2025年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年江西省八所重点中学高考数学联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=1+i1−i，则z⋅zA.1 B.2 C.−1 D.−22.设集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|ln(x−2)<2}A.[−1,3] B.[−1,e2+2) C.(2,3]3.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是14a，则向量aA.2π3 B.π2 C.π34.在(x2+x+y)6的展开式中，A.3 B.6 C.60 D.305.若双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.(0,233] B.(1,26.已知α,β∈(0,π2)，若sin(α+β)=2sin(α−β)，当tan(α−β)A.3 B.33 C.7.已知数列{an}满足：a1=1，A.a10=45 B.an=2−n

C.8.已知a∈(0,1e)，若(lnxx−a)(x+bxA.e B.12e C.1e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在江西省重点中学协作体2025届高三第一次联考中，某校高三年级参加了联考，该校有600个学生数学及格(90分及以上)，从数学及格的学生中随机抽取100个学生的数学成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(

)A.a=0.024

B.估计该校有96名学生数学成绩不低于120分

C.用频率估计概率，已知某学生数学成绩不低于100分，则该生数学成绩不低于130的概率为0.2

D.成绩在[110,120)和[120,130)内学生的男女比例分别为7：3和3：2，从成绩在[110,130)的学生中随机抽1学生，该生是女生的概率为110.已知A、B两点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)，M为坐标平面内的动点，直线MA，MB的斜率分别为kMA，kMB，且满足kMA−kMB=a(a为定值)，设动点A.轨迹C关于原点对称 B.轨迹C关于直线对称

C.当a=0时，轨迹C为一条直线 D.当a>0时，轨迹C存在最高点11.如图，棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1，动点P在正方体ABCD−A1BA.若BP=λBC+μBB1，且λ+μ=1，则三棱锥P−A1C1D体积为定值

B.若A1P⊥C1D，则动点P所围成的图形的面积为92

C.若sin∠PAB=2sin∠PBA，则PC1的最小值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机事件A、B相互独立，若P(A)=34,P(B)=23，则13.过抛物线y2=4x上一动点P作圆C：(x−3)2+y2=4的两条切线，切点分别为14.已知A(−1,0)，B(3,0)，P是圆O：x2+y2=36四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csinB=3bcosC．

(1)求角C；

(2)若a+b=5，c=16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AD且AB⊥AD，沿BD将△BCD折起，使点C到达点P．

(1)求证：PA⊥BD；

(2)当三棱锥P−ABD体积最大时，求平面APD与平面BPD夹角的余弦值．17.(本小题15分)

在直角坐标平面内，设P是圆O：x2+y2=4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足MQ=32PQ，动点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点N(3,0)的动直线l18.(本小题17分)

为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛.从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为13，上两级台阶的概率为23，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为pn(n∈N∗).

(1)求p2，p3的值；

(2)设随机变量X表示小明爬3步上的台阶总数，求19.(本小题17分)

数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号[x]，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[l]=1，[2.3}=2,[−1.5]=−2．

(1)分别求函数y=[sinx]和y=[x]的值域；

(2)若f(x)=min{xex,1(x+1)2}，求函数y=[f(x)]的值；

(3)若数列{an}满足：a1=4，参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.D

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.1213.4

14.81315.解：(1)因为csinB=3bcosC，

所以由正弦定理得：sinCsinB=3sinBcosC，

又因为sinB≠0，所以sinC=3cosC，即tanC=3，

又因为C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC，

即7=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab，

因为a+b=5，所以7=25−3ab，所以ab=6，

所以SΔABC=12absinC=332．

16.解：(1)证明：取BD中点E，连接AE，PE，

由AB=AD，得AE⊥BD，由等边△ABC，得PE⊥BD，

而AE，PE⊂平面PAE，AE∩PE=E，

则BD⊥平面PAE，又PA⊂平面PDE，

所以PA⊥BD．

(2)依题意，△BCD的面积为34⋅BC2=3，

三棱锥P−ABD体积VP−ABD=VA−PBD，

则当且仅当点A到平面PBD的距离最大时，三棱锥P−ABD体积最大，

在△ABD中，AB⊥AD，AE=BD=1，

因此当AE⊥平面PBD时，三棱锥P−ABD体积最大，

在平面PBD内过E作EO⊥PB于O，连接AO，

由AE⊥平面PBD，PB⊂平面PBD，

得AE⊥PB17.解：(1)设M(x,y)，P(x0,y0)，

则x02+y02=4，过P作x轴的垂线，垂足为Q，则Q(x0,0)，

因为MQ=32PQ，则(x0−x,−y)=32(0,−y0)，

则y=32y0x=x0，整理得y0=233yx0=x，代入x02+y02=4中得x2+43y2=4，

整理得x24+y23=1，

所以曲线C的方程为x24+y23=1．

(2)依题意知道，直线AB不垂直于y轴，

则设其方程为x=my+3，

由消去x，得x=my+3x24+y23=1，

并整理得(3X3456P

1

2

48所以E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(3)由(1)知：p1=13，p2=79，且当n≥3时，pn=13pn−1+2319.解：(1)由于sinx∈[−1,1]，所以y=[sinx]∈{−1,0,1}，由于函数y=x的值域为R，所以y=[x]的值域为整数集Z；

(2)令φ(x)=xex，则φ′(x)=(x+1)ex，当φ′(x)>0时，x>−1；当φ′(x)<0时，x<−1；

所以φ(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，又φ(−1)=−1e>−1，φ(0)=0，

所以当x<0时，−1<φ(x)<0，当x>0时，φ(x)>0．

由于1(x+1)2>0恒成立，并且当x=0时，1(x+1)2=1，当x>0时，0<1(x+1)2<1．

故当x<0且x≠−1时，−1<f(x)<0，f(0)=0，当x>0时，0<f(x)<1，

所以y=[f(x)]=−1,x<0且x≠−10,x≥0