2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷一（人教A版）含答案解析

高中PAGE1试题2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。4．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（

）A．45° B．60° C．135° D．150°2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．，C．， D．，3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（

）A． B． C． D．4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（

）是的一个方向向量．A． B． C． D．6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（

）A．60 B．32 C．15 D．208．如图，正方体的棱长为1，中心为，，，则四面体的体积为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为10．已知数列满足，则（）A． B．数列是等差数列C．数列的最小项为4 D．的前项和为11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为．14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ΔABC三个顶点的坐标分别是.(1)求ΔABC外接圆的方程；(2)若圆与直线交于两点，求的弦长.16．（15分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．17．（15分）已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等比数列；(2)求和：.18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.

(1)若，求证：平面平面PCD；(2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；(3)若与平面PBC成角大小，求DC边长.19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.(1)求这两条曲线的方程；(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+选择性必修第二册第4章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。4．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点(1，0)和点(0，1)的倾斜角为（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【解析】过点和点的直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：C2．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】设该等差数列的公差为d，则，则，.故选：D3．如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点，.故选：D4．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.5．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（

）是的一个方向向量．A． B． C． D．【答案】A【解析】同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，故选：A.6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B7．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（

）A．60 B．32 C．15 D．20【答案】A【解析】设等比数列的公比为.由，可得，因，解得.则.故选：A.8．如图，正方体的棱长为1，中心为，，，则四面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，,则||=，||=，，∴．．．设平面OEB的一个法向量为，由取，得又,∴F到平面OEB的距离,∴四面体OEBF的体积.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为【答案】AB【解析】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确；焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误.故选：AB.10．已知数列满足，则（）A． B．数列是等差数列C．数列的最小项为4 D．的前项和为【答案】ABD【解析】由，因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有.A：因为，所以A正确；B：因为，所以数列是等差数列，因此B正确；C：，当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数，所以上述不等式等号不成立，即，所以C错误，D：因为，所以的前项和为，所以D正确；故选：ABD11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2【解析】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为．【答案】【解析】分别取的中点，连接，由正三柱性质可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由，可得，所以，又，且；所以.故答案为：14．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为.【答案】【解析】设是椭圆的右焦点，连接，，由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ΔABC三个顶点的坐标分别是.(1)求ΔABC外接圆的方程；(2)若圆与直线交于两点，求的弦长.【解析】（1）设，（1分）……（3分）……（5分）所以ΔABC外接圆的方程为.……（6分）（2）圆心到直线的距离……（10分）所以，……（12分）得.……（13分）16．（15分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【解析】（1）当时，则，，可得，，……（2分）即切点坐标为，切线斜率，……（4分）所以切线方程为，即.……（5分）（2）解法一：因为的定义域为，且，……（6分）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；……（7分）若，令，解得；令，解得；……（8分）可知在内单调递减，在内单调递增，……（9分）则有极小值，无极大值，……（10分）由题意可得：，即，……（11分）构建，则，……（12分）可知在内单调递增，且，……（13分）不等式等价于，解得，……（14分）所以a的取值范围为；……（15分）17．（15分）已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等比数列；(2)求和：.【解析】（1）时，，有，……（3分）又时，，有，……（5分）所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．……（6分）（2）由（1）得数列的通项公式，……（7分）设则①②……（10分）①②得：……（14分）.……（15分）18．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.

(1)若，求证：平面平面PCD；(2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由；(3)若与平面PBC成角大小，求DC边长.【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以，……（1分）又，所以……（3分）又平面PAD所以平面PAD，……（4分）又平面PCD，所以平面平面PCD.……（5分）（2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系设，则，则……（7分）设，，……（8分）假设存在满足，因为等价于，……（9分）解得，（1分）所以不存在……（10分）（3）因为，所以，

，设，其中，又，，设平面PBC法向量，依题意，即令则，所以，……（12分）因为PD与平面PBC成角大小，所以或，……（13分）即……（15分）又，此方程组无解……（16分）综上可得.……（17分）19．（17分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.(1)求这两条曲线的方程；(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.【解析】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，.则，解得，，……（2分）则，，……（3分）因此，椭圆方程为，.……（4分）双曲线方程为.……（5分）（2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，则，，……（6分）若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，……（7分）因为，这两个等式作差可得，……（8分）所以，，可得，……（9分）所以，直线的方程为，即，……（10分）检验：联立可得，则，合乎题意，……（11分）因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为.……（12分）（3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，……（15分）所以，.……（17分）2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CDDAABAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABABDBD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．213．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，（1分）……（3分）……（5分）所以ΔABC外接圆的方程为.……（6分）（2）圆心到直线的距离……（10分）所以，……（12分）得.……（13分）16．（15分）【答案】(1);(2)【解析】（1）当时，则，，可得，，……（2分）即切点坐标为，切线斜率，……（4分）所以切线方程为，即.……（5分）（2）解法一：因为的定义域为，且，……（6分）若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；……（7分）若，令，解得；令，解得；……（8分）可知在内单调递减，在内单调递增，……（9分）则有极小值，无极大值，……（10分）由题意可得：，即，……（11分）构建，则，……（12分）可知在内单调递增，且，……（13分）不等式等价于，解得，……（14分）所以a的取值范围为；……（15分）17．（15分）【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）时，，有，……（3分）又时，，有，……（5分）所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．