高一数学新人教版(A版) 必修第1册：简单的三角变换(1)-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA058学科数学年级高一学期第一学期

课题简单的三角变换（1）

书名：普通高中教科书数学必修第一册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师陈玉成北京市第二中学

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.进一步熟悉各组公式的内在联系，了解各组公式的功能及变形；

2.能利用公式完成简单的三角变换，为函数研究提供依据，提升数学推理的素养.

教学重点：整合各组公式的内在联系，把握公式的重要变形.

教学难点：认识三角恒等变换的特点.

教学过程

时教学

主要师生活动

间环节

学生活动

我们先来复习一下在三角恒等变换这一节中我们学习的公式：

我们先利用单位圆和两点间距离公式推出了

cos(-)coscossinsin，

然后将代换为-得到

cos(+)coscossinsin，

复习然后又结合诱导公式进一步推出了

公

sin(+)sincoscossin，

式，

3引出

sin(-)sincos-cossin，

分课题

钟然后又将两式相除得到

tantan

tan()，

1tantan

tan-tan

tan(-)，

1tantan

最后将式子中的得到了二倍角公式

sin22sincos，

cos2cos2sin2，

2tan

tan2；

1tan2

学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新

工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.

有了和（差）角公式和二倍角公式，进而可以解决三个角的和与差的问题，多

个角的和差问题，多倍角的问题等，既然倍角解决了，那么你能尝试半角吗？

教师活动

222

例1试以cos表示sin,cos,tan.

222

问题1：本题要求用角的余弦值表示角的三角函数值，那么角与角有

22

什么关系呢？

学生活动

分析：根据角是角的二倍角，因此可以将二倍角公式

2

cos22cos2112sin2中的2替换为，替换为，就能

2

7

分解决这个问题.

钟分析

例解：是的二倍角，在倍角公式cos212sin2中，以代替2，

2

1，总

结特

221-cos

点以代替，得cos12sin，所以sin.

2222

在倍角公式cos22cos21中，以代替2，以代替，得

2

221cos

cos2cos1，所以cos.

222

21cos

将上述两式左右两边分别相除，得tan.

21cos

教师活动

例1我们得到了一组公式，我们来总结一下它们的特征：从结构上看，等式左

边都是三角函数的二次形式，而右边都是一次形式，因此此组公式有升降次的作用；

从角的特征来看，等式左边都是，而右边是，因此此组公式有升降角的作用.

2

问题2：是的二倍角，也就是说是的半角，你能依此得到半角公式吗？

22

例1的结论还可以表示为：

1cos1cos1cos

sin,cos,tan

222221cos

我们称之为半角公式.公式中的号体现了三角函数的取值有正负，与同角函数

关系式类似，具体取值与角所在的象限有关.

2

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的

角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先

寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等

变换的一个重要特点.

教师活动

1

例2求证：（1）sincos=[sin(+)+sin(-)]，

2

（2）sinsin2sincos.

22

问题3：（1）式子中所包含的各个角有怎样的关系？你能得到什么样的启示？

根据（1）式子中存在两角及它们的和与差（反之也是），式子结构从积到和差

（反之也是），式子结构从二次到一次（反之也是），要消除这种差异，你可以从哪

个角度入手呢？

学生活动

选择和（差）角公式可以解决（1）题.

证明：（1）根据公式

sin(+)sincoscossin，

sin(-)sincos-cossin，

7分析

分例

两式相加，得sin(+)+sin(-)2sincos，

钟2，感

受化

1

归思所以sincos=[sin(+)+sin(-)].

2

想

问题4：（2）中式子两边在结构形式上与（1）有什么不同？

根据两个式子的结构特点，（1）是将正余弦之积化为两正弦之和，（2）是将两

-

正弦之和化为正余弦之积，而且对比角的关系，=且

22

-

=-，因此考虑到它们之间的联系，采取换元法进行证明.

22

（2）令+=，=φ，则，代入（1）得：

22

sincos

22

1

[sin()sin()]

22222

1

(sinsin)，

2

∴sinsin2sincos.

22

教师活动

本题（1）的证明把sincos看作x,将cossin看作y,把等式看作x,y的方

程，则问题转化为解方程组求x.（2）的证明用到了换元法，将+看作，将看

作φ，从而把包含，的三角函数式转化为，φ的三角函数式.它们都体现了化归思

想.

分析sin1cos

练习1：求证：tan.

练习21cossin

31，学生活动

分巩固

钟新知证明：根据是的二倍角，因此本题可从二倍角公式入手，

2

2sincossin

sin

所以222tan，