北京市育才校2023-2024学年中考数学最后一模试卷含解析

北京市育才校2023-2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图所示的几何体的主视图是（）

2.如图，M是AABC的边BC的中点，AN平分NBAC,BN_LAN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,则AC的长

是（）

A.12B.14C.16D.18

3.学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表:

得分（分）60708090100

人数（人）7121083

则得分的众数和中位数分别为（）

A.70分，70分B.80分，80分C.70分，80分D.80分，70分

4.剪纸是水族的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品是中心对称图形的是（）

c.D.

5.如图，ABLCD,且AB=C£>.E、/是A加上两点，CE1AD,3尸_LAO.若CE=。，BF=b,EF=c,

则4。的长为（）

A.a+cB.b+cC.ci—b+cD.a+b-c

6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列

结论中不一定成立的是（）

A.ZABC=Z.ADCtNBAD=NBCDB.AB=BC

C.AB=CDtAD=BCD.ZDAB+ZBCD=\^°

7.如图，半径为3的。A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧。A优弧上一点，则tanNOBC为()

A.-B.2aC.—D.

3、43

8.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出

一个球，则两次都摸到白球的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.—

24612

9.下列说法正确的是（）

A.“买一张电影票，座位号为偶数”是必然事件

B.若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=o.3,S乙2=0」，则甲组数据比乙组数据稳定

C.一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5

D.一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是5

10.已知函数y=a/+方x+c的图象如图所示，则关于x的方程or2+》x+c・4=0的根的情况是

A.有两个相等的实数根B.有两个异号的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

[2x+y=4

11.已知方程组（U，则x+y的值为______.

[x+2y=5

12.一组数据10,10,9,8,x的平均数是9,则这列数据的极差是___.

13.如瓯正五边形ABCDE和正三角形AMN都是。。的内接多边形，则NBOM=.

14.如图，ABC的顶点落在两条平行线上，点D、E、F分别是.ABC三边中点，平行线间的距离是8,BC=6,

移动点A,当CD=BD时，EF的长度是______.

15.如果等腰三角形的两内角度数相差45。，那么它的顶角度数为.

16.若-2a“'b4与5a冲向是同类项，则m+n=.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）小哈家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着4楼梯）、8（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小

哈按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉

情况.若小哈任意按下一个开关，正好喽梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个,

则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.

18.（8分）某地一路段修建，甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做5天，再由甲、乙两队合作9天，共

完成这项工程的三分之一.

（1）求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？

（2）若甲队的工作效率提高20%,乙队工作效率提高50%,甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工

程款2.5万元，现由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分，在完成此项工程的工程款不超过190万元的条

件下要求尽早完成此项工程，则甲、乙两队至多要合作多少天？

19.（8分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理.该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工

程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？

指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍.

通过这段对话.请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数.

20.（8分）北京时间2019年3月10日。时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C

卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到4点时，从位于地面雷达站。处测得D4

的距离是6初2,仰角为42.4。；1秒后火箭到达3点，测得。3的仰角为45.5。.（参考数据：sin42.4%0.67,cos42.430.74,

tan42.4。汕.905,sin45.530.71,cos45.5~.70,121145.5。=1.02）求发射台与雷达站之间的距离。。；求这枚火箭从A到"

的平均速度是多少（结果精确到0.01）?

21.（8分）如图，已知在RSABC中，ZACB=90°,AOBC,CD是RtAABC的高，E是AC的中点，ED的延

长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G,如果AE・AC=AG・AD,求

证：EG・CF=ED・DF.

22.（10分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF.求证:

EA±AF.

23.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE.

求证：AE/7CF.

24.画出二次函数y=（x-1产的图象.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.

【详解】

解：由图可知，主视图如下

故选C.

【点睛】

考核知识点：组合体的三视图.

2、C

【解析】

A

•・・4N平分NR4C,：・/BAN=NEAN.

在△AAN与△AEN中，

•••NBAN=NEAN,AN=AN,NANB=/ANE=90。，

・・・A£=AB=10,BN=NE.

又VM是^ABC的边〃。的中点，:.CE=2MN=2x3=6,

・・・AC=AE+CE=10+6=16.故选C.

3、C

【解析】

解：根据表格中的数据，可知70出现的次数最多，可知其众数为70分；把数据按从小到大排列，可知其中间的两个

的平均数为80分，故中位数为80分.

故选C.

【点睛】

本题考查数据分析.

4、D

【解析】

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，

这个点叫做对称中心进行分析即可.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项绪误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

5、D

【解析】

分析：

详解：如图,

r厂❸

VAB±CD,CE±AD,

AZ1=Z2,

又・・・N3=N4,

.•.1800-Zl-Z4=180°-Z2-Z3,

即NA=/C.

VBF±AD,

/.ZCED=ZBFD=90°,

VAB=CD,

AAABF^ACDE,

AAF=CE=a,ED=BF=b,

又・・・EF=c,

AAD=a+b-c.

故选:D.

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明AABFgZ\CDE是关键.

6、D

【解析】

首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等,则四边形ABCD

为菱形.所以根据菱形的性质进行判断.

【详解】

四边形A〃C力是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形,

/.AB//CD,AD//BC,

「•四边形ABCO是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；

过点。分别作8C,CO边上的高为4E,4F.则

AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；

平行四边形ABC。中，SNBC=SMCD，BCXAE=CDXAFF

:.BC=CD,即A3=8C・故5正确；

・•・平行四边形A3CQ为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）.

/.ZABC=ZADCtZBAD=ZBCD（菱形的对角相等），故A正确；

AB=CD,AD=BC（平行四边形的对边相等），故。正确；

如果四边形ABCQ是矩形时，该等式成立.故。不一定正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质.注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”.

7、C

【解析】

试题分析：连结CD,可得CD为直径，在RSOCD中，CD=6,OC=2,根据勾股定理求得OD=4J,

所以tan/CDO=X二，由圆周角定理得，ZOBC=ZCDO,则tanNOBC=X;，故答案选C.

44

考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义.

8、C

【解析】

画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.

【详解】

解：画树状图得：

开始

红球白白

/K八/T\/N

球白白红白白红球白红绿白

・・•共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，

21

・••两次都摸到白球的概率是：—

126

故答案为C.

【点睛】

本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键.

9、C

【解析】

根据确定性事件、方差、众数以及平均数的定义进行解答即可.

【详解】

解：A、买一张电影票，座位号为偶数”是随机事件，此选项错误；

B、若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=0.3,S乙2=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定，此选项错误；

C、一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5,此选项正确；

25

D、一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是十，此选项错误；

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件

下，可能发生也可能不发生的事件.

10、A

【解析】

22

根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4,判断方程ax+bx+c-4=0的根的情况即是判断函数y=ax+bX+c的图象与直线

y=4交点的情况.

【详解】

•・•函数的顶点的纵坐标为4,

，直线y=4与抛物线只有一个交点，

・'•方程ax2+bx+c-4=0有两个相等的实数根，

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

方程组两方程相加即可求出x+y的值.

【详解】

2x+y=4®

x+2y=5②’

①+®得：1(x+y)=9,

则x+y=l.

故答案为：1.

【点睛】

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

12、1

【解析】

先根据平均数求出x,再根据极差定义可得答案.

【详解】

10+10+9+8+x

由题意知

解得：x=8>

，这列数据的极差是10-8=1,

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查平均数和极差，熟练掌握平均数的计算得出x的值是解题的关键.

13、48°

【解析】

连接OA,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可.

【详解】

连接OA,

,360°

AZAOB=-------=72°,

5

「△AMN是正三角形，

,360°

AZAOM=------=120。，

3

:.ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

故答案为48。.

点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.

14、1

【解析】

过点D作DH_LBC于点H,根等腰三角形的性质求得BD的长度，继而得到AB=2BD,结合三角形中位线定理求

得EF的长度即可.

【详解】

解：如图，过点D作DH_LBC于点H,

过点D作DHJLBC于点H,BC=6,

BH=CH=3.

又平行线间的距离是8,点D是AB的中点，

.•.DH=4,

・・・在直角・BDH中，由勾股定理知，BD=>/DH2+BH2=742+32=5-

点D是AB的中点，

/.AB=2BD=I().

又点E、F分别是AC、BC的中点,

.•.EF是ABC的中位线,

EF=-AB=5.

17

故答案是：1.

【点睛】

考查了三角形中位线定理和平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质求得DH的长度.

15、90°或300・

【解析】

分两种情况讨论求解：顶角比底角大45。；顶角比底角小45。.

【详解】

设顶角为x度，则

当底角为-45。时，2(x°-45°)+x°=180°,

解得x=90°,

当底角为x0+45。时，2(x°+45°)+x°=180°,

解得x=30°,

，顶角度数为90。或30。.

故答案为：90。或30。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的两个底角相等即分类讨论的数学思想，解答本题的关键是分顶角比底角大45。或顶角比底角

小45。两种情况进行计算.

16、-1.

【解析】

试题分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程组，根据解方程组，可得m、n的值，根据有

理数的加法，可得答案.

试题解析：由・2amb4与5a2b"7是同类项，得

解得最

m+n=-l.

考点：同类项.

三、解答题(共8题，共72分)

17>(1)-i(2)

33

【解析】

试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是H3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得

出概率.

试题解析：(1)、小啥任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：!

(2)、画树状图得：

开始

/A\zB\/\C

BC4CAB

结果：(A,B)、(A,CX(B,A)>(B,C)>(C,A)、(C,B)

•・•共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，

21

，正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是％=3.

考点：概率的计算.

18、(1)甲、乙两队合作完成这项工程需要36天；(2)甲、乙两队至多要合作7天

【解析】

(1)设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天，根据条件：甲队先做5天，再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的

,,列方程求解即可；

・

3

(2)设甲、乙两队最多合作元天，先求出甲、乙两队合作一天完成工程的多少，再根据完成此项工程的工程款不超过

190万元，列出不等式，求解即可得出答案.

【详解】

(1)设甲、乙两队合作完成这项工程需要x天

根据题意得，..?

解得x=36,

经检验x=36是分式方程的解，

答：甲、乙两队合作完成这项工程需要36天,

⑵

toQ一例

设甲、乙需要合作y天，根据题意得，

(4+2J)口♦25x七总------4/兆

解得y<7

答：甲、乙两队至多要合作7天.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系，列方程求解，注意检验.

19、1米.

【解析】

试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论.

试题解析：解：设原来每天清理道路x米，根据题意得：

6004800-600八

——+---------------=9

x2x

解得，x=l.

检验：当X=1时，2/0,・..x=l是原方程的解.

答：该地驻军原来每天清理道路1米.

点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根.

20、(I)发射台与雷达站之间的距离CO约为4.44初?；(II)这枚火箭从A到8的平均速度大约是0.51初?/s.

【解析】

(I)在RIAACD中，根据锐角三角函数的定义，利用NADC的余弦值解直角三角形即可;(II)在RtABCD和RSACD

中，利用NBDC的正切值求出BC的长，利用NADC的正弦值求出AC的长，进而可得AB的长，即可得答案.

【详解】

CD

(I)在RzcACQ中，DA=6km,ADC=42.4°,cosZADC=-------0.74,

AD

:.CD=AD-cos/ADC=6xcos42A°«4.44(km).

答：发射台与雷达站之间的距离C。约为4.44切?.

(II)在RtBCD中，CD=4.44km,NBDC=45.5。，3〃N8OC=空,

:.BC=CDtanNBDC=4.44x/w?45.5。«4.44x1.02=4.5288(km).

Ar

V在RtaACD中，sin^ADC=--,

AD

/.AC=AD-sin/ADC=6xs%42.4°«4.02(km).

・・・AB=BC-AC=4.5288-4.02=0.5088«0.51(km).

答：这枚火箭从A到3的平均速度大约是0.51加/s.

【点睛】

本题考直解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

21、证明见解析

【解析】

试题分析：(1)根据已知求得NBDF=NBCD,再根据NBFD=NDFC,证明△BFDs^DFC,从而得BF：DF=DF：

FC,进行变形即得；

EGBF

(2)由已知证明△AEGsaADC,得到NAEG=NADC=90。，从而得EG〃BC,继而得一=—,

EDDF

由(1)可得=，从而得黑二第，问题得证.

DFCFEDCF

试题解析：(1)VZACB=90°,/.ZBCD+ZACD=90°,

〈CD是RtAABC的高，.,.ZADC=ZBDC=90°,AZA+ZACD=90°,.\ZA=ZBCD,

YE是AC的中点，

ADE=AE=CE,