2时，2-2(m+3)+m+2=l.

解得m=l；

当x=-2时,2+2(m+3)+ni+2=l,

解得m=-2.

综上所述，m的值为1或-2.

【点睛】

本题考查了根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时要分类讨论，这是此题的易错点.

18、(1)证明见解析；(2)2道.

【解析】

(1)由BD是△ABC的角平分线，DE〃AB,可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF,可得DE=AF,

即可证得四边形ADEF是平行四边形；

(2)过点E作EH_LBD于点H,由NABC=60。，BD是NABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长,

即可求得答案.

【详解】

(1)证明：TBD是AABC的角平分线，

/.ZABD=ZDBE,

VDE//AB,

.\ZABD=ZBDE,

AZDBE=ZBDE,

・・BE=DE；

VBE=AF,

.*.AF=DE;

・•・四边形ADEF是平行四边形；

(2)解：过点E作EH_LBD于点H.

VZABC=60n,BD是NABC的平分线，

AZABD=ZEBD=30°,

1I

/.DH=—BD=—x6=3,

22

VBE=DE,

ABH=DH=3,

ADE=BE=2^.

BZC

【点睛】

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法.

19、(1)AMEF是等腰三角形(2)见解析(3)证明见解析(4)—71

3

【解析】

(1)由AD〃BC,可得NMFE=NCEF,由折登可得，ZMEF=ZCEF,依据NMFE=NMEF,即可得到ME=

MF,进而得出△MEF是等腰三角形；

(2)作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF,依据轴对称的性质，即可得到D，的位置；

(3)依据△BEQgZXD'FP,可得PF=QE,依据△NCPg/kNAP,可得AN=CN,依据RSMC'NgRtAMAN,

可得NAMN=NCMN,进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MO_LEF且MO平分EF；

(4)依据点D，所经过的路径是以。为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧，即可得到点D，所经过的路径的长.

【详解】

(1)AMEF是等腰三角形.

理由：•・•四边形ABCD是矩形，

AAD/7BC,

AZMFE=ZCEF,

由折叠可得，ZMEF=ZCEF,

AZMFE=ZMEF,

.\ME=MF,

•••△MEF是等腰三角形.

(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示:

BEC

VFD=BE,

由折叠可得，D'F=DF,

.*.BE=D,F,

在^NCQ和^NAP中，NCNQ=N」ANP,ZNC,Q=ZNAP=90°,

/.ZCQN=ZAPN,

VZCQN=ZBQE,ZAPN=ZDPF,

AZBQE=ZDPF,

在4BEQ和△DFP中，

/BQE=/DPF

{BE=D'F,

AP=CQ

/.△BEQ^AD'FP(AAS),

・・・PF=QE,

•・,四边形ABCD是矩形，

AAD=BC,

.*.AD-FD=BC-BE,

AAF=CE,

由折叠可得，CE=EC,

/.AF=C'E,

.*.AP=C'Q,

在41>1(：、和4NAP中，

4C'NQ=4ANP

{ZNCQ=ZNAP,

AP=CQ

/.△NCT^ANAP(AAS),

AAN=C'N,

在RtAMC'N和RtAMAN中，

MN=MN

‘AN=CN'

/.RtAMCN^RtAMAN(HL),

/.ZAMN=ZC'MN,

由折叠可得，ZCEF=ZCEF,

•・•四边形ABCD是矩形，

AAD/7BC,

AZAFE=ZFEC,

.*.ZC*EF=ZAFE,

AME=MF,

AAMEF是等腰三角形，

AMO±EF且MO平分EF；

(4)在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧,

如图：

故答案为?■不.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质以及全等

三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.

20、（1）50,20%,72°.

（2）图形见解析；

（3）选出的2人来自不同科室的概率

【解析】

试题分析：（1）根据调查样本人数二A类的人数除以对应的百分比.样本中B类人数百分比二B类人数除以总人数，B

类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比x360,

（2）先求出样本中B类人数，再画图.

（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率.

试题解析：（1）调查样本人数为4・8%=50（人），

样本中B类人数百分比（50・4・28-8）4-50=20%,

B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%X360°=72°；

（2）如图，样本中B类人数=507-28・8=10（人）

(3)画树状图为：

乙1

甲1甲2人

/TV

甲2乙1乙2乙3甲1乙1乙2乙3甲1甲2乙2乙3

乙2乙3

甲1甲2乙1乙3甲1甲2乙1乙2

共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种,

所以选出的2人来自不同科室的概率WV

考点：1.条形统计图2.扇形统计图3,列表法与树状图法.

21、(1)证明见解析；(2)V53;

【解析】

(1)根据正方形的性质得到NGAD=NEAB,证明△GADgZkEAB,根据全等三角形的性质证明；(2)根据正方形的

性质得到BD_LAC,AC=BD=5及，根据勾股定理计算即可.

【详解】

(1)在△GAD和△EAB中，ZGAD=90°+ZEAD,ZEAB=90°+ZEAD,

AZGAD=ZEAB,

AC=AE

在^GAD和△EAB中，＜ZGAD=ZEAB,

AD=AB

AAGAD^AEAB,

AEB=GD；

(2)•・•四边形ABCD是正方形，AB=5,

/.BD±AC,AC=BD=5①，

।cB

r.ZDOG=90°,OA=OD=-BD=1^—,

22

VAG=2V2，

0J?

AOG=OA+AG=—

2

由勾股定理得，Gl)川ob+OG”屈，

・・・EB=屈.

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键.

22、(1)证明见解析(2)V2-1

【解析】

(1)先由旋转的性质得AE=AB,AF=AC,ZEAF=ZBAC,贝ljNEAF+NBAF=NBAC+NBAF,即NEAB=NFAC,

利用AB=AC可得AE=AF,得出△ACF^AABE,从而得出BE=CF；

(2)由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,根据等腰三角形的性质得NAEB=NABE,根据平行线得性质

得NABE=NBAC=45。，所以NAEB=NABE=45。，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=J^AC=拉，于

是利用BD=BE-DE求解.

【详解】

(1)•••△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

AAE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

:.NEAF+NBAF=NBAC+NBAF,

即NEAB=NFAC,

AC=AB

在AACF和AABE中，,NCAF=NBAE

AF=AE

.△ACF^AABE

:.BE=CF.

(2),・•四边形ACDE为菱形，AB=AC=1,

ADE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

AZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

r.ZAEB=ZABE=45°,

/.△ABE为等腰直角三角形，

.*.BE=V2AC=V2>

ABD=BE-DE=72-1.

考点：L旋转的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质.

23、见解析

【解析】

试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCEgZkDCG,则可

得BE=DG；

应用：由AD〃BC,BE=DG,可得&®：+SACD中Sw=SAE；=8,又由AE=3ED,可求得ACDE的面积，

继而求得答案.

试题解析：

探究：:四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，

ABC=CD,CE=CG,ZBCD=ZA,ZECG=ZF.

VZA=ZF,

AZBCD=ZECG.

:.ZBCD-ZECD=ZECG-ZECD,

BPZBCE=ZDCG.

在^BCE^ADCG中，

BC=CD

<4BCE=4DCG

CE=CG

/.△BCE^ADCG(SAS),

ABE=DG.

应用：・・•四边形ABCD为菱形，

AAD/7BC,

VBE=DG,

SAABK+SACDE=SABEC=SACDG=8,

VAE=3ED,

SACDK=—x8=2,

4

=

SAECG=SACT>E+SACD«10

•••S«WCEFG=2SaE€(；=2O.

「(9+3V1767-3加小ki迥

24、(1)y=/—5x+5.；(2)点G坐标为G(3,-1)；

3

【解析】

分析：（D根据已知列出方程组求解即可；

（2）作AM_Lx轴，BN_