搞定二次函数压轴100题（含详解）

搞定二次函数压轴100题

1.假设二次函数丫=%/+d％+C]的图象记为C],其顶点为4二

次函数丫=02%2+员工+。2的图象记为。2,其顶点为B,且满足

点力在。2上，点8在C1上，那么称这两个二次函数互为“伴侣二

次函数〃.

(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有个；

(2)①求二次函数y=%2+3%+2与％轴的交点；

②求以上述交点为顶点的二次函数y=/+3%+2的“伴侣二次

函数".

(3)试探究与a2满足的数量关系.

2.二次函数y=/+2b%+ctb,c为常数).

(1)当b=Lc=—3时，求二次函数在—24%工2上的最小值;

[2)当c=3时，求二次函数在4上的最小值；

[3)当c二4炉时，假设在自变量》的值满足2b4%W2b+3的

情况下，与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数

的解析式.

3.如图，二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=%+l与二次函

数的图象交于/、B两点,其中点/在y轴上.

y

[1)二次函数的解析式为y=；

[2)证明点不在(1〕中所求的二次函数的图象上；

〔3〕假设C为线段力B的中点，过。点作轴于E点，CE与二次

函数的图象交于。点.

①y轴上存在点K,使以K、4、D、C为顶点的四边形是平

行四边形，那么K点的坐标是；

②二次函数的图象上是否存在点P,使得?假设存在，求出P点

坐标；假设不存在，请说明理由.

4.二次函数y=%2+p%+q的顶点M是直线y=和直线y=

x+m的交点.

(1)假设直线y=%+巾过点0(0,-3),求M点的坐标及二次函

数y=/+p%+q的解析式；

[2)试证明无论租取任何值，二次函数y=/+p%+q的图象与

直线y=x+m总有两个不同的交点；

[3）在（1〕的条件下，假设二次函数丫=/+p%+q的图象与y

轴交于点C,与％的右交点为4试在直线y=-1%上求异于

M的点P,使P在△CM4的外接圆上.

5.二次函数y=-x2+bx+c+1.

（1）当b=l时，求这个二次函数的对称轴方程；

[2）假设c=—；Z）2—2b,问：b为何值时，二次函数的图象与工

4

轴相切；

[3）假设c=0,二次函数的图象与％轴交于点4（%i，0）,8（%2,0），

且与y轴的正半轴交于点M,以48为直径的半圆恰

好经过点M,二次函数的对称轴/与％轴、直线BM、直线4M

分别相交于点O,E,尸且满足当=；,求二次函数的表达式.

EF3

6.如图，二次函数y=—%2+"+c(b,c为常数)的图象经过点

4(3,1),点C(0,4),顶点为M,过点4作力8〃％轴，交y轴于点

D,交该二次函数图象于点8,连接8C.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

[2)假设将该二次函数图象向下平移小fm>0)个单位，使平移

后得到的二次函数图象的顶点落在△4BC的内部〔不包括^

的边界)，求相的取值范围；

〔3〕点P是直线4c上的动点，假设以点P,点C,点M构成的

三角形与△BCO相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出

结果，不必写解答过程).

7.二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点P(O,1)与Q(2,-3).

(1)求此二次函数的解析式;

〔2〕假设点a是第一象限内该二次函数图象上一点，过点a作％

轴的平行线交二次函数图象于点8,分别过点8、/作》轴的

垂线，垂足分别为。、D,且所得四边形ZBCO恰为正方形.

①求正方形的ABCD的面积；

②联结24、PD,P0交于点E,求证：APADs>PEA.

8.如图，在直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=/+巾》+

2的图象与％轴的正半轴交于点4与y轴的正半轴交于点8,且

OA-.OB=1:2.设此二次函数图象的顶点为0.

(1)求这个二次函数的解析式；

[2)将△。/8绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位

置.将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点

C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；

(3)设(2)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为当，顶点

为名.点P在平移后的二次函数图象上，且满足的面

积是△PODi面积的2倍，求点P的坐标.

9.如图，二次函数y=-X2+"+c（b,c为常数）的图象经过点

4（3,1）,点C（0,4）,顶点为点M,过点4作48〃》轴，交y轴于

点0,交该二次函数图象于点B,连接BC.

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

〔2）假设将该二次函数图象向下平移M（巾>0）个单位，使平移后

得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△48C

的边界），求小的取值范围；

[3）点P是直线AC上的动点，假设点P,点C,点M所构成的

三角形与ABCO相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出

结果，不必写解答过程〕.

10.二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,与％轴交于

4（%1，0）,B（%2,0），%1<0<%2，与y轴交于点c，。为坐标原点,

tanz.CAO—tanz.CFO=1.

(1〕求证：n+4m=0；

(2〕求ni,n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y=%+3仅有一个交点时,

求二次函数的最大值.

11.如图，直线y=5%+5交%轴于点4,交y轴于点C,过4,C

两点的二次函数y=ax2+4%+c的图象交%轴于另一点B.

⑴求二次函数的解析式;

⑵连接BC,点N是线段BC上的动点，作NO_Lx轴交二次函

数的图象于点D,求线段NO长度的最大值;

(3)假设点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点

M(4,m)是该二次函数图象上一点，在％轴，y轴上分别找点E

E,使四边形”EFM的周长最小，求出点尸，E的坐标.

12.二次函数y=(t+I)/+2(t+2)%+支当％=0和％=2时，函

数值相等.

(1)求二次函数的表达式.

(2)假设一次函数y="+6的图象与二次函数的图象都经过点

>1(—3,771),求7?1和k的值.

(3)设二次函数的图象与％轴交于点8,C1点8在点。的左

侧)，将二次函数的图象在点8,C间的局部［含点8和点C)

向左平移n(n>0)个单位长度后得到的图象记为G,同时将2

中得到的直线y=—+6向上平移九个单位长度.请结合图象

答复：当平移后的直线与图象G有公共点时，九的取值范围是

多少？

13.二次函数y=M—2ax—2a—6(a为常数,aW0).

(1)求证：该二次函数的图象与％轴有两个交点；

(2)设该二次函数的图象与％轴交于点4(-2,0)和点B,与y轴

交于点C,线段BC的垂直平分线，与％轴交于点D.

①求点0的坐标；

②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线I上的一个动

点.以点8,D,P,Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形?

假设能，直接写出点Q的坐标.

14.如图，二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象经过4(一1,0),

8(4,0),C(0,2)三点.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点。是该二次函数图象上的一点，且满足4084=乙乙4。(。

是坐标原点)，求点。的坐标；

13)点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接P4

分别交BC,y轴于点E,假设△PEB,△CEE的面积分别

为工，S2,求Si—Sz的最大值.

15.二次函数y=(t—4)x2—(2t—5)x+4在％=0与％=5的函数

值相等.

(1)求二次函数的解析式；

(2)假设二次函数的图象与％轴交于4B两点(/在B左侧)，

与y轴交于点C,一次函数y=/c%+b经过B,C两点，求一

次函数的表达式；

(3)在〔2〕的条件下，过动点。(0,M)作直线/〃比轴，其中

m>-2.将二次函数图象在直线I下方的局部沿直线I向上翻

折，其余局部保持不变，得到一个新图象M.假设直线y=

依+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出小的取值范

围.

16.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P(0,，4(5,0),

8(1,0).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点C在该二次函数的图象上，当△48C的面积为12时，求

点C坐标；

(3)在(2)的条件下，求△ABC外接圆圆心点。的坐标.

17.如图，直线y=5%+5交%轴于点4,交y轴于点C,过4,C

两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交%轴于另一点B.

m求二次函数的表达式；

(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作NO1》轴交二次函

数的图象于点D,求线段NO长度的最大值；

(3)假设点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点

M(4,m)是该二次函数图象上一点，在九轴、y轴上分别找点

F,E,使四边形的周长最小，求出点尸，E的坐标.

18.如图1,一次函数y=k%+k与二次函数y=/cd+々％(忆＞o)交

于4,B两点,二次函数图象的顶点为P.

(1)写出三条与系数k无关的一次函数与二次函数共有的结论.

(2)当/c为何值时，A/OP为等边三角形？

(3〕假设一次函数y=kx+k的图象与二次函数y=kx24-2kx

的图象交于点C,D,与y轴交于点巴如图2,某数学学习小

组探究k=l时得出以下结论，其中正确结论的序号

有.

①4尸二8F；②点。是BF的黄金分割点；③芸=卓；©△

CFO与△49。的面积相等.

(4)在［3)中，假设去掉/c=l,以上正确的结论还成立吗?假设

成立，请选择两个加以说明.

19.如图，顶点为P(4,—4)的二次函数图象经过原点(0,0),点4在该

图象上，。4交其对称轴/于点M,点M,N关于点P对称，连接

AN,ON.

(1)求该二次函数的关系式.

(2)假设点4的坐标是(6,—3),求△4N。的面积.

(3)当点Z在对称轴I右侧的二次函数图象上运动时，请解答以

下问题：

①证明：乙ANM=£ONM；

②△AN。能否为直角三角形?如果能，请求出所有符合条件的点

力的坐标，如果不能，请说明理由.

20.对于二次函数y=%2—3%+2和一次函数y=—2x+4,把y=

t(x2-3%+2)+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函

数〃，其中1是不为零的实数，其图象记作抛物线E,现有点

4(2,0)和抛物线E上的点8(-1,九)，请完成以下任务：

叫

o-T

⑴【尝试】

(1)当t=2时，抛物线y=t(x2-3%4-2)+(1—t)(-2x4-

4)的顶点坐标为；

12)判断点4是否在抛物线E上；

13〕求九的值.

12)【发现】

通过［2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛

物线E总过定点，坐标为.

(3)【应用】

(1)二次函数y=-3%2+5%+2是二次函数y=/一3%+2

和一次函数y=-2%+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，

求出t的值；如果不是，说明理由；

12〕以28为边作矩形ZBCD,使得其中一个顶点落在y轴上；

假设抛物线E经过4B,C,0其中的三点，求出所有符合条

件的「的值.

m

21.关于％的二次函数y=——mx+与y=%2—mx—

这两个二次函数图象中的一条与%轴交于Z、8两个不同的点.

(1)试判断哪个二次函数的图象经过4、8两点(写出判断过

程)；

(2)假设力点坐标为(一1,0),求点B的坐标；

(3)在(2)的条件下，设点C是抛物线上的一点，且△ABC的

面积为10,直接写出点。的坐标.

22.二次函数y=%2+"+cfb,c为常数)的图象经过点4(1,0)

与点C(0,—3),其顶点为P.

(1)求二次函数的解析式；

(2)假设Q为对称轴上的一点，且QC平分乙PQ。，求Q点坐标;

(3)当小工工式in+1时，y的取值范围是一4Wy42m,求m

的值.

23.如图，在直角坐标系中，。为原点.点4在％轴的正半轴上，点

8在y轴的正半轴上，tanz_048=2.二次函数y=产+7n%+2

的图象经过点A,B,顶点为。.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)将△。/8绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位

置.将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点

C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；

(3)设12)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为名，顶

点为A.点P在平移后的二次函数图象上，且满足aPB/的

面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标.

24.在平面直角坐标系中，一次函数y=k%+b的图象与％轴、y轴

分别相交于4(一3,0),8(0,-3)两点，二次函数y=/+巾％+九

的图象经过点4

(1〕求一次函数y=kx+b的解析式;

(2)假设二次函数丫=/+巾》+九图象的顶点在直线/8上，求

m,n的值；

(3)当一3W%40时，二次函数y=/+巾％+九的最小值为

-4,求TH,九的值.

25.二次函数y=Q+I)%2+2(t+2)%+1•在％=0和％=2时的函

数值相等.

(1)求二次函数的解析式；

(2)假设一次函数y=依+6的图象与二次函数的图象都经过点

4(—3,771),求?71和k的值；

(3)设二次函数的图象与％轴交于点8,C(点B在点。的左

侧)，将二次函数的图象在点8,。间的局部［含点8和点C)

向左平移九(九＞0)个单位后得到的图象记为G,同时将［2)

中得到的直线y=/c%+6向上平移几个单位.请结合图象答复:

当平移后的直线与图象G有公共点时，九的取值范围.

26.如图，在平面直角坐标系中，点4,。的坐标分别为(-1,0),

(0,一遮)，点8在％轴上.某二次函数的图象经过4B,C三点,

且它的对称轴为直线％=1,点P为直线下方的二次函数图象

上的一个动点(点P与8,C不重合)，过点P作y轴的平行线

交BC于点F.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)假设设点P的横坐标为小，用含小的代数式表示线段PF的

长；

(3)求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.

27.如图，二次函数丫=a/+b%+c的图象经过4(一1,0),8(3,0),

N(2,3)三点，且与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点。的坐标;

12)假设直线y=依+d经过C,M两点,且与％轴交于点

D.试证明四边形CD4V是平行四边形；

(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在

这样的点P,使以点P为圆心的圆经过力，B两点，并且与直

线相切?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由.

28.如图，在平面直角坐标系％Oy中，二次函数y=-/+巾％+九的

图象经过点4(3,0),8(ni,7n+l),且与y轴相交于点C.

(1)求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点。的坐标；

(2)求4C4O的正弦值；

(3)设点P在线段OC的延长线上，且乙P40=4C/O,求点P

的坐标.

29.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=一；％2+/?%+。的图象

与坐标轴交于4、B、C三点，其中点4的坐标为(0,8),点8的

坐标为(-4,0).

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

12)点。的坐标为(0,4),点尸为该二次函数在第一象限内图象上

的动点，连接CD、CF,以、CF为邻边作平行四边形

CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.

(1)求S的最大值；

(2)在点尸的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请

直接写出此时S的值.

2

30.二次函数yr=%—2%—3及一次函数y2=x+m.

(1)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与%轴的交点坐标；

(2)将该二次函数图象在%轴下方的局部沿%轴翻折到%轴上方,

图象的其余局部不变，得到一个新图象.请你在图中画出这个

新图象，并求出新图象与直线丫2=%+小有三个不同公共点时

m的值；

(3)当0工工工2时，函数丫=丫1+丫2+(小一2)%+3的图象与

》轴有两个不同的公共点，求租的取值范围.

31.如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点71(-1,0)

和点8(0,—5).

(1)求该二次函数的解析式;

(2)该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△2BP的周长最

小.请求出点P的坐标.

32.如图,二次函数丫=a/+b%+c的图象经过点4(—1,0),8(4,0),

0(—2,—3),直线8C与y轴交于点O,E为二次函数图象上任一

点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)假设点E在直线BC的上方，过点E分别作和y轴的垂

线，交直线于不同的两点F,G(尸在G的左侧)，求4

EFG的周长的最大值；

(3〕是否存在点E,使得△E08是以BO为直角边的直角三角形,

如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

33.平面直角坐标系％Oy〔如图)，一次函数y=|%+3的图象与y

轴交于点4,点M在正比例函数y=的图象上，且M。二

MA.二次函数y=/+人工+c的图象经过点4、M.

(1〕求线段4M的长；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)如果点8在y轴上，且位于点4下方，点C在上述二次函数

的图象上，点。在一次函数y=2%+3的图象上，且四边形

ABCD是菱形，求点C的坐标.

34.如图，二次函数y=以/——3??12)(其中口，山为常数，且

a>0,m>0)的图象与不轴分别交于点4,B(点4位于点8

左侧)，与y轴交于点C(0,-3),点O在二次函数图象上，且

CD//AB,连接4D；过点4作射线4E交二次函数于点E,使4B

平分A.DAE.

7Bx

(1)当a=l时，求点。的坐标；

(2)证明：无论a,小取何值，点E在同一直线上运动；

(3)设该二次函数图象顶点为尸，试探究：在％轴上是否存在点

P,使以PF,AD,4E为边构成的三角形是以/E为斜边的直

角三角形?如果存在，请用含小的代数式表示点P的横坐标；

如果不存在，请说明理由.

35.:二次函数y=%2-772%++1（7H为常数）.

(1)假设这个二次函数的图象与％轴只有一个公共点4且4点

在％轴的正半轴上.

①求m的值；

②四边形40BC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这

个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B,C

两点，求平移后的图象对应的函数解析式；

(2)当04工42时，求函数y=--Hi%+三??1+1的最小值

〔用含m的代数式表示〕.

36.如图，在平面直角坐标系％。y中，将二次函数y=%2—1的图象

M沿％轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上

平移8个单位长度，得到二次函数图象N.

(1)求N的函数表达式;

(2)设点P(7H,7l)是以点C(l,4)为圆心、1为半径的圆上一动点,

二次函数的图象M与％轴相交于两点4,B,求P/2+P82的

最大值；

(3)假设一个点的横坐标与纵坐标均为整数，那么该点称为整

点.求M与N所围成封闭图形内〔包括边界)整点的个数.

37.二次函数y=1x2+bx+c的图象经过点4(一3,6),并与%轴交于

点8(-1,0)和点C,与y轴交于点E,顶点为P,对称轴与％轴

交于点D.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)连接CP,△OCP是什么特殊形状的三角形?并加以说明；

(3)点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足乙QEO=48EO,

求出点Q的坐标.

38.如图,二次函数丫=取2+法+£：的图象经过点4(_1,0),8(4,0),

C(—2,-3),直线8。与y轴交于点O,E为二次函数上任一点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)假设点E在直线BC的上方，过E分别作和y轴的垂线,

交直线BC于不同的两点F，G(F在G的左侧)，求

周长的最大值；

(3)是否存在点E,使得AEOB是以BO为直角边的直角三角形,

如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

39.关于x的二次函数y=%2+(/c2-3/c-4)%+2k的图象与x轴从

左到右分别交于48两点，且这两点关于原点对称.

(1)求/:的值；

(2)在［1)的条件下，假设反比例函数丫=竺的图象与二次函数

X

丫=%2+伏2-3々一4)%+2/c的图象从左到右交于Q,R,S三

点，且点Q的坐标为(一1,一1),点/?(%/?,yR)，S(%s，Xs)中的纵

坐标力?，力分别是一元二次方程J7?+my-1=0的解，求四

边形AQBS的面积S四边形AQ8S；

(3)在(1〕，(2)的条件下，在％轴下方是否存在二次函数

y=%2+(女2—3左一4)%+2/C图象上的点P使得S&PAB=

2sMAB，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理

由.

40.如图是二次函数y=(%+m)2+/c的图象，其顶点坐标为

(1)求出图象与轴的交点力，8的坐标；

(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S"AB=JSAMAB，假

设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由；

(3)将二次函数的图象在轴下方的局部沿轴翻折，图象的其余局

部保持不变，

得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当直线y=

x+b(b<l)与此图象有两个公共点时，的取值范围.

41.以下图是二次函数y=(%+巾)2+/c的图象，其顶点坐标为

⑴求出图象与％轴的交点/,B的坐标.

⑵在二次函数的图象上是否存在点P,使S“AB=假设

4

存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由.

(3)将二次函数的图象在x轴下方的局部沿工轴翻折，图象的其

余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象

答复：当直线y=%+力(力＜1)与此图象有两个公共点时，b

的取值范围.

42.二次函数丫=。％2+b%+c的图象经过4(1,0),B(3,0),C(0,—3).

(1)求此二次函数的解析式以及顶点。的坐标;

[2)如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P(M,TI)(O＜小＜

3)作y轴平行线，交直线BC于点E,是否存在一点P,使线

段PE的长最大?假设存在，求出PE长的最大值；假设不存在,

说明理由.

(3)如图②，过点4作y轴的平行线交直线于点F,连接04

DB,四边形0AFC沿射线C8方向运动，速度为每秒1个单位

长度，运动时间为t秒，当点C与点尸重合时立即停止运动，

求运动过程中四边形0AFC与四边形ADBF重叠局部面积S的

最大值.

43.二次函数的顶点在原点0,经过点4(1彳)，点?(0,1)在y轴上,

直线y=-1与y轴交于点H.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P是(1)中图象上的点，过点P作％轴的垂线与直线丁二

一1交于点M,求证：FM平分N0FP；

(3)当△尸PM是等边三角形时，求P点的坐标.

44.如图，二次函数图象的顶点坐标为0(1,1),直线y=/c%+m的图

象与该二次函数的图象交于4,C两点，且4(0,2),直线与％轴

的交点为8,满足sin乙48。=9,点P是线段力C上一动点，且

不与4,C两点重合，。6〃丫轴交抛物线于点6.

(1)求k,租和这个二次函数的解析式；

(2)点E是直线BC与抛物线对称轴的交点，当APGEsAAOB

时，求点P的坐标；

(3)假设PG=刍时，另外一点尸在抛物线上，当S-S=SMCG

16

时，求点F的坐标.

45.如图，△48C是以BC为底边的等腰三角形，点4C分别是一次

函数y=—g%+3的图象与y轴、％轴的交点，点B在二次函数

y=：%2+b%+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点。，使

8

四边形48co能构成平行四边形.

(1)试求b,c的值，并写出该二次函数的解析式；

(2)动点P从/到0,同时动点Q从C到/都以每秒1个单位的

速度运动，问：

①当P运动到何处时，△ZPQ是直角三角形？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形

PDCQ的面积是多少？

46.如图，二次函数y=必+px+q(p<0)的图象与％轴交于B

两点，与y轴交于点C(0,—l),△ABC的面积为:.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)过y轴上的一点M(O,m)作y轴的垂线，假设该垂线与△

/BC的外接圆有公共点，求小的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点0,使四边形4C8。为直

角梯形?假设存在，求出点。的坐标；假设不存在，请说明理由.

47.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点4(2,4)与8(6,0).

(1)求a,b的值；

(2)点。是该二次函数图象上儿B两点之间的一动点，横坐标

为％(2<%<6).写出四边形0/C8的面积S关于点C的横坐

标％的函数表达式，并求S的最大值.

48.如图，三角形力BC是以8C为底边的等腰三角形，点4,C分别

是一次函数y=—：%+3的图象与y轴、》轴的交点，点8在二

次函数y=+以+c的图象上，且该二次函数图象上存在一

点D使四边形ABCD能构成平行四边形.

(1)试求b,c的值，并写出该二次函数表达式；

〔2)动点P从4到0,同时动点Q从C到Z都以每秒1个单位的

速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ14C?

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形

PDCQ的面积是多少？

49.如图，二次函数y=：%2+b%+c的图象经过点血3,6),并与工

轴交于点5(1,0)和点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

[2)假设0为线段4C上一点，且以0,0,。为顶点的三角形与

△ABC相似，求点。的坐标；

(3)设直线y=l为直线/,将该二次函数的图象在直线，下方的

局部沿直线/翻折到直线I上方，图象的其余局部不变，得到一

个新图象.是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于4C

的直线?假设存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；假设

不存在，请说明理由.

50.二次函数y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值为4,且抛物线过点

6,—点P(t,0)是无轴上的动点，抛物线与y轴的交点为C,

顶点为D.

(1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；

(2)求|PC-PO|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点，假设线段PQ与函数y=a|

%|2-2a|%|+c的图象只有一个公共点，求t的取值.

51.如图，二次函数丫=。、2+旅+4的图象与％轴交于点8(—2,0),

点C(8,0),与y轴交于点A.

(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；

12)连接AC,AB,假设点N在线段BC上运动(不与点8,。重

合)，过点N作NM〃/C,交48于点M,当A/MN面积最

大时，求N点的坐标；

(3〕连接。M,在〔2〕的结论下，求0M与4C的数量关系.

52.如图，三角形ZBC是以为底边的等腰三角形，点4,C分别

是一次函数y=-1%+3的图象与y轴，》轴的交点，点8在二

次函数y=；/+b%+c的图象上，且该二次函数图象上存在一

点D使四边形ABCD为平行四边形.

(1)试求b,c的值，并写出该二次函数表达式;

(2)动点P从/到0,同时动点Q从C到4都以每秒1个单位的

速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ14C?

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形

PDCQ的面积是多少？

53.关于%的二次函数y=/+(女2一3左一4)x+2k的图象与％轴分

别交于4B两点1点4在点8左侧)，且这两点关于原点对称.

(1)求k的值.

(2)在［1)的条件下，假设反比例函数y=9的图象与二次函数

y=%2+(/c2-3/c-4)x+2k的图象从左到右分别交于Q,R,

S三点，且点Q的坐标为(―1,—1),点S(%s，ys)的

纵坐标力?,分别是一元二次方程y?+my-1=0的解，求

四边形4QBS的面积.

(3)在(1)(2)的条件下，在九轴下方的二次函数y=/+

(/c2-3k-4)x+2k的图象上是否存在点P,使得S&PAB=

2sNAB?假设存在，求出点P坐标；假设不存在，请说明理由•

54.如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图象与y轴交于点A,

点8是％轴上一点，其坐标为(1,0),连接tan乙48。=2.

（1〕那么点4的坐标为a=；

12）过点4作48的垂线与该二次函数的图象交于另一点C,求

点C的坐标；

13）连接BC,过点Z作直线I交线段于点P,设点8,点C

到Z的距离分别为d2,求四+四的最大值.

55.二次函数y=a/+人工+4的图象与％轴交于两点4,B,与y轴

交于点C,且4（一1,0），8（4,0）.

（1）求此二次函数的表达式.

（2）如图1,抛物线的对称轴根与不轴交于点E,CD1m,垂足

为点。，点尸（—，0），动点N在线段OE上运动，连接CF,

CN,FN,假设以点C,D,N为顶点的三角形与△尸EN相似,

求点N的坐标.

(3)如图2,点M在抛物线上，且点M的横坐标是1,点P为抛

物线上一动点，假设乙PM/=45。，求点P的坐标.

56.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，一次函数了=。％+5的图

象与二次函数y=a/+的图象交于点A,B.其中a,b均为

非零实数.

(1)当a=b=1时，求48的长；

(2)当a>0时，请用含a,b的代数式表示△ZOB的面积；

(3)当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点8作％轴的垂线,

垂足为夕.假设二次函数丫=a/+6%的图象的顶点在反比例

函数y=2的图象上，请用含a的代数式表示△88%的面积.

X

57.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=。/+匕％+。的图象

经过点4(3,0),F(-l,0),C(0,—3),顶点为D.

(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合)，使得乙4Po二

90°,求点P坐标；

(3)在(2〕的条件下，将△4P0沿直线40翻折，得到△4QD,

求点Q坐标.

58.：二次函数y=ax2+bx+6(tzW0)的图象与x轴交于/、8两

点(点A在点B的左侧)，点4、点8的横坐标是方程一一

4%-12=0的两个根.

(1)求出该二次函数的表达式及顶点坐标;

(2)如图，连接/C、BC,点P是线段。8上一个动点(点P不

与点。、8重合)，过点P作PQ〃力C交8C于点Q,当△

CPQ的面积最大时，求点P的坐标.

59.如图，二次函数y=—x2+"+c的图象与％轴交于点8(—3,0),

与y轴交于点C(0,-3).

c

(1)求直线BC及二次函数的解析式;

(2)设抛物线的顶点为0,与工轴的另一个交点为4•点P在抛

物线的对称轴上，且乙4Po=乙4CB,求点P的坐标；

(3)连接CD,求乙。C4与乙。C。两角和的度数.

60.如图，一小球从斜坡。点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数

y=—%2+4%刻画，斜坡可以用一次函数y=刻画.

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

(2)小球的落点是4,求点力的坐标；

(3)连接抛物线的最高点P与点。，4得△P04.求△P0Z的面

积；

(4)在。4上方的抛物线上存在一点M1M与P不重合〕，△

M04的面积等于△P04的面积，请直接写出点M的坐标.

61.：如图，二次函数丫=a/+4的图象与％轴交于点力和点B(点

4在点B的左侧)，与y轴交于点C,且cos44O=j.

y

(1)求二次函数的解析式；

(2)假设以点。为圆心的圆与直线4?相切于点0,求点。的坐

标；

13)在［2)的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P,A,D,

。为顶点的四边形是直角梯形?假设存在，请求出点P坐标；假

设不存在，请说明理由.

62.如图，在平面直角坐标系％Oy中，以点为圆心，以逐

为半径作圆，与％轴交于4、B两点，与y轴交于C、0两点，

二次函数y=a/+b%+c(aW0)的图象经过点4、B、C,顶

点为E.

(1〕求此二次函数的表达式；

12)设408C=a,乙CBE=0,求sin(a-0)的值;

(3〕坐标轴上是否存在点P,使得以P、4、。为顶点的三角形

与ABCE相似.假设存在，请直接写出点P的坐标；假设不存

在，请说明理由.

63.二次函数y=x2—2(/c+l)x+Ze?一2k—3与％轴有两个交点.

ZV

6

5

4

3

2

234X

-lr

-2r

-3r

-4r

m求的取值范围；

(2)当/c取最小的整数时，求二次函数的解析式.

(3)将(2)中求得的抛物线在％轴下方的局部沿工轴翻折到％轴

上方，图象的其余局部不变，得到一个新图象.请你画出这个

新图象，并求出新图象与直线y=%+m有三个不同公共点时

m的值.

64.如图，二次函数y=-%2+bx+c的图象交％轴于点4(一4,0)和

点、B,交y轴于点C(0,4).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得IP4-PCI的值

最大?假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由.

13)在平面直角坐标系内，是否存在点Q,使4,B,C,Q四点

构成平行四边形?假设存在，直接写出点Q的坐标；假设不存在,

说明理由.

65.关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,l),

且与％轴交于不同的两点a、B,点/的坐标是(1,0).

(1)求C的值；

[2)求a的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y=l交于C、O两点，设4、8、

C、。四点构成的四边形的对角线相交于点P,记APCO的面

积为S「△P4B的面积为52，当0<a<l时，求证：S[—S2

为常数，并求出该常数.

66.二次函数丫=a/+b%—3a经过点4(—1,0),C(0,3),与％轴交

于另一点8,抛物线的顶点为D.

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接OC,BC,DB,求证：△8C0是直角三角形；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△POC是以

CD为底的等腰三角形?假设存在，求出符合条件的点P的坐标;

假设不存在，请说明理由.

67.二次函数y=ax2-6ax+c(a>0)的图象过点C(0,4),设抛物线

的顶点为0.

(1)假设抛物线经过点(1,-6),求二次函数的解析式；

(2)假设a=1时，试判断抛物线与工轴交点的个数；

(3)如下图4,8是OP上两点，AB=8,AP=5.且抛物线过

点/(%,为)，8(%2，为)，并有4。=8。.设OP上一动点E

(不与48重合)，且乙4E8为锐角，假设时，

16

请判断乙4EB与乙的大小关系，并说明理由.

E

68.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=%2+b%+c的图象与

%轴交于点A,B两点，B点的坐标为(3,0),与y轴交于点

C(0,—3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.

(1)求出二次函数的解析式;

(2)连接P。，PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POPC,

那么是否存在点P,使得四边形POPC为菱形?假设存在，求出

点P的坐标，假设不存在，请说明理由；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形/BPC的面积最大?求出此

时P的坐标和四边形4BPC的最大面积.

69.二次函数图象的顶点坐标为4(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点、

坐标为(2,2).点C为抛物线上一动点，以。为圆心，为半径

的圆交不轴于M、N两点在N的左侧).

(1)求此二次函数的表达式;

(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化?假设

变化，说明理由；假设不发生变化，求出弦MN的长；

(3)当与△48N相似时，求出M点的坐标.

70.在直角坐标系％Oy中，设点4(0,。，点QQ,b)(3b均为非零常

数).平移二次函数y=-52的图象，得到的抛物线F满足两个

条件：①顶点为Q;②与％轴相交于B,。两点(IOB|<|

0C|).连接48.

二

OlB

(1)是否存在这样的抛物线F,使得|。4|2=|OB|-|0C|?请你作

出判断，并说明理由；

(2)如果ZQ〃BC,且tan乙48。=会求抛物线/对应的二次函

数的解析式.

71.如图，半径为1的与九轴交于48两点，0M为。01的

切线，切点