高中数学42个快速解题技巧梳理例题变式巩固

专题01函数相关技巧

分式函数求值域——分子分母为同类型函数

(-)注意事项

1.求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域

2.几个极限值

1八

一CC0oo+tz0C00

00

(-)模式

1.分子分母为一次函数

a7、4d,ad,

一(cx+d)------Fb--------Fh

'cx+d'cx+dccx+d

oy=常数+反比例函数o反比例单调函数o求值域带端点值即可

2.分子分母为无常数项的二次函数

=ar+b_粤%-竺aoy=常数+反比例函数。反比例单调函数o求值域带端点值

-cx'+d…2围ct+d-

3.分子分母为指数函数

=止心_颦尊―=cn+bo常数+反比例函数。反比例单调函数。求值域带端点值

x

-ca+d海囤'ct+d

二.奇偶性

1.常见函数的奇偶性(前提定义域关于原点对称)

(1)y=ax+—奇函数

X

a奇数n奇函数

(2)y=xa

a偶数n偶函数

(3)y=a*-a-x奇函数y=a*+a-、偶函数

(4)y=log,上上或y=loga小奇函数

1+x1-x

⑸y=loga(Vl+x2±x)奇函数y=loga/1——奇函数

Vl+x2±x

2.有对称轴函数解不等式或比较大小一一比较的是两个自变量与对称轴距离的远近

当函数的对称轴为x=a,则/(»)»(明)

⑴当函数的先增后减时，区一川<,2—可

⑵当函数的先减后增时，卜-a|>|x2-a|

3.奇偶性的运算

同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶

同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数

三.函数模型为/(x)=g(x)+A,其中g(x)为奇函数，所给区间要关于原点对称

1./«+/,(-%)=2A

推导：/(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+Ar=g(x)-g(-x)+2k=2k

2./(x)mMx)加,=2A

推导：/Wmax+f^X)„,i„=g(x)max+k+g(X)加,,+K2M奇函数的最大值与最小值成相反数)

3.如何找％--Ao)=%

推导：/(O)=g(O)+h%

技巧1分式函数求值域

2r—1

【例1】(1)(2020山西省太原市实验中学)已知函数/(x)=v，xe[3,5]的取值范围

2

%_]

(2)(2020湖南省长沙市第一中学)函数y=j_!_的值域为___________」

X+1

【解析】(1)/(3)=可F=；〃5)=与■=则其值域

DI1«,JI1乙।乙

1*229

(2)【常规法】分离常数由已知：y==i

x2+lx2+lx2+l

【技巧法】尸Vd0,则函数y=/G)=三|J(O)=-1,/(8)=1(取不到，开区间)，.—lAyvl

2x4-3

变式L(2019上海市普陀区曹杨第二中学函数)y=------，X£[0,2]的值域是______

x+2

「37~

【技巧法】/(0)=1,/(2)]故答案为：

2r+32x+4-l11"1137

【常规法…==F^=2-1,因为9。,2],故77r一,一,故2---

42x+2214

变式2.(2。2°广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校)函数、=言的值域是.

【技巧法】岸闻则月e蔑anjgr取不到，开区间)，即尸恭—"

入2-423

【常规法】y=

2+x2~X2+2x~+2厂+2

-1144即函数"蒙的值域是㈠，1]

x2+2..2,0<—~~,则O<—2,1<—14-—~~1,

2

X2+22JT+2x+2

变式3.(2020陕西省西安市高新一中)函数)=把史的值域为

'x+1

【技巧法】y=4x-近的定义域为(3,-1)U(-1,4W),则y*H-1)=4

X+1

【常规法】由题尸以—-=以+4-4-&=叙+4_4+的=4一廿亚.

x+lx+lX4-1X4-1X+1

因为y=L的值域为(YO,o)U(O,+00)，故y=—1―的值域为(-00,0)"0,+00),

XX~rI

故y=4+V^的值域为(_oo,0)<j(0,+oo),y=——走^e(-oo,4)u(4,+oo)

x+lX+1''7

技巧2口算奇偶性求参数

【例2](1)若函数/(%)=(sinx)ln(J/+〃+%)是偶函数,则实数。=()

71

A.-1B.0C.1D.—

2

-T1

(2)已知/(用二a台(侬十/?)是奇函数，且实数攵满足/(2攵-1)<],则攵的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(-l,+oo)C.(-oo,0)D.(0,+oo)

【解析】(1)【技巧法】因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知。=1

【常规法】因为/(x)=(sinr)ln(+a+x)是偶函数,y=sinx是奇函数，

所以y=ln(Jx2+/+%)是奇函数,所以\(五2+a-x)=_]n(J』+.+》),

所以ln(jx2+a-x)+ln(Jx2+a+x)=0,所以ln(/+a—兀2)=(),

所以Ina=0,所以a=l,选C.

n-V

(2)因为/(刈二台全是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,可得。=1,

此时y(x)=-^=+=-1+^—,易知/(X)在R上为减函数.

1+2'1+2*1+2'

又因为/(24一1)<；=/(-1),所以2左一1>一1,所以&〉().透D

变式1.(2020•沙坪坝•重庆南开中学高三月考(理))已知函数/(》)="+0-*+%2,则不等式

〃2x)<〃x—3)的解集为()

A.(-OO,-3)U(1,4W)B.(-1,2)C.(0,1)D(-3,1)

【技巧法】根据常见奇偶性函数可知/(x)为偶函数，根据对勾函数己知二次函数可知x>0函数为单调递增,

则x<0函数为单调递减，回<上一3|,即(2x)2<(x—3「解得一3(尤<1,选D.

【常规法】设g(x)=e'+e-x,〃(x)=x2,由g，(x)=之二L当x<0时，g'(x)<0,

当x>0时，g'(x)>o,则g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

由二次函数的性质可知，M%)在(YO,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/(X)=/+葭+f在(-W,。)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又/(-%)=e~x+ex+x2=f(x),所以/(x)为偶函数.由/(2x)</(X-3)可知,

|2x|<|x-3|,即(2x)2<(X-3)2,解得一3<X<],选D.

变式2.(2020•河北桃城•衡水中学高三其他(文))若函数/(x)=e'-er+x,则不等式

/(|幻+1)+/(2幻20的解集为()

A.［-l,+oo)B.(-oo,l］C.(0,1)D.(-1,0)

【技巧法】根据常见函数可知/(x)为奇函数求为单调递增则/(|x|+l)+/(2x)20可化为

/(|x|+1)>-/(2x)=/(一2尤)所以原不等式等价于不等式|x|+1>-2x.

①"ixNO时，可化为x+12—2xnxN—,所以xNO；

3

②当x<0时，可化为一x+lN-2x=xN-l,所以-14x<0.

综上，原不等式的解集为［-1,+8).

【常规法】因为函数/(x)=e•v—/+x的定义域为R.

且满足/(—x)=e'+x)=-/(x),所以/(x)为R上的奇函数,

则/(|x|+l)+f(2力之0可化为/(Ix|+1)N-/(2x)=f(-2x),

因为尸(幻=/+6-*+1>0恒成立，所以/(x)为R上的增函数.

所以原不等式等价于不等式Ix|+1N-2x.

Q)当xNO时，可化为x+1之一2xnx2—,所以xNO：

3

②当x<0时，可化为一x+12—2xx2—1,所以—14x<0.

综上，原不等式的解集为［-1,+8).这4

变式3.(2020•河南罗山•高三月考(理))已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且/(x)在(-8,0］上单

调递减，则满足了(3x+l)</［q)的实数x的取值范围是()

11、

B.

26

【解析】由题意/(x)是偶函数，且在［0,+8)上单调递增,

11

不等式fOx+1)</(；)可变为/(|3x+1|)</+<X<

2-6-

技巧3形如/0)=奇函数+常数

【例31(1)(2020婀南平顶山隔三月考(文))已知函数/(%)=V-3sinx+2,若/(m)=3，则/(-m)=

()

A.-3B.-1C.1D.2

(2)(2019秋•市中区校级月考)己知/(xQsinx-V+l,2幻，若f(x)的最大值为吸,f(x)的

最小值为N,则M+N等于()

A.0B.2C.4万D.8/

2x2—xc

(3)(2020•五华•云南师大附中高三月考(文))已知函数/(x);cosx+xe—xe+2,则

cosx+2

…卜心上…+d”小虫+小誓+•••+/」］=()

12020J<2020j12020J(2020J(2020J(2020J

A.2019B.2020C.4038D.4040

【解析】(1)因为y=x3,y=sj/u是奇函数，/(m)+/(-m)=4

⑵函数g(x)为奇函数，.•.g(x),"“+g(x)“而=0,即/(x)g-l+/(x)加“-1=0,.•.f(x)g+/(x)而“=2

即M+N=2.选B

⑶&="0)=1

122019、201920181

所以一+/+/-+/-=2019x2=4038.选C

2020.20202020,2020；20202020

变式1.(2019秋•椒江区校级期中)已知函数f(x)=2+-2^x：的最大值为〃，最小值为相，则M+，〃的

e+e

值等于()

2e4e

A.2B.4C.2H--------D.4H------

\+e21+e2

9r

【解析】设=则g(x)是奇函数

e+e

，g(x)的最大值和最小值互为相反数，且f(x)的最大值为M,最小值为胆，.,.”+，〃=4

选B

变式2.⑵21咛夏银川二十四中高三月考)若〃%)=加+/m工+1,且/(5)=7,则/(一5)=()

A.-7B.-5C.5D.7

【解析】设g(x)=/(x)-l=<2?+8sinx,则g(-x)=-g(x),所以g(5)=/(5)-1=6,

则g(—5)=/(-5)-1=-6,所以/(—5)=d+1=-5.选B.

变式3.已知函数/(x)=In(x+Jf+1)+1,若实数a满足/(p)=2,则/(“)等于()

A.1B.0C.-1D.-2

【解析】•••函数/(X)=1〃(户&+])+1,实数〃满足/(-“)=2,

/(-a)=/〃(-a+Ja'+D+l=2'bzC-a+Ra1+1)=1，

/(a)=/〃(a+Ja?+1)=-/〃(-。+,/+1)+1=-1+1=0.选B.

变式4.已知函数/1x+g2cosx+xV-xV"+4m/11/2>/2019)

一嬴布一，则・外痢卜4病产叫前J)

A.2019B.2020C.4038D.4040

2cosx+x2ex-x2e~x+4,x2(eA-e-v)

—2+

【解析】/1+£）cosx+2cosx+2

令〃(x)==宜二32,则〃(T)="(e=e，)fx),所以/z(x)为奇函数,

cosx+2cosx+2

所以〃（X）关于坐标原点对称，则/（x）关于（g，2）成中心对称,

则/(x)+/(j)=4,f(/M嬴!+.•.+/]疆|=?2OI9x[/(盛卜/(翳)=4038,选C

变式5.已知函数/(x)=In(+1一%)+sinx—2,则/(2020)+/(—202。)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【解析】设g(x)=ln(V?7T—x)+sinx

则g(-1)+8(x)=In(JY+i+1)+m-xj+sin(-x)+sinx=In1=0

所以g(—x)=—g(x),即g(x)为奇函数，所以g(2020)+g(-2020)=0

所以/(2020)+/(-2020)=g(2020)+g(-2020)-4=-4.选D

巩固1.(2019江苏省盐城市)函数/(x)=:的值域为______.

x+\

【技巧法】r=x2,/>。则/(/)=^^,/(0)=2018,./(00)=3故答案为(3,2018]

(、—3d+2018_3*2+1)+20152015

X+\X+1X+1

6(0,2015].-.3+e(3,2018]

A-+1X-+1

巩固2.函数>=率二1的值域是

6+3

【技巧法】，=«。20)则^=1,二/(0)=-3，/3)=1,则值域为一g,l

\/x-l_Vx+3-4_j4

【常规法】由题知y

五+3Vx+3Vx+3

1i444「1

因为所以«+323，所以0<G+3«、，则0〈及+3'因止匕'=1-7+3金一§/

巩固3.(2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中)函数y=的值域为

2—sin9

【技巧法】令sin6»=r,则故y=六，/(—1)=—g,/(1)=1

2—13

【常规法】令sin6=f,WiJZe[-l,ll,故>='_=二1上"±2=—1+’_

L12-Z2-t2-t

2「2一

由于/£,「・2—7£[1,3],—~-G—,2

2r1-IsinJ「1-

Ay=-l+—e--A,即函数了二^^—^的值域为一1

2-tL3J2—sin，L3

巩固4.(2020•江西省信丰中学高三月考(文))已知函数/(为=4£+区3+5+8,且/(—2)=10,则

函数/(2)的值是

A.-2B.-6C.6D.8

【技巧法】〃T)+/(X)=16,令X=2,得/(一2)+〃2)=10+/(2)=16,解得〃2)=6,

【常规法】/(x)=ax'+bx3+cx+8,令8(1)=加+加+cx=/(x)-8,

其中^(-x)=-ax5-hx1-cx=-g(x),所以函数g。)为奇函数，

即g(-x)+g(x)=/(-x)-8+/(x)-8=0,

可得〃T)+/(X)=16,令X=2,得〃一2)+/(2)=10+〃2)=16,解得外2)=6

巩固5.(2020•山西大同•高三月考(文))设函数/(x)=加+Asinx+cln(x+，宗+1)+3的最大值

为5,则/(x)的最小值为.

【技巧法】/(X)M+/Q0“,,,=6,则/(x)的最小值为1

【常规法】由题可知，/(x)=av3+Z>smx4-clnx++3,

，其定义域为R,

乂g(-x)=a(-X)，+Z>sin(-x)+cln(-x+J(-x)-+1)，

即g(-x)=-G?-&sinx+cln(-x+\jx2+1)>

由于g(-x)+g(x)=cln(x+Jx?+i)+c]n(-%+

=cln^x+\/x24-1^-X+A/-^2+1j=cln(x2+1—x2^=clnl=0,

即g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是奇函数,

而/(x)=g(x)+3,由题可知,函数/(X)的最大值为5,

则函数g(x)的最大值为:5-3=2,

由于g(x)是奇函数,得g(x)的最小值为-2,所以/(X)的最小值为:-2+3=1..

sinx

巩固6(202。・广东霞山.湛江二十一中高三月考)已知函数/(力=亦+2的最大值为最小值为

tn,则M+〃z=

【技巧法】/(x),"“W(M””“=4

AqinvAsin(-x)-Asinx

【常规法】设g(")=寸’因为g(r)==-g(x),所以g(x)为奇函数,

1+(―x)~1+%2

则gO)的最大值为M-2,最小值为团-2,

由奇函数对称性知，两者相加为0,即M-2+(2)=0,M+/«=4.

巩固7.(2019•杏花岭•山西实验中学高三月考)已知函数/(x)=>+"+sm”,其中广(可为函数f(x)

的导数，则/(2018)+/(—2018)+/'(2019)—/‘(一2019)=

x2+2x+l+sinx,2%+sinx

【解析】/--------5-----------=1+—5-------

x+1X+1JT+1

令g(X)=Y",则有/(%)=g(x)+1,八%)=gf(x)

因为g(x)的定义域是R，g(-x)=・2：2：；x=_g(x)

所以g(x)是奇函数，所以g'(x)是偶函数

所以g(2018)+g(—2018)=0,g〈2019)—g'(—2019)=0

所以f(2018)+f(-2018)+/'(2019)-八一2019)

=g(2018)+l+g(—2018)+l+g'(2019)-g'(—2019)=2透4

sinx+xcosx

巩固8.(2019•山东任城济宁一中高三月考)设函数/(x)=(aeA,aW0),若/(-2019)=2,

ax2

7(2019)=,

-、sinx+xcosxsin(-x)-xcos(-x)sinx+xcosx，/.

【解析】因为y(x)=--------；—.所以/(—x)=-----------------------------------------=~fM

ax'ax"ax~

因此函数f(x)为奇函数，又/(一2019)=2,所以/(2019)=-/(—2019)=—2

4

巩固9.(2019•湖南娄底•高三期末(文))已知函数/(x)=r—+V+sinx,其导函数为尸(X),则

e+1

/(2020)+/'(2020)+/(-2020)-r(一2020)的值为

4,44。*

【解析】函数/(x)=-^+x3+sinx=/(x)+/(-x)=——+-1£_=4,

e*+lJ\J)/+1e,+l

“"=一^7+"+8"，/'(x)-/'(-x)=0,

/(2020)+/(2020)+/(-2020)-/(—2020)=4.

巩固10.(2019秋•渝中区校级月考)已知/(幻="生，则/(X)在区间［-2,2］上的最大值最小值之和

x-+4

为.

【技巧法】/(0)=1,则最大值和最小值的和为2

【常规法】由/(x)=*+「=1令g(x)=-4^，

XT+4x+4xr+4

4x

可得g(—x)=-：1=-g(x)是奇函数，

V+4

可得g(x)区间［-2,2］上的最大值最小值之和为0.

那么/Xx)在区间［-2,2］上的最大值为l+g(x),皿,最小值为1+g(x)而“;

・•・/(x)在区间”2,2］上的最大值最小值之和为2..

巩固11(2020秋•广东月考)已知函数/(x)=(x2-2x)sin(x-l)+—、在［-1,3］上的最大值为〃，最小值

x-1

为"7,则M+m=()

【技巧法】所给区间不管原点对称需要换元，令t=X-l,则tE［-2,2］

/⑺=(f2-l)si〃f+f,/(0)=l,则/(x)的最大和最小值为2依2

［常规法］由］(历=［(x-l)2_l］sin(x_l)+］+-!-令x_］=r,xe［-l,3］上,可得fe［-2,2］:

x-\

那么/(X)转化为gQ)="sinr+--sinr+1

由于〃⑺"皿+冷型是奇函数可得W),F-2,2］的最大值与最小值之和为0,

那么g⑴的最大值与最小值之和为2一

巩固12.(2019秋•宁波期中)已知函数〃x)=(x+D(x-J)+2'-2'的最大值为加,最小值为〃?，则

%*-4

M+m=(

土二3,/、(x+1)(%—4)+2'—2Ax2—4—3x+2A—2x2X—2x—3x

厂一4厂-4X--4

令g(x)=土二二二四，则g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数，图象关于原点对称，

X--4

：g(x)=T,

8(x)nm=M-l,g(x)min=m-\,且g(x)g+g(x)加“=O,

..M-1+m一1=0,

则M+机=2.

巩固13.(2020•陕西西安•高三月考(理))已知P：«=±1,q：函数/(x)=ln(x+J^TF)为奇函

数，则P是q成立的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【技巧法】根据常见函数可知。=±1

【常规法】当a=±l时，f(x)=ln(x+V«2+x2)=ln(x+Vl+x2).

2

即有/(-x)=ln(Vl+x-x)=In(-/1——)=-ln(Jl+尤2+x),

y/l+x2+x

故有/(一幻=一/(幻即f(x)为奇函数：p=>q

当"x)=In(x+JZ不7)为奇函数时，有f(-x)=-f(x),

即ln(J〃2+1-x)=-Tn(Ja?+W+x)(。工°)，

/~~221>/々2+12_1

\ia~+x-x=—T=--------=------------力。=±1：q=P

・・・综上，知：poq,选c

巩固14.设函数/(幻=产+"*-一二，则使得/(2x)>/(x+l)成立的x的取值范围是

%'+1

【解析】x)=e7+e*-白丁所以/(-x)=/(x),/(尤)为R上的偶函数

2x

又/'(x)="_"'+(》+2,当x〉o时，/'(%)>0,故/(X)在[0,+8)上为增函数

g]/(2x)=/(|2x|),/(x+l)=/(|x+l|),由〃2x)>/(x+l)得到国>k+l]

故3f-2%-1>0，x<-g或x>l

巩固15.已知函数言是奇函数，则/(a)的值等于.

【技巧法】可知二。=±1

1-2'1-21

当。=1时，函数的解析式为：./•(%)=1/(")=/(1)=]_

1+2”1+213

-1-2X

当a=-1时，函数的解析式为：/(%)3

-1+2*-1+2-'

综上可得:/(。)的值等于或3

a-2~xa-T

【常规法】函数为奇函数，则：/(-x)=-/(x),即：=_人工恒成立

Q+2'Q+2'

a-2*—1-a+2X

整理可得:U~-=-,即"=i恒成立，；.a=±l

a-2'+1a+2x

1一，X1-21

当。=1时,函数的解析式为：/(«)=/(1)=

1+213

_1—?■'-

当a=—1时，函数的解析式为：/(%)=/(«)=/(-1)3

-1+2”-1+2-1

综上可得：/(a)的值等于或3

巩固16.若函数AM”-)为奇函数，贝9

【解析】由函数小)为奇函可得，八—)=/x)1_以+3)(-…)《x+3)(…)

-5x(4x-3)(x+a)=-5x(以+3)(x-a)/.(4a-3)x2=0/.4a-3=0即a--

4

2

【解析】技巧法：由常见函数可知a=0/(a—1)=/(-1)=一§

【常规法】由=得2"(2，+27)=2*+2：.〜=。，—=1)=-g

Xx

巩固18.已知函数/(%)=/2-°a-乙2~(aw/?)为偶函数,则/⑴/(一彳1)=______

x2

【技巧法】由常见函数可知a=1所以一;]=芈

x

【常规法】由题意，函数~巴"J9~为偶函数，又由函数卜="为奇函数

所以函数g(x)=2'-ax2T为奇函数，则g(O)=l-a=O,得。=1

、T应一也Z

所以/(力=£^2‘得^二0所以一3

2

专题02平面向量

-：奔驰定理

1：奔驰定理内容一三角形的面积比等于其所对应的系数比

已知。是\ABC内的一点，\BOC,/^AOC,^AOB的面积分别为枭，SB,，求证：

S.•赤+SB•丽+Sc・反=6（%.西+y.麻+z.M=6）,则S.：S〃：＞=x：y：z

zx£jC_y

2.推导过程

证明方法一：如图延长Q4与BC边相交于点。则殷=］皿=彳典=卜广衿，=土

DC3A4s、ACOD^ACD~^ACOD

一DCkBD-SR—S

OD=~~OB+—oc=——--OB+——-c-oc

BCBCSB+SCSB+SC

S

••OD=SBOD=Sepp_SBOD+SQW=S4OD=——^—OA

°A^BOA^COA^BOA+^COASB+SC

S>s>s.—►—►—►—

4

------—OA=、BOB+七OC：.SA.OA+SB.OB+SC.OC=0

S+sSs+ScSBSC

BC+

推论。是A4BC内的一点，且X・E+y.彷+z・灰=6,则SABocfACQ/SMQB；%：》工

二.极化恒等式

1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方

LUIULH11«7UUH，|11皿［2)IIUII|2

2.推导过程：AB^\C=AD-BD=|AD|-|BD|

BC

D（中点）

三.三角形的四心

1.推论

(1)重心：中线的交点,

①。是的重心

A4BCo5AB：S^C()A：SMOB=1:1:1<=>Q4+QB+OC=6

②中线长度分成2：1

(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等

»>»—>

①。是的内心坎

MBCoS*.：S^COA：S0B=a：b:cOa.OA+b.OB+c.OC=0

A

(3)外心：

①。是AABC的外心oSABOC：SACQA：SAAQB=sin2A:sin23:sin2c

=sin2A•Q4+sin2JB・QB+sin2C・OC'=6

22

。是外心，SA=^OBOC-sinZBOC=1sin2A；SB=1/?sin2B；Sc=1/?sin2C

A

②笳+SX）施=0

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直

①。是AABC的垂心：<=>：S^COA：S^OB=tanA:tanB:tanC

<=>tanA«OA+tanB«C>jB+tanC»C>C=0

CDCD

证明：如图。为三角形的垂心tanA-——,tanB=——=>tanA:tanB=DB:AD

ADDB

SABOCSACOA=DB：AD..SABOC：SACOA=tanA:tanB

同理得SAC%:=tanB:tanC,SAI30C：S/XAOli=tanA:tanC

,,SMOC:*^ACQ4:^AAOB=A'B:tanC

②砺.砺=砺灰=砺.反

由砺•砺=砺灰，^OB(OA-OC)=0,即砺0=0,所以砺，画.同理可证反_1_而，

OA1BC.

总结：一般的，设。是AA8C所在平面内一点，且满足X•办+y•。豆+z-8=。,

（x,y,z^R,xyzx0,x+y+z#0）贝!j㈤：|y|：|z|=:Sc

技巧1奔驰定理

【例I】P是A4BC内一点，满足2⑸+3而+4无=0，则SAPBC：：S好相=（）

A.4:3:2B.2:3:4C.—:—:—D.—:—:一

432234

【技巧法】公共点P,三角形做，则“BC对应的向量两个点为公共点P和三角形定点A即丽

S.C:Sq%.分别对应的是西、而无所以其面积比等于其对应的向量的系数匕⑵3:4

【常规法】•.•尸是A48c内一点，且满足2西+3万+4前=。

PA+-PB+2PC=O,延长P8到4，使得两=/而，延长PC到G，使得因'=2定

连结PB］、PC；、B£,则可+函+七=C

P是A44G的重心，设S,,qq=3S,则S八%=SA/,。=S/温G=S

S&PBC==,S^PCA=/$,S4Mg=§$

技巧法注意事项

1.条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量，若系数有正有负则公共点在三角形外，系数都为

正则公共点在三角形内

2.三角形所对应的向量的找法

（1）图像法：三角形顶上的向量

（2）顶点法：公共点即起点，剩余3点构成三角形的三个顶点，对应的向量两个点其中一个点为公共点,

另外一点则是三角形的顶点。

变式1.已知口ABC所在平面内一点尸，满足中+而+定=大而，则△ABP与口A3c的面积的比值

2

为（）

1111

A.-B.-C.-D.一

6432

【技巧法】•.•初+而+1=/而=’（而-西），所以2而+/而+定=0,即3用+而+2定=0

公共点为P,三角形/灰〕，则△口?2所对应的向量定，其系数为2,口A3C为整个三角形，其所对应

的系数为三个向量的系数,6,所以面积比为:

【常规法】如图所示，

一.-1.1.-3.1一-

♦.♦刀+丽+定=2丽=］（而一两,所以1中+］而+前=0,即3苏+丽+2正=0,所以

2（PA+无）+（丽+而）=0,设AB和AC的中点分别为D,E,则由2（序+卮）+（中+而）=0可得

2PE+声方=0，即而=-2PE，即点P是口ABC的中位线DE上靠近点E的三等分点，所以

2211

SA8P=§S—5AAC=§SuA8C，选:C

—►2一1一

变