苏教版中考综合模拟检测《数学试题》含答案解析

苏教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有

一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（）内）

1.-■!■的相反数是（）

2

A.-2B.2C.--

2

2.下列计算结果为a6的是（）

A.a7-aB.a2,a3C.a8-i-a2D.(a4)2

3.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）

A___

V

A,三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥

4.若向I在实数范围内有意义，则x的取值范围（）

A.x>2B.x<2

C.x>2D.x<2

5.一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）

A.（-5,3）B.（1,-3）C.（2,2）D.（5,-1）

6.下列命题中，真命题是（）

A.四边都相等的四边形是矩形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4

7.如图，已知点A、B在反比例函数>=一图像上，AB经过原点O,过点A做工轴的垂线与反比例函数

X

2

y=一—的图像交于点C,连接BC,则aABC的面积是（）

x

A.8

B6

C.4

I).3

8.如图，已知正方形ABC。的边长为3,点E是A3边上•动点，连接E。，将E。绕点E顺时针旋转90°到

EF，连接PF、C/，则DF+CF的最小值是()

A.3石B.46c.5V2D.2V13

二、填空题.

9.计算：一3+(-1)=.

X+11

10.化简:

XX

11.分解因式：nix2-my2=.

12.已知点M(1,2),则点M关于工轴的对称点的坐标是.

13.“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克"可燃冰''完全燃烧放出的热量约为4200000(X)

焦耳，数据420000000用科学记数法表示为.

14.数轴上点A、B、C分别表示数2、4、6,在线段AC上任取一点P,使得点P到点B的距离不大于1的

概率是.

15.如图，在口48c中，CO平分NAC4交A8于点。，过点。作。E7/8C交AC于点E.若NA=54。，

NB=48。，则NODE=.

DA

BC

16.如图，四边形A8CO内接于。0,A8为。0的直径，点C为弧8。的中点，若NDAB=40°,则

17.如图，在即A48C中，NACB=90',4C=BC,A8=6,点。,石分别在边A8、AC上，

AD=2,AE=2五,点、F从点、D出发沿DB向点B运动,运动到点8结束，以砂为斜边作等腰直角三

角形EFP（点E、尸、P按顺时针排列），在点尸运动过程口点P经过的路径长是

18.如图，已知在菱形ABC。中，NA=60",DE//BF,sinE=^,DE=6,EF=BF=5,则菱形ABC。

的边长等于____________

三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或

推理过程）.

19.计算：+"-（及一l）°-6sin30。

20.解方程组和不等式组:

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当

转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图

或列表等方法求解）.

24.如图，一次函数〃与反比例函数y=A（女为常数，攵工0）的图像在第一象限内交于点4（1,2）,

X

且与x轴、y轴分别交于我c两点.

（|）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点尸在X轴上，且ABCP的面积等于2,求点尸的坐标.

25.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行••

段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向的B处，求此时轮册所在的B处与灯塔P的距离.（参考数据:

遍=2.449,结果保留整数）

26.如图,已知C7）是的高,AD=\,BD=4.CO=2.百角NAE尸的顶点£是射线卜一动点.

交直线C。于点G,E/7所在直线交直线AB于点F.

（1）判断^ABC的形状，并说明理由；

（2）若G为AE的中点，求tan/EAF的值;

RF1FF

（3）在点E的运动过程中，若二二二，求"的值.

BC3EG

C

27.阅读材料并解答下列问题：如图I,把平面内一条数轴x绕原点。逆时针旋转角6（0,<0<90°）得到另

一条数轴XX轴和丁轴构成一个平面斜坐标系xQy.

规定：过点〃作y轴的平行线，交X轴于点A，过点。作X轴的平行线，交》轴于点8,若点A在X轴对

应的实数为。，点4在y轴对应的实数为/?,则称有序实数对⑺力）为点?在平面斜坐标系中的斜坐

标.如图2,在平面斜坐标系xQy中，已知。=60"点?的斜坐标是（3,6）,点。的斜坐标是（0,6）.

（1）连接OP,求线段。尸的长：

（2）将线段OP绕点。顺时针旋转60,到。。（点Q与点尸对应），求点。的斜坐标；

（3）若点。是直线OP上一动点，在斜坐标系为。），确定的平面内以点。为圆心，DC长为半径作口。,

当0。与工轴相切时，求点。的斜坐标，

H2

28.如图，已知二次函数了二：/+法的图像经过点A(T,O),顶点为A一次函数y=；x+2的图像交丁

轴干点M,P是抛物线上-一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上(对称

轴直线BH与x轴交于点H).

(1)求二次函数表达式；

(2)求点P的坐标;

(3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是£1，连接0G,点F是线段0G

上一点，点。是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标.

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有

一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（）内）

的相反数是（）

2

11

A.—2B.2C.----D.—

22

【答案】D

【解析】

【详解】因为-!+!=o,所以的相反数是，.

2222

故选D.

2.下列计算结果为a6的是（）

A.aB.a2-a?D.(a4)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同底数事的乘除法法则、事的乘方法则、合并同类项法则遂行计算,判断即可.

【详解】A、a，与a不能合并，故A不符合题意;

B、a2*a3=a\故B不符合题意;

C、a8^a2=a6,故C符合题意;

D、（a4）2=a\故D不符合题意,

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数制的乘除法、累的乘方等运算,熟练掌握各运算的运算法则是解

题的关键.

3.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（)

V

A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥

【答案】A

【解析】

【分析】

侧面为长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱.

【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱.

故本题选择A

【点;睛】会观察图形的特征，依据侧面和底面的图形确定该几何体是解题的关键.

4.若我二I在实数范围内有意义，则x的取值范围（）

A.x>2B.x<2

C.x>2D.x<2

【答案】A

【解析】

【分析】

二次根式有意义，被开方数为非负数，即X-220,解不等式求x的取值范围.

【详解】•••工在实数范围内有意义，

Ax-2>0,解得xN2.

故答案选A.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.

5.一次困数y=kx-1的图象经过点匕且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）

A.（-5,3）B.（1,-3）C.（2,2）D.（5,-1）

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数图象的性质判断系数k>0,则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交「负

半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论.

【详解】•・•一次函数y=kx-1的图象的y的值随x值的增大而增大，

・・・k>0,

4

A、把点（-5,3）代入y=kx-l得到：k=-----<0,不符合题意；

5

B、把点（1，-3）代入y=kx-l得到：k=-2<0,不符合题意；

3

C、把点（2,2）代入户kx・l得到：k=^->0,符合题意；

D、把点（5,I）代入y=kx1得到：k=O,不符合题意,

故选c.

【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞。是解题的关

键.

6.下列命题中，真命题是（）

A.四边都相等的四边形是矩形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

I）.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

利用矩形、正方形、菱形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】A、四边都相等的四边形是菱形，不是矩形，故错误，是假命题；

B、矩形的对角线相等，等腰梯形的对角线也相等，故错误，是假命题；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故错误，是假命题；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，

故选D.

【点睛】本题考查了命题与定理知识，解题的关键是了解矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形的性质，

难度不大.

4

7.如图，已知点A、B在反比例函数y=—的图像上，AB经过原点O,过点A做x轴的垂线与反比例函数

X

2

y=一一的图像交于点c,连接BC,则AABC的面积是（）

A.8

B.6

C.4

D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

4426

过点B作BE_LAC,交AC的延长线于点E,设A(x,一)则有B(-x,-—)，C(x,AC=-,BE=2x,

XXXX

再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】过点B作BE_LAC,交AC的延长线于点E,如图:

426

/.AC=-+|一一|=-,

XXX

BE=x-<-x)=2x,

116

SABC=-ACxBE=—x2xx—=6.

A22x

故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质.这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确

理解k的几何意义.

8.如图，已知正方形A8CO的边长为3,点石是边上-动点，连接石力，将。绕点E顺时针旋转90°到

D.2A/13

【答案】A

【解析】

【分析】

连接BF,过点F作FG_LAB交AB延长线于点G,通过证明aAED四4GFE(AAS),确定F点在BF的射

线12运动：作点C关于BF的对称点CZ由三角形全等得到NCBF=45。，从而确定C点在AB的延长线匕

当D、F、C三点共线时，DF+CF=DC最小，在RsADC'中，AD=3,AC'=6,求出DC=3百即可.

【洋解】解：连接BF,过点F作FG_LAB交AB延长线于点G,

将ED绕点E顺时针旋转90。到EF,

AEF1DE,且EF=DE,

AAAED^AGFE(AAS),

AFG=AE,

・・・F点在BF的射线上运动，

作点C关于BF的对称点C',

VEG=DA,FG二AE,

AAE=BG,

.\BG=FG,

・・・NFBG=45°,

・•・ZCBF=45°,

.・.C点在AB的延长线上，

当D、F、C三点共线时,DF+CF二DC最小,

在R3ADC中,AD=3,AC'=6,

・・・DC=3不，

・,.DF+CF的最小值为3石，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为

共线线段是解题的关键.

二、填空题.

9.计算：一3+(-1)=.

【答案】-4

【解析】

【分析】

利用同号两数相加取相同的符号，然后把绝对值相加即可得解.

【详解】-3+(-1)=-(3+1)=-4.

故答案为-4.

【点睛】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题.

【答案】1

【解析】

X+111—1

XXX

故答案是：1.

11.分解因式：mx1-my2=.

【答案】加(x+y)

【解析】

【分析】

先提取公因式m,再对余卜的多项式利用平方差公式继续进行因式分解.

【详解】mx2-my2=m(x2-y2)=m(x+J)(x-y).

故答案为机a+y)(x-y).

【点睛】本题考杳了用提公因式法和公式法进行因式分解.，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.已知点M(1,2),则点M关于工轴的对称点的坐标是.

【答案】(1,-2)

【解析】

【分析】

直接利用关于x轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案.

【详解】•・•点M(I,2),

・••点M关于x轴的对称点的坐标是(1,-2).

故答案为(1,-2).

【点睛】此题主要考杳了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

13.“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克"可燃冰''完全燃烧放出的热量约为420(X)0000

焦耳，数据420000000用科学记数法表示为.

【答案】4.2x108

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中岸间＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的

绝对值小于1时，n是负数.

【详解】解:420000000的小数点向左移动8位得到4.2,

所以420000000用科学记数表示为：4.2x108.

故答案为4.2x10

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax|()n的形式，其中日间＜10,n为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

14.数轴上点A、B、C分别表示数2、4、6,在线段AC上任取一点P,使得点P到点B的距离不大于1的

概率是_______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出点P到点B的距离不大于I的点的线段的长，再求出AB的长，最后利用概率公式解答即可.

DBEC

-

46

•・•点P到距离不大于I的点在线段DE上，DE=2,AC=4,

，点P到点B的距离不大于1的概率是2=』.

42

故答案为3.

【点睛】此题考查了概率公式，关键是求出点P到点B的距离不大于1的线段长，用到的知识点为：概率二

相应的线段长与总线段长之比.

15.如图，在口/A4c中，C力平分NAC8交A8于点。，过点D作DE//BC交AC于点E.若NA=54。，

ZB=48°,则NC£>E=

【答案】39。.

【解析】

【分析】

利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求出NOCB即可解决问题.

【详解】解：•••NA=54°,ZB=48°,

Z4CB=180°-54°-48。=78。，

・・・C£）平分NACB,

ZDCB=-ZACB=39°,

2

•.♦DEUBC,

NCDE=/DCB=39。,

故答案为：39。.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

16.如图，四边形48CQ内接于。。48为。O的直径，点。为弧8。的中点，若ND48=40°,则

【解析】

【详解】解：连接AC,

•・•点C为弧8。的中点，

ZDAI^20°,

2

•.MB为。。的直径，

・・・N4CB=9（T,

AZABC=7O0,

故答案为70°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.

17.如图，在Rf/SBC中,ZACB=90\4c=8C,AB=6,点。,E分别在边A3、AC上，

AD=2,AE=26，点F从点D出发沿DB向点B运动,运动到点8结束，以E尸为斜边作等腰直角三

角形EFP（点七、尸、。按顺时针排列），在点尸运动过程口点P经过的路径长是

【答案】2夜

【解析】

【分析】

根据题意，当点F从点D开始运动，到达点B结束，点P的运动路径为p尸，由等腰直角三角形的性质和

勾股定理，先求出BE的长度，然后求出的长度，然后求出PE的长度，再证明NEPP—90。，再利用

勾股定理，即可求出PP的长度.

【详解】解：如图：当点F从点D开始运动，到达点B结束，点P的运动路径为尸尸）

B

在心AA8C中，ZACB=90°,AC=BC,AB=6,

:・AC=BC=3叵，

,:AE=2叵,

・•・EC=3忘-2及=血，

由勾股定理，得：

BE=y/BC2+EC2=J（3扬2+（扬2=2石，

•・•AE3P'是等腰直角三角形，

：・EP.=BP，=M,

..AD2V26

•-----=—十=—，cos45=,

AE2V222

・•・在4ADE中，Wcos45°=—=—»

AE2

ADEIAB,即4ADE是直角三角形；

：•DE=J（2夜）2一2?=2,

•••△PDE是等腰直角三角形，

・•・DP=EP=①,

VZAED=ZDEP=45°,

AZAEP=90!>,

•・•点。、P、P三点共线，

・•・/EPP'=900,

在R仙EPP中,由勾股定理，得

PP'=dEM-PE2=7（V10）2-（>/2）2=2五;

，点?经过的路径长是2五.

故答案为：2&.

【点睛】本题考查了点的运动轨迹问题，也考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定

理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，等腰直角三角形的性质进行解题，以及运用勾股定理求出所需

边长的长度.

。4

18.如图，已知在菱形ABC。中，/A=60,DEI/BF,si〃E=-,DE=6,EF=BF=5,则菱形A8CD

5

的边长等于____________

【答案】处叵

11

【解析】

【分析】

作BG_LEF,连接BD,与EF相交于点H,由三角函数求出BG和GF的长度，然后得到EG的长度，由DE〃BF,

E]jDE6

则△DEHsaBFH,则二——=-,设GH=x,则EH=2+x,FH=3-x,代入求出GH,再由勾股定理求

FHBF5

出BH,得到BD的长度，即可得到菱形的边长.

【详解】解：作BGJ_EF,连接BD,与EF相交于点H,如图：

VDE/7BF,

/.ZF=ZE,

.4

sinZF=sinZE=—,

5

VBG1EF,

../口BG4

..sinZ.F=----=—,

BF5

VBF=EF=5,

ABG=4,

/.FG=V52_42=3,

.\EG=5-3=2；

VDEZ/BF,

*EHDE6

FHBF5

设GH=x,则EH=2+x,FH=3-x,

2+x6

•*•----=—，

3-x5

8

解得：X=—,

11

・•・GH=—；

11

在RtZ\BGH中，由勾股定理，得

B人声=限

:.BD=2BH=^^~；

11

VZA=60°,AB=AD,

•••△ABD是等边三角形，

:・AB=BD=^^~;

11

故答案为：竺

11

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，以及等边三角形

的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

三、解答题（本大题共10小题，共84分，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或

推理过程）.

19.计算：|一1|+〃一（及—1）°—6sin30。

【答案】-1

【解析】

【分析】

直接利用绝对值、算术平方根、零指数事的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【详解】l-ll+a—lg—DO-bsinBO。

=l+2-l-6xl

2

=2-3

=-I.

【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

20.辞方程组和不等式组：

2x-y=0

（1）

3x+y=5

[3x+3>0

（2）<

[x-6<-2x

x=\

【答案】（1）c；（2）-l<x<2.

口=2

【解析】

【分析】

（1）直接利用加减消元法解方程组，即可得到答案；

（2）先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到解集.

【详解】解：（1）\,

[3x+y=5

由两式相加，得：5x=5,

：•x=1»

把X=1代入，得：），=2,

X=1

・••方程组的解为：八；

卜=2

3x+3>0®

(2)〜

x-6<-2A®

解不等式①，得x>-l,

解不等式②，得x<2,

・•・不等式的解集为：—1<XW2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解不等式组的方法和加

减消元法解二元一次方程组.

21.如图，在AABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点

F,且AF=BD,连接BF.

(1)求证：BD=CD；

(2)不在原图添加字母和线段，对aABC只加一个条件使得四边形AFBD是菱形，写出添加条件并说明理

【答案】(1)

【解析】

【分析】

(1)由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD

的中点，得至UAE=DE,利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可

得证；

(2)根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可.

【详解】(1)VAF/7BC

AZAFE=ZDCE

•・・E是AD的中点

.\AE=DE

在aAFE和4DCE中,

ZAFE=ZDCE

-ZAEF=NDEC

AE=BD

AAAFE^ADCE（AAS）,

AAF=CD,

VAF=BD

.\BD=CD；

（2）当AABC满足：NBAC=90。时，四边形AFBD菱形，

理由如下：

VAF//BD,AF=BD,

・•・四边形AFBD是平行四边形，

VZBAC=90°,BD=CD,

.\BD=AD,

,平行四边形AFBD是菱形.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

本题的关键.

22.江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的

情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、"自行车''、"游泳”和“其他”五个

选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.

最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

根据以上信息，请回答下列问题：

（1）这次调杳的样本容量是,a+b=;

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为度；

（3）若该校有1200名学生，估许该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数.

【答案】（1）50人，。+8=11;（2）72°；（3）该校最喜爱的省运动会项目是篮球的学生人数为480

人.

【解析】

分析：（1）依据978%,即可得到样本容量，进而得到a+b的值；

（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；

（3）依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可怙计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生

人数.

详解：（1）样本容量是9X8%=50,

a+b=50-20-9-10=ll,

故答案为50,11；

⑵“自行车”对应的扇形的圆心角=3x360°=72°,

50

故答案为720；

20

（3）该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200x^=480（人）.

点睛：本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1,2,

3.

（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为：

（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当

转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图

或列表等方法求解）.

【答案】（1）—（2）见解析，?

33

【解析】

【分析】

（1）由标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，利用概率公式计算可得；

（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是3的倍数的情况数，再根据概率公式

即可得出答案.

【详解】（1）二•在标有数字1、2.3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，

・•・指针所指扇形中的数字是奇数的概率为2.

3

故答案为：—；

（2）列表如下：

123

1(1.1)(2,1)(3,1)

2(1，2)(2,2)(3,2)

3(1，3)(2,3)(3,3)

由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，

31

所以这两个数字之和是3的倍数的概率为一=

93

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.如图，一次函数y=x+〃与反比例函数）=&（〃为常数，4#0）的图像在第一象限内交于点A（l,2）,

且与X轴、y轴分别交于RC两点.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点。在x轴上，且反叱的面积等于2,求点户的坐标.

2

【答案】（1）y=x+\-），=一：（2）点P的坐标为（3,0）或（-5,0）；

x

【解析】

【分析】

（1）把点A（1,2）分别代入解析式，求出k和b的值，即可得到答案;

（2）先求出点B、C的坐标，然后得到OC,设点P为（x,0）,则P8=|x+l|,利用三角形的面积公式,

即可求出答案.

k

【详解】解：（I）把点A（1,2）代入），=一，则攵=2,

x

・♦•反比例函数的解析式为：y=2；

x

把点A（1,2）代入了=工+/?,则〃=1,

・•・一次函数的解析式为：y=A-+i；

（2）在一次函数y=x+i中，

令7=0,则y=1,

・••点c的坐标为(0,1),

AOC=I；

令y=0,则x=-l,

・••点B的坐标为(-1,0)；

设点P(x,0),

・•.PB=|x+l|,

•••S.MCP=：・加。。=：巾+1卜1=2；

・•・卜+1|=4,

Xj=3,x2=-5,

・••点P的坐标为（3,0）或（—5,0）；

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求函数的解析式，一次函数的性质，以及三角形

的面积公式，解题的关键是正确求出函数的解析式，以及利用三角形的面积公式进行解题.

25.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60。方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一

段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45。方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.（参考数据:

尚上2.449,结果保留整数）

【答案】此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里.

U针斤】

【分析】过点P作PC±AB,则在R@APC中易得PC的长，再在直角ABPC中求出PB的长即可.

【详解】作PC_LAB于C点，

I/N北

东

T\

B

：,ZAPC=30°,ZBPC=45°,AP=80（海里），

PC

在RtaAPC中，cosZAPC=——.

PA

APC=PA*cosZAPC=4073（海里），

PC

在RsPCB中，cosZBPC=——，

PB

APB=———==406仁8（海里）,

cosZ.BPCcos45°

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

26.如图，已知。。是A45C的高，AO=1,BD=4,8=2.直角NAM的顶点E是射线CB上一动点,

交直线C。于点G,E/7所在直线交直线于点F.

(1)判断^ABC的形状，并说明理由；

(2)若G为AE的中点，求tanNEAF的值；

RF1PP

(3)在点E的运动过程中，若—二二,求丁二的值.

BC3EG

3EFI

【答案】(1)Z\ABC是直角三角形，理由见详解；(2)tanNEA/=—；(3)——=-

4EG4

【解析】

【分析】

(1)证明AADCS^CDB可得结论.

(2)如图I中，作EH_LAB于H.求出EH,AH即可解决问题.

EHBHBE124

(3)如图2中，作EH_LAB于H.由EH〃CD,推出——=——=—=-,可得EH二一，BH二一，利

CDBDBC333

用勾股定理求出AE,再利用相似三角形的性质求出EF即可解决问题.

【详解】解：(1)结论：AABC是直角三角形.

理由：VCD1AB,

.\ZCDA=ZCDB=90°,

VAD=I,CD=2,BD=4,

.*.CD2=AD-BD,

.CDBD

••而一而‘

/.△ADC^ACDB,

AZACD=ZB,

VZB+ZDCB=90°,

.\ZACD+ZBCD=90o,

Z.ZACB=90°,

•••△ABC是直角三角形.

(2)如图I中，作EH_LAB于H.

图1

VAD1AB,EH1AB,

DG/7HE,

VAG=GE,

VAD=DH=1,

VDB=4,

.\BH=DB-DH=3,

VEH/7CD,

.BH_EH

3EH

・•・-=——

42

3

2

3

；EH3=3.

tanZ.EAF

一而一5一7

(3)如图2中，作EH_LAB于H.

图2

VCD1AB,EH±AB,

・・・EH〃CD,

.EH_BHBE_1

VCD=2,BD=4,

24

；・EH=—，BH=-,

33

u4118

:.AH=AB-BH=5——=—,DH=AH-AD=

333

AE二+£”2=J(*+守=半

在RIAAEH中,dAH

*/DG〃EH,

.GE_PH

8

._2£=1

,,5加IT

33

GE*

33

VAE1EF,EH1AF,

/.△AEH^AEFH,

.AEAH

,~EF~~EH

5x/5n

•.•-工------9

EF2

3

・”I。布

33

10\/5

・防二WFJ

“EG40x/54

33

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三

角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

27.阅读材料并解答下列问题：如图1,把平面内一条数轴x绕原点。逆时针旋转角6(0,<0<90°)得到另

一条数轴轴和）'轴构成一个平面斜坐标系xOy

规定：过点。作y轴的平行线，交X轴于点A，过点尸作X轴的平行线，交y轴于点8,若点4在X轴对

应的实数为。，点8在）'轴对应的实数为b,则称有序实数对（d〃）为点?在平面斜砸标系中的斜出

标.如图2,在平面斜坐标系/Qy中，已知0=60"点尸的斜坐标是（3,6）,点。的斜坐标是（0,6）.

（1）连接OP,求线段OP的长：

（2）将线段。尸绕点。顺时针旋转60。到。。（点。与点尸对应），求点。的斜坐标；

（3）若点。是直线OP上一动点，在斜坐标系xQy确定的平面内以点D为圆心，0c长为半径作口。,

当。。与工轴相切时，求点。的斜坐标，

3

【答案】（1）OP=3不;（2）点。的斜坐标为（9,-3）；（3）点D的斜坐标为：（^,3）或（6,12）.

【解析】

【分析】

⑴过点P作PCJ_OA,垂足为C,由平行线的性质，得NPAC=6=60。，由AP=6,则AC=3,PC=36，

再利用勾股定理，即可求出OP的长度；

（2）根据题意，过点Q作QE〃OC,QF〃OB,连接BQ,由旋转的性质，得至ljOP=OQ,ZCOP=ZBOQ,

贝UzXCOP04BOQ,则BQ=CP=3,ZOCP=ZOBQ=I20°,然后得至Ij/XBEQ是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3,

则0E=9,OF=3,即可得到点Q的斜坐标;

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP和CM恰好是平行四边形OMPC的对角线时，此时点

D是对角线的交点，求出点D的坐标即可；②取OJ=JN=CJ,构造直角三角形OCN,作NCJN的角平分线,

与直线OP相交与点D,然后由所学的性质，求出点D的坐标即可.

【详解】解：（1）如图，过点P作PCJ_OA,垂足为C,连接0P,

VAP//OB,

・・・NPAC=e=60。,

VPC1OA,

AZPCA=90°，

・.・点2的斜坐标是（3,6）,

.\0A=3,AP=6,

八AC1

..cos60==—，

AP2

・•・AC=3,

・・pc=\lb2-32=3\/3，°C=3+3=6»

在RtaOCP中，由勾股定理，得

(9P=762+(3>/3)2=3V7：

（2）根据题意，过点Q作QE〃OC,QF〃OB,连接BQ,如图:

由旋转的性质,得OP=OQ,ZPOQ=60°,

VZCOP+ZPOA=ZPOA+ZBOQ=6O0，

/COP二NBOQ,

VOB=OC=6,

/.△COP^ABOQ(SAS)；

ACP=BQ=3,ZOCP=ZOBQ=120°,

••・NEBQ=60°,

VEQ/7OC,

AZBEQ=60°,

AABEQ是等边三角形，

ABE=EQ=BQ=3,

AOE=6+3=9,OF=EQ=3,

•・•点Q在第四象限，

・••点。的斜坐标为(9,-3)；

(3)①取OM-PC-3,则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM,交点为D,如图:

由平行四边形的性质，得CD=DM,OD=PD,

・••点D为OP的中点，

•・•点P的坐标为（3,6）,

3

・••点D的坐标为（一，3）；

2

②取0J=JN=CJ,则AOCN是直角三角形，

VZCOJ=60°,

/.△OCJ是等边三角形，

AZCJN=120°,

作NCJN的角平分线，与直线OP相交于点D,作DN_Lx轴，连接CD,如图:

VCJ=JN,ZCJD=ZNJD,JP=JP,

.,.△CJD^ANJD(SAS),

.-.ZJCD=ZJND=90°,

则由角平分线的性质定理，得CD=ND：

过点D作DI〃x轴，连接DJ,

VZDJN=ZCOJ=60°,

.,.0I/7JD,

・•・四边形OJDI是平行四边形，

.\ID=OJ=JN=OC=6,

在RtZUDN中，NJDN=30°,

AJD=2JN=12；

・••点D的斜坐标为(6,12)；

3

综合上述，点D的斜坐标为：(一，3)或(6,12).

2

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分

线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属「中考创新题型.注意

运用分类讨论的思想进行解题.

28.如图，己知二次函数的图像经过点A(_4,O),顶点为8一次函数y=+2的图像交

轴于点M,。是抛物