各地中考数学压轴题解析

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题..............................................1

1.1因动点产生的相似三角形问题.............................................1

1.2因动点产生的等腰三角形问题............................................15

1.3因动点产生的直角三角形问题...........................................27

1.4因动点产生的平行四边形问题...........................................43

1.5因动点产生的梯形问题..................................................57

1.6因动点产生的面积问题.................................................68

1.7因动点产生的相切问题..................................................83

1.8因动点产生的线段和差问题.............................................89

第二部分函数图象中点的存在性问题.............................................96

2.1由比例线段产生的函数关系问题........................................96

2.2由面积产生的函数关系问题.............................................104

第三部分图形运动中的计算说理问题............................................115

3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题.................................116

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题.................................122

第四部分图形的平移翻折与旋转................................................127

4.1图形的平移...........................................................127

4.2图形的翻折............................................................129

4.3图形的旋转............................................................131

4.4三角形................................................................133

4.5四边形................................................................135

4.6圆....................................................................137

4.7函数图像的性质.......................................................139

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题

如图1,在平面直角坐标系中，双曲线(20)与直线y=x+2都经过点

A⑵曲.

(1)求k与7的值；

(2)此双曲线又经过点B(n,2),过点8的直线比与直线尸x+2平行交

y轴于点G联结被AC,求△板的面积；

(3)在(2)的条件下，设直线尸x+2与y轴交于点A,在射线冲上有

一点凡如果以点从C、£所组成的三角形与相似，且相似比不为1,求

点后的坐标.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点£在射线面上运动，可

以体验到，应与相似，存在两种情况.

思路点拨

1.宜鼓ADHBC,与坐标轴的夹角为45°.

2.求△上的面积，一般用割补法.

3.讨论△水万与△45相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两

种情况列方程.

满分解答

(1)将点4(2,而代入产=x+2,得片4.所以点力的坐标为(2,4).

将点Z(2,4)代入y=K,得4=8.

X

(2)将点夙〃，2),代入y=g,得A=4.『

所以点8的坐标为(4,2).\A/

设直线%为y=x+A代入点夙4,2),得QI/R/

所以点。的坐标为(0,—2).______

由4(2,4)、8(4,2)、C(0,-2),可知2、夕/\L/

两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、。两点间的/T

水平距离和竖直距离都是4.

所以"=2正，BC=46,ZABC=9Q°.图2

==

所以SAABC=—BA-BC-x2>/2x4\/28.

22

(3)由4(2,4)、〃(0,2)、C(0,-2),得AD=26,AC=2V10.

由于N物什NZ〃=45°,ZACE+ZACP=45°,所以N必4/4龙.

所以△力"与△力切相似，分两种情况：

①如图3,当生=四时，CE=AD=2V2.

CAAC

此时△九陵相似比为1.

②如图4,当名=4G时，_^=冬胆.解得龙=10夜.此时0、£两点

CAAD2布2百

间的水平距离和竖直距离都是10,所以夕(10,8).

考点伸展

第(2)题我们在计算△板的面积时，恰好△板是直角三角形.

一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法.

如图5,作△胸的外接矩形幽屈W/y轴.

=

由S矩形gj产24,5kx«76>5AX«8=2>得5k板=8.

图5

例22014年武汉市中考第24题

如图1,Rt△板中，ZACB=9Q°,AC=6cm,BC=8cm,动点尸从点B

出发，在物边上以每秒5cm的速度向点4匀速运动，同时动点0从点C出发，

在〃边上以每秒4cm的速度向点8匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2),

连接做

(1)若△即0与△胸相似，求t的值；

(2)如图2,连接四、CP,若四上CP,求匕的值；

(3)试证明：网的中点在△胸的一条中位线上.

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点尸运动，可以体验到，若^

第0可以两次成为直角三角形，与△板相似.当时，MACSXCDP.PQ

的中点，在

ZU5C的中位线跳'上.

思路点拨

1.△喇与△府有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况

列方程.

2.作PDLBC于D,动点只0的速度，暗含了BD=CQ.

3.印的中点〃在哪条中位线上？画两个不同时刻尸、Q、，的位置，一目了

然.

满分解答

(1)Rt△胸中，AC=6,BC=8,所以居=10.

△8图与△被相似，存在两种情况：

.解得t=l.

•解得昔

图3图4

(2)忤PDLBC,垂足为A.

在Rt△用力中，BP=5t,cos^-,所以即=8"osB=4t,PD=3t.

5

当Z0L6F时，MACSXCDP.

所以卷嚼，即『怨・解得W

(3)

由于，是网的中点，HF//PD,所以尸是磔的中点.

又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.

因此尸是宛的中点，£是四的中点.

所以N的中点〃在△板的中位线EF上.

考点伸展

本题情景下，如果以尸。为直径的与△侬:的边相切，求1的值.

如图7,当。，与血相切时，QPLAB,就是竺=生，/=%.

BQBA41

如图8,当。，与回相切时，PQ工BC,就是竺=丝，t=l.

BQBC

如图9,当。，与47相切时，直径PQ=^PCT+QE^=7(302+(8-8?)2,

半径等于心=4.所以&于+(8-8。2=8.

解得或匕=0(如图10,但是与已知0V6V2矛盾).

例32012年苏州市中考第29题

如图1,已知抛物线产上2」（。+1»+幺"是实数且6>2）与x轴的正半

444

轴分别交于点4、6（点Z位于点8是左侧），与y轴的正半轴交于点C.

（1）点8的坐标为,点。的坐标为（用含力的代数式表

示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于

2b,且是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点尸的坐

标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点0,使得△口力、XQOA於X

Q仿中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求

出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点8在x轴的正半轴上运动，

可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形尸6缈的面积等于2力的

时刻.双击按钮“第（3）题”，拖动点B,可以体验到，存在40QA=/B的时

刻，也存在N8'4=/夕的时刻.

思路点拨

1.第（2）题中，等腰直角三角形侬1暗示了点尸到两坐标轴的距离相等.

2.联结仍把四边形尸a勿重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含

力的式子表示.

3.第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角

三角形，点0最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.

满分解答

（D夕的坐标为6,0）,点。的坐标为（0,

4

（2）如图2,过点夕作四〃_x轴，血y轴，垂足分别为仄E,那么△板

94PEC.

因此PD=PE.设点P的坐标为（x,x）.

如图3,联结0P.

所以S四边形PCOB=SXKO+-x—x+—xbx=-bx=2b.

2428

解得x=3.所以点尸的坐标为（3,3）.

555

(3)由y=工乂-，S+l)x+2=J_(x-l)(x-8)，得4(1,0),0/1=1.

4444

①如图4,以以、力为邻边构造矩形出仇；那么△欧宿△仇队

当旦1=国，即Q42=BA.OA时，△园4s△仇私

QAOA

所以(配二人1.解得z，=8±4g.所以符合题意的点0为(1,2+百).

②如图5,以况1为直径的圆与直线户1交于点0,那么N破X90°。

因此△比‘gZk0Q4.

当空=0时，盘即XQOA.此时/力490。.

QAOA

所以C、0、8三点共线.因此空=义，即2=国.解得QA=4.此时0(1,4).

COOAbI

考点伸展

第(3)题的思路是，A.C、。三点是确定的，8是x轴正半轴上待定的点,

而/初与/幽是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情

况.

这样，先根据曲与△明相似把点。的位置确定下来，再根据两直角边

对应成比例确定点8的位置.

如图中，圆与直线户1的另一个交点会不会是符合题意的点0呢？

如果符合题意的话，那么点3的位置距离点4很近，这与加4%矛盾.

例42012年黄冈市中考模拟第25题

如图1,已知抛物线的方程Cl：),=_l(x+2)(x_附(。>0)与x轴交于点A

m

C,与y轴交于点£且点夕在点。的左侧.

(1)若抛物线61过点”(2,2),求实数必的值；

(2)在(1)的条件下，求△睡的面积；

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点〃使得最小,

求出点〃的坐标；

(4)在第四象限内，抛物线Q上是否存在点月使得以点反C.尸为顶点

的三角形与△比F相似？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点。在x轴正半轴上运动，观

察左图，可以体验到，死与加'保持平行,但是在无限远处也不等于45°.观

察右图，可以体验到，/以户保持45°,存在/班XN8位的时刻.

思路点拨

1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题，当〃落在线段比上时，BH+EH最

小.

2.第(4)题的解题策略是：先分两种情况画直线BF,作乙CBF=4EBC=

45°,或者作则/况：再用含卬的式子表示点尸的坐标.然后根据夹角相等，

两边对应成比例列关于R的方程.

满分解答

(1)将〃(2,2)代入y=--—(x+2)(x-m)>得2=-■—x4(2-m)•解得R=4.

mm

(2)当勿=4时，y=—；(x+2)(x-4)=—；f+gx+2♦所以C(4,0),E(0,2).

所以5^=，COE」X6X2=6.

22

(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=l,当〃落在线段比上时，BH+

EH最小.

设对称轴与x轴的交点为尸，那么竺=殷.

CPCO

因此里」.解得小＞=3.所以点〃的坐标为"!)・

342

(4)①如图3,过点8作优的平行线交抛物线于用过点尸作即_Lx轴

于〃.

由于/BCE=NFBC,所以当笠=生，即3。2=庭.3尸时，△氏如△阳C.

CBBF

1口gs—(x+2)(xr%)

设点尸的坐标为(x,---(x+2)(x-/?/))9由---=---9得〃----------_2_

mBF'COx+2m

解得x=/zz+2.所以厂’(ZZT+2,0).

由普票得min+4所以§尸_(m+4W"/+4

y/m2+4BFm

2得5+2)2二斤NXQMH

^BC=CEBF9

图4

②如图4,作/侬'=45°交抛物线于尸，过点尸作印J_x轴于尸，

由于/EBC=/CBF,所以生=生，即8c2=8EB尸时，△"方s△哥'C.

BCBF

在RtZkBFF'中，由m=BF,得Lx+2)(x-m)=x+2•

m

解得X=2E.所以尸(2m,0).所以BF'=2*2,BF=0(2%+2).

由BC2=BEBF,得(W+2)2=2也X0(2W+2).解得，〃=2±2&.

综合①、②，符合题意的必为2+2立.

考点伸展

第(4)题也可以这样求BF的长：在求得点尸、户的坐标后，根据两点间

的距离公式求加'的长.

例52010年义乌市中考第24题

如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点0（0,0）、A（2,0）、B（6,3）.

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点〃的坐标；

（2）将图1中梯形西。的上下底边所在的直线OA、而以相同的速度同时

向上平移，分别交抛物线于点Q、4、G、得到如图2的梯形。4瓜兄设梯

形QA5G的面积为S4、5的坐标分别为（尾，历）、（也，㈤.用含S的代数

式表示后一不，并求出当5=36时点4的坐标；

（3）在图1中，设点〃的坐标为（1,3）,动点尸从点夕出发，以每秒1个

单位长度的速度沿着线段比运动，动点0从点，出发，以与点尸相同的速度沿

着线段则运动.只0两点同时出发，当点0到达点〃时，P、0两点同时停止

运动.设尸、。两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线尸0、直线

AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出1的值；若不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24"，拖动点/上下运动，观察图形和图

象，可以体验到，用一为随S的增大而减小.双击按钮“第（3）题”，拖动点0

在ZW上运动，可以体验到，如果/在=NG@；那么△在与△侬1相似.

思路点拨

1.第（2）题用含S的代数式表示应一帚，我们反其道而行之，用小及表

示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即为一％=3.通过代数变形就可

以了.

2.第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法

画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.

3.第（3）题的示意图，不变的关系是：直线四与x轴的夹角不变，直线

相与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线N的斜率，因此假设直线网与

四的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方.

满分解答

(1)抛物线的对称轴为直线X=1,解析式为y=Lx2_l.x,顶点为

848

(2)梯形OMG的面积S=乂芭一1+；2一1)*3=3(内+々)_6,由此得到

+%=■—H2.由于必—y=3，所以%—y1=—九;—“2——%=3.整理，

238484

得(Z一玉)§(“2+%)一4=3.因此得至!j4一%=.

当袋36时，1%+X=14,解得["=6,此时点儿的坐标为"，3).

x2-x1-2.[x2=8.

(3)设直线四与可交于点G,直线四与抛物线的对称轴交于点£,直线

N与x轴交于点尸，那么要探求相似的尸与△G3；有一个公共角NG.

在△糜中，NG制是直线四与抛物线对称轴的夹角，为定值.

在△曲尸中，NG4b是直线相与x轴的夹角，也为定值，而且N必杼/力五

因此只存在/傀后=N/产的可能，XGQEsXGAF.这时N渤QNG但N

PQD.

由于tan/GAF=3,tanNPQO=^='，所以3='.解得/=型.

4QP5-t45-t7

图3图4

考点伸展

“第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程

相同，求得的方的值也是相同的.事实上，图3和图4都是假设存在的示意图,

实际的图形更接近图3.

例62009年临沂市中考第26题

如图L抛物线经过点4(4,0)、B(1,0)、＜7(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)户是抛物线上的一个动点，过刀作用轴，垂足为机是否存在点只

使得以A.P、〃为顶点的三角形与△而C相似？若存在，请求出符合条件的点

。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线4C上方的抛物线是有一点A,使得AZO的面积最大，求出点

。的坐标.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点尸在抛物线上运动，可以体

验到，4/W的形状在变化，分别双击按钮“尸在8左侧”、“夕在x轴上方”和

“尸在4右侧”，可以显示△44〃与△物。相似的三个情景.

双击按钮“第(3)题”，拖动点〃在x轴上方的抛物线上运动，观察

的形状和面积随〃变化的图象，可以体验到，少是4。的中点时，的面积

最大.

思路点拨

1.已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比

较简便.

2.数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.

3.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.

4.把△加4可以分割为共底的两个三角形，高的和等于处.

满分解答

(D因为抛物线与x轴交于4(4,0)、8(1,0)两点，设抛物线的解析式

为y=a(x-l)(x-4),代入点。的坐标(0,-2),解得a=-g.所以抛物线的

解析式为y=_}xT)(x_4)=+枭_2.

222

(2)设点尸的坐标为(x,」(x-l)(x-4)).

2

①如图2,当点尸在x轴上方时，1VXV4,PM=--(x-l)(x-4),

2

AM=4-x.

一1(x-l)(x-4)

4r由AMAO

如1果——=—2,那么I=2.解得x=5不合题意.

PMCO

-^(x-l)(x-4)

田AMAO

4如1rt果——=—那么2F解得、=2-

PMCO2

此时点尸的坐标为(2,1).

②如图3,当点尸在点N的右侧时，x>4,FM=-(x-l)(x-4),AM^x-4.

2

—(x-l)(x-4)

解方程----------=2,得x=5.此时点尸的坐标为(5,-2).

x-4

一(x—1)(x—4)

解方程-------——=-,得x=2不合题意.

x—42

③如图4,当点尸在点6的左侧时，xVL=—l)(x—4),AM=4-x.

2

_(x-l)(x-4)

解方程----------=2,得x=—3.此时点尸的坐标为(-3,74).

4-x

—(x—l)(x-4)

解方程.....——得x=O.此时点P与点0重合，不合题意.

4一x2

综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

>x

图2图3图4

(3)如图5,过点〃作x轴的垂线交NC于E.直线4C的解析式为y=-x-2.

设点〃的横坐标为R(1<7〃<4),那么点，的坐标为(m,-L/+*加一2),点

22

E的坐标为.所以DE=(-•-m2=--m2+2m.

22222

因此SAOAC+2，〃)X4=T”2+4m=-(/«-2)2+4.

当〃?=2时，的面积最大，此时点〃的坐标为(2,1).

图5图6

考点伸展

第(3)题也可以这样解：

如图6,过〃点构造矩形⑶见那么△a%的面积等于直角梯形。独的面

积减去△曲和羽的面积.

设点。的横坐标为(R,n)(1<m<4),那么

S=—(2n+2)x4一』m(n+2)——〃(4—in)=-m+2〃+4・

222

由于〃=--m2+—m-2,所以S=-m2+4m.

22

1.2因动点产生的等腰三角形问题

例12015年重庆市中考第25题

如图1,在△48。中，ZACS=90°,ZBAC=6Q°,点E是NBAC的平分线

上一点，过点£作的垂线，过点Z作四的垂线，两垂线交于点〃连接施,

点尸是物的中点，DHVAC,垂足为H,连接用HF.

(1)如图1,若点〃是熊的中点，AC=2^,求被切的长；

(2)如图1,求证：HF=EF.

(3)如图2,连接6F、CE,猜想：△侬■是否是等边三角形？若是，请证

明；若不是，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点后运动，可以体验到，XFAE

与△河归保持全等，△叱与保持全等，△呼保持等边三角形的形状.

思路点拨

1.把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边.

2.中点户有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助

线了.

满分解答

(1)如图3,在Rt△胸中，N胡仁60°,AC=2^/3,所以居=4百.

在RtZUZ组中，ZDAH=3Q°,AH=&所以淅4,AD=2.

在Rt△板中，AD=2,AB=4&由勾股定理，得〃=2a.

(2)如图4,由/加Q90°,N物3=60°,/£平分4必C,得/物£=60°,

ZZZ4^=30°.

在Rt△/应中，AE=-AD.在Rt△4汗中，DH=-AD.所以AB=DH.

22

因为点尸是Rt△板的斜边上的中线，所以FA=FD,/FAD=/FDA.

所以NFAE=NFDH.所以△必匡△发况所以EF=HF.

B

(3)如图5,作/<L四于掰联结或

^FM//DA,尸是龙的中点，得〃是血的中点.

因此腾=』AO,△/或是等边三角形.

2

又因为4£=，A£>,所以班.

2

又因为阴。，ZCMF^ZCAE=3Q°,所以△QCN△。及

所以NJO-NZ绥CF=CE.

所以N£gNH的60°.所以△呼是等边三角形.

考点伸展

我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉.

如图6,如图7,当点方落在回边上时，点，与点C重合.

图6图7

B

图8图9图10

图11

例22014年长沙市中考第26题

如图L抛物线y=aV+8x+c(a、b、c是常数，aWO)的对称轴为y轴,

且经过(0,0)和(&,')两点，点尸在该抛物线上运动，以点尸为圆心的。尸总经

16

过定点力(0,2).

(1)求a、b、c的值；

(2)求证：在点尸运动的过程中，。尸始终与x轴相交；

(3)设。尸与x轴相交于〃(荀，0)、M&,0)两点，当△制为等腰三角形

时，求圆心产的纵坐标.

动感体验

请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心产在抛物线上运动，可以

体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形胸存在三种情况.

思路点拨

1.不算不知道，一算真奇妙，原来。尸在x轴上截得的弦长加14是定值.

2.等腰三角形胸存在三种情况，其中例=磔和胡=幽两种情况时，点

尸的纵坐标是相等的.

满分解答

(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以尸af.所以6=0,c=0.

将(6-)代入尸aZ得2=解得“=!(舍去了负值).

(2)抛物线的解析式为y=设点尸的坐标为

44

已知4(0,2),所以+($2—2)2+4>.

而圆心尸到X轴的距离为,所以半径用＞圆心尸到X轴的距离.

4

所以在点尸运动的过程中，。尸始终与X轴相交.

(3)如图2,设射的中点为〃那么用垂直平分脉

在RtZX/W中，PM2=PA2=-X4+4,PH2=(-x)2=-x4,所以施=4.

16416

所以般=2.因此磔=4,为定值.

等腰△4W存在三种情况：

①如图3,当加4V时，点尸为原点0重合，此时点尸的纵坐标为0.

此时x=OH=26+2.所以点P的纵坐标为

-x2=-(2＞/3+2)2=(石+1)2=4+28.

44

③如图5,当也=照时，点尸的纵坐标为也为4+26.

如果点尸在抛物线＞=1/上运动，以点尸为圆心的。尸总经过定点8(0,1),

4

那么在点尸运动的过程中，。尸始终与直线尸一1相切.这是因为：

设点尸的坐标为(x」V).

4

已知夙0,1),所以PB=-所=J(；x，+1)2=；f+l.

而圆心P到直线尸一1的距离也为工万2+1,所以半径阳=圆心尸到直线y

4

=-1的距离.所以在点尸运动的过程中，。尸始终与直线尸一1相切.

例32013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1,在Rt△板中，NH=90°,AB=6,AC=8,点〃为边勿的中点,

DE1BC交边AC于技E,点尸为射线四上的一动点，点0为边4c上的一动点，

且乙如g90°.

（1）求助、£C的长；

（2）若BP=2,求。的长；

动感体验

请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点尸在射线相上运动，可以体

验到，a/w与△aw保持相似.艰察丛PDF,可以看到，P、尸可以落在对边的

垂直平分线上，不存在所=分的情况.

请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点尸在射线相上运动，可以体

验到，△也"与△&W保持相似.观察△包户，可以看到，只尸可以落在对边的

垂直平分线上，不存在加=分的情况.

思路点拨

1.第（2）题步=2分两种情况.

2.解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和

差关系.

3.第（3）题探求等腰三角形包户时，根据相似三角形的传递性，转化为

探求等腰三角形CDQ.

满分解答

（1）在Rt△板中，AB=6,AC=8,所以比=10.

Q1s9S

在Rt△核中，CD=3,所以EO=COtanNC=5x-=—,EC=—.

444

（2）如图2,过点，作DMLAB,DN工AC,垂足分别为M、N,那>么DM、DN

是

△放的两条中位线，DM=4,DN=3.

由/加=90。，NMDN=90°,司得/PDM=/QDN.

因此△包物心△冲

图4

①如图3,当g=2,P在布上时，PM=\.

319

此时QN=qPM=1.所以CQ=CN+QN=4+3=N.

一一44

②如图4,当册=2,尸在加的延长线上时，PM=5.

3151ca1

此时°N=*PM=—•所以CQ=CN+QN=4+—=—.

'一44

(3)如图5,如图2,在Rt△呐中，tan/QPD=22=里=3

PDDM4

在Rt△脑中，tan/C=g^=3.所以NQPANC.

CA4

由N/W=90。，Z<7^=90°,可得/PDF=/CDQ.

因此△物s△郎.

当△曲是等腰三角形时，△郎也是等腰三角形.

①如图5,当卬=02=5时，QN=CQ~Cg3—4=\（如图3所示）.

此时PM=3QN=9.所以BP=5M-PM=3-3=9.

3333

②如图6,当冷初时，由cosC=空，可得CQ=3'=竺.

CQ258

所以加加。=4-"=工（如图2所示）.

88

此时PM=3QN=N.所以=+=3+2=史.

3666

③不存在W的情况.这是因为NDFP2NDQP>NDPQ（如图5,图6所

示）.

图5图6

考点伸展

如图6,当△3是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△校

也是等腰三角形，PB=PD.在△应「中可以直接求解8P=纪.

6

例42012年扬州市中考第27题

如图1,抛物线尸a，+"+c经过4(-1,0)、夙3,0)、。(0,3)三点，直

线］是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点尸是直线I上的一个动点，当△必。的周长最小时，求点尸的坐

标；

(3)在直线1上是否存在点M,使△物。为等腰三角形，若存在，直接写

出所有符合条件的点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点尸在抛物线的对称轴上运动,

可以体验到，当点尸落在线段■上时，阳+产。最小，△阳。的周长最小.拖动

点〃在抛物线的对称轴上运动，观察△物。的三个顶点与对边的垂直平分线的位

置关系，可以看到，点〃有1次机会落在4c的垂直平分线上；点儿有2次机会

落在加'的垂直平分线上；点。有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1

次M、A、。三点共线.

思路点拨

1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点尸在线段宽上时△玄。的周长

最小.

2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于4(-1,0)、M3,0)两点，设尸a(x+l)(x-

3),

代入点。(0,3),得一3a=3.解得a=-l.

所以抛物线的函数关系式是y=—(x+l)(x—3)=-/

+2x+3.

(2)如图2,抛物线的对称轴是直线户1.

当点尸落在线段回上时，必+W最小，△用C的周长最小.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.

由理_=型,BO=CO,得PH=BH=2.

BOCO

所以点尸的坐标为(1,2).

⑶点〃的坐标为(1,1)、(1,Q(1,-#)或(1,0).

考点伸展

第(3)题的解题过程是这样的：

设点〃的坐标为(1,血.

在△心。中，/62=10,必=l+(k3)2,画=4+方.

①如图3,当场=比时，MA=MC.解方程4+/=1+(9一3):得R=1.

此时点〃的坐标为(1,1).

②如图4,当4^=4。时，加=初.解方程4+/=10,得加=±#.

此时点〃的坐标为(1,遥)或(1,-V6).

③如图5,当阴。时，3=Ch解方程1+(。-3)2=10,得卬=0或6.

当”(1,6)时，M、A.。三点共线，所以此时符合条件的点〃的坐标为(1,0).

图3图4图5

例52012年临沂市中考第26题

如图1,点/在x轴上，04=4,将线段处绕点。顺时针旋转120°至OB

的位置.

(1)求点B的坐标；

(2)求经过4、0、8的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点尸，使得以点尸、0、6为顶点的

动感体验

请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点尸在抛物线的对称轴上运动,

可以体验到，。。和。夕以及阳的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的

交点，当点尸运动到。。与对称轴的另一个交点时，B、0、尸三点共线.

请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点尸，发现存在点尸，使得以点

只0、3为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨

1.用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根

据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.

2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点尸重合在一起.

满分解答

(1)如图2,过点6作轴，垂足为C.

在RtZXQ%中，/BOC=30°,08=4,所以31=2,0C=2^.

所以点8的坐标为(-2,-26).

(2)因为抛物线与x轴交于。、4(4,0),设抛物线的解析式为尸ax(x—

4),

代入点伙-2,-2/),-2>/3=-2ax(-6).解得“=_且.

6

所以抛物线的解析式为)・=-立x(x-4)=--X2・

663

(3)抛物线的对称轴是直线―2,设点尸的坐标为(2,9.

①当如=必=4时，印=16.所以4+/=16.解得冲士2G.

当产在(2,26)时，B、0、尸三点共线(如图2).

②当方=:3=4时，BP—16.所以4。+(y+26)2=16.解得乂=、2=-2>/5.

③当期=尸0时，P^=PO.所以42+(y+2G)=22+y2.解得y=_26.

综合①、②、③，点P的坐标为(2,-26),如图2所示.

考点伸展

如图3,在本题中，设抛物线的顶点为A,那么△她与42姐是两个相似

的等腰三角形.

由y=--^x(x-4)=-^-(x-2)2+竿，得抛物线的顶点为。(2,半).

因此tan/ZXM=述.所以N%4=30°,/物=120°.

3

例62011年盐城市中考第28题

如图1,已知一次函数尸一*+7与正比例函数丫=9'的图象交于点4且

3

与x轴交于点B.

(1)求点火和点夕的坐标；

(2)过点力作ZC_Ly轴于点。，过点夕作直线

〃/y轴.动点尸从点0出发，以每秒1个单位长的

速度，沿—Z的路线向点/运动；同时直线］

从点8出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，

直线1交x轴于点R,交线段BA或线段40于点Q.当

点尸到达点4时，点尸和直线］都停止运动.在运

动过程中，设动点尸运动的时间为匕秒.

①当C为何值时，以力、只A为顶点的三角形

的面积为8?

②是否存在以AP、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求匕的值;

若不存在，请说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点斤由8向0运动，从图象中

可以看到，的面积有一个时刻等于8.观察可以体验到，尸在3

上时，只存在的情况；尸在。上时，有三个时刻，△板是等腰三角形.

思路点拨

1.把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.

2.求△■的面积等于8,按照点尸的位置分两种情况讨论.事实上，户在

。上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形纲，按照点尸的位置分两种情况讨论，点产的每一