高考培优微专题《全概率与递推数列》解析版

若P(Xn+1=j|Xn=i，Xn-1=in-1，⋯,X0=i0)=P(Xn+1=j|Xn=i)=Pij，即未来状态Xn+1只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn-1，Xn-2，⋯,X0无关.点位于位置x=i(i∈N*)，那么由全概率公式可得：P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1)P(Xt+1=i|Xt=i+1)，另一方面，由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,代入上式可得：Pi=α·Pi+1【解析】记事件Ai表示从第i(i=1，2，⋯,n)个盒子里取出白球=1-P =，P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)2)P(A3|EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)2)=P(A2+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)2=×P(A2=，P(A4)=P(A3)P(A4|A3)+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)3)P(A4|EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)3)=P(A3+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—),A)3=P(A3，进而可得n≥2时，P(AnP(An-1，P(An)-=P(An-1)-EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up5(Γ),L)|，又P(A1)-=，所以是首项为，公比为的等比数列，所以P(n-1= n，次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1，第n-1次触球者不是甲的概率为1-Pn-1，则Pn=Pn-1×0+，从而Pn--Pn-1-，又所以是以为首项，-为公比的等比数列.第n次触球者是甲的概率为(n-1+，所以(14+3(3)若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，⋯,n，则ii【解答】设P(Ai)=pi，依题可知，P(Bi)=1-pi，则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1iP(Bi)P(Ai+1|Bi)，即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2，i+λ}，设pi+1+λ=解得则pi+1-(pi-(，又p1=，p1-所i-=×i-1，pi=(i-1+ 因为pi=(i-1+，i=1，2，⋯,n，所以当n∈N*时，E(Y)=p1+p2+⋯+pn=+1-Pn{是等比数列；X3456P 29 49+1-Pn{是以为首项，-为公比的等比数列.由(2)可得P99=(P99-P98(+(P98-P97(+⋅⋅⋅+(P2-P1(+P1戏.(i)证明数列{Pi-Pi-1{(i=1,2,(ii)求活动参与者得到纪念品的概率..pi-1(i=2,3,根据求出pi-pi-1=(-(i(i=2,3,iX3456Pp1-p0=-累计得分为i分的情况有两种： -，公比为-的等比数列.1-p0=-，p2-p1=(-(2，⋯⋯,pi-pi-1=(-i-p0=-1-(-的得分记为X.P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.X-101Pβ)×0.2=0.1.因为pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，⋯,7)，即pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1，2，i=4pi-1+pi+1(i=1，2，⋯,7)，所以pi+1-pi=4(pi-pi-1)(i=1，2，⋯,7)，所②由①知pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i，所以p8-p7=p1·47，p7-p6=p1·46，⋯,p1-p0=p1·40，相加可得p8-p0=p1·p1=1，所以p1=，所以p4=p4-p0=p1·表示甲药的累计得分是4验方案合理.游戏结束.(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时X的分布列和期=(1-=(1-=(1-,所以X的分布列为X1234P n-1 n-1*. ①求p1通项公式.①p1=2=3=②推导出pi=Api+1+Bpi-1，将p0=0,p1=,p2=,p3=代入得，pi=pi+1+pi-1，推导出{pn-pn-1}是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果.P(X=0(=P(AB(+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—),A)B—(=P(A(P(B(+P(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(—),A)(P(B—(=×+(1-×(1-=.:X的分布列为：X-101P 2 6p2=P(X=0(.P(X=1(+P(X=1((P(X=0(+P(X=1((②“规定p0=0，且有pi=Api+1+Bpi-1，i=pi+1+pi-1，:pi+1-pi=(pi-pi-1(，:数列{pn-pn-1{是等比数列，公比为首项为p1-p0=，:pn-pn-1=(∴Pn=(pn-pn-1(+(pn-1-pn-2(+⋯+(p1-p0(=n+n-1+⋅⋅⋅+=1-.关键点睛：利用待定系数法得到pi+1+pi-1后，紧扣等比数列定义是解决问题哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为答错的概率为.(2)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2(个等级的概率为Pi，