新型传感技术及应用 课件 第四部分：敏感结构的建模

新型传感技术第四部分：敏感结构的建模主要内容第一部分：基础知识第二部分：传感器的特性第三部分：敏感结构的材料与工艺第四部分：敏感结构的建模

第五部分：典型传感器第六部分：传感器的典型应用2

34需要建立模型进行分析、设计5第四部分思考题（1）1.针对这两个微机械压力传感器，分析异同2.从弹性敏感元件的力学特性，说明传感器指标的相互制约发表在MOOC讨论区里6第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

74.1概述温度测量应用领域

一般特性位移、应变、应力特性固有振动特性其他特性弹性元件的特性弹性元件弹性变形894.1概述常用弹性敏感结构波纹膜片压力/力敏感元件104.1概述常用弹性敏感结构真空膜盒压力敏感元件114.1概述常用弹性敏感结构波纹管压力/力敏感元件124.1概述常用弹性敏感结构波纹管压力/力敏感元件134.1概述常用弹性敏感结构S型梁集中力敏感元件应变式电子秤144.1概述常用弹性敏感结构C型管压力敏感元件使用C型管的压力仪表（传感器）154.1概述常用弹性敏感结构谐振筒压力敏感元件164.1概述常用弹性敏感结构谐振式直接质量流量传感器弹性弯管质量流量/密度敏感元件174.1概述常用弹性敏感结构硅微结构压力敏感元件第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

184.2.1刚度与柔度4.2.2弹性滞后4.2.3弹性后效与蠕变4.2.4弹性材料的机械品质因数4.2.5应力描述4.2.6位移描述4.2.7应变描述4.2.8应力应变关系4.2.9固有谐振频率4.2.10弹性元件的热特性4.2弹性敏感元件的基本特性194.2.1刚度与柔度20弹性敏感元件输入输出柔度(灵敏度)刚度弹性敏感元件特性

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.2弹性滞后21弹性敏感元件输入输出弹性敏感元件工作时，因材料内部存在分子间内摩擦，加载特性与卸载特性不重合的现象称为弹性滞后某些传感器引起迟滞误差的主要原因之一

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.3弹性后效与蠕变载荷作用弹性敏感元件，产生变形过程；起初较短时间段，变化持续过程可看作

弹性后效；载荷不变，弹性敏感元件较长时间缓慢

变形，该过程可看作蠕变；

弹性后效会引起传感器

重复性误差或动态误差；蠕变会影响传感器稳定性；

弹性滞后、弹性后效、蠕变同时发生，物理过程复杂；设计传感器，选择弹性敏感元件材料时应充分重视

弹性敏感元件弹性变形过程

4.2弹性敏感元件的基本特性224.2.4弹性材料的机械品质因数23周期振动弹性敏感元件，针对能量定义的

机械品质因数

——储存的总能量；——每周由阻尼消耗的能量二阶系统归一化幅频特性

机械品质因数可用等效二阶系统幅值频率特性

曲线来说明；等效二阶系统归一化幅频特性为——系统固有角频率和阻尼比对于弱阻尼系统（阻尼比远小于1），最大

幅值增益和对应的谐振频率，机械品质因数

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.5应力描述24考虑弹性体某截面上的受力情况，该截面上某一点单位面积上的作用内力就是应力

——正应力（normalstress，垂直于作用面）、

切应力（shearstress，平行于作用面）应力描述

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.5应力描述25三维直角坐标系内，一点处有六个独立应力分量：三个正应力，三个切应力研究硅压阻效应的应力表述三维直角坐标系内应力描述

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.5应力描述26三维直角坐标系内，应力平衡方程直角坐标系平行六面体微元上的应力分布

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.5应力描述27直角坐标系下弹性体边界上的力平衡方程直角坐标系边界四面体微元上的应力分布

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.5应力描述28平面极坐标系内，一点处有三个独立应力分量：两个正应力，一个切应力

平面极坐标内应力描述

平面极坐标系下的应力平衡方程平面极坐标下微元体的应力分布

4.2弹性敏感元件的基本特性弹性元件的位移是其位置变化；位移连续变化；

在三维直角坐标系，某点位置和位移分别为

4.2.6位移描述29三维坐标系位置、位移描述示意图在平面极坐标系某点位移为

——平面极坐标系中径向和切向的单位动矢量平面极坐标系位置、位移的描述示意图平面极坐系位移描述示意图

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.7应变描述30考虑一线段AB长度的变化，则该线段的正应变为考虑两线之间夹角的变化，如图所示；线段AB与线段BC的切应变（剪应变）为正应变描述切应变描述

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.7应变描述31

三维直角坐标系中，一点处应变有六个独立分量：三个正应变、三个切应变

平面极坐标系中，一点处应变有三个独立分量：两个正应变、一个切应变

4.2弹性敏感元件的基本特性324.2.8应力应变关系

胡克——1635～1703，1678年弹性定律发表在他的讲演集《态势的恢复》(针对典型弹性体)科西1822年引入“应力”“应变”及G.格林的改进后才具有现代形式（广义胡克定律）牛顿(1643～1727)——万有引力的思考

4.2弹性敏感元件的基本特性334.2.8应力应变关系

三维正交坐标系，应力、应变之间的关系——材料的杨氏模量(弹性模量)，泊松比

4.2弹性敏感元件的基本特性344.2.8应力应变关系

三维正交坐标系，应力、应变之间的关系——材料的杨氏模量(弹性模量)，泊松比二维结构的应力应变关系——切变弹性模量一维应力问题

4.2弹性敏感元件的基本特性354.2.9固有谐振频率弹性敏感元件是一个具有分布参数的多自由度系统，其固有频率（naturalfrequency）有多个，计算复杂

主要关心弹性敏感元件基频，即一阶固有频率质量-弹簧系统弹性敏感元件基频影响传感器动态特性；为提高传感器动态响应能力，应适当提高弹性敏感元件基频；

增大等效刚度，会降低敏感元件灵敏度→应综合考虑传感器敏感结构参数对于直接输出频率的谐振式传感器，主要关心弹性敏感元件某阶频率（多为基频）随被测量的变化规律

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.10弹性元件的热特性36弹性敏感元件处于均匀温度场且完全自由，温度变化引起其热胀冷缩；弹性敏感元件某一维结构长度变化——弹性敏感元件温度变化前、后的长度；——敏感元件线膨胀系数——初始温度、变化后的温度弹性敏感元件处于受约束的温度场，以一维结构弹性敏感元件如杆、梁为例，温度场引起热应变和热应力——弹性敏感元件材料的热应变系数

4.2弹性敏感元件的基本特性4.2.10弹性元件的热特性37环境温度变化引起弹性敏感元件材料弹性模量改变环境温度变化引起弹性敏感元件材料频率改变温度变化引起弹性敏感元件刚度变化，进而影响弹性敏感元件位移、应变、应力特性，以及引起传感器测量过程温度漂移；→选择弹性敏感元件的材料时应重视其温度特性与效应

4.2弹性敏感元件的基本特性第四部分思考题（2）1.弹性敏感元件有哪几种能量，说明各自的物理意义2.如何理解“初始弹性势能”？举例说明3.Ritz法的应用特点发表在MOOC讨论区里38第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

39404.3弹性敏感结构的边界条件直角坐标系下弹性体边界上的力平衡方程直角坐标系边界四面体微元上的应力分布414.3弹性敏感结构的边界条件固支：位移与转角为零简支：位移与转矩为零自由：位移与转矩为零第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

424.4.1弹性体的弹性势能4.4.2弹性体外力的功4.4.3虚功原理4.4.4弹性体的动能4.4.5弹性体初始内力引起的附加弹性势能4.4.6弹性体的能量泛函原理4.4.7Ritz法43

4.4弹性体的能量方程4.4.1弹性体的弹性势能弹性势能的建立：弹性体的一种特殊平衡状态，即它始终在线性范围内保持平衡，且绝热过程。由能量守恒定律，上述外力体系做的功为此外力体系做的功即为弹性体的弹性势能标准二次型描述→建立了弹性体几何方程，可得其弹性势能

4.4弹性体的能量方程444.4.2弹性体外力的功外力的功的建立：针对一般平衡条件下的情况，弹性体平衡只有在弹性力达到最终平衡值式才与外力体系完全平衡45

4.4弹性体的能量方程4.4.3虚功原理弹性体的虚功：体系平衡下，考虑弹性体位移再增加一微位移体系仍处于平衡，则外力微功可描述为46

4.4弹性体的能量方程4.4.4弹性体的动能4.4.5弹性体初始内力引起的附加弹性势能初始内力：体系中，“振动之前”存在的内力，即与振动位移无关的内力通常称之为初始内力，其引起弹性体的附加弹性势能如：弹性弦丝的初始弹性势能47

4.4弹性体的能量方程4.4.5弹性体初始内力引起的附加弹性势能初始内力：体系中，“振动之前”存在的内力，即与振动位移无关的内力通常称之为初始内力，其引起弹性体的附加弹性势能如：弹性弦丝的初始弹性势能FF48

4.4弹性体的能量方程4.4.5弹性体初始内力引起的附加弹性势能初始内力：体系中，“振动之前”存在的内力，即与振动位移无关的内力通常称之为初始内力，其引起弹性体的附加弹性势能如：圆柱壳的初始弹性势能p圆柱壳的结构示意图49

4.4弹性体的能量方程4.4.6弹性体的能量泛函原理弹性体的静力学平衡问题，能量泛函弹性体的动力学平衡问题，能量泛函弹性体的能量泛函的一阶变分等于零弹性体总弹性势能50

4.4弹性体的能量方程4.4.7Ritz法根据弹性敏感元件实际工作的几何边界条件，假设一种解的组合形式，求解有关组合系数，确定弹性体近似解弹性体几何边界条件：

4.4弹性体的能量方程51第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

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4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动

张紧弦丝微幅振动位移弦丝拉伸力

F引起的弹性势能弹性弦丝动能FF总弹性势能为弹性弦丝微分方程的解利用，可得弹性弦丝弯曲振动微分方程建立泛函53

4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动

弹性弦丝弯曲振动微分方程FF弹性弦丝微分方程的解弹性弦丝的固有角频率和相应的振型分别为弦丝振动基频和对应的一阶振型分别为

4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动

FF弦丝基频固有振动示意图弦丝一、二、三、四阶固有振动示意图55第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

梅特勒托利多METTLERTOLEDO56第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

57

4.6受轴向力的两端固支梁

梁的典型结构TT00梁的弹性势能梁的动能相当于在梁两端作用有初始应力，引起的初始弹性势能为58TT00建立泛函利用，可得固支梁的微分方程微分方程的解弯曲振动沿轴线分布振型梁的总弹性势能双端固支梁的边界条件为固有角频率的参数方程（有无穷多解）

4.6受轴向力的两端固支梁

59TT00双端固支梁一，二阶固有频率(Hz)

梁的一阶、二阶振型示意图算例：一双端固支硅梁参数可计算出一阶固有频率范围(Hz)轴向力的计算范围

4.6受轴向力的两端固支梁

60TT00梁的一阶、二阶振型示意图算例：一双端固支硅梁的参数轴向力的计算范围第一阶固有频率的变化率

4.6受轴向力的两端固支梁

61梁的一阶、二阶振型示意图算例：一双端固支硅梁的参数轴向力的计算范围梁的一阶、二阶固有频率变化示意图

4.6受轴向力的两端固支梁

62补充：一端固支、一端自由梁的振型63第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

复合音叉、硅微复合敏感结构64第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

654.7.1圆平膜片的建模4.7.2矩形(方形)平膜片的建模4.7.3E型圆膜片的建模

4.7膜片的建模

1.圆平膜片小挠度变形

2.圆平膜片的大挠度变形

3.圆平膜片的振动问题

圆平膜片典型结构示意图p敏感压力典型元件，构成不同原理传感器压力位移特性的电容式传感器压力应变特性的应变式传感器压力应力特性的硅压阻式传感器压力频率特性的振膜式传感器664.7.1圆平膜片的建模1.圆平膜片小挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p—圆平膜片在极坐标系下的几何方程小挠度对称变化外力的功弹性势能周边固支圆平膜片几何边界条件

4.7膜片的建模

674.7.1圆平膜片的建模1.圆平膜片小挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p周边固支圆平膜片几何边界条件圆平膜片的法向位移取一个待定系数推导得圆平膜片法向位移圆平膜片法向位移

4.7膜片的建模

684.7.1圆平膜片的建模1.圆平膜片小挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p圆平膜片上表面应变和应力上表面沿径向分布正应变上表面沿径向分布正应力

4.7膜片的建模

694.7.1圆平膜片的建模2.圆平膜片大挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p外力的功弹性势能周边固支圆平膜片的几何边界条件圆平膜片的位移

4.7膜片的建模

704.7.1圆平膜片的建模2.圆平膜片大挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p求解圆平膜片大挠度时的法向位移的系数求解圆平膜片大挠度时的径向位移的系数

4.7膜片的建模

714.7.1圆平膜片的建模2.圆平膜片大挠度变形

圆平膜片典型结构示意图p圆平膜片的正中心处有最大法向挠度()

4.7膜片的建模

724.7.1圆平膜片的建模3.圆平膜片的振动问题

圆平膜片典型结构示意图p(1)圆膜片固有振动(不考虑压力作用)弹性势能动能对称振动的法向振动位移周边固支圆平膜片弯曲振动的基频考虑到；

4.7膜片的建模

734.7.1圆平膜片的建模3.圆平膜片的振动问题

p(1)圆膜片固有振动(不考虑压力作用)圆平膜片典型结构示意图

4.7膜片的建模

744.7.1圆平膜片的建模圆平膜片典型结构示意图p3.圆平膜片的振动问题

(2)圆平膜片基频随外界压力变化(考虑压力作用)压力作用下的膜片中面位移同时考虑中面与时间有关的径向振动位移分量和法向振动位移圆平膜片最低阶弯曲振动振型压力作用下圆平膜片基频(Hz)有关算例与分析，详见参考教材《新型传感技术及应用》

4.7膜片的建模

75p周边矩形平膜片典型结构示意图4.7.1圆平膜片的建模4.7.2矩形(方形)平膜片的建模4.7.3E型圆膜片的建模1.矩形(方形)平膜片的小挠度变形2.矩形(方形)平膜片的大挠度变形3.方形平膜片的振动问题4.方形平膜片的边界结构参数敏感压力典型元件，构成不同原理传感器压力位移特性的电容式传感器压力应力特性的硅压阻式传感器压力变形特性的复合敏感传感器

4.7膜片的建模

76周边固支的矩形平膜片4.7.2矩形(方形)平膜片的建模1.

矩形平膜片小挠度变形

p外力的功弹性势能周边固支矩形平膜片几何边界条件矩形膜片的法向位移

4.7膜片的建模

77周边固支的矩形平膜片4.7.2矩形(方形)平膜片的建模1.

矩形平膜片小挠度变形

p矩形平膜片上表面应变、应力周边固支矩形平膜片上表面的面内位移

4.7膜片的建模

784.7.2矩形(方形)平膜片的建模1.

矩形平膜片小挠度变形

→方平膜片的有关结论法向位移——最大法向位移与其厚度比值上表面面内位移沿x方向的位移沿

y方向的位移

4.7膜片的建模

794.7.2矩形(方形)平膜片的建模1.

矩形平膜片小挠度变形

→方平膜片的有关结论上表面应变、应力沿x方向的位移

4.7膜片的建模

804.7.2矩形(方形)平膜片的建模2.

矩形(方形)平膜片的大挠度变形

大挠度变形的位移求解矩形膜片法向位移方程求解矩形膜片面内位移方程

4.7膜片的建模

814.7.2矩形(方形)平膜片的建模2.

矩形(方形)平膜片的大挠度变形

→方平膜片的有关结论

4.7膜片的建模

82压力为零时，方平膜片弯曲振动的基频4.7.2矩形(方形)平膜片的建模3.方形平膜片的振动问题

4.7膜片的建模

834.7.2矩形(方形)平膜片的建模4.方形平膜片的边界结构参数外界作用通过硬质量环对方平膜片的位移场、应力场的影响小到可以忽略不计的程度

4.7膜片的建模

844.7.1圆平膜片的建模4.7.2矩形(方形)平膜片的建模4.7.3E型圆膜片的建模1.基本方程2.受集中力的E型圆膜片3.受均布压力的E型圆膜片p(F)周边固支E形圆平膜片

4.7膜片的建模

85分布力对膜片做的功4.7.3E型圆膜片的建模1.

基本方程弹性势能周边固支E形圆平膜片利用，得E型膜片微分方程建立泛函p(F)

4.7膜片的建模

864.7.3E型圆膜片的建模2.受集中力的E型圆膜片周边固支E形圆平膜片F

E形圆膜片硬中心处最大法向位移最大法向位移与其厚度的比值

E形圆膜片上表面的径向位移

4.7膜片的建模

87

E形圆膜片上表面的径向位移4.7.3E型圆膜片的建模2.受集中力的E型圆膜片周边固支E形圆平膜片F

E形圆膜片上表面的应变、应力

4.7膜片的建模

884.7.3E型圆膜片的建模3.受均布力的E型圆膜片周边固支E形圆平膜片p

E形圆膜片硬中心处最大法向位移

E形圆膜片上表面的径向位移最大法向位移与其厚度的比值

4.7膜片的建模

894.7.3E型圆膜片的建模3.受均布力的E型圆膜片周边固支E形圆平膜片p

E形圆膜片上表面的径向位移

E形圆膜片上表面的应变、应力

4.7膜片的建模

90第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

多种压力传感器、谐振膜式压力传感器、硅微复合敏感结构（一次敏感）91第四部分：敏感结构的建模4.1概述4.2弹性敏感元件的基本特性4.3弹性敏感结构的边界条件4.4弹性体的能量方程4.5受有张力的弹性弦丝的固有振动4.6受轴向力的两端固支梁

4.7膜片的建模4.8圆柱壳的建模

4.8.1带有顶盖的圆柱壳的建模

4.8.2顶端开口的圆柱壳的建模

924.8.1带有顶盖的圆柱壳的建模

4.8圆柱壳的建模

934.8.1带有顶盖的圆柱壳的建模1.能量基本方程圆柱壳的结构示意图圆柱壳位移示意图圆柱壳