高中数学竞赛真题分类汇编 专题15 初等数论（学生版+解析版50题）

竞赛专题15初等数论

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2020•浙江•高三竞赛）将1~2020的数字按顺时针方向围成一个圆圈,然后从1开

始，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1,3,5,…，这个过程一直进行下去，直

到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是.

2.（2021.全国•高三竞赛）关于x、y的方程,+■!■+—=焉的正整数解ay）的个数

xyxy2007

为.

3.（2021・全国•高三竞赛）｛4｝为正整数列，满足6=2,勺+1为〃；-13勺+133的最小素

因子，卬心.…”“.…，构成集合4,。为所有质数构成的集合，则集合品4的最小元素

为.

4.（2021・全国•高三竞赛）质数p和正整数用满足/+皿p+2）=4+p+l,则

p+m=.

5.（2021•浙江•高三竞赛）已知集合八二｛4曲,…M”｝,〃为正整数.若对任意的

\<i^j<n,《一勺被4整除，但不被16整除，则〃的最大值为.

6.（2021•浙江•高二竞赛）设数列-=甘］+甘，〃=1,2,...»7这里国表示不

超过x的最大整数.若6=8,则正整数为有种可能的取值情况.

7.（2021.全国.高三竞赛）所有能使为质数的正整数〃的倒数和为

8.（2021・全国•高三竞赛）若2020在p进制下的各位数字之和为，+5,则质数〃的所

有可能值为.

9.（2021・全国•高三竞赛）在1,2,3,4,1000中，能写成/一加+1（〃€%）的形

式，且不能被3整除的数有个.

10.（2020•浙江•高三竞赛）设。，b,c为正整数，且

5a2+〃+5c2—4ab+Sac-4hc=50»则所有的解中a+〃+c的最大值为.

11.（2020•江苏•高三竞赛）设正整数叫b,c,d满足注=江,/=才,且

人一d=3O3,贝ija-c的值为.

12.（2020•江苏•高三竞赛）设科〃eN,m,n>2,若*11.岸口…牛11=其二1,则

〃2+〃的值为.

13.（2021•浙江•高三竞赛）将顺序为1,2,…，2020的2020张卡片变成1011,1,

1012,2,…，2020,1010的顺序，即原先的前1010张卡片移至第2,4........2020

张，这称为一次操作.若从顺序I,2…，2020开始操作，则至少经过次操作可

以恢复到初始顺序.

14.（2019•广西•高三竞赛）满足y=VT西+Jx+2019的正整数对⑶），）有

____________对，

15.（2019•四川,高三竞赛）若正整数〃使得方程/+y3=z"有正整数解（x,y,z）,称〃

为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是.

二、解答题

16.（2021・全国•高三竞赛）求记：对于正整数〃，令a"二［2"V^］+［2”而而］,数

列{4}中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（㈤表示不超过实数x的最大整数）.

17.（2021•全国•高三竞赛）使得4=^^^为有理数的正整数〃为.

18.（2021•全国•高三竞赛）设并是正整数，4,出，…，4是〃的全部正因数.定义

f（n）=（-1/d.++•••+（-1/*dk,已知〃”）是2的某次，求证：〃没有1之外的

平方因数.

19.（2021•全国•高三竞赛）用户（〃）表示正整数〃的各位数字之和，求所有这样的三位

数〃，使得满足：尸（〃+3）=：/〃）.

20.（2021•全国•高三竞赛）已知a、b、c、d是不同的正整数，且满足

+3++——是整数，求证：a+0+c+d不是质数.

a+bb+cc+da+a

2020x

2L（2021・全国•高三竞赛）解关于实数x的方程：XarctanT=W-"（这里

k

{x}=x-［耳国为不超过实数X的最大整数）

y=（x-2）2

22.（2021.全国•高三竞赛）两两不等的实数x、y、z满足《z=（y-2>,求x+y+z.

x=（z-2）2

23.（2021.全国•高三竞赛）若关于z的整系数方程分+以2+/+r=0的三个复数根在

亚平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的

最小值.

24.（2021・全国•高三竞赛）证明：存在无穷多个奇数〃，使得〃!+1是合数.

25.（2019•山东•高三竞赛）己知〃4-3〃2+9是素数，求正整数〃的所有可能值

26.（2021・全国•高三竞赛）求方程（3x+l）（3y+l）（3z+l）=34冲z的所有正整数解

—

27.（2021・全国•高三竞赛）求方程|"-如=1的整数解，其中是质数，…是大于

1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

28.（2021・全国•高三竞赛）证明：对任意正整数N,都存在正整数〃,N和〃个互不相

同的正整数不，V…,乙，使片石…4-20205+后+…+片）+2020是完全平方数.

29.（2021•浙江•高三竞赛）已知素数〃，9满足P=2q+1.证明：存在正整数加使得

呻的十进制表示的各位数字之和是2或3.

30.（2021・全国•高三竞赛）设〃，是个给定的正整数，d是它的个正因了.已知

MJZo和也｝）是两个由正整数构成的等差数列，满足：存在正整数八八%、I，使得

（4也）=1,（4，4）=/〃.证明：存在正整数八s使得（4也）=4.

31.（2021・全国•高三竞赛）设多项式尸（%）=（£>/）+/322）的系数为正整数.定义

数列也｝:a=%,%=P（〃）（"Nl）•证明：对于任意的整数让2,均存在质数P，

使得pl",且（p,42…2_J=1.

32.（2021・全国•高三竞赛）一个大于1的整数机，如果对所有的正整数〃，都存在正

整数小六z,使得〃=/n/_y2—z2,则称机为上数，否则称为下数.试问：是否存

在无数多的上数？是否存在无数多的下数？

33.（2021・全国•高三竞赛）如果正整数〃满足存在正整数〃、b、c使得

〃=（b,c）（a,历）+（c,a）（b,ca）+（a,b）（G必）,则称〃为好数.求证：存在连续2020个

正整数这2020个正整数都是好数.

注：对于正整数x,y,（x,y）表示x,y的最大公因数.

34.（2021・全国•高三竞赛）设函数M同时满足以下三个条件：

（1）对任意x、yeN.,有〃秒）=〃“）/（>）；

(2)对任意xeN+，有/(〃x))=x；

(3)/(x)^x(2<x<2020).

求”2)的最小值.

35.（2021・全国•高三竞赛）对每个正整数〃，定义/（〃）为从1到〃中所有与〃不互质

的正整数的和.求证：若〃加）=/（小且相=小则帆-〃|是合数.

"2"

36.（2021・全国•高三竞赛）己知正整数〃，〃:>1,设A为正整数满足〃II+1,求所有

A的值.（[目表示不超过x的最大整数）

37.（2021.全国•高三竞赛）证明：对任何正整数〃，存在无穷多组整数（x,y）,使得

（1）工，丁互质；

（2）x\y2+m；

（3）y\x2+m.

38.（2021・全国•高三竞赛）正整数〃22,且〃的素因子个数不超过2,对于任意整数

a,若（〃M）=1,则有"三a（iwd〃）成立，求证：〃是质数.

39.（2021・全国•高三竞赛）设明。为正奇数，定义数列｛£｝如下：<二%九=b,

当〃23时，，为工T+£-2的最大奇因子.求证：当〃充分大时，工为常数，并确定出

这个常数.

40.（2020・全国•高三竞赛）设4=1吗=2,%=2%+凡-2』=3,4,…证明：对整数

n>5,图，必的一个模4余1的素因子.

41.（2019•江苏•高三竞赛）设鼠/、c均为正整数，证明：存在正整数〃、人满足

丁（。）/「«b）k

b—a=c（a,b）,且/a]，其中（小力）表示。、b的最大公因数，

武加）表示正整数m的所有不同正因子的个数.

42.（2019•江西•高三竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集（a,b,c],使其满

足：a2+b2+c2=20\9.

111〃+1

43.（2019•吉林・高三竞赛）求所有的正整数〃，使得方程下+丁+…+w=^—有正

七毛Axn+l

整数解.

44.（2019•上海•高三竞赛）求记：不存在无穷多项的素数数列丛,科,…,P”,…,使得

0+1=50+4，2=1,2,….

45.（2021・全国•高三竞赛）已知A={q,4,…,/},8=他也，…，九J是两个整数集合,

且对于任意整数明存在唯一的①eA也e8使得〃三①+%（mod2020）.记

（〃）A=4，（〃）B=3.证明：对任意的aeAbeB,存在qwA,使得。=（101%+0'.

46.（2021.全国.高三竞赛）设P>1。9为一个质数，且4〃+1也是一个质数，证明：

7■二的小数表示形式中包含0至9的所有数码.

47.（2021•浙江•高三竞赛）给定素数〃之5.称1,2,…，P的排列（《,知…，%）为“好

排列”，如果对％=1,2,...»P均有4工3并且4+2出+…+P/是P的倍数.求“好

排列''的个数除以p2-p的余数.

48.（2021•浙江•高三竞赛）给定正整数L.记%=L+l!+2!+・・・+〃!，〃=1,2,3.......

证明：对任意素数p>20210802,存在无穷多个非负整数对（加次），满足%…

勺+2,…，4+KX）这100个数都能被z/整除，并且都不能被整除.

49.（2020・全国•高三竞赛）设a,b为不超过12的正整数，满足：存在常数C使得

4+/+9三。（1110<113）对任意正整数〃成立.求所有满足条件的有序数对（。,力）.

50.（2021•全国•高三竞赛）设4，%，…，4为〃个正整数，并且满足

4+/+…+4=2〃，令勺+产田』；,…，并记

5“』=4”向+~+4,3，（〃/=1,2"..）.求证：对于任意AwZ+，必存在正整数〃、v,

使得黑、.，等于A或A+1.

竞赛专题15初等数论

(50题竞赛真题强化训练)

一、填空题

1.(2020•浙江•高三竞赛)将1~2020的数字按顺时针方向围成一个圆圈,然后从1开

始，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1,3,5,…，这个过程一直进行下去，直

到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是.

【答案】1992.

【解析】

【详解】

在第一轮中，从1开始到拿走1991,共取走996个数，此时余下1024个数，

1991后项偶数为1992,此后共取10次，余下的数为1992,

故答案为:1992.

2.(2021・全国•高三竞赛)关于x、y的方程,+'+-!-=13的正整数解的个数

xyxy2007

为.

【答案】48

【解析】

【详解】

解析：由4+L+-5-=备得号一20071—2007)，一2007=0,整理得

xyxy2007

(x-2007)(y-2007)=2007x2008=23x32x223x251,

从而，原方程的正整数解有(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=48(个).

故答案为：48.

3.(2021・全国•高三竞赛){〃“}为正整数列，满足q=2,%川为。：-13%+133的最小素

因子，%,a?，…，4,…,构成集合A,P为所有质数构成的集合，则集合加A的最小元素

为.

【答案】5

【解析】

【详解】

由于q=2,生=3,故2,3eA,所以集合尸-A的最小元素25.

假设存在正整数〃，使得q=5(〃23),则51a3-13%+133,

故5|(a,i+iy+2,这不可能，因为m+l『+2除以5的余数为13

所以5cP-A.集合尸-A的最小元素为5.

故答案为：5.

4.(2021•全国•高三竞赛)质数〃和正整数m满足p3+〃?(p+2)=加+〃+1,则

P+m=.

【答案】7

【解析】

【详解】

由〃(〃2+川-1)=(m-I)2,易见相>1,所以

2222

设m-\=kp(kwM),则p(p+kp)=kp,p+k=kfp=k(k-1).

所以2=2,p=2,m=5,p+m=l.

5.(2021•浙江•高三竞赛)已知集合444%…,4｝，〃为正整数.若对任意的

\<i^j<n,6一勺被4整除，但不被16整除，则〃的最大值为.

【答案】4

【解析】

【分析】

【详解】

考虑同余：

对任意的口工jW〃吗一为被4整除，则有q=%=左(mod4)，其中左三｛0,1,2,3),

而这类型的数模16的余数至多只有4种，所以〃最大值为4.

故答案为：4.

6.(2021•浙江•高二竞赛)设数列晒=守］+号，〃=1,2,…，7这里［可表示不

超过x的最大整数.若％=8,则正整数为有种可能的取值情况.

【答案】7

【解析】

【分析】

根据高斯函数的性质，由6=8逐次往前求，注意先定范围再验证，即可得到答案.

【详解】

由4=8,可得%=10或11,

可得。6=12或13或14；

可得见=15或16或17；

可得%=18或19或20或21；

可得%=22或23或24或25或26；

可得。2=27或28或29或30或31或32；

可得4=33或34或35或36或37或38或39,共7种.

7.（2021・全国•高三竞赛）所有能使y为质数的正整数〃的倒数和为

【答案喘

【解析】

【分析】

【详解】

22

〃=1,2,3时，y都不是质数；〃=4时，y=3是质数；

〃=5时，5=5是质数；〃=6时，］=7是质数.

当〃28时，可设〃=5%±r（其中攵为不小于2的正整数，r二0,1或2）,

则g=如土r）2=（（25公±10b+/）=k（5k±2r）+!r,

所以y=2（54士2力.

=k（5k±2r）不是质数.因此，能使y为质

因为力之2,所以54士2r>2,所以~5

数的正整数〃只有4、5、6,它们的倒数和为9+2+：=1^.

45660

故答案为：*37

6。

8.（2021・全国•高三竞赛）若2020在p进制下的各位数字之和为〃+5,则质数〃的所

有可能值为.

【答案】2,107

【解析】

【分析】

【详解】

类似于在十进制下，我们有（〃-1）|[2020—（夕+5）],

于是（p-l）|2014=2xl9x53,

再注意〃为质数，就有p=2,3,107,

逐一验证得P=2或p=107.

故答案为：2,107.

9.（2021・全国•高三竞赛）在1,2,3,4,…，1000中，能写成/一廿+1（4£N）的形

式，且不能被3整除的数有个.

【答案】501.

【解析】

【详解】

设S={1,2,3,4，…,1000},若〃="—〃+1,则"3（mod4）.又

4^=（2^）2-（2Jt-l）2+l,4攵+1=（2+1）2—（2—1『+1,44+2=（2k+1）2—（2%）2+1,因

此，〃=/一6+1当且仅当〃工3（010（144）.令A={4£5|4三3（010（144）},

8={力wS|b三0（mod3）},则4c8={ceS|c三3（modl2）},因为同=250,固=333,

|AnB|=84,从而符合条件的数的个数为1000-250-333+84=501.

故答案为501

10.（2020•浙江•高三竞赛）设*b、。为正整数，且

2

5a2+从+5c-4ab+3ac-4bc=50＞则所有的解中a+b+c的最大值为.

【答案】30.

【解析】

【详解】

配方得：a2+c2+（b-2a-2c）2=50（。，。等价）.

注意到：50=02+12+72»50=02+52+52,50=32+42+52.

不妨设々且b2加+2c,

b-2a-2c=0a=1

（1）当，4=1,即，方=16,此时a+Z?+c=l+16+7=24.

c=7c=7

b-2a-2c=0a=5

(2)当,”5，即,力二20,此时a+b+c=5+20+5=30

c=5c=5

h-2a-2c=54=3

(3)当・a=3,BP-。=19,此时a+b+c=3+19+4=26.

c=4c=4

b-2a-2c=4a=3

(4)当・”=3,BP-b=20t此时a+6+c=3+20+5=28

c=5c=5

b-2a-2c=3a=4

(5)当,a=4，即，6=21,j比H寸a+A+c=4+21+5=30

c=5c=5

综上所述，所有的解中。+力+c的最大值为30.

故答案为：30.

11.（2020•江苏•高三竞赛）设正整数b,c,d满足/=6,c,=/,且

b-d=303,则…的值为.

【答案】123801

【解析】

【详解】

解析：由题意可得〃=匕扬，c=d四，则b必为完全平方数，d一定能开4次方.

设。=/,[=/,贝帅_"=6+1乂〃_帚）=3、101,且注意到3,101都是质数，

则《、或者｛2c,解得〃=52,w=7,贝1]4一°=/一加$=123801.

n-m~=1[n-m~=3

故答案为：123801.

O3_1V_1M3_1.3_1

12.（2020•江苏•高三竞赛）设血〃eN,m,n>2.若二一•3--------------=二W一，则

23+133+1/+2

〃?+〃的值为.

【答案】6

【解析】

1详解】

解析：因为北n-\〃(〃+1)+1

〃+1(72-1)/!+1

2/+2〃+2

累乘可得原式=诏.^^

3n(n+\)

3y+3〃=—=[+」

2n~+2〃+24-1nv-1

+〃一23

故

2/+2〃+2m3-1

从而可得

31=6(>〃+(6(1+——]二6+18

〃~+〃一2I(?z-l)(w+2)J(〃-1)(〃+2)

则(〃-1)(〃+2他8,且孙〃N2,在(〃-1)(〃+2)的值为6,9,18,

故〃=4,m=2.故6+〃=6.

故答案为：6.

13.(2021•浙江•高三竞赛)将顺序为1,2,2020的2020张「片变成】011,1,

1012,2,…，2020,1010的顺序,即原先的前1010张卡片移至第2,4,2020

张,这称为一次操作.若从顺序1,2…，2020开始操作，则至少经过次操作可

以恢复到初始顺序.

【答案】1932

【解析】

【分析】

【详解】

记第i+1次调整前的位置为《，调整后的位置记为《小初始位置记为小,

2a.,a.<1010

则q+i=、iniN所以4+1-2«，(mod2021)n%三2"4)(mod2021),

因2021=43x47，所以以2021)=奴43)奴47)=1932,

所以2期2三i(mod2021)，要恢复原样测例=%,

所以〃=1932.

故答案为：1932.

14.(2019•广西•高三竞赛)满足y=Jr+51+Jx+2019的正整数对8y)有

____________对.

【答案】6

【解析】

【详解】

设〃2=%+51,闭2=x+2019,〃£wN.

m2-n2=(m+n)(m-n)=l968=24x3x41,

由(〃?+〃)与(加一〃)奇偶性相同，可知它们同为偶数，且

实数对(m+〃，机一〃)所有可能的取值共有6对：

(23X3X41,2),(23X3X4I,22),(2x3x41,23),

(23X41,2X3),(22X41,22X3),(2X41,23X3).

由有序数对(x,y)与(m+〃，m—n)----对应，可知所求正整数对为6对.

故答案为：6.

15.(2019•四川•高三竞赛)若正整数〃使得方程/+>3=z"有正整数解6z),称〃

为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是.

【答案】1346

【解析】

【详解】

首先易知若〃为“好数”，则〃+3也是“好数”

又显然1、2是“好数”，从而当〃三l,2(mod3)时,〃均为“好数”.

由费马(尸叨加")大定理知：V+y3=z3无正整数解，即3不是“好数”.

于是〃=3A(Z£M)都不是“好数”否则，存在k£W,使得然是“好数”，即方程

1+、3=23%有正整数解(、乃功，从而丁+炉=23有正整数解(%,为*：),矛盾！

故当且仅当〃满足〃三1,2(mod3)时，〃为“好数”.

2

所以，不超过2019的“好数”个数是2019x§=1346.

故答案为：1346.

二、解答题

16.(2021・全国•高三竞赛)求正：对于正整数〃，令/丽卜［2"、/^可，数

列｛《J中有无穷多个奇数和无穷多个偶数(㈤表示不超过实数x的最大整数).

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

在二进制中，记V2019=在1100也仿…,\/2020=101lOOqa…，

其中。€{0,1}心£{0,1}.

用反证法，先证明数列中有无穷多个偶数.

假设，数列中只有有限个偶数，那么存在整数MV〃>N,凡是奇数，

则存在正整数“，使得q=101100/?也…,十101100c£•••&，

且当〃>M时，{4,q}={04},

故病历+7^面=IIOIIOO.44..4II...,2)WQ,矛盾！

同理可证明数列中有无穷多个偶数.

所以数列{q}中有无穷多个奇数和无穷多个偶数.

17.(2021.全国•高三竞赛)使得4=0号为有理数的正整数〃为.

【答案】1或或1

【解析】

【详解】

解析：令=(M,bcN.,(dh)=1,贝I」

9n-la2la2+b264b2

----=r=〃=";---r=-7n4--：---7.

n+1b29b2-a29b2-a2

又(a向=1,所以92,处2-叫=(从,/)=1,故9从一砌g,所以

9b2-a2=(3b+a)(3b-a)e{1,2,4,8,16,32,64},

9y-。2模3余2，故9从一。2-8或32，

与触+a=8_(3b+a=4a[3b+a=32_[3b+a=\6^(3力+a=8

故।或3A。或3.,或c或〃人一

[3b-a=l\3b-a=2[3o-a=\[3b-a=2[30-4=4

所以3,8)=(1,1)或(7,3),因此也为1或11.

故答案为：1或11.

18.(2021・全国•高三竞赛)设〃是正整数，4,4,…，4是〃的全部正因数.定义

/5)=(-1尸4+(-1产出+—+(-1产4，已知小)是2的寤次，求证：〃没有1之外的

平方因数.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

设〃=2'(rNl),其中5=口〃：，利用因数和函数可得/(〃)与各质因数的关系，再根

r»l

据/⑺是2的基次结合反证法可得勾=1,从而可〃没有1之外的平方因数.

【详解】

用。(〃)表示〃的正因数之和.

如果〃是奇数，则/(〃)=-。(〃)<0,舍去.

当〃是偶数时，设〃=2年(r21),

其中s=jjpp(化为〃的奇质因数，％eN+，化23).

r-1

所以7•(〃)=(2'+2i+…+2—l)b(s)=(2川一3)口0(〃；)

r=l

其中b(P?)=1+R+〃：+…+〃：，

因为小》是2的惠次，所以2』-3=1,r=1,每个b(p?)是2的某次，且《是奇数，

又b(p；")=l+〃,+炉+...+p[=(l+〃J(l+p,2+24+p,6+...+pj-l)

故1+Pi，l+P；+P：+P；T---卜P”均为4的倍数»

因为p,N3,p；ml(mod4),所以如果6>1,则l,p；,p：,…,这些数的总个数是4的

倍数，所以1+炉卜+/+…+P”.

因为1+p；三2(mo<14),所以l+p；+…+p产不是2的幕次，于是q>l不成立.

所以q=1，所以1jl化(Pj为互异的奇质因数)，〃=2寸〃,，可见〃没有非平凡的

1=1/=1

平方因数.

【点睛】

思路点睛：竞赛中与正因数和有关的问题，多用因数和函数来分析处理，令注意利用

因数分解定理把因数问题转化为即质因数的问题来处理.

19.(2021・全国•高三竞赛)用P5)表示正整数〃的各位数字之和，求所有这样的三位

数〃，使得满足：P(〃+3)=；H〃).

【答案】117、207、108.

【解析】

【分析】

【详解】

由于尸(〃)](〃+3)都是正整数，则据条件，P(〃)是3的倍数，因此〃与〃+3都是3的

倍数.

设凡=次，且数〃加3后必须产生进位，则cN7.(因为，如果cW6,则数〃加3后

不会产生进位，于是P(〃+3)=P(〃)+3>尸(〃)，矛盾)

并且b不能是9,这是因为，若b=9,则当。=9时，〃=亚，数〃加3后成为

lOOq,qw{0,l,2},这时尸(〃+3)尸(〃).

当a<9H寸，n=a9c»若〃+3=岫。,则％=〃+1,4=0,q=c+3—I0.

由3P(〃+3)=75),得3[(a+l)+0+(c+3-10)]=a+9+c,

即2(a+c)=27,矛盾！所以〃<9.

今由3[4+(8+1)+(。+3-10)]="+。+。得4+人+°=9,其中〃之1,(?之7,。工8,

依次考虑。、4、力的取值，得到三个数：117、207、108,验证知，它们皆合题意.

20.(2021•全国•高三竞赛)已知a、b、c、d是不同的正整数，且满足

』7+3+」;+-^-是整数，求证：a+b+c+d不是质数.

a+bb+cc+aa+a

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

由

abedabcd

-------+-------+-------+-------->-----------------+-----------------+-----------------+-----------------=1

a+bb+cc+dd+aa-b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

cabcd

且------+-------+-------+-------

a+bb+cc+dd+a

bc,d,a

------+1t----------+1----------+1----------

a+bb+cc+dd+a

bcda

4----+---d----+----<3,

a+bb+cc+dd+a

所以+上++Z2,

a+bb+cc+dd+a

=2-b

故----1-------------=----1----

a+bc+db+cd+ab+cd+a

iii

因此。

a+bd+aHb+cc+d

d-bd-b

所以C且d=b,

(a+b)(d+a)(b+c\c+d)

2

所以a・S+c)(c+d)=c•(a+b)(d+a),即ac+abd=ere+bed.

整理得ac(c-a)+bd(a-c)=O且awe,所以ac=bd.

假设p=a+b+c+d是质数，则

a(a+b+c+d)=a2+ab+ac+ad

=a1+ab+bd+ad

=(a+h)(a+d)=ap,

所以p|(a+b)或p|(a+d),而p>a+b,p>a+d,矛盾.

综上a+6+c+d不是质数.

21.(2021・全国•高三竞赛)解关于实数x的方程：Zarctan/={工厂(这里

A=Ik

{x}=x-[43为不超过实数X的最大整数)

【答案】{0}

【解析】

【分析】

【详解】

x2020

(1)当x<0时，arctan：<0(A=l,2「・,2020)，Zarctan£<0<{x}一,此时原方程无

k*=ik

解.

2020

当x=0时，有£arctan—=0={x}2000

*=ik

X

(3)当Ovxvl时，4"/(x)=arctanx--(0<x<l),

则人―<2,

故/(x)在(0,1)上递增.^/(x)>/(o)=o,即arctanx〉]

2020丫2020i丫4i”

于是，此时产={"2-咻吟v/吟氏吟QX，

即x>l,矛盾.故无解.

11

+11

(4)当上之1时，注意到tan(arcianJ+arctan£)=/—/=1

231，

6

且由0<arctan—+arctan-<arctan1+arctan1=—,

232

,I17V

如arctan—+arctan一=一.

234

MM2020丫2020

atanl>arctanlarctanlarctani冗.

则{x}--rc++

k=\KI23

与Ovqf",矛盾.

故此时无解.

由(1)(2)(3)(4),知原方程的解集为{0}.

y=(x-2)2

22.(2021・全国•高三竞赛)两两不等的实数小八z满足z=(y-2>,求x+y+z.

A=(Z-2)2

【答案】5或6.

【解析】

【分析】

【详解】

y-1=(x-l)(x-3)y-4=(x-4)x

由原方程变形可得到，z-l=(y-l)(y-3)和，z-4=(y-4)y,

x-1=(z-l)(z-3)x-4=(z-4)z

又由x、y、z两两不等知为y,z",4,

于是(工-3乂k3)(1-3)=1=型.

p=x+y+z,q=xy+yz+zx,化简得3〃=q+9.

另一方面，原方程三式相加得0=(p2-2q)-4〃+12,

化简得q="2?+12,

联立就有6p="2_5〃+30,即p=5或6.

2

x=4cos2-

7

2竺

最

后J

=4MCOS7时可以取到5,

OS时

2竺

z-

7

£

;9

2

2至

9

2

当W

♦把

)s

9

2

23.(2021・全国•高三竞赛)若关于z的整系数方程z3+pz2+qz+r=0的三个复数根在

复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的

最小值.

【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】

设该等腰直角三角形斜边中点对应的复数为Z1,直角顶点对应的复数为

Z]+Z2(Zj工0),

则另外两个顶点对应的复数分别为4+和Z,-Z2/,依题意有：

32

Z+pz+^z4-r=(z-Z1-Z2)(Z-Z1-z2o(z-z,+Z2O,

化简得3x)+z；=-p,3z：+2zR2+z；=q,z；+z；z?+*+=-r,

所以2z；=3q-p2WZ,4Z£+8Z；=pq-9reZ.

进而zI+2z2e0,与3ZI+z2=-，eZ联立就有z2eQ.

再由2石=3g-p2wZ知ZzCZ,于是㈤21,所以等腰直角三角形的面积最小为1.

另一方面，z3+f+z+l=0的三个复数根恰是面积为1的等腰直角三角形的顶点.

24.(2021•全国•高三竞赛)证明：存在无穷多个奇数〃，使得川+1是合数.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

证明当奇数〃(〃23)时，加+1与(疝-〃)!+1不均为质数即可：

用反证法，若M+1为质数，设〃!+l=p,则结合威尔逊定理可得：

(M!-/I)!=(p-1-w)!=(p-1)!(-1)-,(-2)-'•••(-n)-,(modp)

=n\=-(-l)"+l=-l(modp),

此时有(〃!-〃)!+1为合数，而〃奇数得加-〃也是奇数，

从而存在无穷多个奇数〃，使得〃!+1是合数.

25.(2019.山东.高三竞赛)已知/-3/+9是素数，求正整数〃的所有可能值

【答案】n=\tn=2

【解析】

【详解】

因为3〃2+9=(/+3〃+3)(〃2—3〃+3),所以或〃2—3〃+3=1,解得〃=1,2.

将n=l,n=2代入检验均满足题意，所以〃=1,〃=2为所求.

26.(2021・全国•高三竞赛)求方程⑶+1)(3)，+1)6+1)=34八产的所有正整数解

—

【答案】(x,y,z)=(28,5,2),(U,7,2)或其排序,共12组解.

【解析】

【详解】

不妨设

若~35则3z+lvV5?z.同理，3x+1<V34x,3y+1<^/34y.

三式相乘得(3x+1)(3)，+l)(3z+1)<34xyz,与原方程矛盾.

于是‘zs^<5-

(1)若z=l,则4(3x+l)(3y+l)=34孙=>M，+6(x+y)+2=0.显然，无正整数解.

(2)若z=2,贝ij7(3x4-l)(3y+1)=68孙=>5xy-21(x4-y)-7=0=>(5x-2l)(5y-21)=

476=22X7X17.

只有476=119x4=14x34,才有对应的正整数乂儿此时(x,y)=(28,5)或(11,7).

⑶若z=3,Ri]10(3A:+l)(3j4-1)=102xy=>6xy-i5(x+y)-5=0,两边取模3即知

矛盾，故无解.

(4)若z=4,则

13(3x+l)(3y+1)=136xy=>19xy-39(x+y)-13=0

=>(19x-39)(19j-39)=1768=23x13x17.

故此时(19y-39)W42,故3WyW9,逐一检验后无解.

综上，。,丁*)=(28,5,2),(11,7,2)或其排序，共12组解.

27.(2021・全国•高三竞赛)求方程|pJ/|=l的整数解，其中〃、夕是质数，r、s是大于

1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

容易看到两个质数中肯定有一个为2,不妨假设p=2,g-/|=l,即2，-°'=±1.

若2'=。'+1,从余数去讨论，q三3(mod4),$为奇数.

2r=+\=（q+D（4i-cf~2H-----FO,所以忱。+―,

rris2）r

2『一（2彳-1）'+1—2叼_s2（$TR+...+2's-2'-s2-'+...

从奇偶性可以看出这种情形方程无解.

若2—/-1为偶数，注意到219'-1=（4-1）（尸+G2+~+1）,

”1=2*

所以

产+尸+…+1=2、

2'=（2"+1），-1=2叼+S2"-2+…+S（S-1）222+2"S.

令s=2"u,其中v为奇数，则

2'=（2"+1）'-1=2"+$2&出+-.+v（5-l）22，i-,+w+2，i+Mv,

观察最后一项，贝”为1.故S=2",所以2，=/一1.

故2，=（六-1）（二+1）,

］产-1=2”

故〈…，所以2+2"=21，所以彳=1,0=2，〃=1,

q-+1=2%

所以4=3,r=3»5=2,

p=3.P=2,

q=2,夕=3,

综上，考察到对称性，原方程恰有两组解：•c或S

r=2,r=3,

s=3.s=2.

28.（2021•全圜高三竞赛）证明：对任意正整数N,都存在正整数〃,N和〃个互不相

同的正整数X，%，…，儿，使ME…片一2020（片+¥+…+E）+2020是完全平方数.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

对T'rn>3必存在不同的正整数%,占，…,4满足xix2"，xm=汇+石+…+S,

令王m=X9…/T>max｛芭，电,,则有

内々…/=（工/2…4）2-X声…与

（西/•••/―1）2+芭9.一乙,一|

=（x）x2…4-1）~+（%；+X；+.