高考数学精讲第四节 空间几何体的结构特征及表面积与体积

〈立体几何

第一节空间几何体的结构特征及表面积与体积

课标要求

1.认识柱、锥、台及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单

物体的结构.

2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简易组合)的

直观图.

3.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.

抓“四基”——夯实基础点

一、“基础知识”掌握牢

1.多面体的结构特征

♦桢都平行且相等

上下底面是金箜的多边形，并且相互平行

率底面是任意多边形

回侧面是♦一个公共点的三角形

金ay由平行于底面的平面截棱锥得到

'一人上下底面是幽多边形

2.旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形任一直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直径所在的直线

3.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则

(1)原图形中X轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，X'轴，y'轴的夹角为45。或135。，

/轴与/轴和V轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴;平行于X轴和z轴的线段

在直观图中保持原长度丕变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.

4.多面体的表面积与侧面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的醛之和，表面积是侧面

积与底面面积之和.

5.旋转体的表面积与侧面积

名称侧面积表面积

圆柱（底面半径r,母线长,）2nd27rr(/+r)

圆锥（底面半径r,母线长/）nrlE，+r)

圆台（上、下底面半径力，「2,母线长/）北（豆+丁）/江（门+/2）/+江（"+为）

6.空间几何体的体积（力为高，S为下底面积，S'为上底面积）

（1），柱体=曲.特别地，，圈柱二九/同6为底面半径）.

（2）y雄体=gs瓦特另|J地，V回帙=上3/1&为底面半径）.

（3）V台体=，"S+4[+s，）.特别地，V（■台=我（户+/+/2）（r,/分别为上、

下底面半径）.

谨记结论•谨防易错

特殊的四棱柱

底而为¥侧棱叁耳底面充底面斗

四棱柱行s边》平行六面体于底言直平行六面体矩形'长方体长相W正四棱柱

恻棱与店面

边长相*正方体

上述四棱柱有以下集合关系：｛正方体｝｛正四棱柱｝｛长方体｝｛直平行六面体｝｛平

行六面体｝｛四棱柱｝.

二、“基本技能”运用好

I.如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为

（）

A.一个球体

B.一个球体中间挖出一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

答案：B

2.（好题分享——新人教A版必修第二册Pio6T8改编）

如图，若长方体ABCD-A'BCD1中截去体积较小的一部分，其中E"〃夕C〃

FG,则剩下的几何体是（）

A.棱台B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

答案：C

3.如图，长方体ABCD-A^CxDx的体积是60,E为CG的中点，则

三棱锥C・EBD的体积是.

解析：因为长方体ASC&.A/iCi。］的体积为V=BCDCCCi=60,

所以义XDQX|cCi=^BCDCCCx=77X60=5.

答案：5

三、“基本思想”很重要

1.（分类讨论）将一个相邻边长分别为4487r的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面

积是（）

A.407r2B.647r2

C.32元2或64行D.32冗2+8立或327r2+32五

解析：选D当底面周长为4元时，底面圆的半径为2,两个底面的面积之和是8冗；当

底面周长为87r时，底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为327r.无论哪种方式，侧面积都

是矩形的面积32砂・故所求的表面积是327r2+8立或327r2+327r.

2.（转化思想）已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S,则圆锥的底面面积是

解析：如图所示，设圆锥的底面半径为r,母线长为1.

1

T7tZ2=S,l-sS

由题意得«解得六所以圆锥的底面面积为仃2=7rx手

\1LitLit

.7r/=27rr,

=S

答案空

四、“基本活动经验”不可少

如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m,

圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个

这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？3取3・14）

解：因为一个浮标的表面积为27rX0.15X0.6+4TtX0.152=0.8478（m2）,

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料

0.8478X0.5X1000=423.9（kg）.

强“四翼”一研透命题点

命题点一空间几何体的结构特征（自主练通）

［题组练透］

1.给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰二角形：

④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个；

⑤三棱锥的四个面中最多只有三个直角三角形.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故①不正确；②只有平行于

圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故②不正确：③正确；④因为圆锥

的母线长一定，根据三角形面积公式知，过圆锥顶点的栈面中，两条母线的夹角的正弦值越

大，截面面积就越大，所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大

的，故④不正确；⑤三棱维的四个面中最多有四个直角三角形，故⑤不正确.

2.（多选）下面关于四棱柱的命题中，真命题的是（）

A.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

C,若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

D.若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

解析：选BDA错误，必须是两个相邻的侧面；B正确，因为由两个过相对侧棱的截

面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；C错误，反例，可以是斜四棱柱：D正确，对角线

两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形，可得侧棱与底面垂直，棱柱为直棱柱.

3.（多选）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中配O'=//

CO'=1,A1Or=乎，那么原是一个（）

A.等边三角形B,宜角三角形

C.三边互不相等的三角形D.面积为小的三角形

解析：选AD由题中图形知，在原△A3C中，AO±BC.'：A,O'=乎，:・A0=®

♦:B'O'=CO'=1,:.BC=2,AB=AC=2t

•••△ABC为等边三角形.•・.△ABC的面积为:X2X43=Y5,故选A、D.

4.（2020•金aa卷I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它

的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等

于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底

面正方形的边长的比值为（）

42

C.呼D号

解析：选C设正四极锥的高为心底面正方形的边长为2«,斜高为次.

依题意得/产即62="〃?，①

222

易知h-^a=mf②

1+遭

由①②得m=］'^^a,所以为=-—=!今后.故选C.

［一"点"就过］

1.有关空间几何体结构特征的解题策略

（1）关于空间几何体的结构特征辨析的关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举

反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.

（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素

的关系.

（3）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”

的解题策略.

2.直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系：

［备课札记］....................................................................

命题点二空间几何体的表面积（讲练悟通）

［贯通知能］

多面体的表面积H各个面的面积相通［

震黑一旋转体的衰面积|~M•公式先接求解

U不规则几何体的表面积|—叵■，复部分的画

［典例］（1）（2020•珠海高三二楼）如图，四面体各个面都是边长为1的正<23^2^1

三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，

则圆柱的侧面积是（）—

,啦„W2

A.3加B.4元

「迄n落

772元

（2）（2021•也门模拟）如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，44」底面ABC,^lc.

ABLBC,AAi=AC=2t直线AiC与侧面44仍由所成的角为30。，则该

三棱柱的侧面积为（）J\|c

A.4+4啦B.4+4小

C.12D.8+4也

［解析］（1）设圆柱的底面半径为r,母线长为/,因为四面体各个面都是边长为I的正三

角形，可得2夕=三%=举，解得r=W，又由四面体各个面都是边长为1的正三角形，

3111UUO。

即圆柱的母线长为/=半,

可得棱锥的高为人=

所以圆柱的恻面积为S=27T”=27tX乎X答考马

（2）连接A13.因为A4iJ■底面ABCt则AAi±BCt又AB±BCtAA^AB

=Af所以RCL平面44用iB,所以直线4c与侧面所成的角为N

CAi8=30°.又A4=AC=2,所以4。=26，BC=y/i.义ABLBC,I'JAB

=也，则该三棱柱的侧面积为2镇X2+2X2=4+4，1

［答案］(DC(2)A

［解题方略］求空间几何体表面积的常见类型及思路

求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面

的表面积体的表面积

求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清

的表面积它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、

几何体的

锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

表面积

［过关训练］

1.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的樟卯结构，这种三维

的拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁玩具种类比较多，形状和

内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该

鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为（）

图1图2

A.8（6+6^2+^3）B.6（8+8啦+小）

C.8（6+丽+也）D.6（8+8小+也）

解析：选A由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+26的正方体截去8

个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锋的底面边长为2,侧棱长为也，则该几

何体的表面积为S=6X（2+2，i）2-4X；xqixyi+8X；X2X，3=&6+66+，5）.

2.正三棱锥底面边长为“，高为小m则此正三棱锥的侧面积为（）

C崛2D鸥2

解析：选A因为底面正三角形中高为乎明其重心到顶点距离为且极

锥高为坐明所以利用勾股定理可得侧棱长为与+金察,斜高为患一所以

侧面积为S=3X；XaxT=az2

命题点三空间几何体的体积（多角探明）

［逐点例析］

方法（一）直接利用公式求体积

［例1］（2020•江苏高考）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个

圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则

此六角螺帽毛坯的体积是cnr，.

［解析］正六棱柱的体积为6X坐X22X2=12小（cn?）,圆柱的体积为；rX0.52X2=j

（cm3）,则该六角螺帽毛坯的体积是（120一3cm3.

［答案］12^3-f

［解题方略］

当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时，可以直接利用公式进行求解.

方法（二）割补法求体积

［例2］如图，在多面体ABCDE尸中，已知四边形是边长为1Q--------------T

的正方形，且△AOE,ABCF均为正三角形，EF//AB,EF=2f则该多\'［方…刃；

面体的体积为________.Y—t

/ID

［解析］如图，分别过点A,B作Eb的垂线，垂足分别为G,Ht连程----方才

C

接DG,CH,易求得EG=HF=1,AG=GD=BH=HC=^f则△BHC\/A''MZ

51ss人B

中BC边的高h=）.；•S&AGD=S&BHC=^X,Xl=A,V多面体=Vnx;

+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGM5//C=gx乎X；X2+乎X1=坐.

［答案］申

［解题方略］

把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补

成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.

方法（三）等体积法求体积

［例3］如图所示，已知三棱柱ABC"M1G的所有棱长均为1,且A4

_L底面A5C,则三棱锥5i・A3G的体积为（）

A.噂B坐

D坐

［解析］易知三棱维Bi-A5G的体积等于三棱锥A-BxBCx的体积，又三枝锥A-BiBCi的

高为平，底面积为:，故其体积为:x；x*=害.

［答案］A

［解题方略］

一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的,如果一个几何体的底面面积和高较难求

解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择

合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.

［过关训练］

1.（2020庆八中期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆

绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组

合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知球的半径为此酒杯内壁表面

积为移A/巴设酒杯上部分（圆柱）的体积为匕，下部分（半球）的体积为匕，则卷=（）

424y142VJ1

得//=■?/?,AVi=nRh=^nR9%=5乂空/?3=守犬3,/—=-

2.已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内切于底面半径为1,高为2的圆锥，当

正四棱柱的体积最大时该正四棱柱的底面边长为（）

A.平B寿

C.^2D.2y［2

解析：选A如图，圆锥的高PN分别交正四棱柱上下底面于M,入

N两点，NE=1,PN=2.令正四棱柱的底面边长为明则85/=泉.易知

然=思；・MN=2-Via‘工，“住处=°2（2-近

a）,其中a£（0,6）.求导令y=4o—当时，j>0,当

<a<小时,产0,...vm）在（o,用上单调递增，在第，购上单调递减，故当正四棱柱体

积最大时，该正四棱柱的底面边长为半.

3.（2019•全国卷IH）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作

模型.如图，该模型为长方体48C&M/C1O1挖去四棱锥O・EFG〃

后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,尸，G,"分别为所在

棱的中点，AB=BC=6cmf441=4cm.3D打印所用原料密度

为0.9g/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为i

解析：由题知挖去的四棱锋的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm,

故V枇去sn检♦>=gx；X4X6X3=12(cm3).

又V盘方体=6X6X4=144（cn>3）,

所以模型的体积为

V长方体-V批去的叫律=144—12=132（cnP）,

所以制作该模型所需原料的质量为132X0.9=H8.8（g）.

答案：118.8

［课时跟踪检测］

［素养落实练］

1.（2018•全9卷I）已知圆柱的上、下底面的中心分别为Oi，。2,过直线。02的平面截

该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12y［2nB.127r

C.8^271D.IOTT

解析；选B设圆柱的轴截面的边长为x,

则/=8,得x=2小,

；・S研*=2S底+S制=2X江X（6）2+2冗XgX2也

=12兀故选B.

2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如

下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几

何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的

四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体

积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆

周率约为3,估算出堆放的米约有（）

A.14斛B.22斛

C.36斛D.66斛

解析：选B设米堆的底面半径为「尺.则去=8,所以r=¥.所以米堆的体积为V=y|

7rM・5=立方尺）.故堆放的米约有1.62忆22（斛）.

3.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放

置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（）

A.圆面B.矩形面

C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面

解析：选C将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；

将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是

梯形面，故选C.

4.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，/，'

D'为"C'的中点，且4'a//y'轴，B'Cr//x'轴，那么在原/

平面图形43。中（）/B'AJ

~7o'x'

A.A3与AC相等

B.A&的长度大于AC的长度

C.AB的长度大于AD的长度

D.SC的长度大于A0的长度

解析：选AC根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先定立r

平面直角坐标系xOj,8C〃x轴，并且“C=3'C',点。是AC的中点，/\

并且作4&〃y轴，即AO_L3C,且AO=2A'。'，连接AB,ACf如图J\

所示.所以△A5C是等腰三角形，A3=AC,A5的长度大于AO的长度，"

XBC=BrC,AD=2A'Dl,观察题干图，AfD1C,所以C<2A'D',

即BC<4O.故选A、C.

5.（2020•深圳模拟）已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的

平面截圆柱所得截面为矩形A3CD（如图）.若底面圆的弦AB所对的圆心角为

当则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（）

A.B.Khr

C・^J■小D.2冗一W5

解析：选A本题考查圆柱的体积.设截面48CD将圆柱分成的两部分中较大部分的体

积为％,圆柱的体积为匕DC将圆柱的底面分成的两部分中，技大部分的面积为Si,圆柱

22

的底面积为S,则SI=1XTTX22+；X2X2X¥=学+5，s=nX2=4ntV=nX2X3=

O/X«J

詈+5

12兀依题意可得当=至，所以H=聿丫=X12元=10江+3巾，故选A.

yjo47r

6.（2020•几门双十中学高三期中）3D打印属于快速成形技术的一种，它A

是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通

过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模

具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，&鎏分

特别是一些高价值应用（比如籁关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用3D打印技术制

作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆

锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为1即cm,母线与底面所成角的正切

值为也.打印所用原料密度为1g/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取

7r=3.14,精确到0.1）（）

A.609.4gB.447.3g

C.398.3gD.357.3g

解析：选C如图是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为1即cm,

所以半径为OB=5^2cm.因为母线与底面所成角的正切值为tan

苴

2a

所以圆锥的高为PO=10cm.设正方体的棱长为a,DE=y[2af则=

10—aA-

-而一,解得a=5.

所以该模型的体积为V=1TTX(5V2)2X10-53=5：'-125(cm3).

所以制作该模型所需原料的质量为e磬-125）X1-竽一125~398・3（g）.

7.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一

个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,

则新的底面半径为.

解析：设新的底面半径为r,由题意得Wr/U+Trign5rXSZXd+nXZZXg,解得r=巾.

答案：巾

8.（2021隼1月新高考八锚联七卷）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，

其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.

解析：易知圆台的高为3,所以其体积为丫=%力（〃2+/+/?/）=61兀

答案：6s

9.（2020•浙江禽考）已知圆锥的侧面积（单位：cn?）为2江，且它的侧面展开图是一个半圆,

则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是.

解析：法一：设该圆锥的母线长为/,

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2处

所以［几？=2加，解得，=2,

所以该半圆的弧长为27r.

设该圆锥的底面半径为Rt

«'）2nR=2nt解得R=l.

法二：设该圆锥的底面半径为K,

则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2nR.

因为侧面展开图是一个半圆，

设该半圆的半径为r,则itr=2nRi即r=2Rt

所以侧面展开图的面积为:解得R=1.

答案：1

10.如图所示，用一个平行于圆锥50底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的

面积之比为1：16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O'。的母线长.

解：设圆台。'。的母线长为/,由截得圆台上、下底面的面积之比为

1：16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为“二过轴SO作截面，如

图所示.

SA'0fA93r

则△SO'AfsSOA）SAf=3cm.故--则

4Cz/i9Ji-iqr

解得/=9,

故圆台O'。的母线长为9cm.

11.若E,户是三棱柱侧棱35和CG上的点，且B1E=C尸，三棱柱的体

积为机，求四棱锥A・5£尸C的体积.

解：如图所示，连接4%，ACi.

因为BiE=CF,所以梯形8EFC的面积等于梯形biEFG的面积.

又四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-BiEFCi的高相等，

所以VA-BEFC-VA-BxEFC}-'^yA-BBiClC»

又匕I-AI"C=；SA41MCJ4AI,匕BC-A/£=Sd4/iCjAAl=，〃，所以丫人儿再£=今,

2//i

==

所以VA.H«,C,CVABC-AtBtC~VA-AtB,Cl~^~,

所以VA.BEFC=收普=9,即四棱锥A・8E尸C的体积是第

4JO，

［梯度拔高练］

1.（多选）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接

管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时

间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8

2

cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的；（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏

下0.02co?的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下

结论正确的是（）

B.沙漏的体积是1287tcm3

C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒（不=3・14）

解析：选ACA.根据圆锥的极面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的

2g

底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r=；X4=々cm,

匕-4j—1、2h164冗161024TT,

所以体积v=-.nr.-=-.—.-=-^--皿3；

223

B.沙漏的体积V1=2x|x7rX（1）X/i=2x1xHX4X8=^ncm;

C.设细沙流入下部后的高度为历，根据细沙体积不变可知：^-^^XnX^X/h,

解得加22.4cm;

D.因为细沙的体积为上空cnP,沙漏每秒钟漏下0.02cnP的沙,

01

10247r

“人，―811024X3.14-

所以一个沙时为：W-----------------X50=1985秒.

U.UNol

2.（2018•全国卷n）已知圆锥的顶点为S，母线S4,S3所成角的余弦值为9,SA与圆锥

O

底面所成角为45。，若的面积为5叵，则该圆锥的侧面积为

解析：如图，・・・SA与底面成45。角，

•••△SA。为等腰直角三角形.

设OA=rt

则SO=r,SA=SB=y[2r.

在△54〃中，cosZASB=lt

o

・•八《“_足

••sinZ.ASJS—g9

•■・S/AB=NA・S将sinNASE

=；X(&r)2X华=5小，

/o

解得r=2®,

，SA=，ir=44，即母线长/=44，

AS■♦>«=nr/=nX2^/10X4^5=4(h/2^.

答案：4(h/27r

3.如图是一个以A.B.G为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何

体，截面为ABC,已知4/i=3iG=2,NAi%G=90。，AAi=4,BBi=3,

CG=2,则该几何体的体积为.

解析：过C作平行于4由Ci的截面4阴。，交AAi,分别于点A2,

82.由直三棱柱性质及NAISIG=90°可知&CL平面ABBzA2i则该几何体

的体积V=E41B1C1-A2B2C+VC-ABB2A2=1X2X2X2+|X|X（1+

2）X2X2=6.

答案：6

4.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径，=1,母线长/=4,M为母线未

SA上的一个点，且SM=Xf从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.//不

求：Z-k

（1）绳子的最短长度的平方人的；

⑵绳子最短时，顶点到绳子的最短距离;

（3加＞）的最大值.

解：将圆锥的侧面沿S4展开在平面上，如图所示，则该图为扇舫,

且弧AA'的长度L就是圆O的周长，

.•・L=27rr=2".・・・NASM=gx360°=7^7X360°=90。.

2nl27rx4

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为4股=也4M(0WxW4).

：.fix)=AM2=x2-¥16(0WxW4).

(2)绳子最短时，在展开图中作垂足为R,

则SK的长度为顶点S到绳子的最短距离，

在△SAM中，VSASAM=,SASM=；AM・SR,

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为加条布(°WxW4).

(3)・・・力》=9+16(0石工・4)是增函数，

，大x)的最大值为＜4)=32.

第二节球的结构特征及表面积和体积

课标要求|1.了解球的结构特征.2.了解球的表面积和体积的计算公式.

N01抓“四基夯实基础点

一、“基础知识”掌握牢

1.球的体积

设球的半径为R,则球的体积V=jnR\

2.球的表面积

设球的半径为R,则球的表面积5=生的，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.

谨记结论•谨防易错

(1)设正方体的棱长为%则它的内切球半径/•=或外接球半径

(2)设长方体的长、宽、高分别为%b9c,则它的外接球半径——•

(3)设正四面体的棱长为。，则它的斜高为高为半明内切球半径/•=出％外接球

半径R=*a.

（4）直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下

底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.

（5）球的截面的性质

①球的截面是圆面；

②球心和栈面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

③球心到极面的距离d与球的半径R及截面的半径/•的关系为r="2一心.

（6）解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处

理.

二、“基本技能”运用好

1.直径为6的球的表面积和体积分别是（）

A.144K,1447rB.144元,367r

C.36瓦,1447tD.36兀,367r

答案：D

2.表面积为。的多面体的每一个面都与表面积为64元的球相切，则这个多面体的体积

为（）

A.jeB.Q

C.jeD.2Q

答案：C

3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是.

答案：姮

三、“基本思想”很重要

1.（数形结合）将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）

’47rn也冗

ATB-3

2o

答案：A

2.（转化思想）圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中，

若取出这个铁球，测得容器的水面下降了?cm,则这个铁球的表面积为cm，

答案：100几

四、“基本活动经验”不可少

一个高为12cm,底面半径为4cm的圆锥形的空杯子，上面放着一个半径为4cm的

半球形的冰淇淋，如果冰淇淋完全融化（忽略融化前后的体积变化），会不会溢出杯子？

解：因为VM=；X：7rX43=¥*r（cm3）,VX42X12=647t（cm3）,V所

以冰淇淋完全融化后不会溢出杯子.

三斐斐;方威强“四翼”——研透命题点

命题点一球的表面积与体积（自主练通）

［题组练透］

1.（2021•吉林调研）已知圆锥的高为3,底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面

积相等，则该球的半径长为（）

A.5B.A/5

C.9D.3

解析：选B•・•圆维的底面半径K=4,高力=3,・••圆锥的母线1=5,・,・圆锥的侧面积

S=7rK/=20兀设球的半径为r,则4江户=20孙，尸点.故选B.

2.（2020•全国卷I）已知A,5,C为球0的球面上的三个点，OOi为△A3C的外接圆.若

。0|的面积为而，AB=BC=AC=OOif则球。的表面积为（）

A.647tB.487r

C.367rD.32元

解析：选A如图所示，设球。的半径为A,。。1的半径为r,因为。

AR

01的面积为4兀，所以加二仃2,解得r=2,又AB=BC=AC=OOi,所以或丁60。

=2r,解得A8=2巾，故。0|=2小，所以/?2=。0彳+/=（2小y+22=16,

所以球O的表面积S=4TTR2=64兀故选A.

3.如图所示，一个底面半径为K的圆柱形量杯中装有适量的水.若放

入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高「，贝!|:=.HH

解析：由水面高度升高r,得圆柱体积增加了加肥「，恰好是半径为「的实心铁球的体积，

因此有^Jtr3=2r.故§=斗3.

答案：岁

［一"点"就过］

计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握表面积公式（S球=4兀/?2）

和体积公式（修中系数的特征和半徉次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公

式得到球的半径.

［提醒］计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免遗漏或重

叠.

［备课札记］.................................................................

命题点二与球有关的切、接问题（多角探明）

［逐点例析］

|与球彳j关的切、接问题|

题点（一）几何体的外接球问麓

［例1］（1）（2020•全国卷II）已知aA5c是面积为挈的等边三角形，且其顶点都在球O

的球面上.若球。的表面积为16%则O到平面4BC的距离为（）

A币B，2

C.1D当

（2）棱长均相等的四面体A3CD的外接球半径为1,则该四面体的棱长为.

［解析］（1）由等边三角形ABC的面积为乎，

得坐432==§,解得AB=3,

U'