2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷（上海）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。5．难度系数：0.62。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．用符号表示平面经过直线：．2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）3．设，，是空间中的三个向量，且共面，则．4．若直线平面，直线在平面上，则直线与的位置关系是．5．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为．6．已知为等差数列，，，则．7．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是．8．已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为．9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为．10．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是．11．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为．12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.515．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（

）A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件C． D．16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在定点，使得．其中正确的结论是（

）A．① B．②③ C．①④ D．②④三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)若是数列的前项和，求的最小值.18．如图，在四面体中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率．20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动.(1)证明：；(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；(3)求直线与平面所成角的取值范围.21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”；(1)若为“3关联数列”，求；(2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有；(3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由．2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020必修第三册+空间向量+数列。5．难度系数：0.7。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．用符号表示平面经过直线：．【答案】【解析】用符号表示平面经过直线为：.2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）【答案】（白球）（答案不唯一）【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），故答案为：（白球）（答案不唯一）3．设，，是空间中的三个向量，且共面，则．【答案】【解析】由向量，，是空间中的三个向量，因为共面，则存在实数使得成立，可得，可得.故答案为：.4．若直线平面，直线在平面上，则直线与的位置关系是．【答案】平行或异面【解析】由直线平面得直线与平面没有公共点，由直线在平面上可知直线与直线没有公共点，故直线与直线的位置关系为平行或异面.故答案为：平行或异面.5．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为．【答案】75【解析】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.由于，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即.故答案为：75.6．已知为等差数列，，，则．【答案】1【解析】设{an}的公差为d，∴，∴，故答案为17．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是．【答案】90【解析】∵样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，∴样本容量为＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.故答案为：908．已知一个圆台的上下底面面积分别为和，高为2，则它的体积为．【答案】【解析】圆台的体积为.故答案为：.9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为．

【答案】【解析】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高是直观图长度的倍，在直观图中，易得的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高的长度是直观图中梯形高的倍，故其面积是梯形面积的倍，因为梯形的面积为，所以原梯形的面积是.

故答案为：10．两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是．【答案】【解析】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，，所以.故答案为：.11．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为．【答案】【解析】由于，故点在以为球心，半径为的球面上，设到平面的距离为，则由等体积法可得,而,所以,故，因此点到平面的距离的最大值为，故答案为：12．对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为．【答案】【解析】因为，所以或，设，则数列中相邻两项的差最大为，要保证，则数列的项有增有减，假如中有个，增量最大为，则有项是减少的，则必有，所以，则或，取，取最大值，按最大连续增量计算，有，即中有最大值为，所以的最大值为.故答案为：.二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设数列的公比为q（），，，可得，于是数列为递增数列；反之不成立，例如数列是递增数列，但．“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．故选：A．14．某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.5【答案】B【解析】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为.故选：B15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（

）A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件C． D．【答案】C【解析】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，所以，故，，所以与不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.故选：C.16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在定点，使得．其中正确的结论是（

）A．① B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】①当点与重合时，，，且，所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面，所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确；②只有平面，即平面时，才能满足对于任意给定的点，存在点，使得，因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误；③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误；④只有当平面时，④才正确，所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误．故选：A．三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)若是数列的前项和，求的最小值.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意，即，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）由，.因为时，，即，所以为严格增数列，所以时，有最小值.18．如图，在四面体中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.【解析】（1）在四面体中，由，是的中点，得，而平面，所以平面.（2）由（1）知，是二面角的平面角，在等腰中，，，则，同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小为.19．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：(1)求的值；(2)根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率．【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，得，（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.（3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为10人、20人、20人，因此中抽取1人，记为a,中抽取2人，记为b,c，中抽取2人，记为d,e，再从中任选2人进行调查，样本空间共10个样本点，设事件A为“恰好有1人每天阅读时间位于”，共6个样本点，故其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率为.20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动.(1)证明：；(2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由；(3)求直线与平面所成角的取值范围.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，，设，则，，所以.（2）若是的中点，则，，设平面的法向量为，则，故可设，设，，若平面，平面，则，所以是的中点，所以.（3），设，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以，所以.21．设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”；(1)若为“3关联数列”，求；(2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有；(3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列，则而且，解得（2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列，则而且，解得，根据等差，等比数列通项公式可得：，所以数列前十项列举为：，则数列前十项列举为：所以数列前十项列举为：通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有，证明：当时，由数列列举可得，当时，，所以当时，，所以，而，所以仍然满足，综上可得：对任意正整数n，都有；（3）由数列为“r关联数列”，且，则有且，解得，所以数列通项公式为：，而当时，，当时，，所以，当时，由二次函数对称性计算可得：当时，是一个递增数列，所以要使得，，则有，即满足，变形得：，当，；当，；当，；而当时，，而当时，，所以，不可能满足，综合上述使得的k、m为，，，2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．（白球）（答案不唯一）3．4．平行或异面5．756．17．908．9．10．11．12．二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13141516ABCA三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．（1）设等差数列的公差为，由题意，即，解得，(2分)所以，即数列的通项公式为.(6分)（2）由，.(9分)因为时，，即，所以为严格增数列，所以时，有最小值.(14分)18．（1）在四面体中，由，是的中点，得，(2分)而平面，所以平面.(6分)（2）由（1）知，是二面角的平面角，(7分)在等腰中，，，则，(9分)同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小为.(14分)19．（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以，得，(2分)（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.(6分)（3）由题意，阅读时间位于分组，和的学生数分别为10人、20人、20人，因此中抽取1人，记为a,中抽取2人，记为b,c，中抽取2人，记为d,e，再从中任选2人进行调查，样本空间共10个样本点，(9分)设事件A为“恰好有1人每天阅读时间位于”，共6个样本点，