2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）4月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）4月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=1+12i的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则以下aA.a=e1+e2,b=3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=105°，A=30°，a=2，则c=(

)A.2 B.6−2 4.下列哪个函数是单调递减函数(

)A.y=cosx B.y=1x C.y=|log5.如图所示，四边形ABCD是正方形，M，N分别BC，DC的中点，若AB=λAM+μAN,λ,μ∈RA.43

B.52

C.−26.在△ABC中，若asinB=3bcosA，且sinC=2sinAcosB，那么△ABC一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=A.π6 B.π3 C.2π38.函数f(x)=cosωx−3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是(

)A.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称

B.函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)

C.函数f(x)的图象可由y=2sinωx的图象向左平移5π6个单位长度得到

D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若向量a=(0,−1)，b=(−3,4)，c=(4,4)，则A.|b|=5 B.(a+c)//b

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则(

)A.若|AB+AC|=|AB−AC|，则△ABC为直角三角形

B.若a=4,B=π6符合条件的△ABC有一个，则2<b<4

C.若11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0

C.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则tan∠BAC：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z(3−4i)=1+2i，则z的虚部是______．13.如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度MN，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为10m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A和文峰塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得塔顶部M的仰角为15°，则文峰塔的高度为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2csin(A+π6)=a+b.设BC的中点为D，且AD=6，则a+2b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．

(1)求|2a−b|；

(2)16.(本小题15分)

已知f(α)=sin(α−π2)cos(3π2−α)tan(7π−α)tan(−5π−α)sin(α−3π)．17.(本小题15分)

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a：b：c=7：2：1．

(1)求角A的值；

(2)若点D为BC的中点，求AD：BC18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系中，角α、β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α、β的终边与单位圆分别交A、B两点(点A在第一象限)，点C是单位圆与x轴的交点．

(1)当A(55,255)、B(−7210,21019.(本小题17分)

A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与点P，Q任一点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q；M)=|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记(P,Q；M)=−|AP|sin∠PAM|AQ|sin∠MAQ.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上．

(1)若AD是角A的平分线，且b=3c，由A点对BC施以视角运算，求(B,C；D)的值；

(2)若A=60°，a=4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，(B,C；D)=2−23，求△ABC的周长；

(3)参考答案1.D

2.B

3.C

4.D

5.D

6.D

7.D

8.C

9.CD

10.AC

11.ABC

12.2513.20

14.(12,24]

15.解：(1)根据题意，|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，

∴|2a−b|=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅16.解：(1)f(α)=−cosα⋅(−sinα)⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=−cosα；

(2)由tan(α−3π2)=−2可得：tanα=12，即sinαcosα=12，

又17.解：(1)设c=k，则a=7k，b=2k，

利用余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=4k2+k2−7k22⋅2k⋅k=−12，

又因为A∈(0,π)，

所以A=2π3；

(2)设c=k，则a=7k，b=2k，

因为点18.解：(1)因为A(55,255)、B(−7210,210)，

由题知，cosα=55，sinα=255，cosβ=−7210，sinβ=210，

所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

=55×(−7210)−255×210=−91050．

(2)因为P为劣弧AC上的动点，且点A的横坐标为12，

所意cosα=12，sinα>0，且sinα=1−cos2α=1−(12)2=32，

即点A(12,32)，

又因为点C是单位圆与x轴的交点，若点C(1,0)，

不妨设点P(cosθ,sinθ)，其中0≤θ≤π3，

所以PA=(12−cosθ,32−sinθ)，PC=(1−cosθ,−sinθ)，

所以PA⋅PC=(12−cosθ)(1−cosθ)−sinθ(32−sinθ)

=cos2θ−32cosθ+12+sin2θ−