一元三次函数的图象与性质零点问题教学设计-高二下学期人教B版选择性

一元三次函数的图象与性质一、教学内容解析函数论是数学的一个分支，包含实变函数论和复变函数论等重要内容．函数论的研究对象是函数，主要研究函数的性质及其相互关系，研究方法包括：分析法、图象法、证明法、近似法、数学建模等．这为一元三次函数的图象与性质的研究提供了系统化的工具和理论支撑，我们可以通过考虑函数的图象趋势、以及基本性质，来解决一元三次函数的相关问题．一元三次函数的图象与性质是高考考查的重点内容．近年来，高考试题中对于三次函数的考查内容和方式都越来越多样化．因此，有必要对三次函数的图象与性质进行更加深入地系统化研究．本单元内容为：一元三次函数的图象与性质复习课．主要包括：一元三次函数图象与性质的探究、一元三次函数图象与性质的应用，按以下三课时开展教学．课时安排：课序内容第1课时一元三次函数的图象与性质第2课时一元三次函数的图形与性质—零点问题第3课时一元三次函数的图象与性质—综合应用一元三次函数的图象和性质是一元函数导数及其应用的重要载体．在课标中的要求是：知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质，理解导数是一种借助极限的运算；能求不超过三次的多项式函数的单调区间；能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律．在此之前学生已经掌握了研究函数的一般套路：现实背景概念性质图象应用，明确了利用导数研究函数的一般方法．因此，借助导数工具来研究三次函数的图象与性质，符合学生的认知规律．但是对于三次函数的认识，学生仅在必修一中学习幂函数时，接触过特殊的函数，这是一个特例，不能全面地体现三次函数的性质，而且缺失了关键性质，因此，对于一般的三次函数的图象与性质学生其实是不太熟悉的．想系统地掌握三次函数的图象与性质，就需要学生先利用已有的经验对这个新的函数，按照研究函数的一般套路，利用导数等工具开展研究，这就是本单元中第1课时的内容：一元三次函数的图象与性质（基本性质：单调性、对称性、极值、最值）的探究．明确了系数对三次函数的图象与性质的影响，得到了一般的三次函数的图象与性质之后，是要应用得到的图象与性质解决问题，在这里学生还存在一些困难，因此希望结合析题课的复习模式，对解题步骤进行梳理，明确研究问题的一般思路，这是第2课时的主要内容：通过“分析正解”和“纠正误解”梳理涉及的知识要素、构建解决一元三次函数零点问题的思维程序，加深对于一元三次函数图象与性质的理解．第3课时是一元三次函数图象与性质的综合应用，积累利用三次函数的图象与性质解题的经验，体会导数工具在其中发挥的重要作用，深化研究函数的一般路径．通过本单元的学习，进一步掌握利用导数研究函数的一般方法，体会数形结合的思想，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．本节课是单元复习课中的第2课时：一元三次函数的图象与性质—零点问题．（单元知识结构图）教学重点：构建解决一元三次函数零点问题的思维程序图．二、教学目标设置1.经历用图形计算器画图、观察、猜想函数零点个数与参数变化之间的联系，并用代数推理论证的过程，体会数形结合思想，发展数学运算素养；2.通过对一元三次函数零点问题典型正确解答的分析，明确每一步涉及的知识要素，根据解题思路总结出思维程序图，提高分析能力和创新能力；3.通过个人独立思考、小组交流、展示汇报等活动，树立学好数学的信心，更好地认识自我与他人，促进个人的发展与提高．三、学生学情分析（一）学生已经具备的认知基础1.在学习本单元内容之前，学生已经复习了导数的概念、运算以及应用，掌握了导数的基本运算，对于给定的函数，能够利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则正确求出其导数；明确利用导数研究简单函数图象与基本性质的方法．本单元的第一课时中，学生已经探究出了一元三次函数的图象与基本性质（单调性、对称性、极值、最值），体会了研究三次函数图象与性质过程中导数发挥的重要作用，为后续内容的复习奠定了基础．2.为更好地把握学情，在本节课前设置了考查一元三次函数相关知识的9道前测题，内容如表1．题号题型主要知识点1选择题极值2选择题零点3选择题对称中心4选择题切线5选择题单调性、对称性6选择题图象与性质（23年北京高考题）7解答题图象与性质综合应用（19年北京高考题）8解答题零点问题（24新课标Ⅱ卷题改编）9解答题图象与性质综合应用（23年北京高考题改编）表1前测题知识点统计学生完成情况，统计结果如图2．表2前测题得分率结合统计结果分析，对于确定的不含参三次函数的基本性质学生掌握的比较好，而对于三次函数的零点问题、图象与性质的综合应用还存在一定困难．其中的第6题是2023年北京高考选择的最后一题，难度较高，考查的综合性也比较高，对于本班级大多数学生来说不容易想到或完成利用三次函数的图象与性质解题，因此得分率较低．第9题的背景不是直接给的三次函数，而是在解决问题的过程中利用了三次函数的性质，属于图象与性质的综合应用，放在本单元的第3课时去突破．第8题考查的是三次函数的零点问题，得分率为0.54，解决这道题需要结合三次函数的图象、单调性、极值和函数零点存在定理等相关知识，学生具备一定的认知基础，能够通过进一步学习突破这个难点，因此确定为本节课的研究内容．3.通过与学生访谈，发现对于三次函数的零点问题主要存在以下困难：（1）具体的确定的三次函数，能够通过求导按步骤进行解题，但是含有参数时，仅能研究到单调性和极值，对于零点问题的解决还存在一些疑惑，30%的学生没有思路，44%的学生大概有思路但是不会算，6%的学生基本具备解题思路，但距离完全正确、步骤规范还存在一定差距．解题过程中部分同学存在一些运算困难．（2）在利用导数研究出函数的单调性、极值后，能够画出函数图象的大致形状和变化趋势，但是利用函数图象进一步分析和解题的能力还需加强，对于数形结合思想的体会还不够深刻．（3）希望能总结出一个解决这类问题的思维程序，内化为自己的学习经验．（二）达成目标需要具备的认知基础为了更好地达成教学目标，学生需要掌握一元三次函数的图象与基本性质，函数零点存在定理的相关知识，利用导数研究函数的基本经验，利用函数图象进一步对函数进行分析的能力，结合问题的分析和解决的过程构建解题思维程序的能力．结合以上分析，解决一元三次函数零点问题的障碍点在于：利用图象进一步分析出：需要比较函数的极值与0的大小关系，根据运算对象的特征设计运算方案，总结解题思维程序．因此，本节课中选择学生的正确解答和典型误解作为教学素材，首先引导学生明确错因，探索解题策略，然后分析正确解答过程，明确涉及的知识要素，并梳理解题思维程序，内化为自己的学习经验．教学难点：在具体实例中找到运用函数零点存在定理的前提条件；绘制思维程序图．四、教学策略分析（一）教学材料的选取1.重视教材资源本单元的第一课时内容：一元三次函数的图象与性质的探究，主要选取选择性必修第二册教材中第五章《一元函数导数及其应用》第99页的拓广探索，在学生已经掌握了利用导数工具研究单调性、极值、最值等性质之后，探究一元三次函数的图象与性质．2.重视学生解题中的真问题在解决一元三次函数的图象与性质综合问题的过程中涉及到事实类知识、概念类知识、程序类知识，因此前测题中设计了包含单一知识要素的部分题目，全面覆盖一元三次函数的相关知识．通过9道前测题的完成结果数据发现：学生在解决三次函数的零点问题时还存在一些困难，因此选取前测中的第8题为素材，通过分析正解，剖析问题突破难点．（二）教学方法的分析1.小组合作式和启发探究式本节课采用小组合作式和启发探究式教学方法，基于前测的数据分析和学生反馈设计内容、选取素材，其中的学习任务来自从学生解答中的真实错误和困难，通过同伴互助找错因，小组合作分析问题的方式，不断深入的进行质疑与反思，找到解决问题的方法，不同层次的学生都能够有所收获．分析内容共分四个部分：（1）分析问题背景中的已知和所求；（2）分析正确解答过程中涉及的知识要素；（3）关注这些解决问题的知识要素是如何组织起来；（4）分析他人解决问题过程中出现的问题并给出建议．通过问题串，引导学生在学习活动中积累学习经验，形成学习方法，从而达到诊断复习的目的．2.析题课复习模式一方面分析正规，找到典型正确解题过程中每一步涉及的知识要素以及整体思路流程，也就是“析正解”；另一方面，选择学生典型误解作为教学资源提供给学生用来分析错误原因，并且思考和寻求正确的解决策略，也就是“纠误解”．结合析题课的复习模式，对解题步骤再进行梳理，明确研究这类问题的一般思路．3.利用信息技术课程标准强调教师应重视信息技术的应用，优化课堂教学，转变教学与学习方式．为解决学生的难点问题，在课堂中使用了图形计算器辅助教学，学生动手操作绘制问题背景中的含参三次函数的图象，拖动游标观察函数图象变化过程中的图象特征以及函数零点变化情况，有利于学生先直观感知猜测结论．标准中还提出，教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果．所以在这节课当中，学生的书写全程使用智笔，智笔能够能够实时显示学生书写笔记，实时反馈学生的研究过程和结果，便于教师找到典型案例，更精准的掌握学情，使教学更有针对性，有利于难点的突破、课堂效率的提升！（三）问题串的设计通过环节一：分析数据，聚焦问题，组织学生分析数据，回顾每道题考查的知识点，回想自己解题中的困难和疑惑，明确本节课主题，并对问题背景进行回顾．通过环节二：借助技术，直观感受系数是如何影响三次函数图象变化的，初步得出图象变化过程中零点个数的结论．接着通过环节三，引导学生用严谨的代数推理去证明直观感知得到的结论，在独立思考、合作交流、展示汇报的过程中质疑思辨，突破难点．然后对正确的解答过程进行剖析，通过问题1：解答过程中各个步骤使用的知识要素是什么？和问题2：尝试总结“解决一元三次函数零点问题”的思维步骤，画出解题思维程序图．引导学生不仅知其然，还知其所以然．最后通过问题3对本节课所学内容和思想方法进行归纳梳理，加深对析题模式的理解，总结解决问题的思维程序形成学习经验．（四）学生的学习反馈学生学习反馈以课后作业及课后检测两种形式，从两个维度进行：

1.根据个人情况自主选择完成课后作业之一，反馈学生是否能运用析题的方法发现自己在解题时遇到的问题并给自己提出建议，从而达到复习诊断的目的．

2.学习一周后进行原题检测，反馈学生在进行了析题课的学习后是否真正突破了在三次函数零点问题中的难点．五、教学过程设计为达成教学目标，突出重点、突破难点，本节课设置了如下教学环节：分析数据聚焦问题分析数据聚焦问题归纳总结

自我提升课后作业

巩固提高形式推演突破难点分析正规矫正失误借助技术直观感知（一）分析数据，聚焦问题在PPT中展示前测试卷各题的得分率．教师引入：在上节课中，我们复习和探究了一元三次函数的定义、图象与一些基本性质，在前测题中对这些内容都有考查，先来看一下完成情况．实际上，第1题、第3题、第4题、第7题的得分率都在0.8以上，说明我们对于基础知识的掌握还是比较好的．剩下这些题的得分率相对来说就稍微低一些了，尤其是第6题和第9题就更低了，这两道题的综合性比较强，我们下节课再来研究．剩下的三道题主要考查的是单调性、对称性和零点问题．明显可以看出在这儿我们的提升空间还是比较大的，那么这节课我们就采用析题课的方式来解决一元三次函数的零点问题．学生活动：观看数据和自己的前测试卷，回顾每道题考查的知识点，回想自己解题中的困难和疑惑，明确本节课的主题．设计意图：以数据的形式反馈前测题的完成情况，展示学生的真问题，表明本节课的主题和必要性．在PPT中展示第8题的题目．（PPT画面）教师提问：先来回顾一下问题背景．请同学们思考，题目中给出了哪些已知条件？目标问题是什么？你有什么想法？学生活动：独立思考，对题目背景进行分析．学生代表交流想法．设计意图：要解决问题首先要对题目进行分析，明确已知和所求，从而设计解题思路．在学生的思考、交流中，引导学生发现图象在解决三次函数零点问题时起到的重要作用，明确要先建立直观感知．（二）借助技术，直观感知任务1用图形计算器绘制函数的图象，改变的值，观察函数图象变化过程中的图象特征和函数零点的变化规律．教师引入：高考出题时，命题人是没有技术限制的，虽然咱们同学在考试时是不能用技术的，但是在学习时可以利用信息技术来帮助我们直观地感知图象．我们就先利用信息技术来直观地感知一下图象的变化规律．请同学们完成任务1．学生活动：每位同学动手操作图形计算器，绘制函数的图象，拖动游标，观察图象的变化规律，得出结论后与同桌交流想法，同学代表汇报展示．（图形计算器显示画面）学生汇报：学生代表进行汇报，用图形计算器展示得出的结论以及每种结论对应的函数图象．此时有三种结论：当时函数有两个零点；当时函数有三个零点；当时函数有一个零点．教师追问：当时函数的图象是都是同样的趋势吗？学生活动：展示的同学拖动游标，函数图象发生变化，其他同学共同观察函数图象，将时的情况根据函数图象的特征将结论再细化为三种．达成一致意见后将结论进行整理．学生板书结论：（学生板书）教师追问：刚才我们初步得到了一个结论，但是现在的值范围是在的，我们也可以通过更改设置将这个范围扩大，但是它显示的只是部分图象，这其实是有一定的局限性的．而且我们的解答过程中也需要更加严谨的推理论证，接下来请同学们完成任务2．设计意图：借助图形计算器迅速的获得函数图象，学生通过拖动游标观察函数图象的变化情况，猜测函数零点个数的结论，先直观感知找到解决问题的大致思路，接着再用代数推理的方法验证结论从而真正的解决问题．信息技术的使用能够动态展示图象变化，为建立直观感知节省了时间并提高了准确性，大大提升了课堂效率．（三）形式推演，突破难点任务2用代数推理的方法论证直观感知的结论．教师活动：对学生的解答过程进行分析，指出没有问题的步骤，和出现问题的地方．并提示：我们刚才已经有了一个通过直观感知得到的结论，下面我们就利用代数推理的方法来证明这个结论．（学生在解答过程中出现问题的地方，写到这一步不会往下写了．）学生活动：先独立思考，尝试在原来解答过程的基础上解决出现的问题，自主完成后小组讨论，学生互相交流自己的想法，尝试在组内形成一致的意见，若不能则记录差异之处．完成后选取代表进行分组汇报．预设：部分同学有思路，但也有部分同学仍然不会做，小组讨论时互相帮助，交流自己的想法．教师活动：巡视查看学生的完成情况，适时提示，在学生都完成后组织小组讨论，关注各组讨论情况，选取小组代表展示汇报．学生活动：讨论完成后进行分组汇报．在同学展示发言的过程中，认真听取其他组的成果，思考、点评、补充．预设：每组讨论的结果不完全一致，有的解决了问题，有的在中间遇到了困难，有不同意见，通过质疑思辨逐渐得出正解．小组代表1：以的情况为例，用函数零点存在定理解决问题．根据当时函数的单调性，将函数的定义域分成三段：，，.函数在处取得极大值1，在处取得极小值.在这三段分别运用函数零点存在定理说明零点个数．例如：在单调递增，，，所以，所以在上有一个零点．当和时同理．预设：学生可能结合其中的一种情况，详细说明运用函数零点存在定理的过程，其他情况同理就省略不说了，教师及时进行追问，引导学生观察图象，发现其中的区别，真正理解何时、如何正确运用函数零点存在定理．教师追问：当和时，这两种情况跟时完全一致吗？小组代表1：当时，在没有零点，所以我们只需要研究这一段．已知在单调递增，，所以我们只需要在的左边找一个值使它的函数值小于0，我们就能证明出来它在有一个零点．，因为，所以不能判断它是恒正或者恒负．预设：学生在运用函数零点存在定理时遇到困难，对于试数结果的符号判断说的可能不够精准细致，教师及时进行追问，引导学生思考如何用更一般性的方法真正理清判断运算结果符号的方法．教师追问：为什么不能判断它是恒正或者恒负？学生展示：可以通过构造新函数，结合的图象和性质说明运算结果在时不是恒负的．生2：我试的数是、，，，也不行．然后再看这三个结果，它是只改变了的系数，没有改变形式，所以可能这样的数都不行．生3：我的想法是想把中这个消掉，于是我就带了一个，，也可以用构造新函数的方式判断它的符号，发现这个数也不行．生4：我也试了，还有，也不行．因为从到，再到，它都是变化了等距的一个单位．所以我又试了，，整理一下就是，它是小于0的，也可以构造新函数来判断符号．教师总结：对同学发言的内容进行点评，将说的不严谨或有问题的地方进行修正．并指出在运算时，要先明确运算对象，根据其特征设计运算方案，达成运算目标．在解决问题时也应该关注更具有一般性的通性通法，比如：通过构造新函数来严谨的判断符号．教师追问：在解决这个难点时，用到了哪些知识？用到了哪些思想方法？学生活动：思考回答．设计意图：通过对典型失误的分析，经历检查、评价的过程，明确“错之因何错”，进而结合直观感知得到的结论探究解题思路，用严谨的代数推理解决问题．在应用函数零点存在定理时，学生可能会出现运算的难点，因此设计了个人独立思考、小组交流、集体汇报等活动，学生充分的参与学习活动，通过质疑思辨一步步解决遇到的困难，最终解决问题．在此过程中提高学习数学的兴趣，提高用数学思维思考、用数学语言表达的能力．（四）分析正规，矫正失误教师引导：可能有同学不是在这个地方出现的问题，我们怎么能完整的解决这道题呢？还需要我们对解答过程进行更加精准的分析．学数学是大脑多网络协同工作，除了咱们用那些图形的、符号的，还要用策略，明确先做什么，后做什么．下面我们就来完成这件事，请同学们看问题1．问题1解答过程中各个步骤使用的知识要素是什么？（正确解答过程）师生活动：学生自主完成，教师巡视、个别指导．都完成后进行小组讨论，将想法分享给同组的同学，互相学习，分小组展示汇报．预设：教师通过智笔系统查阅学生书写情况，部分同学找的知识要素可能有遗漏，适时组织小组讨论，引导学生互相交流自己的想法，完善自己的答案．学生活动：小组代表展示，共同点评、补充、完善．设计意图：对于学生来说题目其实有一定难度的，给出解题过程而不是让学生去做题，避免打击学生信心，学生分析正确的解答过程找出每个步骤使用的知识要素，明确“对之何以对”，新颖的模式还可以引起学生兴趣．问题2尝试总结“解决一元三次函数零点问题”的思维步骤，画出解题思维程序图．教师引导：现在我们明确了每一步涉及的知识要素，但要真正的解决问题还要清楚解题的思维步骤，请同学们思考完成问题2．学生活动：通过独立思考、小组讨论、展示汇报三个环节完成问题2．预设：学生总结的思维流程可能是以不同形式呈现的，教师在巡视过程中指导、帮助和启发学生，适时组织小组讨论，引导学生互相交流想法，在展示汇报时组织学生进行点评、补充，对自己的思维程序图再进行完善．设计意图：明确了解答过程中每个步骤涉及的知识要素，在此基础上总结思维程序图，形成研究这类问题的一般方法，建构完整的思维结构，建立整体意识，有利于分析能力和创新能力的提高．（五）归纳总结，自我提升问题3通过本节课的学习，你有哪些收获？师生活动：学生冥想一分钟，分别找不同层次的学生分享交流自己的收获．教师点评学生发言，最后进行补充总结．

预设：学生从知识、思想方法、能力素养等方面进行总结，教师引导学生体会析题课这种复习模式，尝试用这种方法解决在