高一年级下册期末考试数学试题汇编及答案解析

高一下学期期末考试数学试题汇编及答案解析

本套试卷精选全国各地重点中学期末测试题，共10份，每份附有详细的答案解析。

、一n4一

试看~1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.复数Z满足z(l+i)=-2i,则复数2为()

A.-I-/B.-l+zC.\-iD.1+i

【解析】因为复数z满足z(l+i)=-2i,方程的两边同乘1-i,

KPz(l+0(1-0=-2/(1-/),所以，2z=-2-2i,:.z=-1-i.

【答案】A

2.已知a,8eR,则“ab=0”是“/+/=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【解Hf】'.'a2+h2=0a=0J@.=0»。6=0=。=0或b=0,

""=0”是"02+从=0”的必要不充分条件.

【答案】B

3.设/“e(0,1),若a=Igm,b=!gm2,c=(/gw)2>则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解析】'/0</n<1,/.0<m2<m<l,Igm2<Igni<=0,:.b<a<0,

又,/(Igm)2>0,/.c>0,:.c>a>b.

【答案】C

4.函数y=x"(x..O)和函数y=tf(x..O)在同一坐标系下的图像可能是()

【解析】当时，指数函数y=°x在［0,+00）上单调递增，且过定点（0/）（凹函数），幕

函数9=/在［0,+00）上单调递增（凹函数）;

当0<a<l时，指数函数y=在［0,+00）上单调递增，且过定点（0,1）（凹函数），幕函数

y=x。在［0,+oo）上单调递增（日函数）；所以只有C选项满足.

【答案】C

5.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的

含药量歹（单位：mg）随时间x（单位：》的变化情况如图所示：在药物释放过程中，歹与

x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=4广"仅为常数），则（）

A.当x>0.2时，y=(-)x'Ql

B.当Q,*0.2时，y=5x

Iq

C.1小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25/〃g以下

D.亮小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.0625〃噜以下

【解析】儿.0.2时，把（0.2,1）代入歹=（》、，得《）。2-。=1,a=0.2,A错;

0,.X.0.2口、J,设丁=心:，1=0.24,所以"=5,即有y=5x,B正确；

令铲-<025,(孑3(X-0.2)>2,x>!|,C正确;

01II23-02I-I

x>/时,(!)<(^)15=('=(,4=0.0625,D正确.

【答案】BCD

…，是单位平面向量，若对任意的〃（〃€*）,都有

6.已知q,a21L，</,

则〃的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】依题意,设单位向量或，点的夹角为。,

因为《..丹.<；,所以《=|《||%|cosO<g,cos。v；,所以。<0,不，

根据题意，正整数〃的最大值为y-1=5.

T

【答案】C

7.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半

圆的直径分别为直角三角形48C的斜边BC、直角边力8、AC,已知以直角边力C、AB为

直径的半圆的面积之比为1,记入18。=。，则更担二型”的值为()

A.-1B.-2C.0D.1

【解析】以直角边力C,45为直径的半圆的面积分别为:

1/4。\2乃(ZC)21,AB、2TV(AB)2

由面积之比为]，得竺&■=•!■,即

4(AB)24AB2

1_2

在RtAABC中，tan6=tan/"C=江」，则sin"2——

AB2cos。+sin。1+tan。.,1

1H----

2

【答案】A

g.设函数y=/(x)(x*0),对于任意正数巧，x2(x]^x2),都W2任!二立号2>o.已知函

数p=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，若/(1)=1,则/Y的解集为()

A.[-1,0)50，1]B.(-00,-l]U(0,1]

C.(-00,-1][J[1,+oo)D.[-1,O)|J[1，+oo)

【解析】函数y=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，故函数y=/(x)的图象关于点

(0,0)成中心对称，记y=/(x)是奇函数，

记8(幻=华,冢-幻=与：?=8。)，所以g(x)是偶函数，

x(-X)

对于任意正数引，马&工/)，都曳二立丝>0,

内一与

/(再)/⑺

即为3芍Xa——E->0,所以g(x)在(0,+O0)单调递增，

且g(1)=1»g(x)是偶函数,故g(x)在(-8,0)单调递减，且g(-l)=l,

当x>0时，f(x\,x3<=>g(x),l=g(I)=>0<x,1,

当x<0时，/(x>,x3u>g(x).J=g(-l)=>x,-1,

故/(x),x3的解集为(_QO,-l]U(0,1].

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.已知关于x的不等式如2+版+。>()的解集为{刈_3Vx<2},下列说法正确的是()

A.a<0

B.a+b+c>0

C.不等式bx+e>0的解集为{x|x>6}

D.不等式c?+bx+a<0的解集为

a<0

【解析】根据已知条件可知，-3+2=-2,可得b=a,c=-6a>

a

-3x2，

a

所以a+b+c=-4q>0,故A,B选项正确；

对于C选项bx+c>0,化简可得x<6,故C选项错误；

对于D选项c/+6x+a<0,化简可得6,_3-1<0,»故D选项正确.

32

【答案】ABD

10.下列四个正方体图形中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,尸分别为其所在棱的

中点，能得出48//平面MNP的图形是()

【解析】正方体图形中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点,

对于A,MN11AC,NPHBC,MN^NP=N,AC[\BC=C,

B

二.平面MNP//平面48C,•.,XBu平面.•.月8〃平面MN尸，枚A正确;

对于B,如图，AD//MN,AC//NP,AD^AC=A>NM^NP=Nt

DM

平面ACD//平面MNP,

•.•4BC平面力C。=力，与平面MAE相交，故B错误；

对于C,如图，取正方体所在棱的中点C,连结尸C,则PC//48,

•.•PCC平面MNP=尸，与平面MNP相交，故C错误;

对于D,AB//PM,48仁平面MNP,PA/u平面MNP,

,.4B//平面MNP,故D正确.

【答案】Ad

11.已知万，B是单位向量，且3+5=(1,-1),则()

A.|5+^|=2B.)与石垂直

C.。与G-役的夹角为2D.\a-b\=\

4

【解析】因为1+5=0,-1),所以|1+5|=/2+(—1)2=/,故A错误；

(a+b)2=a2+b2+2ab=2,因为2,B是单位向量，

所以=|^|2=1»所以。・5=0,所以。J_5,故B正确；

\a-b\=>j(a-b)2=>Ja2-2a^b+b2=Ja2+b2=>5,故D错误；

a•(a-b)=a2-ab=I,所以cos〈万，a-b>=~~^-=—!=­=—^-»

\a\\a-b\V22

所以。与I-5的夹角为巳，故C正确，D错误.

4

【答案】BC

12.在&48C中，a,b,c分别为N4,/B,NC的对边，()

A.若，_则&44c为等腰三角形

sinBsinA

B.若_L=」一,则2U8C为等腰三角形

cosBcosA

C.若a=bsinC+ccosB,则/。=工

4

D.若tanH+tan8+tanC<0,贝!&48C为钝角三角形

【解析】对于A,若一--=—-—，则asin,4=bsin8,由正弦定理可得笳=^2,即々=6,

sinBsinA

则AJ8C为等腰三角形，A正确，

对于B,若一-—=—-—,则acos/=bcos8,由正弦定理可得sin2E=sin28,即4=8或

cosBcosA

4+8=%，则2MBe为等腰三角形或直角三角形，B错误，

2

对于C,若。=bsinC+ccos8,则有$由3$出。+5出。8$8=5由/1,

在AJ4c中，sinA=sin(^-B-C\=sin(5+C),Xsin(5+C)=sin5cosC+cos5sinC,

sinJ?sinC+sinCcos=sin5cosC+cosBsinC，则有sin5sinC=sin5cosC，

在A/13c中，sinBwO,则sinC=cosC,BPtanC=l,又Ce(0,;r),则。=工，C正确，

对于D,若tan4+tan8+tanC<0,

则tan+tan5+tanC=tan(A+5)(1-tanJtanB)+tanC

——tanC+tanC+tan.4tanBtanC—:an.4tanBtanC<0,

必有tan力、tan8、tanC必有一个小于0,即4、B、。有一个是钝角，A48C为钝三角

形，D正确.

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设。=噫4,则32“=.

2aa2422

【解析】va=lOg34,z.3=(3)=(3^)=4=16.

【答案】16

14.函数y=cos(5+x)cosx-cos'x的最小正周期为.

［解析］由函数y=cos(^+x)cosx-cos2x=sinxcosx-cos2x=；sin2x-!+)丫

1.1)1y/2,^2「6o、16.s7L1

=—sin2ox——cos2x——=——(——sin2x-------cs2x)------=——sin(2x——4------,

2222222242

/.函数y=cos(1+x)cosx-cos2x的最小正周期为T=券=笈.

【答案】冗

15.“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型.如图1,正方体的棱长为2,用一

个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的

公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4:万,

则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为一.

ffii

【解析】正方体的体积为23=8,

其内切球的体积为3小户=g乃，

由条件可知牟合方盖的体积为士；rx±=竺,

3乃3

故正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为8-3=g.

33

【答案】I

16.如图所示，在平面直角坐标系xQy中，动点P以每秒、的角速度从点/出发，沿半径

为2的上半圆逆时针移动到〃，再以每秒工的角速度从点8沿半径为1的下半圆逆时针移

3

动到坐标原点0,则上述过程中动点尸的纵坐标歹关于时间f的函数表达式为—.

【解析】当尸在大圆上半圆上运动时，ZPOA=-t,Q,〃2,

2

由任意角的三角函数的定义，可得〃的纵坐标为y=2sin/f,2；

当点尸在小圆下半圆上运动时，£P0B=兀吟O2<t5,

可得尸点纵坐标为y=sin[zr+q(f—2)]=—sin[?a—2)],2<45.

2sin—/,0„(2

.•.动点尸的纵坐标y关于时间，的函数表达式为y=(2

-sin[y(/-2)],2<t5

2sin—Z,0„J2

【答案】y=i2

-sin[y(/-2)],2<^.5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)筒车是我国古代发明的•种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》

中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.如图，筒车的半径

为4加，轴心。距离水面2m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋

转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒尸从水中浮现时(图中点兄)开始计算时间.

(1)将点尸距离水面的距离Z(单位：M.在水面下，Z为负数)表示为时间f(单位：

分钟)的函数：

(2)已知盛水筒。与盛水筒P相邻，。位于尸的逆时针方向一侧.若盛水筒P和。在水面

上方，且距离水面的高度相等，求时间f.

解：(1)以。为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系，

设P(x,y),则P距离水面的距离i=y+2,t=sina,a为。x为始边，。尸为终边的角,

r

由。到水面距离为2,半径〃=4,可得=

6

由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知/《。尸=§^xf=加，

则a二4/一巳，则y=usina=4sin(;r/-马，故z=4sin⑺一工)+2(/…0).

666

(2)筒车上均匀分布了12个盛水筒，所以NPO0=*,

设。(％，％),则也=令，

sin(a+yQ-4sin(/rf)=4sinnt，

66

由尸点纵坐标y=4sin(m-2),尸和0在水面上方，且距离水面的高度相等可得，

6

sinnt=sin(/rf-,

则Kt=兀t-%+Zk兀或乃/=乃一(何一菅)+2k兀,解得f=左+元("wZ),

由盛水筒P和。在水面上方，则4sin;r/>-2,即sin/rf>-；,

故2A乃一宗<加<2就+普(A€Z),则f=2"看(A€Z),

7

由f>0得，t=2k+—(kEN).

18.(12分)在A/i4c中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且6=a(sinC+cosC).

(1)求4；

(2)在(1)a=2,(2)B=-(3)c=缶这三个条件中，选出其中的两个条件，使得

3t

A48c唯一确定.并解答之.若,,求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：(1),/b=〃(sinC+cosC)，

由正弦定理a=b=_£_,得sin8=sinJ(sinC+cosC),

sinAsin5sinC

又sinB=sin(J+C)=sinzlcosC+cos/4sinC,

?.sinAcosC+cosAsinC=sinJsinC+sinAcosC，/.cosA=sinJ，tanA=1，

0<A<^,

4

(2)方案一：选条件①和②.

>x/3

2x__

由正弦定理，一=上，得力=竺哒=_

sinAsin8sinAv2

T

由余弦定理〃=/+c2—2accosS,得，6=4+c2-2x2cxl,解得c=V5+1,

2

.•.&45c的面积S=」acsin3=1x2(e+l)x正.=七芭,.

2222

方案二：选条件①和③.

由余弦定理“2=从+Y一次cos4,得4=从+2〃一2b2,

则〃=4,所以6=2.c=2及，/.a2+/=/,&4BC为直角三角形,

的面积S=^x2x2=2,

2

方案三：选条件②和③，A=—tB=—»则。=乃一工一工，

4343

,C.,7171.yf6+y/2

sinC=sin(—+—)=--------,

434

由4=-=，=力=2加,

sinAsinBsinCx/2

~T

.\Z>=2>/2x—=x/6,c=20x"+^=石+1,:.c^yf2b,

24

此时三角形不存在.

19.(12分)如图，在A48C中，已知C4=l,CB=2,4cB=60。.

(1)求8；

（2）已知点。在力8边上，布=%荏，点£在C8边.上，丽=义就，是否存在非零实数2,

使得万_L而？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）根据题意，在A48c中，己知C4=l,CB=2,44c8=60。,

则AB2=CA2+CB2-2CAxCBxcos60°=3,则48=6,

AB2+BC2-AC2V3

cosZ?=则8=30。，

2ABxBC~

（2）根据题意，假设存在非零实数/，使得荏而,

由(1)的结论，CA=1,CB=2,AB=C,

易得NC4B=90。，则有就•荏=0,

AE=AB+BE=AB+ABC=AB+A(AC-AB)=(1-A)AB+AAC,

CD=AD-AC=AAB-ACf

^AELCD,贝ij荏•丽=[([―丸)存+荔_%)=4(1—/1)茄2_2；^20,

解可得：2或。（舍），

故存在非零实数2=2,符合题意.

20.(12分)已知/(log2x)=o%2-2x+1-a,aeR.

（1）求/（用的解析式;

（2）解关于％的方程f（x）=（a-l）4.

解：⑴令噫工=，即x=2'，M/(/)=a-(2,)2-2-2,+l-a,

即/(幻=〃-22*—2・2，+1—4,XGR.

xx

(2)由f(x)=(a-l)⑷得:a^-22+\-a=(a-l)4f

化简得，22x-2-2x+l-a=0,即(2=l)2=a,

当。<0时，方程无解;

当4.0时，解得2*=1±&,所以若（1,a<l,贝】Jx=log2（l土石），

若a..l,贝I」x=log2（l+&）.

21.（12分）如图，在等腰梯形4BCD中，AB=242,CD=41,40=1,在等腰梯形CDEr

中，EF=2g,DE=旧,将等腰梯形CDE/沿CO所在的直线翻折，使得E,尸在平面

力8CQ上的射影恰好与力，〃重合.

（1）求证：平面4OE_L平面/BCQ；

（2）求直线8E与平面/1QE所成角的正弦值.

（1）证明：•••后在平面/8C。上的射影为力,

/.AE1ABCD；又ZEu平面力OE,

二平面ADEL^ABCD.

（2）解：由（1）知平面力。七_1,平面48CZ）.

F

分别延长4。，8c交于点G,连接EG,•.•48=2五，CD=O,4D=1,

过C,。分别作历1的垂线，可得MN=CD=6,

•.•等腰梯形48co中，.•.4W=8/V=",又♦.•40=1,

2

ZBAD=45°,ZABC=45°,/.ZJGB=90°,z.AD1BC.

.•.平面力。EC平面48C£)=/0,.♦.8G_L平面力OE,

所以直线8E与平面NQE所成角为N8EG,•.•8G=24£=2百，.•.sin/8/G=^

故直线BE与平面ADE所成角的正弦值为理.

22.(12分)数学家发现：sinx=x-—+,其中〃！=1X2X3X...XM.利用该

3!5!7!

rrV3/

公式可以得到：当xw(0,5)时，sinx<x,sinx>+—；...,

(1)证明：当xe(O,工)时，->-；

2x2

(2)设/(x)=〃[sinx,当〃x)的定义域为[a,句时,值域也为。,b],则称[a,b]为f(x)

的“和谐区间当机=-2时，/(%)是否存在“和谐区间”？若存在，求出/(X)的所有“和

谐区间”，若不存在，请说明理由.

(1)证明：由已知当工€(0,9时，sinx>x-，，

(")2

2

ZHsinx,x,,江21后I”也,八万、Isinx1

得---->1------->1——---1-------->—,所以当XG(O,-)时，---->—；

x662422x2

(2)解：m=—2时，假设存在，则由-ZJ(〃»2知8,av4,2,

若a,b..O,则由[a,Z>]a[O,无),知/⑸,0,与值域是。,6]c[0,乃)矛盾,

故不存在和谐区间，同理，a,A0时，也不存在,

下面讨论a,0„h,

若b.g,则[0,、]q[a，6],故/(x)最小值为-2,于是。=-2,

所以[?工，|]c[a,Z>],所以/(x)最大值为2,故6=2,

此时/(X)的定义域为[-2,2],值域为[-2,2],符合题意.

若6<生，当a,-2时，同理可得a=-2,b=2,舍去，

22

当a>-生时，/(x)在[a,b]上单调递减，所以2s'：nb,于是a+6=-2(sina+sinb),

2[Z>=-2sina

若即a+b>0,则sinb>sin(—a),故sinb+sina>0,-2(sina+sinZ>)<0»

与a+b=-2(sina+sinb)矛盾；

若6<-°,同理，矛盾，所以6>-“，BP—=sin,由(1)知当工£(0,乙)时，sinx>—»

222

因为bw[0《)，所以b=0,从而，4=0,从而。=/>,矛盾，

综上所述，/(x)有唯一的和谐区间[-2,2].

试卷二

一、填空题（每空3分，共39分）

1.已知点4(1,0),8(3,0),向量就=(-4,-3),则向量沅=.

【解析】•・•点4(1,0),5(3,0),J35=(2,0),

.•.沅=祝-刀=(-4,-3)-(2,0)=(-6,-3).

【答案】(-6,-3)

2.已知复数z=则|(1一zR|=.

【解析】vz=-l-f,z=-1+if.-.(l-z)z=(2+/)(-l+/)=-3+z,

:]([-z)z\=yl(-3)2+\2=710.

【答案】Vio

3.若A=(2,T),5=(-3,4),贝1J万在B方向上的数量投影是-2_.

【解析】向量G=(2,-l),小(-3,4),所以限B=2X(—3)+(T)X4=—10,

所以值在5方向上的数量投影为|万|cos9=%="^_=-2.

叫+4?

【答案】-2

4.在正方体力中，棱8耳与平面48G所成角的余弦值为

【解析】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1,

则瓯=(0,0,1),设万=(x,y,z)J_平面4BG，4B=(l,0,-l)，4G=(l,-l,0),

X=1

万不=0_x-z=0

则y=l,所以万=(1,1,1),

万福二。〜x_y=0=

z=1

棱BB,与平面48G所成角为e,

所以sin。=|cos〈8B,万〉|=|।J|=9,则cos0=半.

【答案】］

5.设工为虚数，若x+'=T,则工2侬一$=_.

XX2022

【解析】VX+—=-1»x2+X+1=0,

X

/.(x-l)(x2+x+l)=0,即八i=o,.-.X3=1,

.*2=0674=,,...产1-1=0.

【答案】0

6.在四面体力灰力中，若棱力C与6。所成角为60。，RAC=BD=4,则连接48,BC,

CD,D4四条棱的中点所得四边形的面积为一.

【解析】如图，空间四边形力8。中，

校力C与6。所成角为60。，且力C=A〃=4,

分别取48,BC,CD,的中点E,F,G,H,连接£尸，FG,GH,HE,

则REF=GH=-AC=2,

2

EH//GF////BD,REH=GF=-BD=2

2t

;"HEF=60。,或NH^=120。，不妨取尸=60。，

・•・连接各边中点所得四边形的面积SEFGH=2x2xsin60。=.

【答案】2G

7.在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别

是l+2i,-2+i,-1-2"则第四个复数是.

【解析】设正方形的三个顶点对应的复数分别为)=1+2,，OB=-2+i,OC=-l-2i,

设QD=(a,b)(a»beR)t

vAB=0S-0A=-3-i,BC=OC-OB=l-3i,

vlx(-3)+(-l)x(-3)=0,ABIBC,

——[-2-Z)=-1.(a=2

/.AB=DC,KP-3-i=(-\-2i)-(a+bi),/.\,解nz得a1,

[-1-a=-3[b=-1

/.OD=(2,-1),即第四个复数是2-i.

【答案】2-i

8.己知a、b都是非零向量，且云+35与7方-5占垂直，万-4后与7方-2石垂直，则不与不的

夹角为.

【解析】丁G+3*与7G-5占垂直，

:.(a+3b)^a-5b)=7a2-\5b2+\6ab=0®

又丁a-4b与7G-2很垂直，

.\(a-4b)(ld-2b)=la2+Sb2-30ab=0®

由①®得/="=2G石,

又由cos8=圆b,易得：cos^=—,则6=60°.

\a\-\b\2

【答案】60。

9.已知方程d+2x+m=0(〃?wR)的两根a,夕满足|。一夕|=4,则〃?=.

【解析】由根与系数的关系可得，a+4=-2,a/3=m,

a-p\=-4M=，4-4〃?=4,.,.4-4〃?=16,m--3.

【答案】-3

10.正四面体力BCD的棱长为2,则所有与4,B,C,。距离相等的平面截这个四面体

所得截面的面积之和为一.

【解析】设七、F、G分别为46、AC.力。的中点，连结£/、FG、GE,

则^EFG是三棱锥A-BCD的中截面，

可得平面EFG//平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面之间的距

离，

:.A.B、C、0到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体四个顶点距离相

等的一个平面：

正四面体488中，象A£：PG这样的三角形截面共有4个.

•.•正四面体/5C。的棱长为2,可得EF=FG=GE=1,

・•.AEPG是边长为1的正三角形，可得

取CO、8C的中点“、Z,连结GH、HI、IE,

vEI>G〃分别是&48C、&4OC的中位线，

〃]n1.7

:.EI=-AC,GH=-AC,得E/=G〃，.•.四边形EG"/为平行四边形；

22

〃[〃1

又且4CJ.8。，EI=-AC,HI=-BD,:.EI=HI且EI工HI,

22

四边形EG”,为正方形，其边长为！48=1,

2

由此可得正方形EGHI的面积SEG〃=1;

•••8C的中点/在平面EG"/内，.鹏、C两点到平面EG"/的距离相等；

同理可得。、。两点到平面EGM的距离相等，且/、8两点到平面EG4/的距离相等；

:.A.B、C、O到平面EG"/的距离相等，

/.平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，

且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，

因此，所有满足条件的正四面休的截面面积之和等于4s皿■G+3SES/=4*4+3*1=百+3.

【答案】百+3

已知z为虚数'且马二总是实数‘马二三也是实数'则/的值为

【解析】设2=%+加（其中x,yeR,且'工0）,则实数

=X+W=X+W=(》+»)[(1+'2-/)-2盯/]=X(l+x2+y2)+M12―y2)j,

1]+(x+yi)2(1+x2-y2)+2xyi(1+x2-y2)2+4x2y2(1+x2-y2)2+4x2y2

:.y(\-x2-y2)=0(y^0),:.x2+y2=\,

1

X=——

对于实数Z2,同理求得X2+/=_2X,联立解得2

l-v=±T

z=-—±^-i,z3=1.

22

【答案】1

12.已知向量方与质的夹角为0,\OA\=2,\OB\=\,OP=tOAfOQ=(1-t)OB,\~PQ\

在。时取得最小值，当0＜，0＜上时，cos。的取值范围为____.

6

【解析】由题意可得刀•丽=2xl+wsd,PQ=OQ-OP=(\-l)OB-lOA,

/.|0?|2=(1-02|55|2+t2\OAf-2t(\-t)OAOB=(\-t2)+4t2-4/(1-r)cos0

=(5+4cos0)/+(-2-4cos6＞)r+1,

由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，”余鬻

,0〈生烟叱J,

5+4cos06

,.-5+4cos^>0»^<cos^<~,即cos。的取值范围为（一;，一：）.

【答案】

13.A46C中，ABAC+2BABC=3CACB,贝iJsinC的最大值为

【解析】••淘次=bccosA="+c2一片，丽灰=。2+—,而丽=色互

222

b2+c2-a2-，a3(a2+b2-c2)2a.2

..-------------+(a-+c--b-)=—-----------,即Rna~+2b-=3c2,

22

2ablab

当且仅当工=2即b=啦。时取等号,

366a

sinC=x/1-CO52C„—.

3

【答案】y

二、选择题（每题4分，共16分）

14.设帆.〃是两条不同的直线，a,R,y是二个不同的平面,下列四个命题中.其中

正确的是（）

A.若mua,n!la■,则

B.若aMP,////，mLa,则m_Ly

C.若a□/=〃，in//n则且m//4

D.若aly,pily,则a//

【解析】对于A,若mua,n!la>则m//〃或〃［与〃异面，故A错误；

对于B,若a//夕，m_La,则加_L£,由/?///,则故B正确；

对于C,若a。］夕=〃，nilIn,mlla则/»///或mu夕，故C错误；

对于D,若a_Ly,/////,则aJ_夕，故D错误.

【答案】B

15.若非零不共线的向量1，5满足|值+司=|5|,则（）

A.\2a\>\2a+b\B.\2a\<\2a+b\C.\2b\>\a^2b\D.\2b\<\a+2b\

【解析】v\a+2b\=\a+b+b\„\a+b\+\b\=2\b\,

,/a,很是非零向量，.,.必有方+50很，上式中等号不成立，2出+

【答案】C

16.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八

边形窗花.在图3的正八边形44444444中，N+而=4★，则；1=（）

【解析】如图：连接44，44，44，44与44相交于8,

在44上取一点C，使得近二而，则丽=糜，

设|BAy|=m,则|44H44J=m+叵m+m=(2+x[2)m，

m+\[lm

由图可知,44+44=44+4c=24B=2xAA=6A7A2,

(2+V2)w72

A.=5/2.

【答案】D

17.在等腰匚角形A/AC中,ARIAC,AC=2,"为EC中点.M为力。中点,D为RC

边上的一个动点，A48O沿40翻折至△/*£>使8Z>_LOC,点力在面BCD上的投影为点

。，当点。在8c上运动时，以下说法错误的是（）

A.线段NO为定长

B.\CO\e[\,V2）

C.存在。的某个位置使得乙4忖。+/力。8'>180。

D.存在。的某个位置使得力C_L8Z>

【解析】如图所示，

对于A,A/1OC为直角三角形，ON为斜边4C上的中线，.•.ON=14C=也为定长，故A

22

正确；

对于B,。为M时，40=1,CO=1,.'JCO|e[l,也），故B正确；

对于D,/B'D1DC,ACVB'D.AC（^\DC=C,，8'。_L平面/OC,

4Wu平面彳OC,：.ACYB'D,

.•.87)_1.平面力。。，41/匚平面,4。。，B'D±AM,

.•.当。与河重合时，满足故D正确：

对于C,当点。在点M右边时，N4MO<90。，且4。夕<90。,

故不满足ZAMO+AADB'>180°,

当点。在点M左边时，二面角力-CO-9的平面角为。，

则ZAMO+=180°—。+N4DS,

•/0>ZADB,,.•.//“0+4。£<180。，故C错误.

【答案】C

三、解答题(本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤)

18.(6分)复数z=(l+i)刑2一(8+。洲+15-6«加€&),求实数m的取值范围使得:

(1)z为纯虚数：

(2)N在复平面上对应的点在第四象限.

解：z=(1+/)m2-(8+i)m+15-6/=(m2-8m+15)+(m2-m-6)i»

(1)z为纯虚数，需满足〃/一8〃!+15=0且〃，一机一6/0,

可得m=5；

(2)z在复平面上对应的点在第四象限，需满足m2-8小+15>0且明2-，〃-6<0,

解得一2Vm<3,

即实数m的取值范围为(-2,3).

19.(8分)已知正方形48C。所在平面外一点P满足P/_L平面力8cO,E,F分别是48,

尸。的中点.

(1)求证：EF//平面P力。;

(2)若NPD4=45°,求肝与6c所成角的大小.

(1)证明：取尸。中点G,连接/G,G4,

•.•正方形48。中，£为48的中点,

/.AEHCD,AE=-CD,..FGtlAE,且FG=AE,

2

二.四边形NEFG是平行四边形，「.M/YG,

,•••仁平面产力。，4Gu平面P40,EF//平面R4D.

(2)解：取力C中点"，连接。M,FM,

•/PA±ABCD,40u平面/SCO,PA1AD,

vZPDJ=45°,/.PA=AD.

设正方形45CD的边长为a,则4W=MO=^a,

2

•・•/M_L平面/BC。，.•.五M_L平面力5。，^.FM=-PA=-a,

22

22:2

由勾股定理得AF=AM+FM=A/—rz+—rz=^~a»同理得FD=^~a,

V2422

•••BCHAD,AF与AD所成角/.FAD即为力尸与BC所成角，

+词汨“sAF2^AD2-DF2百

由余弦定理得cosZ.FAD=---------------=--------7=-3-