高考数学备考笔记-文档资料

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xeAoxeCfjA,xeCUAoxeA.

2.德摩根公式

C0(AB)-CfjAC/jB',CJJ(AB)—CyA\CVB.

3.包含关系

AB=A<^A\B=BoApoGBcGA=A4八①

<=>CVAB=R6

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB—card(AB)

card{A.BC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

-card{AB)—card(BC)-card(C\A)+card(ABC).

5.集合{%,4,,4}的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1

个；非空的真子集有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax1+bx+c(aw0);

(2)顶点式/(%)=«(x-A)2+k(aw0);

(3)零点式/(x)=«(x-x1)(x-x2)(aw0).

7.解连不等式N</(%)<M常有以下转化形式

N<f(x)<Mo"(x)——N]<0

,、M+N,M-Nof(x)-N

o"(x)———1<^—>0

M-f(x)

11

o--------->-------.

f(x)-NM-N

8.方程/(x)=0在(匕状2)上有且只有一个实根,与/(占)/(七)<0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax-+bx+c^0(«丰0)有且只有一个实根在

(匕/2)内，等价于/(3/伏2)<。，或/(占)=。且占<一二<竺右，或/(左，)=0且

2。2

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/(X)=依2+bx+c(aw0)在闭区间)4上的最值只能在x=-—处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

⑴当a>0时，若x=-丁e[p,司，则/(x)^=/(--),/(%)max=111ax;

2a2a

X=—丁仁[p，司，/(X)3=0{/(P)，/(q)}，/(X)疝n=*{/(p)，/(q)}•

⑵当a<0时，若x=-^-e[p,q],则/(x)^=min{/(^),/(^)},若

X=一五e[p,司，则/(%/=max{/(p)"⑷},/(x)^=min{/(/?),/(^)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/•(㈤/(〃)<0,贝！I方程/'(x)=0在区间(私“)内至少有一个实根.

设/(%)=x2+px+q,贝!J

p2-4q>0

(1)方程/(%)=0在区间(％+8)内有根的充要条件为/(㈤=0或，p

--->m

I2

f(m)>0

/(〃)〉0

(2)方程/(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为/(m)/(«)<0或<p2-4q>0或

p

m<---<n

2

f(m)=0

pl/</(«)=0.

af(ji)>0of(in)>0'

p2-4q>0

(3)方程/'(x)=0在区间(-8,n)内有根的充要条件为于(m)<0或.p

---<m

I2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(—8,+◎的子区间L(形如［%例，(一8,阳，上,母)不同)上含参

数的二次不等式/(xJ)>0(?为参数)恒成立的充要条件是f(x,/)而020(x先L).

⑵在给定区间(-8,+与的子区间上含参数的二次不等式/Xx/)之0(f为参数)恒成

立的充要条件是fM,mn<0(x去L).

a>Q

a<0

⑶/(x)=♦+加+。〉o恒成立的充要条件是<Z?20或<

b1-4ac<0

c>0

12.真值表

pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有(九-1)个

小于不小于至多有〃个至少有(n+1)个

对所有X，存在某X,

成H不成立p或q-W且~\Q

对任何X,存在某X,

不成立成立P且9F或一14

14.四种命题的相互关系

15•充要条件

(1)充分条件：若p0q,则p是〃充分条件.

(2)必要条件：若q=则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p0q,且则p是9充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设%・％2W“玉W9那么

(%-x2)[/(Ai)-/(x2)]>0o[*2)〉0=/(X)在[a,U上是增函数；

(%—9)[/(%)_/(/)]<°—<°=/(x)在上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果

/'(x)<0,则/(x)为减函数.

17.如果函数/(%)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数/(%)+g(x)也是减

函数；如果函数y=/(〃)和"=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

y=/lg(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个

函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(-X-a)；若函数y=/(x+a)是偶

函数，则/(x+a)=/(-x+a).

20.对于函数y=/(x)(xGH),/(x+a)=/(b-x)恒成立，则函数f(x)的对称轴

是函数x=g2；两个函数y=/a+a)与,=/伯—左)的图象关于直线对

称.

21.若/(%)=-/(-%+a)，则函数y=于(X)的图象关于点(1,0)对称；若

于3=一于(x+a),则函数y=于(X)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数+%的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数OP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数OP(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(%)的图象的对称性

(1)函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称o于(a+x)=于(a-x)

o/(2a-%)=/(%).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=对称Of(a+mx)=f(b-nvc)

of(a+b-mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=f(x)与函数y=/(-%)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=—a)与函数y=/S—7")的图象关于直线工=巴吆对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=/-'(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x-a)+b的图

象；若将曲线/(x,y)=0的图象右移。、上移匕个单位，得到曲线了(x—-加=0的

图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

于(a)=bofT(b)=a.

27.若函数y=/(左x+A)存在反函数，则其反函数为y=4"T(x)-句，并不是

k

y=[p1(kx+b),而函数y=[f-1(左x+加是y=-[/(%)-b]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(%)=ex,f(x+y)=f(x)+f(y),/(I)=c.

⑵指数函数f(x)=ax,f(x+y)=/(%)/(J),/(I)=aA0.

⑶对数函数/(%)=logflX,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(tz>0,tz1).

(4)基函数/(x)=/,/(盯)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),

/(0)=l,lim^^=l.

0JQ

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则的周期T=a；

(2)/(x)=/(%+«)=0,

或于(x+a)=—(/(x)丰0)，

/(x)

或/(x+a)=(/(无)70),

/(x)

或g+7/W-/2W=/(x+a),(f(x)e[0,1]),则/(%)的周期T=2a；

(3)/(x)=1--(/(x)W0),则/(%)的周期T=3a；

/(x+a)

(4)/(芭+9)=且/①)=1(/(勺)./(々))LO<1改一V|<2a),则

/(%)的周期T=4a；

(5)/(x)+f(x+a)+/(x+2a)f(x+3a)+f(x+4。)

=/(x)/(x+d)f(x+2d)f(x+3«)/(x+4a),则f{x}的周期T=5a；

(6)f(x+d)=f(x)-f(x+a),则/(%)的周期T=6a.

30.分数指数募

m]

n

(1)a=t——(a>0,m,neN*,且〃>1).

Nam

上1

(2)an(a>4,m,neN*,且〃>1).

an

31.根式的性质

(1)(疝"=a.

(2)当“为奇数时，聒=a；

当”为偶数时，"=|止产""°.

-a.a<0

32.有理指数幕的运算性质

(1)ar-as=ar+s(a>00,s£。).

(2)(ar)s=ar\a>0,r,5e2).

(3)(aby=arbr(a>O,b>O,rEQ).

注：若a>0,p是一个无理数，则aP表示一个确定的实数.上述有理指数塞的运算性

质，对于无理数指数嘉都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log。N=b=ab=N(a>0,awl,N>0).

34.对数的换底公式

logN

logaN=--—(a>0,且awl,m>0,且加wl,N>0).

'log”,a

推论logb"=—log。)(a>0,且a>1,w>0,且7〃w1,1,N>0].

am

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWl,M>0,N>0,则

⑴log。(MN)=logflM+logoN;

M

⑵l°g。犷=l°g〃MT°g〃N；

n

(3)logflM=«logflM(neR).

2

36.设函数/(x)=logm(ax+bx+c)(aw0),记A=〃-4ac.若/(%)的定义域为

R,则。>0,且zX<0;若/(x)的值域为R,则。>0,且A20.对于。=0的情形，需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0,3>0,x>Q,》71，则函数丁=108心(法)

a

⑴当a>匕时，在(0一)和(工,+00)上y=log。、3)为增函数.

aa

.(2)当a<匕时，在(0,-)和(L+oo)上y=logm(M为减函数.

aa

推论:设“>772>1，/?>0，<2>0>且a#l，贝！I

⑴logm+p(«+p)<logmn.

,、，,,,m+n

(2)logflmlogfl«<loga-^—.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+”.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

(数列｛〃〃｝的前n项的和为%=%+。2++。〃)・

\sn-sn_x,n>2

40.等差数列的通项公式

an=%+(n-l)d=dn+ci[-d(neN")；

其前n项和公式为

_n(ax+aj_n(n-l)

Sn~―"4H-a

——+(4——.

41.等比数列的通项公式

ni

an-CLYq=」•q"(〃wN)；

q

其前n项的和公式为

Sn=11-q

nax.q-\

或=J1-q.

navq=1

42.等比差数列{«„}:a.+i=qan+d,6=b(q丰0)的通项公式为

b+(n-V)d,q-1

册=<bqn+(d-b)qn~i-d力1;

、qT

其前n项和公式为

nb+n(n-l)d,(q=1)

s

n=\(1d1Tdn.

(b---)——-+--

Ii-qq-i

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=""：¥)”元(贷款a元,n次还清，每期利率为b).

(1+b)-1

44.常见三角不等式

JI

(1)若%£(0,]),贝(Jsinxvxvtan%.

⑵若%G（0,9，贝！|1vsinx+cosx〈收.

（3）|sinx|+|cosx|>l.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2^+cos2^=l,tan®二更凹，tan8・co招=1.

cos。

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

./〃乃、(-1)2sin%（n为偶数）

sin(—+a)

n-\

2

(-1)cosa,（n为奇数）

为偶数)

rn(n

产兀、(-l)2costz,

cos(-+«)=叱(n为奇数)

(-1)2sin%

47.和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacos0±coscrsin/?;

cos(a±P)—coscrcos/?.sinasind;

/,c、tana±tanB

tan(6z±尸)=-----------三.

1-tanqtanp

sin(cr+/?)sin(a-/?)=sin2a-sin2(3(平方正弦公式)；

cos(a+/?)cos(6Z_0)=cos2a-sin20.

asinor+Z?cosor='a2+b?sin(a+0)(辅助角0所在象限由点(〃,6)的象限决

.b、

定,tan0=—).

a

48.二倍角公式

sin2c=sincccosoc.

cos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a.

c2tana

tan2a=----------.

1-tana

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin6—4sin?8=4sin9sin(y-0)sin(—+6).

cos3。=4cos30-3cos6=4cos0cos(y-6)cosg+0)

c八3tan0-tan30八历八、历八、

tan30-------------------=tan0tan(-----。)tan(—+8)・

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(ox+°),x£R及函数y=COS(G%+0),X£R(A,CO,0为常数,且AWO,

27rTC

3>0)的周期T=——；函数y=tan(ox+0),%w左》+—,左£Z(A,a,。为常数，且A

o)2

7T

WO,3>0)的周期7=—.

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2-b2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

53.面积定理

(1)S=—ah=—bh=—chh>儿分别表示a、b、c边上的高).

22b2b

(2)S=—absinC=—bcsmA=-casinB.

222

2

(3)SAOAB=|yl(\OA\-\OB\y-(OA-OB).

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A+3+C=TTOC=»—(A+B)

C7iA+B八〜A八、

—=-------——2c-27c—2(A+B).

55.简单的三角方程的通解

sinx=ax=左左+(-1)“arcsina(keZ,|tz|<l).

cosx=a<^>x=2kji±arccosa(kGZ,1|<1).

tanx=a=x=k7i+arctana(keZ,aGR).

特别地有

sina=sin/?oa=左乃+(kGZ).

cosa=cos°oa=2kji±/3{kGZ).

tana=tan/?m=上万+/(左£Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<1)ox£(2左乃+arcsina,2kji+TI-arcsina).kGZ.

sinx<a(\a\<I)^>xE(2左乃-n-arcsina,2k兀+arcsina),kEZ.

cosx>〃(|4区1)ox£(2kji-arccosa,2k冗+arccosd),keZ.

cosxv〃(|a区1)ox£Qk兀+arccosa,2k7i+2»—arccosd),keZ.

JI

tanx>a(aG7?)=>xG(kn+arctana,k兀+—),keZ.

JI

tanx<a(ae7?)=>xe(kn---,k兀+arctana),keZ.

2

57.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(Ua)=(A.11)a;

(2)第一分配律：(A+u)a=Aa+口a;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b-a(交换律)；

(2)(2a),b=2(a,b)=2a•b=a,(Ab);

(3)(a+b)•c=a,c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数人卜入2,使得a=A冏+A262.

不共线的向量小、&叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=a，%),b=(%2,%)，且b/0,则ab(bW0)一々%=0.

53.a与b的数量积(或内积)

a,b=\a\|b|cos0.

61.a,b的几何意义

数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(和％),b=(々,%)，则a+b=(石+x2,yY+y2).

(2)设a=(程弘)，b=(%,%)，则a-b=(X]-x2,y1-y2).

⑶设AQi，%),B(X2，为)，则=—Q4=(>2-%,％一%)・

⑷设a=(x,y),XvH,则—a=(2x,Xy).

(5)设2=(和％)1=(%2，>2)，贝Ua,bX%%+%%).

63.两向量的夹角公式

cos0=]石%2+1>2(斫(苞,%),b=(%,%))•

64.平面两点间的距离公式

dAB=\AB\=y/ABAB

=；(尤2—%)2+(%—％)2(AU，%),B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设@=(芭，％)1=(工2，%)，且bwO,贝！I

A||bob=、a<=>xxy2~x2y1-0.

a_Lb(aW0)Oa•b=0ox1x2+y1y2-0.

66.线段的定比分公式

设6a,%),p2(x2,y2),。(羽丁)是线段42的分点，；1是实数，且6尸=；1尸月，则

再+2X

x=2

%+彳为1+2

y

1+2

oOP=tOP+（X-t）OP）.

i21+2

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X[,y)、B(X2,y2)、C(x3,y3),则4ABC的重心的坐

标是G(%+;+&%+g+%).

68.点的平移公式

x=x+hx-x-h,,

<,=<qOP=0P+PP.

=y+k、y=y-k

注：图形F上的任意一点p(x,y)在平移后图形尸上的对应点为P'(x,yj,且PP’的

坐标为(人,女).

69.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(人,k)平移后得到点P'(x+〃,y+左).

(2)函数y=/(x)的图象。按向量a=(/z，口平移后得到图象C',则C'的函数解析式

为y=f(x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=/(%),则C的函数

解析式为y=/(x+/z)—左.

⑷曲线C:7(x,y)=0按向量a=(/z，公平移后得到图象C',则C'的方程为

f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为AABC所在平面上一点，角所对边长分别为a,b,c,则

.2.2.2

(1)。为AABC的外心=OB-=OC.

(2)。为AABC的重心o0A+03+0C=0.

(3)。为AABC的垂心o0A03=090C=0C0A.

(4)。为AABC的内心oa0A+A03+c0C=0.

(5)。为AABC的NA的旁心oaOA=/?03+cOC.

71.常用不等式：

(1)=/+〃22仍(当且仅当@=13时取“=”号).

(2)a,b——>疝(当且仅当a=b时取"=”号).

2

(3)«3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0').

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|—|Z?|<|a+Z?|<|a|+|Z?|.

72.极值定理

已知国y都是正数，则有

(1)若积孙是定值p,则当x=y时和无+y有最小值2匹；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积孙有最大值;$2.

推广已知则有(x+y)2=(x—y)2+2孙

(1)若积孙是定值，则当|x-y|最大时，|x+y|最大；

当I%-yI最小时，Ix+yI最小.

(2)若和|x+y|是定值，则当|x-y|最大时，|孙|最小;

当|x-y|最小时，|孙|最大.

73.一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a0,A-b2-4ac>0),如果。与

6a2+/JX+C同号，则其解集在两根之外；如果。与+法+。异号，则其解集在两

根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

/<X<I?=(X-XjXx-%2)<0(王<X2);

X<>x2O(X-Xi)(X-%2)>0(X；<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

国<aoX2<o—a<x<a.

卜|>aof/0x>。或％v—a.

75.无理不等式

/«>0

⑴"(X)〉Jg(x)o<g(x)20

J(x)〉g(x)

/(x)>0

/W>0

(2)"(x)〉g(x)o<‘g(x)>0或<

i2g(x)<0

J(x)>[g(x)]

/(x)>0

⑶"(x)<g(x)=<g(x)〉0

i2

J(x)<[g(x)]

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时，

a-fM>a8(x)o/(x)>g(x);

/W>0

log,/(%)>10gflg(x)=<g(x)>0

J(x)〉g(x)

(2)当0<a<l时，

af(x)>a8(x}o/(%)<g(x);

7(x)>0

log,J(X)〉log”g(x)=<g(x)〉0

f(x)<g(x)

77.斜率公式

k=~~~—(6(西，％)、鸟(々，%)).

x2-x；

78.直线的五种方程

(1)点斜式y-y^Kx-x,)(直线/过点6(X],%)，且斜率为幻.

(2)斜截式y=Ax+人(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式—工="%(%/%)(3(和%)、6(%，%)(%#%)).

%-%%一%.............一一

(4)截距式-+-=1(«>Z?分别为直线的横、纵截距，a、Z?wO)

ab

(5)一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若4：y=k、x+b1,I?:y=k2x+b2

①4II4Ok1=左2，4W。2；

②"40桃2=_1.

(2)若6：A犬+与V+q=°,/2：4%+区2y+。2=o，且Ai、A?、Bi、B2都不为零,

①/11/O区="中旦;

-%B2c2

②/]_1_40A4+用为=。；

80.夹角公式

(1)tana=|冬~—|.

1+k2kl

(/]：、=女科+伪，I]:y=k?x+b?,kA手T)

AS—44

(2)tana=|—2--—I.

AA?+B'B?

:

(4:4%+5]y+C]=0,\x+B2y+C2=0，A4十片与w0).

直线时，直线4与b的夹角是

81.4到，2的角公式

k2~k、

(1)tana=

1+k?k[

(4\y=k1x+bx,l2:y=k2x+b2,kxk2w—l)

4^2—^2^1

(2)tana=

4"^2+B]B]

(4:\x+Bxy+Cx=0,l2:B2y+C2=0，A4+月员工。),

TT

直线时，直线A到/2的角是

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点4(%,%)的直线系方程为y-%=左(x-%)(除直线

x=/)，其中上是待定的系数；经过定点4(%，%))的直线系方程为

A(x—%)+-%)=0,其中A,3是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线/]：Ax+与y+C=0,/2：4%+32丁+。2=0的交

点的直线系方程为(Ax++C)+2(4x+鸟丁+G)=0(除，2)，其中A是待定的系数•

(3)平行直线系方程：直线,=丘+人中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程.与直线加+小+。=0平行的直线系方程是"+为+彳=0(420),A是

参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线加+为+。=0(AWO,BWO)垂直的直线系方程是

Bx—Ay+A=O,入是参变量.

83.点到直线的距离

d=坐+叫+01(点P(X%)，直线I：Ax+By+C=o).

VA2+B2

84."+为+。＞0或＜0所表示的平面区域

设直线/:Ax+6y+C=0,则Ar+互y+C＞0或＜0所表示的平面区域是：

若BRO,当5与Ax+5y+C同号时，表示直线/的上方的区域；当8与Ac+By+C

异号时，表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若3=0,当A与Ax+By+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ac+By+C

异号时，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(Ax+Biy+GXAx+Bjy+G)＞。或＜0所表示的平面区域

设曲线C:(Ax+耳y+CiX&x+B2y+G)=0(AlA,BlB20),则

(4%+与丫+£)(&;(:+32丫+。2)＞0或＜0所表示的平面区域是:

GV+用y+CJ(&x+&丫+G)＞0所表示的平面区域上下两部分;

(Ax+Biy+QXAx+B2y+C2)＜0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-«)2+(j-/?)2=r2.

(2)圆的一般方程x~+y2+Dx+Ey+F^0(£>2+E2-4F>0).

x=a+rcos0

(3)圆的参数方程<.

y=b+rsm0

(4)圆的直径式方程(％—王)(%—马)+(y—x)(y—%)=。(圆的直径的端点是

A(Xi，%)、5(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点Aa,%),5(々,%)的圆系方程是

(X—西)(%—々)+(y—%)(y—%)+4(x—石)(%一%)—(y一%)(西一々)]=o

<=>(x-x1)(x-x2)+(_y-y1)(y-y2)+2(ax+Z?y+c)=0,其中ar+Z?y+c=0是直线

AB的方程，入是待定的系数.

(2)过直线/:Ac+为+C=0与圆C:炉+y2+瓜+Ey+尸=o的交点的圆系方程

是V+V+++E+++A是待定的系数.

(3)过圆G：犬+/+Dxx+Exy+耳=0与圆。2：/+丁+D2X+E2y+F2=0的交

22

点的圆系方程是x?+y+Dvx+Exy+Fx++y+D2x+E2y+F^)=0,A是待定的

系数.

88.点与圆的位置关系

点P(X0,%)与圆(X-。)2+G-02=/2的位置关系有三种

若d=+3-％)2,贝(J

d>ro点尸在圆外；d=ro点尸在圆上；d<ro点尸在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+3y+C=0与圆（X—a）?+（y—6）2=户的位置关系有三种:

d>ro相曷<4>A<0;

d=ro相切oA=0；

d<ro相交oA>0.

\Aa+Bb+C|

其中d=

VA2+B2

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0i,Oz,半径分别为n,r2,\OxO^=d

d>6+々o外离o4条公切线；

d=勺+&o外切o3条公切线；

\rx-r^<d<rx+r2相交o2条公切线；

△o内切ol条公切线〉

0<du>内含一无公切线.

91.圆的切线方程

（1）已知圆炉+/+m+4+/=0.

①若已知切点（毛,%）在圆上，则切线只有一条，其方程是

D（x0+x）E（y0+y）

5%+%丁+—j—+3+F=O.

当（%,%）圆外时，x）+E（q+-+尸=0表示过两个切点

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=左（%-/），再利用相切条件求k,这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=Ax+人,再利用相切条件求b,必有两条切线.

（2）已知圆V+y2=r.

①过圆上的兄（毛,%）点的切线方程为%工+%>=1；

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx+r^Jl+k2.

x2v2\x=acosO

92.椭圆二十七=1（。〉b〉0）的参数方程是，八.

ab=

22

93.椭圆「+多=1（。〉6〉0）焦半径公式

ab

22

\PF1\=e（x+—）,|PF2|=e（--—x）.

94.椭圆的的内外部

2

222%

<1

（1）点P（%0,%）在椭圆-7+Y7=1（〃>b>0）的内部O—y+F±

aba

2

222%

>1

（2）点在椭圆5+3r=l（〃〉h〉0）的外部=W+F1

aba

95.椭圆的切线方程

22

(1)椭圆・+==1(。〉6〉0)上一点2(%,%)处的切线方程是警+理=1.

abab

22

(2)过椭圆三+==l(a>b>0)外一点P(x0,%)所引两条切线的切点弦方程是

ab

V.2QZ_I

22

(3)椭圆=+2r=1(。〉6〉0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是

ab

+B2b2=c2.

22

96.双曲线A—当=1(。〉0,6〉0)的焦半径公式

ab

22

|「制=|心+亍)|,|尸用=|e(亍—x)].

97.双曲线的内外部

2222

⑴点a%,%)在双曲线=1(〃>0,/?>0)的内部=〉1,

abab

2222

(2)点P(x0,%)在双曲线一z■—yy=1(〃>0,/?>0)的外部u>—r-<1.

abab

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为「一5=1=>渐近线方程：T—3r=0=y=±2%.

ababa