高中数学知识要点重温复习归纳

要点重温之集合、逻辑

江苏郑邦锁

1.集合运算中一定要分清代表元的含义。

［举例］已知集合P={y|y=x2,xGR）,Q={y|y=2",x《R}求PCQ。

解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）|y=x2,xeR}才表示函

数图象），P=［0,+00）,Q=（0,+oo）,PAQ=Q。

［提高］A={x|y=3x+l,yGZ},B={y|y=3x+l,x£Z},求ACB。

2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

［举例］若人=仅，3}B={x|x>2}且AAB=①，求a的范围（注意A有可能为中）。

解析：当a>0时，集A=（-石，4a）,要使ACB=①，则后W2,得0<aW4,

当aWO时，A=①，此时ADB=①，综上：aW4（A=①的情况很容易疏漏！）

［巩固诺A={x|ax=l},B={x|x』}且BCA=A,求a的所有可能的值的集合。

［关注］ACB=A等价于A=B

3.充要条件可利用集合包含思想判定：若AgB,则A是B充分条件；若A卫B,则A是B必

要条件；若A=B且人=3即A=B,则A是B充要条件。换言之：由AnB则称A是B的充分

条件，此时B是A的必要条件；由BnA则称B是A的充分条件，此时A是B的必要条件。

有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。

充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；

注意区分：“甲是乙的充分条件（甲n乙）”与“甲的充分条件是乙（乙n甲

［举例］若非空集合MuN,则“ae"或aeN”是“aeA/nN”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

解析：命题“oeM或。eN”等价于显然“AN是"UN的真子集,

“awM或awN”是“aeMflN”的必要不充分条件。

［巩固］已知直线加、”和平面a,则加〃〃的一个必要但不充分条件是（）

（A）机〃a且〃〃a（8）机_La且“_La

（C）m>〃与a成等角（。）机〃a且“ua

4.命题“A或B”真当且仅当“A、B中至少要一个真"；命题“A或B”假当且仅当“A、B

全假，命题“A且B”真当且仅当“A、B全真"；命题“A且B”假当且仅当“A、B中至少

要一个假”。“P真”则“非P假”，“P假”则“非P真”；注意：“非P”和“P的否命题”是

不同的，“非P”只否定命题的结论，“P的否命题”则是分别否定命题的条件和结论；如P:

两直线平行内错角相等，“非P”：两直线平行内错角不相等，“P的否命题”：两直线不平行

内错角不相等。

［举例］已知p：函数f（x）=lg（ax2-x+La）的定义域为R；q：不等式如27+1<l+ax对一切正

实数均成立。若p或q为真，p旦q为假，则实数a的取值范围是

6Z>0

解析：f(x)的定义域为R=>ax^x+^a>0对一切实数x恒成立=><

1

A=1—9<0

4

na>2,即命题p：a>2；不等式J不开vl+ax对一切正实数均成立nQ>出上!二!•对

x

J?r+1-1/-----

一切正实数X恒成立，记g(x)=^---------,则Q>gmax(X)，令4+1=«>1),

X

也土1二1=卫二D=2<i,可见函数g(x)无最大值，它的极大值为1,即

x厂—1/+1

命题q：a》l；而p或q为真，p且q为假即p、q一真一■假；若p真q假，则a>2且a<l,

这不可能，舍去；若p假q真，贝Ua<2且a'l即lWaW2；

［巩固1］设p:x<-1,或x>1,q:x<-2或x>1,则「p是」夕的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

［巩固2］若“邛或飞”是真命题,则---------------------------------------()

(A)“p或q”是真命题(B)“书且飞”是真命题

(C)“p或q”是假命题(D)“p且q”是假命题

简答

2.［巩固］｛-1,1,0),3.［举例］B,［巩固］C,4.［巩固1］A,［巩固2］D,

数学归纳法、极限

江苏郑邦锁

1.数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n,开始的所有正自然

数n都成立”的问题。

2.能根据f(k)正确写出f(k+l),并能指出f(k)与f(k+l)之间的关系,这往往是运用数学归

纳法的最关键的一步。

［举例1］已知/,(/?)=—!—+—!—+—^+--.+—,则/(〃+i)=

〃+14+2〃+32/7

1_/(«)+—^—+1_

A./(〃)+B.

2(〃+1)2/7+12(〃+1)

1_11_

C./(«)-D./(«)+-----

2(77+1)2〃+12(〃+1)

解析：/(〃)是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故f(n+1)是从n+2开始的n+1个

连续自然数的倒数和，即

，,八11111

/(〃+1)=------1-------F…H-------------1----------1------------

〃+2〃+3〃+1+〃―1〃+1+〃〃+1+〃+1

1

〃+2〃+32〃2〃+12(〃+1)2〃+12(〃+1)72+1

11_

=/(〃)+故选D。

2〃+12(〃+1)

［举例2］用数学归纳法证明"5」21‘能被3整除，的第二步中，n=k+l时，为了使用归纳假设，

应将5k+1-2k+1变形为____________________

［解析］假设n=k时命题成立.即:5卜一2k被3整除.当n=k+l时,5k+1-2k+l=5X5k-2X2k

=5(5k-2k)+5X2k-2X2k=5(5k-2k)+3X2k

［巩固1］用数学归纳法证明l+g+g+…+』j〈n(n〉l)时，由n=k(k>l)不等式成

立，推证n=k+l时，左边应增加的代数式的个数是____。

A.2"TB.2*-1C.2kD.2*+1

［巩固2］用数学归纳法证明命题：

(n+1)X(n+2)X-X(n+n)=2nX1X3X-X(2n-l)

3.数学归纳法公理：如果关于自然数n的一个命题p(n)满足下列条件⑴p(n»)成立，即

当n=n。时，命题成立，⑵假设p(k)成立，则p(k+l)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n

》n«的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，(1)

是递推的基础，(2)是递推的条件；二者缺一不可。

4.数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即

命题p(k)成立证明命题p(k+l)成立(已知p(k)成立，求证p(k+l)成立)是数学归纳法证

明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题p(k+l)之间的关系又是实现这一步的前提。

［举例1］已知加为正整数，用数学归纳法证明：当x>-1时，(l+x)'"21+ax；

解析：视(l+x)"'21+mx为关于加的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：

(i)当=1时，原不等式成立；当机=2时，左边=l+2x+x-右边=l+2x,

因为120,所以左边2右边，原不等式成立；

(ii)假设当〃?=左时，不等式成立，即(1+X)"N1+AX,则当加=左+1时，

'：x>-\,/.1+%>0,于是在不等式(l+x>N1+自两边同乘以1+x得

(1+X)*•(I+x)》(1+Ax)(l+x)=1+(左+l)x+kx2N1+(左+l)x,

所以(l+x)ni》1+(左+l)x.即当加=左+1时，不等式也成立.

综合(i)(ii)知，对一切正整数加，不等式都成立.

［举例2］设正整数数列｛4｝满足：生=4,且对于任何“6N*,有

11

—T----------

2+-a"+'<2+—；（1）求q,%；（2）求数列｛4｝的通项4•

%+i1__L%

n〃+1

（07高考江西理22）

.1/11、1

解析：（1）据条件得2H----<〃（〃+1）---1----<2H----①

。“+1a.+Ja”

1-111.士c122cl

当〃=1时,由2-I--<2—I---<24—,即有2d—<—I—<2d—,

<7,（勾生Ja\444勾

2Q

解得§<6<亍因为％为正整数，故q=L

1fl]Ai

当〃=2时，由2+—<6-+—<2+-,解得8<%<10,所以%=9.

%I4aJ4

（2）由a1=1,a2=4,%=9，猜想：an-rr.

下面用数学归纳法证明.

1°当〃=1,2时，由（1）知/=〃2均成立;

2。假设”=%（后22）成立，则为=公，则〃=左+1时

2

„ZBn17/,111\1k\k+\）k（k+左一1）

由①得2H---<k（k+1）——H----<2H——=-z-2------<%<

矶（公4+JHk-k+\rn

nd）?—翳</<（左+1）2+白

因为《22时，（左2+1）—（左+1）2=以左+1）（左一2）20,所以匚e（o,l］.

k+1

左―121,所以」一€（0,1］.又W+［LN*,所以（无+1）2W%IW/+1）2.

k—1

故4+1=（左+1>,即〃=左+1时，%=/成立.由1°,2,知，对任意〃eN*,an=rr.

8•18-28•n

［巩固1］已知数列『.…；S”为其前n项和,

3232-52（2»-1）2-（2/7+1）2

求SrS2,S3、S4,推测S,，并用数学归纳法证明。

［巩固2］已知各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和S„满足E〉1,且

6S,=(q+1)(%+2),〃wN.(I)求｛%｝的通项公式;

(H)设数列也｝满足可(2--1)=1,并记7；为也｝的前〃项和，求证:

37^,-1>log2(4Z„+3),(07高考重庆理21)

5.若/(c)存在，则lim/(x)=/(c),若/(c)=g(c)=0,则lim」里一般“约分”(约去

1C』g(X)

含x-c的因式)后再求极限。若lim/(x)=A、limg(x)=B,J3»]lim[/(x)±g(x)]=A±

XTCX->CXTC

B,lim[/(x)g(x)]=AB,lim(”)=3(B#0).

f3g(x)B

[举例]limf,2x+1------1=________.(07高考陕西理13)

x-»i+x—2x—1)

“L2x+l1x-11

解析：---------------二-------------二-----，

x"+x-2x-1(x+2)(x-1)x+2

.(2x+l1[「1_1

••lim-3-----------r=hm----=-

x-^\\x2+x-2x-l)ax+23

[巩固1]下列四个命题中，不用砚的是()

A.若函数/(%)在％=/处连续,则lim/(%)=lim/(%)

X-出+-v-*V

B.函数/G)=夕x+£2的不连续点是x=2和x=—2

xz-4

C.若函数/(x),g(x)满足lim[/(x)-g(x)]=0,JUOlimf(x)=limg(x)

X-"8X-8X-*00

D.lim——-=—(07高考湖南理7)

I%一12

41

[巩固2]lim(------)=_______

-24-x2+x

6.若Iq|<1,贝qlimqn=0;q=l,贝limqn=1;若q>l或夕<-l,贝Ulimq"不存在。limc

"―>00M—>00rt—>00M—>00

Qc000

二。(c为常数)；“一”型的式子极限为0;“一”型、“一”型的极限不存在；“一”型和

oo0c0

“艺”型，一般分子、分母“同除以"一个式子(包括“约分”)后再求极限；含有根式的

00

±

和(差)的式子一般有理化后再求极限。若lima〃=A、limbn=B,则lim(anbn)=A

±B,lim(a/?)=AB,lim^-=—(B^O).

M->QOt1〃T8bB

1

［举例1］若lim1,则常数q=

〃Too

解析：分母有理化

..+4+G1..

=lim--------广-----=■-lim(Jl+-+l)

〃二8yfn(y/n+a-Vw)〃T8QJ〃q〃T8Vn

=-x2=l=>a=2

a

Hp

T

［举例2］已知p和q是两个不相等的正整数，且q»2,则limL二()

〃-8

1+-I-1

A.0B.1C.—D.2二(07高考湖北理5)

qq-i

1,11

i+-1+p--FC"-z-+…+C?----1

n)p2pp

解析：limlimnnn

«—*00〃T8

］+q,—F；-z-+…+：----1

nCg〃2Cg/

n)

11111,1

夕—+*+•.•+”0i

"T

=lim—9--------々------9=lim—,选C。

1.1

"781”21,,W1"T891q

不+…q+c；

q.一n+cn+c“nfq

［巩固1］把l+(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)"展开成关于X的多项式，其各项系数和为%,

1

一1

则

等

㈣2Ja于

“+1

11

-c2

A.4B.2-D.

［巩固2】•㈣2M布-个)等于()

A.1B.2C.4D.O

W+l.AW-l

［迁移］设正数5力满足li吗(/+ax-b)=4,则lim——~()

A.0D.1(07高考重庆理8)

7.无穷数列｛4｝的前n项和为Sn,limS〃称为数列｛。〃｝的无穷多项和或所有项和。求

limS.时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求S“，再求极限。若｛%｝为等比数

w—>x

列，公比为q且|q|<l,则limS〃二」

«-><»］—q

［举例1］若数列｛凡｝满足：ax=1,且对任意正整数m,n都有am+n=am-an,则

lim(q+a,+—+*)=(07高考湖南理2)

〃T+co

173

A.—B.—C.-D.2

232

解析：数列｛a,,｝满足：6=；，且对任意正整数m,n都有am+n=aman,

△Q0K，△Q64,…,△Q,_£L2与t.当〃―8时，这些三角形的面积之和的极限

为•

解析：go),乙(2,0),…，,0)；a(-,i-(-)2),2(2,1-(2)2),…,

nnnnnnn

2„.,(-4-(—)2)>记的面积为s,则S|=!」1_(_L)2],

nS2=

nn2z?n

2

一(2)」，…，Sn.i=^--—•[1-(---)];lim(S]+邑+…+S〃.J=

2z7n2nnw->°°

12+22+--.+(T7-1)2("1)(〃—2)(2〃-3)11_1

lim—[(w-l)-」=——lim

〃T82n22is12/26-3

［巩固1］数列｛—J—｝的前n项和为Sn,贝IJlimSn=______________

4n—1zoo

［巩固2］如图，等边三角形ABC的面积等于1,连结这个三角形各边的中

点得到一个小三角形，乂连结这个小三角形各边的中点得到•个更小的

三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.

BC

.46..46..46.

（丁））+（”一刀+…+（菽一方）

［巩固3］lim-1-7―景田

1_7+（6r一科1+.“+（/一歹）

答案

2、［巩固1］C；4、［巩固1］S,,=(；；；：：)；1，［巩固2］a“=3〃—1,

5、［巩固1］C,［巩固21；6、［巩固1］D,［巩固2］B,［迁移］B；7、［巩固1］1,

4

［巩固2］［巩固3］-1

要点重温之函数概念、图象、性质

江苏郑邦锁

1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于y轴的直线至多只有一个交点。一个函

数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于X轴的直线与

图象至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？(是的，任何函数在它的一个单调区间内

总有反函数);

［举例］函数f(x)=x?-tx+2在［1,2］上有反函数，则t的一切可取值的范围是—

解析：对于''连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x?-tx+2在［1,2］上单调即区间

［1,2］在对称轴x=1的一侧，，工22或即］tW2或t24。

2.求一个函数的反卷数必须标明专函数的良义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表达

式的过程就是解(关于x的)方程的过程。注意：x=f-'(y)一定是唯一的。

y-I1

［举例］函数y=ln----,x£(1,+8)的反函数为

x-1

(A)y=-----,xe(0,+oo)(B)y=C,xe(0,+oo)

/+1-1

ex—I/、+1/

（C）y=——,xe（-oo,0）（D）y=——,xe（-8j

ex+1ex-I

VI12vI1

解析：•••x€（l,+oo）,—=1+——>1（关注分离常数），；.y=ln^—e（0,+oo）

x-lx-1x-1

」1X+13X+1V-r-ftATT.I.e'+1-r-4,AZH。"+1/八\

又由y=In------得-----=ey,不难解出x=---------，互换后得y=---------,x£（0,+oo）

x-1x-1ey-1ex-1

（互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选B。

3.原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图

象关于y=x对称；若函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,bGC,f［f-1(b)］=b;

f-，［f(a)］=a

［举例1］已知函数/(©=_!_的反函数./T(x)的图象的对称中心是(0,2),贝Ija=—

x-a

解析：原函数/(x)=，是有反比例函数(奇函数)平移而来，其图象关于(a,0)对称，

x-a

它的反函数/T(x)的图象应关于(0,a)对称，即a=2

［举例2］已知f(X)=X2+2X+3,(X>-1),则f1(3)=o

解析：此题不宜求反函数(麻烦)，注意到3是反函数丫=£'(X)的自变量，就是原函数y=f(x)

的函数值，令x?+2x+3=3,得x=0或x=-2,又x>-L••.x=0,此即反函数的函数值尸(3)(原

函数的自变量)。

［迁移］已知f(x)=2sinxcosx+2VJcos2x-V3,xe,巳］,求⑴的值。

122

4.奇函数对定义域内的注意x满足f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的在意x满足

f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于x的唐筝式而不是方程。

若函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于

原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)=0;反之

不然.

［举例］函数加尸logjx-切是偶函数的充要条件为

解析：思路一：函数/(x)=log点・6|是由偶函数y=log加|平移所得，.,•函数尸logJx-a的图象

关于直线x=b对称，而它自身又是偶函数，图象乂关于y轴(x=0)对称，・・・b=0。

思路二:<x)=loga|x-b|是偶函数则logj-x-b|=logjx-b|恒成立，即|x+b|=|x-b|恒成立，，b=00

4X-b

［巩固］设f(x)=lg(10x+l)+ax是偶函数,g(x)=---------是奇函数，那么a+b的值为()

T

11

A.lB.-lC.--D.-

22

5.偶函数图象关于y轴对称，推广：函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a-x)=f(a+x)<=>

函数f(x)的图象关于x=a对称,再推广:函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a+x)=f(b-x),

=f(x)的图象关于对称。奇函数图象关于原点对称，关推广：函数f(x)对定义域

2

内的任意X都有f(a-x)=-f(a+x)。函数f(x)的图象关于(a,0)对称。注意：两个函数

图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称

曲线是函数y=f(2a-x)的图象，函数y=f(x)的图象关于点(a,0)的对称曲线是函数

y=-f(2a-x)的图象。，

［举例1］若函数y=f(x-l)是偶函数，则y=f(x)的图象关于对称

解析：思路一：y=f(x-l)是偶函数，其图象关于y轴对称，向左平移1个单位后得到函数

y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至x=T,即函数y=f(x)的图象关于x=-l对称；

思路二：y=f(x-l)是偶函数，则有f(-x-l)=f(x-l),由轴对称的等价定义知函数y=f(x)的图

象关于x=-l对称。

［举例2］若函数f(x)=(x-a)3满足f(l+x)=-f(1-x),则f(2)=.

解析：由f(l+x)=-f(l-x)知，函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,事实上函数f(x)=(x-a)3

的图象关于(a,0)对称，；.a=l,于是f(x)=(xT)\f(2)=1,

［巩固］函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象

A.关于y轴对称B.关于直线x=a对称

C.关于点M(a,0)对称D.关于点M(-a,0)对称

6.若函数f(x)满足：f(x+a)=f(x-a),则f(x)是以2a为周期的函数。注意：不要和对称

性相混淆。若函数f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a*0),则f(x)是以2a为周期的函数。类似的

条件还有/(x+a)=-^—,f(x+a)=等。

./(X)/(x)

［举例］已知函数y=/(x)(xGR)满足/(X+1)=/(x—1),且当xe［―1,1］时，/(X)=%2,

则》=/(x)与歹=logsX的图象的交点个数为()

A、2B、3C、4D、5

解析：由/(X+1)=/(%—1)知函数

N=/(x)的周期为2,作出其图象

如右，当X=5时，f(X)=l,log5X=l；

当x>5时,f(x)=l£［0,1］,

log5x>l,y-f(x)与y=log5x

的图象不再有交点，故选C。

［巩固］设奇函数Hx)的定义域为R，且对任意实数x满足f(x+l尸-f(x),若当xe［0,1］时，

f(x)=2"T,则f(log(6)=.

2

7.判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数单调性的“同增异减”法则)，研

究三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数；证明函数单调性只能用定义或导数，不

能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会

证明：函数y=x+—>0)的单调性。了解单调性定义的变形：对区间［a,b］内的任意

x

X,y都有/⑴―/0：)>0,则函数f(X)在［a,b］递增(小于0则递减)。

x-y

［举例1］证明函数歹=》+@,(。>0)在(0,、万］上递减，在［JZ,+8)上递增。

X

解析：记/(x)=x+g,思路一：用定义证明，任取0<玉<》2忘1,/'(再)一/。2)=

X

a；,，一

%,-x2+---=(X)-x2)(1-),V0<x,<x2W-，・0<x］x2<a>1,

修x2XjX2XjX2

即/'(£)，；函数歹=在］上递减.

/.(Xj-x2)(1--)>0,/(%1)>・x+g,(Q>0)(0，G

XjX2X

在［石，+8)上递增的证明留给读者自己完成。思路二：用导数，

X

若(0,4'a］,则彳21,/(x)=l-彳W0,二函数/(x)在(0,］上递减.

XX

Q—1

［举例2］函数y=x+——在区间(0,3)上单调递减，则a的取值范围为

x

A.a>10B.Ka^lOC.a24D.l<a<4

解析：函数y=x+―>1)在区间(0,Ja-l］上递减,二.(0,3)是(0,］

x

的子集，即3WJa—1,・，・。210。

X4-n

［迁移］求函数f(x)二f•在(-1,+00)单调递减的充要条件.

x+b

(如果把区间的左端变为“闭”，结果如何？)

8.函数图象的几种变换：平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理：即曲线(函数图象)

向上(右)平移m(m>0)个单位，则方程(表达式)中的y(x)应变为y-m(x-m);曲线(函数

图象)横(纵)坐标变为原来的n倍，则方程(表达式)中的x(y)应变为三(上).对称

nn

(翻折)变换，如函数y=f(-x)的图象是由y=f(x)的图象沿y轴翻折得到，y=-f(x)的图象

是由y=f(x)的图象沿x轴翻折得到，y=|f(x)|的图象是由y=f(x)的图象保留x轴上方的部

分并翻折x轴下方的部分得到，y=f(Ix|)是由y=f(x)的图象保留y轴右侧的部分，擦去左

侧部分并将右侧的部分沿y轴翻折得到。记住两个函数图象：y=|x-a|的图象是“V字形”，

“尖顶”是(a,0);y=竺土2的图象是由一个反比例函数平移(分离常数)而来。

cx+d

［举例］奇函数y=f(x)(x#O),当x£(0,+8)时，f(x)=x—l,则函数f(x・l)的图象是()

ABCD

解析：函数y=f(x)的图象为C图，将y=f(x)的图象向右平移1个单位即得到函数f(x-l)的图

象，故选D。

［巩固］函数f(x尸sin2x+2cos2x的图象向右平移m个单位后为偶函数，则最小正数m的值为

［迁移］使得函数y=x2+a|x|有四个单调区间的a的取值范围。

简答

4.［巩固］D；5.［巩固内6.［巩固］一!，7.［迁移"(x)=l+巴心，当a>b时在(一"+oo)

2x+6

3

上递减，，一即a>bel;若变为“闭”则a>b>l；8.［巩固］—乃，［迁移］满足条件

8

的函数图象在y轴的右侧要“拐弯”，即对称轴在y轴的右侧，a<0

要点重温之指数函数、对数函数

江苏郑邦锁

1.指数函数、对数函数的运算性质。特别关注：aV=(ab)\(ax)y=axy,^cr：2X3X=6X,(2X)=4X

771

等；log“x”=—logox,(x>0,a>0,a1);logub=-----,

"mlogAa

(a>0,aH1,6>0,h*1)

［举例］设f(x)=4x+4-x-(2l+x+2'-x)+2则f(x)的最小值为；

解析：记2x+2*=t,t>2,4x+4"+2=t2,g(t)=tJ2t=(t-D2-l,函数g(t)在［2,+8)上递增，

.••g(t"g(2)=0,即忖的最小值为0；注意:此题如果使用基本不等式,有：4X+4-X22,

2I+X+2'-X24,则f(x)=4x+4-x-(2l+x+2'-x)+2^2-4+2=0,看似巧妙，结果也正确，其实荒唐，

因为上述过程的实质是“同向不等式相减”。

x

2.指数函数y=a与对数函数y=logux,(a>0,aHl)是互为反函数即

a*=Z>Ox=log“6它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。当a>l时，两个函数在定

义域内都递增；当0<a<l时，两个函数在定义域内都递减。

［举例1］光线透过一块玻璃板，其强度要减弱要使光线的强度减弱到原来的;以下，至

少需要这样的玻璃板块。(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)

9

解析：记光线原来的强度为。，透过•块玻璃板后其强度变为一4,透过〃块玻璃板后其

10

强度变为：(2)%,贝即(2)"<Ln〃⑵g3-l)<-lg3n〃>一^—心

10103103l-21g3

10.4,（注意：21g3-1<0）,二〃=11.

7

［举例2］loga-<1,则a的取值范围是()

3

22

(A)(0>—)D(1,+oo)(B)(一,+8)

33

222

(C)(-,1)(D)(0,-)u(-,+8)

333

222

解析：若a>L则一<a,若OQ<1,则一>a,...OVa〈一;综上,选A。(本题中视1为

333

log.a是化“数”为“对数”的通法)。

［巩固］若3"=0.618,。€卜,A+1),k&Z,则左=。

［提高］方程x+lgx=3,x+10'=3的解分别为xi,Xz,贝ljxi+x2=

3.关注对数函数的定义域，特别是在解对数不等式(留意对数变形的等价性)和研究对数

函数的单调性(函数有意义才谈得上增减)时。

［举例1］函数f(x)的图像与函数g(x)=(')”的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x?)的单调

2

减区间为()

(A)(0,1)(B)［1,+oo］(C)(-00,1)(D)［1,2］

解析:f(x)与g(x)互为反函数，即f(x)=log］x,f(2X-X2)=10gl(2X-X2),记h(x)=2x-x：

22

则h(x)递增(“外层”递减)且h(x)>0(真数)，.3£(0,1］,故选A。(在函数定义域内区间

的“开”“闭”不影响函数的单调性，所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”)。

2

［举例2］已知命题p：-<%；命题q：log2/〉1；则命题p是命题q的：()

X

A.充分不必要条件，B.必要不充分条件，

C.充要条件D.既不必要也不充分条件

解析：命题P：4<x,移项通分得：上二>0,“序轴标根”得：xe(-V2,0)u(V2,+oo),

XX

命题q：10g2/>1等价于：％2>2,即》6(-8,-5/^)5后,+8)(注意：不等式lOg2/〉］

与不等式：210g2%>1不等价，log2/“等价于210g2|%|>1)：从集合包含关系更容易

看清两个命题的逻辑关系，选D。

［巩固］已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间［2,+oo)上递增，则实数a的取值范围是一。

4.函数y=a"的值域为(0,+oo)o特别关注函数y=a"的值与1的大小，函数y=log〃x的值

与。的大小。

［举例1］函数y=」一的值域是()

T-1

(A)(-00,-1)(B)(-oo,0)U(0,+oo)

(C)(-1,+8)(D)(-00,-1)D(0,+00)

解析：思路-：“逆求”：2、=匕上>0得：歹>0或yv-1,选D。思路二：2X

y

“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若则二一<-1；若则