高中立体几何典型500题及解析

Page1of260高中立体儿何典型500题及解析

1、二面角a-/-〃是直二面角，Be/7,设直线与a、夕所成的角分别为/I和/

2,则

(A)Zl+Z2=90°(B)/1+/2290°(C)/l+/2W90°(D)Zl+Z2<90°

解析：

如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则

N1和N2分别为直线AB与平面私户所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，

是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

/ABO>Z2;Z.ABO+N1=90°Z2+Z1<90°

2.下列各图是正方体或正四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点中不办画的

一个图是

(A)(B)(C)(D)

解析：A项：尸S底面对应的中线，中线平行QS,PQRS是个梯形

B项：如图

C项：是个平行四边形D项：是异面直线。

3.有三个平面“，B,Y,下列命题中正确的是

(A)若a,£,，两两相交，则有三条交线(B)若aJ.£,a1Y,则万〃r

Page2of260高中立体儿何典型500题及解析

(C)若aJ_r,£Ca=a,BAY=b,则al.b

(D)若a〃£,£n，=0,则aDr=0

解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交•

C项：如图

4.如图所示，在正方体488—小&GQ的侧面内有一动点P到直线ZB与直线SG

的距离相等，则动点尸所在曲线的形状为

解析:

直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点5)B的中点为原点建立坐标系。

5.在正方体48。一小中与成60°角的面对角线的条数是

(A)4条(B)6条(C)8条(D)

10条

有4条，共8条。

6.设4,B,C,。是空间不共面的四点，且满足凝•就=0,就•石=0,ABAD=0,

Page3of260高中立体儿何典型500题及解析

则△88是

（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定

解析：假设AB为a,AD为b,AC为c,且a>6>C贝U，BD=y/a2+b2,CD=\Jc2+b2,

BC=Jq2+。2

cosZDCB=

角。所以△8CD是锐角三角形。

7.设a、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题()

①若a_Lb,a_La,贝帕〃a②若a〃a,a_L，，则a_Lf3

③a±±仇贝［|a〃a④若a_Lb,a±a,b±⑸则a_Lj3

其中正确的命题的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析：注意①中b可能在a上；③中a可能在a上；④中b〃a,或均有a_L夕,

故只有一个正确命题

8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为JL底面边长为JLE是SA的中点，则

异面直线BE与SC所成角的大小为

A.90B.60

C.45°D.30°

AB

Page4of260高中立体儿何典型500题及解析

解析：平移SC到S5,运用余弦定理可算得===

9.对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③

M内不共线的三点到N的距离相等;④/,M内的两条直线，且///M,m〃N;⑤/,m是异面直

线，且〃/M,m//M;///N,m//N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是

（）

A.1B.2C.3D.4

只有②、⑤能判定M//N,选B

10.已知正三棱柱ABC—A|B|C|中，AiB_LCBi，则A】B与ACi

所成的角为

(A)45°(B)60°

(C)90°(D)120°

C解析：作CDJ_AB于D,作CiD」AiB|于D1,连BQ、AD）,易知ADBQi是平行四边

形，由三垂线定理得A|BJ_AC”选C。

11.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为

A.百TB.—nC.—D.3万

22

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的l/4o（可连成四个小棱锥得证

12.设有如下三个命题：甲：相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面8内；乙：直

线/、m中至少有一条与平面B相交；丙：平面a与平面B相交.当甲成立时，

A.乙是丙的充分而不必要条件B.乙是丙的必要而不充分条件

C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

解析：当甲成立，即“相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内”忖，若“/、

m中至少有一条与平面B相交”，则“平面a与平面B相交.”成立；若“平面a与平面B

相交”，则”/、m中至少有一条与平面B相交”也成立.选（C）.

13.已知直线“、〃及平面a,其中m〃〃，那么在平面a内到两条直线加、〃距离相等的点

的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集.其中正确的是

Page5of260高中立体儿何典型500题及解析

解析：（1）成立，如根、〃都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，加、〃在平面a

的同一侧，且它们到a的距离相等，则平面a为所求，（4）成立，当机、〃所在的平面与

平面a垂直时，平面a内不存在到根、"距离相等的点

14.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三个侧面。

15.若a、b为异面直线，直线c〃a,则c与b的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.异面或相交

解析：D如正方体的棱长。

16.在正方体A|B|C|D|-ABCD中，AC与BQ所成的角的大小为

（）

乃n

A.B.—

4

717t

C.D.—

2

解析：DBQ在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。

17.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与

RS是异面直线的一个图是（）

解析：CA,B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图:

Page6of260高中立体儿何典型500题及解析

18.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体

盒子中，/ABC等于()

A.45°B.60°

C.90°D.120°

A

解析：B如图

★右图是一个正方体的展开图,在原正方体中，有下列命题：

①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行

③AB与MN所在直线成60°角；@MN与EF所在直线异面

其中正确命题的序号是()

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

◎DB

19.线段的，0B,5不共面，ZAOB-ZB0C-Z(7614=60°,总=1,g2,003,则是

A.等边三角形B作等边的等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

解析：B.设AC=x,AB-y,B(=z,由余弦定理知：x=l2+32-3=7,y=l2+22~2=3,z=22+32-6=7»

%是不等边的等腰三角形，选(8).

Page7of260高中立体儿何典型500题及解析

7T

20.若a,b,1是两两异面的直线，a与6所成的角是一，/与队/与。所成的角都是a,

3

则。的取值范围是)

7t54、.Tl7T.7171

A.[r-,—B.C.[一,—]D.

66323662

解析：解当/与异面直线a,6所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值名7T，当/与a、

6

77

6的公垂线平行时，a取得最大值一，故选（〃）.

2

21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的

竹竿影长0.9m,但当他马上测树高时，因树靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所

示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的

影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）

解析：树高为AB,影长为BE,CD为树留在墙上的影高，.•.C上D上=1=2=一一1,CE=L08米,

CECE0.9

树影长BE=2.7+1.08=3.78

米，树高AB=」-BE=4.2米。

0.9

22.如图，正四面体4一88（空

间四边形的四条边长及两对角

线的长都相等）中，瓦尸分别是棱40,8C的中点，则

EF和ZC所成的角的大小是一

解析：设各棱长为2,则EF=J5,取AB的中点为M,

.即6=生.

24

23.OX,OY,0Z是空间交于同点。的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离

Page8of260高中立体儿何典型500题及解析

分别为3,4,7,则OP长为.

解析：在长方体0X4Y—Z8PC中，OX、OY,OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。

XPZ1OZ,PYLOY,PXA.OX,有O^+OZ2=49,O^=O^=9,OY2+OZ2={6,

得欧+0户+%=37,循历.

24.设直线a上有6个点，直线力上有9个点，则这15个点，能确定个不同的平面.

解析：当直线a,6共面时，可确定一个平面；当直线小人异面时，直线“与6上9

个点可确定9个不同平面，直线/＞与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确

定15个不同的平面.

25.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点.求证：EF和AD为异面直线.

解析：假设EF和AD在同一平面a内，…（2分），则A,B,E,Fe«；（4分）又

A,EeAB,；.ABua,（6分）同理Cea（8分）故A,B,C,Dea,

这与ABCD是空间四边形矛盾。，EF和AD为异面直线.

26.在空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，FG,分别是CB,CD的中点,

若AC+BD=a,AC-BD=b,求EG、FH?.

解析：四边形EFGH是平行四边形，（4分）

EG2+FH2=2（EF2+FG2）=

!（y4C2+SD2）=|（a2-2/＞）

27.如图，在三角形/ABC中，ZACB=90°,AC=b,BC=a,P

是/ABC所在平面外-点，PB±AB,M是PA的中点，

AB±MC,求异面直MC与PB间的距离.

解析：作MN//AB交PB于点N.（2分）；PB_LAB,.\PB_LMN。

（4分）又AB_LMC,...MN_LMC.（8分）MN即为异面直线

MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间

的距离，则得MN=[AB=1A/O2+b2.

22

28.已知长方体ABCD—A|B|GDi中,A|A=AB,E、F分别是BDi和AD中点.

（1）求异面直线CD1、EF所成的角；

（2）证明EF是异面直线AD和BDi的公垂线.

Page9of260高中立体儿何典型500题及解析

（1）解析：•.•在平行四边形A40cl中，E也是/q的中点，・•・瓦V/£。，（2分）

二两相交直线DC与CD1所成的角即异面直线CD|与EF所成的角.（4分）又

A1A=AB,长方体的侧面都是正方形

,，D|C_LCDi

.,.异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）

(2)证:设AB=AAi=a,,.,D]F==8F,，EF，BD].(9分)

由平行四边形5/2G，知E也是ZG的中点，且点E是长方体ABCD—ABCiDi的对称

中心，（12分）；.EA=ED,/.EF1AD,又EF_LBD”.'.EF是异

而直线BD1与AD的公垂线.（14分）

29./ABC是边长为2的正三角形，在/ABC所在平面外

[y3

有一点P,PB=PC=—,PA=-,延长BP至D,使BD=J7,

22

E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线

间的距离.

解析：分别连接PE和CD,可证PE//CD,（2分）则

NPEA即是AE和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中,

PB=—,BE=1,：.PE=­o在ZAEP中，AE=V3,

22

cosZAEP=44」

2.V3—5

2

ZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）VAE1BC,PE1BC,PE//DC,ACD1BC,

；.CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1.（14分）

Page10of260高中立体儿何典型500题及解析

30.在正方体ABCD—A]B|C|Di中，E,F,G,H,M,N分别是正方体的棱Z/,AB,BC,

CC1,44的中点，试证：E,F,G,H,M,N六点共面.

解析：VEN//MF,...EN与MF共面。，（2分）又；EF//MH,；.EF和MH共面夕.（4

分）•••不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6分）.•.平面a与△重合，，点Hea。（8

分）同理点Gea.（10分）故E,F,G,H,M,N六点共面.

31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）

A.1条B.2条C.3条D.1条或2条

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平

面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）

A.4个B.5个C.6个D.8个

解析：C如四棱锥的四个侧面，。；=6个。

33..在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与

HG交于点M,则（）

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC匕也不在BD上

解析：•.•平面ABCC平面ACD=AC,先证MG平面ABC,MG平面ACD,从而MGAC

A

34..用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是

_________________________.解析：6条

Page11of260高中立体儿何典型500题及解析

35.已知：aua,bua,acb=A,Psb,PQ〃a.

求证：PQu«..（!2分）4-j/P*

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：：PQ〃用...PQ与。确定一个平面£,，直线“匚尸,点尸€4

,/peb,bua,:.pGa

又,：auaa与夕重合PQua

36.已知△ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法

解析：:A、B、C是不在同一直线上的三点『大

...过A、B、C有一个平面，//上一^^

又。ABna=P,RABc^j3

.•.点P既在尸内又在a内，设aC尸=/,则pe/.同理可证：2e/,Re/

，P，2，R三点共线

37.已知：平面ac平面夕=ua,bca=4。u夕且。〃。，

求证：b、c是异面直线

解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b〃c或b与c相交

⑴若b〃c丁4〃c,a〃b这与acb=4矛盾，

（2）若b,c相交于民则8e0,又acb=A,

：.ABcz⑸即bu伊^与br\/3=4矛盾

/."c是异面直线

38.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分另lj是AB、CD的中点，EF=JJ,求AD

与BC所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

Page12of260高中立体儿何典型500题及解析

解析：取BD中点M,连结EM、MF,贝

EM//4D,且EM=-AD=\,MFII8C且MF=-BC=\,

22

在AME产中，,：EF=VJ,由余弦定理得cosZEMF=瓦"-+板--E尸=1+1-3=_\_

2-EM-MF22

NEMF=120°

异面直线3C所成角的大小为60

39.如图，在正方体ABCD—A|B|GD|中，M、N分别为棱AA】和BB|的中点，求异面直

线CM与D]N所成角的正弦值.（14分）

（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DDi中点G,连结BG,MG,MB,GC得矩形MB（）

则BG和MC所成的角为异面直线CM与DiN所成的角.

1

•••MC2=M4?+力。2=（丁）2（设正方体的棱长为a）

BC=a

cosZBOC=-sinZBOC=—

99

而CM与D,N所成角的正弦值为生叵

9

40.如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和1

PA=PB=PC=AB=ao

（1）求证：MN是AB和PC的公垂线

（2）求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：（1）连结AN,BN,•.•△APC与ABPC是全等的正三角形，又N是PC的中点

；.AN=BN

又是AB的中点，...MNLAB

同理可证MN1PC

又：MNnAB=M,MNOPC=N

AMN是AB和PC的公垂线。

Page13of260高中立体儿何典型500题及解析

(2)在等腰在角形ANB中，..AN=BN=—a,AB=a,:.MN=JAN2AB)2=—a

2V22

即异面二直线AB和PC之间的距离为YZq.

2

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平

面[]

A.可能有3个，也可能有2个B.可能有4个，也可能有3个

C.可能有3个，也可能有1个D.可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点

共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.

42.下列命题中正确的个数是[]

①三角形是平面图形②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形④矩形一定是平面图形

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四

边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

43.如果一条直线上有一个点不在平面匕则这条直线与这个平面的公共点最多有—1

个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知

有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线____,

则它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2,推论3确定平面的条件。

45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线匕故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上

Page14of260高中立体儿何典型500题及解析

任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以

圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面

图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46.三条平行直线可以确定平面个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确

定3个。

47.画出满足下列条件的图形。

(1)aD0=1,aUa,bU。，aDb=A

(2)an0=a,bUB,b〃a

解析：如图1-8-甲，1-8-ZL

图1-5图1-8

48.经过平面a外两点A,B和平面a垂直的平面有几个?

解析：一个或无数多个。

当A,B不垂直于平面a时，只有一个。

当A,B垂直于平面a时，有无数多个。

49.设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=12后，CD

=441,且四边形EFGH的面积为126，求AB和CD所成

的角.

解析：由三角形中位线的性质知，HG〃B,HE/€D,

J.NEHG就是异面直线AB和CD所成的角.

Page15of260高中立体儿何典型500题及解析

EFGH是平行四边形，HG=—AB=6A/2,

2

HE=-,CD=2百,

2

r.SEFGH=HG-HE-sinz£HG=12V6sinz£HG,A126sin/HG=126.

$打/也=立，故4时=45。.

2

AB和CD所成的角为45。

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

50.点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、

V2

CD的中点，且EF=——AD,求异面直线AD和BC所成的角。

2

（如图）

解析：设G是AC中点，连接DC、FG,因D、F分别是AB、

CD中点，故EGZBC且EG=，BC,FGZAD,且FG=」AD,由异

22

面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线

AD、BC所成角，即zEGF为所求。由BC=AD知EG=GF=，AD,

2

又EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=O,即z£GF=90。。

注：本题的平移点是AC中点G,按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然

后在4EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用

平行关系，又可用线段的倍半关系。

51.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。

求：AM与CN所成的角的余弦值；

解析:⑴连接DM,过N作NE〃AM交DM于E,则NCNE

为AM与CN所成的角。

VN为AD的中点,NE〃AM省

.,.NE=，AM且E为MD的中点。

2

Page16of260高中立体儿何典型500题及解析

设正四面体的棱长为1,则NC=L•立=立且ME=』MD=3

22424

317

在RtAMEC中，CE2=ME2+CM2=—+-=—

16416

(与+(与-工

CN2+NE2-CE22

/.cosZCNE=4416

2-CN-NErV3V33

44

7T

又,.•/CNEG(0,—)

2

2

...异面直线AM与CN所成角的余弦值为一.

3

注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在ACEN外计

算CE、CN、EN长，再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有

通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成

的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52..如图所示，在空间四边形ABCD44,点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4,

AT7RF1

CD=20,EF=7,—=—=求异面直线AB与CD所成的角。

FDEC3

1

解析：在BD上取一点G,使得把=上，连结EG、FG

GD3

在ABCD中，一=——，故EG//CD,并且

ECGD

EGBE

~CD~~BC~4'

FGDF

所以，EG=5；类似地，可证FG//AB,且一=——

ABAD

故FG=3,在AEFG中，利用

余弦定理可得

AB

Page17of260高中立体儿何典型500题及解析

EG2+GF：-EF?32+52-72

cosZFGE=故/FGE=120°o

2EGGF2-3-52

另一方面，山前所得EG〃CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所

成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。

53.在长方体ABCD-ABCD中，AA,=c,AB=a,AD=b,且a>b.求A3与BD所成的角的余

弦.

解一:连AC,设ACCBD=0,则。为AC中点，取GC的中点F,连OF,则OF〃AC1且OF=，AC1,

2

所以NFOB即为AC1与DB所成的角。在AFOB中，OB=-V«2+/?2.

2

OF=；Ja：+〃+c?,BE=；jb?+卜2，由余弦定

理得

cosZ

-(a2+b2)+^(a2+b2+c2)-(b2+^c2)

OB=^Ja_

2•—Va2+b2-Va2+b2+c2

a2-b2

7(o2+b2)(a2+b2+c2)

解二：取AG中点a,BB中点G.在△CQ6中，NGOG即AC1与DB所成的角。

解三：.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE//BD,所以/EAG即为AG与

BD所成的角.连EQ,在△AEC1

中，AE=-\Z«2+b2，AC1=V<72+b2+c2,C1E=V4(72+c2山余弦定理，得

(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4472+c2)b2-a2

cosZEAC|==<0

2-yja2+b2-yla2+b2+c27(«2+Z?2)(«2+b2+c2)

所以NEAG为钝角.

a2-b2

根据异面直线所成角的定义，AG与BD所成的角的余弦为

7(o2+b2)(a2+b2+c2)

Page18of260高中立体儿何典型500题及解析

54.已知AO是平面a的斜线，A是斜足，OB垂直a,B为垂足，贝U

直线AB是斜线在平面a内的射影，设AC是a内的任一条

直线，

解析：设A0与AB所成角为01,AB与AC所成角为。2,

AO与AC所成角为。，则有cosQ=COS0,cos02。

在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=

ZACB=90°,AC=2,BC=SB=429,求异面直线SC与AB所成角的大小。（略

去了该题的1,2问）

由SA_L平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影,

设异面直线SC与AB所成角为。，

则cos0=cosZ-SCA•cosZBAC,

由AC=2,BC=K,SB=4^得AB=/^,SA=26,SC=2

cosNSCA—,cosNBAC-.—>

2V17

VnJn

cos0=,即异面直线SC与AB所成角为arccos

1717

55.已知平行六面体N8CD-4用GR的底面ABCD是菱形，且

NC]CB=NC[CD=NBCD=6。",证明CXC1BD.

（略去了该题的2,3问）

解析：设G在平面ABCD内射影为H,则CH为G。在平面ABCD内的射影,

cosNC[CD=cosNC\CH-cosZ.DCH,

Page19of260高中立体儿何典型500题及解析

cosNC[CB=cosZ.CyCH-cosZBCH,

由题意(CD=NC]CB,:.cosNDCH=cosNBCH.

又•:NDCH,NBCHe[0,n)

，NDCH=NBCH,从而CH为ZDCB的平分线,

又四边形ABCD是菱形，CHLBD

.••G。与BD所成角为90,，即GC。

56..在正四面体ABCD中，E,F分别为BC,AD的中点,

求异面直线AE与CF所成角的大小。

解析：连接BF、EF,易证AD_L平面BFC,

EF为AE在平面BFC内的射影，

设AE与CF所成角为0,

/.cos0=cosZAEF-cosZ.CFE,

设正四面体的棱长为。，则/七=。户=8尸=立。，

2

显然EF1BC,EF=—a

2

,•cos"晦邛'cosNAFE甩当,

22

cos0=—即AE二与CF所成角为arccos-

33

Page20of260高中立体儿何典型500题及解析

57.三棱柱。48-。14名，平面。5月。，平面OAB,NQO8=60°,乙4。8=90",且

OB=OO、=2QA=K,求异面直线48与所成角的大小，（略去了该题的1问）

解析：在平面BO、内作8CLOQ于C,连同C,

由平面平面AOB,408=90"知,

人0，平面8。。|巴，二AO1BC,

又AOnOO,=0,BC_L平面/OQ4,

4c为46在平面/。口4内的射影。

设48与所成角为e,4c与所成角为02,

贝ijcos0=cosNBA©•cos02,

由题意易求得BC=®A\C=2,A]B=#i,

/C2

cos/BA[C=-■—二—六,

A}BV7

V7

在矩形NOQ4中易求得4c与所成角%的余弦值：cos%=首

/.cos0=cosZBA.C-cos0=—

'277

即43与NO1所成角为arccos—«

117

Page21of260高中立体儿何典型500题及解析

58.已知异面直线。与6所成的角为50。，P为空间一定点，则过点P且与a,人所成的角

均是30°的直线有且只有（）

A、1条B、2条C、3条D、4条

解析：过空间一点P作。〃a,b'//b,则由异面直线所成角的定义知：。与6的交角为

50°,过P与a',6'成等角的直线与a,b亦成等角，设a,6确定平面a,a,6,交角

的平分线为/，则过/且与a垂直的平面（设为p）内的任一直线/'与a,6成等角（证明

从略），由上述结论知：/,与a,6'所成角大于或等于/与a',6,所成角25°,这样在p内

/的两侧与a,6,成30°角的直线各有一条，共两条。在“，6相交的另一个角130°内,

同样可以作过130°角平分线且与a垂直的平面丫，由上述结论知，丫内任一直线与a,b'所

成角大于或等于65°,所以丫内没有符合要求的直线，因此过P与a,6成30°的直线有且

只有2条，故选（B）

59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（)

A.平行B.相交

C.异面D.以上都有可能

解析：D

60.h、b是两条异面直线，直线皿、012与h、b都相交，则皿、012的位置关系是（)

A.异面或平行B.相交

C屏面D.相交或异面

解析：D

Page22of260高中立体儿何典型500题及解析

61.在正方体ABCD-A，BO中，与棱AA，异面的直线共有几条

)

A.4B.6

C.8D.10

解析：A

62.在正方体ABCD-A，BO中12条棱中能组成异面直线的总对数是

)

A.48又寸B.24对

C.12对D.6对

解析：B

棱AA，有4条与之异面，所以，所有棱能组成4X12=48对，但每一对

都重复计算•次，共有24对I

63..正方体ABCD-A，BO中，异面直线CD，和BC所成的角的度数是（)

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析：B

ZAD,C=60°即为异面直线CD，和BC所成的角的度数为60。

Page23of260高中立体儿何典型500题及解析

64.异面直线a、b,aJ_b,c与a成30°角，则c与b成角的范围是（)

兀71兀71712%712万

B.

3'26,2

直线c在位置c2时，它与b成角的最大值为90°，直线c在cl位

置时，它与b成角的最小值是60°

65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边

CD上运动，则P、Q的最短距离为（）

24

24

解析：B

当M,N分别为中点时。

因为AB,CD为异面直线，所以M,N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接

BN,AN则CD±BN,CD±AN且AN=BN,所以NM±AB,同理，连接CM,MD可得MNICDo

所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN=——所以在RTZ\BMN中，MN=

2

JBN2-BM2=4^=¥