高一数学新人教版(A版) 必修第1册：三角函数的图象变换-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA062学科数学年级高一学期第一学期

课题三角函数的图象变换

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师李宏艳北京第五十中学分校

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.理解从正弦曲线到函数yAsin(x)图象的变换过程，能用“五点法”画出函数

yAsin(x)的简图；

2.掌握参数A，，对yAsin(x)图象的影响，发展直观想象的数学素养；

3.会运用函数yAsin(x)的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题，提升数

学建模的素养.

教学重点：整体把握函数yAsin(x)图象的变换过程.

教学难点：切实把握图像变换的本质，实现从正弦曲线到函数yAsin(x)图象的

变换过程.

教学过程

教学

时间主要师生活动

环节

同学们，在前面两节课中，我们以筒车为背景，根据它运动的特点----

匀速圆周运动，确立三角函数模型，.为了更好地使用模型，我们研究参

数A，，的实际意义以及对函数yAsin(x)图象变化的影响.

问题1：正弦曲线是如何变换得到函数yAsin(x)图象?

5复

习

第一步先变换出函数ysin(x+)图象，由正弦曲线向左或右平移

引

入

||个单位长得到的，究竟是向左还是向右，决定的符号，>0,

向左平移个单位，<0,向右平移||个单位；所以在数学上，会使

一个函数图象向左或者向右平移得到另一个函数图象,而在实际问题

中,决定了圆周运动的初始位置，也就是t=0时盛水桶（质点）的位置，

下一步由函数ysin(x+)图象变换为函数ysin(x+)图象，在这

1

个过程中，需要使ysin(x+)曲线上的各点的横坐标变为原来的（纵

坐标不变），得到函数ysin(x+)的图象；在数学上，决定了函数图

象上点的横坐标的伸缩，横坐标的改变带来了函数周期的变化，T与的

2

关系是T，而在实际问题中，对应圆周运动的角速度;

最后一步，将函数ysin(x+)图象变化为函数yAsin(x+)图

象，需要使ysin(x+)曲线上的各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐

标不变），在数学上，A决定了函数图象上点的纵坐标的伸缩，决定了函

数值域的变化.而在实际问题中，A对应圆周运动中筒车的半径，也就是

振幅.

例1画出函数y＝2sin（3x）的简图

6

方法1：图象变换.

典

型π

解1：先画出函数ysinx的图象，再把正弦曲线向右平移个单位长度，

例6

10题

得到函数ysin(x)的图象，然后使曲线上的各点的横坐标变为原来的

6

1

1（纵坐标不变），得到函数ysin(3x)，最后把曲线上各点的纵坐标

36

变为原来的2倍（横坐标不变），这时曲线就是函数y2sin(3x)的图

6

象.

问题2：事实上这三种变换的先后顺序并无特别规定，还有不同变换方式

吗？

那我们看有同学是这样解答：同样先画出正弦曲线，再把正弦曲线

1

上的各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数ysin3x，然

3

π

后使曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin(3x)的图象，最后

66

把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），这时曲线就是函

数y2sin(3x)的图象.请问对吗？

6

分析：

向右平移π个单位长度

18

ysin3xysin(3x)

6

评价图象变换画图方法

练：你能用上述两种不同的变化方式，说说正弦曲线是如何变到函数

21

ysin(x+)图象?

324

方法2：五点作图法.

问题3：类比正弦曲线的画法，你能用“五点法”画出y2sin(3x)吗？

6

分析：

1.回忆正弦曲线作图方法

为了确定正弦函数的图象形状，抓住了图象上的五个关键点，分别为

π3π

与x轴交点（0，0）最高点（，1）与x轴交点（π，0）最低点（，

22

-1）以及与x轴交点（2π，0）,然后用光滑的曲线将它们连接起来，得

到正弦函数的简图.

π

2.利用换元法，令X3x，函数变为y2sinX，类比正弦曲线找出

6

五个关键点

π

解：令X3x，y2sinX，

6

列表

X0ππ3π2π

22

sinX010-10

2sinX020-20

但是y2sin(3x)是以小x为自变量，y为函数值的函数，所以还有

6

求出x的值，

ππ3π

即令3x0,,π,,2π，分别解得出相应的x值，还可以：利用函

622

π

数图象特点以及性质，在求出第一个x=后，可计算函数的最小正

18

2π2π13π

周期，比如：这题中T，x=+=，第三个点的横坐标

318318

为第一个点的横坐标和第五个点横坐标和的一半，即

π13π

+

7π

x=1818=，第二个点的横坐标为第一个点的横坐标和第三个点

218

π7π

+

4π

横坐标和的一半，即x=1818=，第四个点的横坐标为第三个点

218

7π13π

+

10π

的横坐标和第五个点横坐标和的一半，即x=1818=，这样计

218

算简洁，准确性高.

列表

X0ππ3π2π

22

xπ2π7π5π13π

18918918

sinX010-10

2sinX020-20

以（π，0），（2π，2），（7π，0），（5π，-2），（13π，0）为五个关键

18918918

2

点，画函数y2sin(3x)在一个周期（T）内的图象.

63

评价五点画图法以及简要对比以上两种画图方法

师生活动：学生讨论交流，对于方法1教师鼓励学生采取不同的变换方法，

对于方法2教师引导学生类比正弦曲线的五点法，抓住这个函数图像的关

键点.

设计意图：对所学知识的复习巩固和运用

例2：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱

里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距

地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时

针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约

需要30min.

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后离地面的高度为

Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

8（2）求游客甲在开始转动5min后离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，

实

际求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度

问

差的最大值（精确到0.1）.

题

思考1：用什么数学模型来刻画摩天轮的转动？为什么？

1.根据实际问题的特点确定数学模型

由于摩天轮匀速转动，游客距离地面的高度随时间呈周期性变化，因

此可以用三角函数建立模型，把摩天轮抽象为圆，游客所做的座舱抽象为

质点，那么游客距离地面的高度H与时间t的关系为，设

HAsin(t)kA>0,>0,||<π）

思考2：如何求函数解析式？

2.根据信息求解函数解析式

第（1）问的分析：

已知中告诉我们这是一个直径为110m的摩天轮，说明点M在半径为55m

的圆上做圆周运动，得到A=55，摩天轮按逆时针方向旋转，转一周需要

2ππ

30min，说明周期T=30，角速度==，游客在座舱转到离地面最

3015

近的位置P进舱，说明P为初始位置，角的终边与y非正半轴重合，即

π

，k是指圆心到地面的距离，即k=55+10.通过已知所给的信息，

2

结合A，，的实际意义，能很好的得出参数A，，的值.

（1）解：设座舱距离地面最近的位置为点P,以摩天轮的轴心O为原点，

与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系.

H55sin(t)65，0t30.

152

在实际问题中，特别注意自变量t代表时间，它的取值范围为t0，不仅

如此，这里请同学们注意审题“在转动一周的过程中”，说明0t30.

3.利用函数解析式去解决实际问题

第（2）问的分析：在实际问题中，座舱距地面高度在每一时刻是变化的，

通过解析式求出相对应的函数值，也就是座舱每一时刻的高度，这就函数

解析式的价值.

（2）解：当t5时，H55sin(5)65=37.5.

152

所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.

思考3:如何表示甲、乙两人距地面的高度？

第（3）问的分析1：

甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，一共有48个座舱，所以相邻

2ππ

两个座舱的夹角AOB==.这时，点A可以看出是游客甲从点P进

4824

π

舱，经过tmin后到达的位置，此时为经过tmin后，甲距离地面

2,

ππ

的高度为H55sin(t)65,点B可以看成游客乙从P’进舱，经过

1152

tmin后到达的位置，因为座舱转动的速度是一样的，

πππ13π

P'OPAOB=.此时为+=，所以乙距离地面的高

2422424

π13π

度H55sin(t)65.

11524

2ππ

解：如图甲、乙两人的位置分别用A,B表示，则AOB==.

4824

ππ

经过tmin后甲距离地面的高度为H55sin(t)65,点B相对于点A

1152

ππ13π

始终落后rad,此时乙距离地面的高度为H55sin(t)65.则

2411524

甲、乙距离地面的高度差

πππ13π

h|HH|55|sin(t)sin(t)|

121521524，借助三角变换的工具，以

及信息技术辅助求出最值来.

πππ13π

h|HH|55|sin(t)sin(t)|

121521524

ππ13ππ

解：55|sin(t)sin(t)|,

1522415

利用sin+sin2sincos,可得

22

πππ

h110|sinsint|,0t30.

481548

πππ3ππ

当t=或，即t7.8(或22.8时)，h的最大值为110sin

15482248

7.2.

所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.

四、根据结果解释实际问题

通过数学知识，我们发现随着时间t的改变，相邻两个座舱之间的距离是

不断变化的，最高能相差7米之高，这是非常大的差距，这使我们对摩天

轮的认识不仅仅停留在感官，而是有了理性的新认识.

问题4：

(1)你还能用数学的眼光还能提出一些其他的问题吗？

比如可以研究：

①高度差的最小值

②可以查阅摩天轮所在城市最高建筑物的高度，计算在摩天轮转动一

圈内，游客到地面的距离是否能超越这一高度，有多长时间超过这一

高度？这些数据是否能为宣传摩天轮而服务？

（2）通过这道题的分析，同学们能对下面这些问题有更深一些的体会

吗？

1.实际问题如何抽象成数学问题？

2.数学问题如何从一种形式转化为另一种形式？

3.数学问题解决后，我们又是如何解释、认识实际问题？

师生活动：教师借助信息技术呈现摩天轮的直观影象，再提出问题，由学

生思考分析，教师适当点拨，提醒学生注意坐标系的选择，以及现实问题

中量的单位.

设计意图：本例与开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函

数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际

应用，也是对知识学习效果的一次检验.

3

练习：用“五点法”作出函数ysin(2x+)在一个周期上的简图，并说

43

3

出函数ysin(2x+)的图象与正弦曲线有什么关系？

43

设计意图：巩固学生对参数A、、对函数yAsin(x)图象的影响