安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为复数满足，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选A.3.小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（）A.8 B.8.5 C.12 D.13【答案】D【解析】将这组数据从小到大排列为：，又，所以这组数据的分位数为13.故选：D4.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，所以，又，所以.故选：B.5.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若函数为奇函数，则，即，整理得，即，解得，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意，所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选：A6.已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为函数在区间上单调递减，直线和为函数图象的两条对称轴，所以，所以，即，所以或.又，所以或，所以或，解得或，所以或，所以或.故选：C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，因为直线的斜率为，所以，所以，.设，则，又，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以.故选：B.8.函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令，得；令，得），所以；用替换，可得，所以，所以函数为偶函数.令，得，所以；用替换，可得，所以，所以，所以，即.所以，故是以6为周期的周期函数，又，所以.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，若，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为随机变量，所以，故A正确；，故B正确；随机变量，所以，所以，故C错误，D正确.故选：ABD.10.在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.直线与所成角的余弦值为C.点到平面的距离为D.三棱锥的外接球的表面积为【答案】AC【解析】在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，所以，又平面平面，所以平面，故A正确；连接，易得，所以为直线与所成的角或补角，又易得，由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；在中，，所以，设点到平面的距离为，又，所以，解得，即点到平面的距离为，故C正确；易得，所以为直角三角形，所以在底面的射影为的中点，设为，设外接球半径为，球心为，由，解得，所以外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（）A.B.存在点，使得C.若直线的斜率分别为，则D.【答案】ACD【解析】因为为上的任意三点，且，所以为的重心，，所以，，所以，故A正确；，所以，解得，所以，故B错误；因为两式相减，得，所以，同理可得，所以，故C正确；不妨设，则，代入0，得，所以，由得，所以，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，常数项为__________.【答案】672【解析】由题意得，令，解得，故常数项为.故答案为：13.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________.【答案】【解析】过点作直线的垂线，垂足为，则,,所以，当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值，所以的取值范围是.故答案为：.14.柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________.【答案】10【解析】由，所以，设切点为，则，故，又，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10.故答案为：10四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求的周长.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，所以，又，所以，又，所以.（2）因为边上的高为，所以的面积,又由的面积，解得，由余弦定理得，即，解得.所以的周长.16.如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点是棱上的一点，且满足.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：取的中点，连接，如图所示，又，所以，因为是边长为2的等边三角形，点是的中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又平面，所以，又，所以.取中点，连接，则，由（1）可知，平面平面，平面平面平面，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，设平面的一个法向量为，又，所以令，解得，所以平面的法向量为.设平面的一个法向量为，又，所以令，解得，所以平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）若，则，所以，令，解得，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值.（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以，令，所以，当时，，又，所以，所以在上恒成立，所以即在区间上单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，符合题意；当时，令，解得，则即在区间上单调递减；所以当时，，所以在区间上单调递减，所以当时，，不符合题意；当时，又，所以，所以即在区间上单调递减，所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意.综上，的取值范围为.18.某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：性别排球喜欢不喜欢男生78122女生11288（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？（2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为.（i）求；（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联.根据表中的数据，经计算得到所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.（2）（i）由题意知，设，所以，所以，解得，所以，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，即第次传球后球在乙手中的概率为.（ii）因为，所以当时，的数学期望，即的数学期望为19.椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为.（1）求的方程；（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.（i）求证：；（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值.解：（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4，椭圆的长轴长为，短轴长为，又与的相似比为，所以，解得，所以的方程为.（2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设